第1章 特殊平行四边形自我检测-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

一、 选择题 （每小题 3 分， 共 18 分） 1. 两个全等的直角三角形不能肯定拼成的图形是 （ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰三角形 2. 下列说法错误的是 （ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 邻边相等的四边形是正方形 C. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 D. 四个角都相等的四边形是矩形 3. 如图， 把一个长方形的纸片对折两次， 然后剪下一个角， 为了得到一个锐角为 60° 的菱形， 剪口与折痕所成的角 α 的度数应为 （ ） A. 15° 或 30° B. 30° 或 45° C. 30° 或 60° D. 45° 或 60° 4. 如图， 在 △ABC 中， 点 D ， E ， F 分别在边 BC ， AB ， CA 上， 且 DE∥CA ， DF∥ BA. 下列四种说法： ① 四边形 AEDF 是平行四边形； ② 如果 ∠BAC=90° ， 那么四边形 AEDF 是矩形； ③ 如果 AD 平分 ∠BAC ， 那么四边形 AEDF 是菱形； ④ 如果 ∠BAC=90° ， AD 平分 ∠BAC ， 那么四边形 AEDF 是正方形 ． 其中正确的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图， 边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30° 得到正方形 AB′C′D′ ， 则它 们的公共部分的面积等于 （ ） A. 3 姨 3 B. 1－ 3 姨 3 C. 1－ 3 姨 4 D. 1 2 6. 如图， 四边形 ABCD 为矩形纸片 ． 把纸片 ABCD 折叠， 使点 B 恰好落在 CD 边的中 点 E 处， 折痕为 AF． 若 CD=6 ， 则 AF 等于 （ ） A. 3 3 姨 B. 4 3 姨 C. 4 2 姨 D. 8 α E F A B C D A B C D D′ B′ C′ E F A B C D 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 第一章自我检测 （时间： 90 分钟 满分： 100 分） 第一章自我检测 数学九年级上册 （北师大版） 上册 173 九年级上册 （北师大版）数学 二、 填空题 （每小题 3 分， 共 21 分） 7. 如图， 已知菱形 ABCD 的一条对角线 BD 上一点 O 到菱形一边 AB 的距离为 2 ， 那 么点 O 到 BC 的距离等于 . 8. 如图， CD 是 △ABC 的中线， 且 CD= 1 2 AB ， 则 ∠ACB= 度 . 9. 如图， 在 荀ABCD 中， AE 是 ∠DAB 的平分线， EF∥AD 交 AB 于点 F ， 若 AB=9 ， CE=4 ， AE=8 ， 则 DF= . 10. 如图， 矩形 ABCD 的两条对角线 AC ， BD 相交于点 O ， ∠AOB=60° ， AB=4 ， 则矩 形的面积等于 ． 11. 如图， 四边形 ABCD 是正方形， △ABE 是等边三角形， 则 ∠AED= 度 ． 12. 如图， 在菱形 ABCD 中， ∠ABC=60° ， 点 E 在边 BC 上， ∠BAE=25°． 把线段 AE 绕点 A 逆时针旋转角 琢 ， 使点 E 落在边 DC 上， 则旋转角 琢 的度数为 . 13. 如图， 直线 l 是矩形 ABCD 的一条对称轴， 点 P 是直线 l 上一点， 且使得 △PAB 和 △PBC 均为等腰三角形， 则满足条件的点 P 共有 个 . 三、 解答题 （第 14 — 16 题各 7 分， 第 17 — 21 题各 8 分， 共 61 分） 14. 如图， 四边形 ABCD 是菱形， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， DH⊥AB 于点 H. 连接 OH. 求证： ∠DHO=∠DCO. 15. 如图， 四边形 ABCD 是正方形， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 四边形 AEFC 是菱 形， EH⊥AC ， 垂足为点 H. 求证： EH= 1 2 FC. O B C D A A B C D E F O A B CD O A B C D 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 E A B C D A B CD l 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 O A B C D H D C H O A B E F 第 15 题图 E A B C D 174 16. 如图， 在矩形 ABCD 中， 过对角线 AC 的中点 O 作 EF⊥AC ， 分别与 AB ， DC 交 于点 E ， F ， 点 G 为 AE 的中点， 若 ∠AOG=30° ， 求证： DC=3OG. 17. 如图， 在 荀ABCD 中， 对角线 AC ， BD 交于点 O ， E 是 BD 延长线上的点， 且 △ACE 是等边三角形 ． （ 1 ） 求证： 四边形 ABCD 是菱形 . （ 2 ） 若 ∠AED=2∠EAD ， 求证： 四边形 ABCD 是正方形 . 18. 如图， 在四边形 ABCD 中， E 是 AB 上的一点， △ADE 和 △BCE 都是等边三角形， 点 P ， Q ， M ， N 分别为 AB ， BC ， CD ， DA 的中点， 试判断四边形 PQMN 为怎样的四边 形， 并证明你的结论 . 19. 如图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ABC=90° ， 将 Rt△ABC 绕点 C 顺时针旋转 60° 得到 △DEC ， 点 E 在 AC 上， 延长 CB 到点 F ， 使 BF=BC ， 连接 AF ， AD. （ 1 ） 求证： 四边形 AFCD 是菱形 . （ 2 ） 连接 BE 并延长交 AD 于点 G ， 连接 CG ， 试判断四边形 ABCG 是什么特殊四边 形， 并证明你的结论 . 第 17 题图 A G D E F B C 第 19 题图 M C D N A E P Q B 第 18 题图 E F O A B C D G 第 16 题图 E D A O B C 第一章自我检测 175 九年级上册 （北师大版）数学 20. 如图， 在矩形 ABCD 中， AB=4 cm ， AD=6 cm ， 点 P 从点 A 出发， 以 1 cm/s 的速 度沿 AD 向终点 D 运动， 同时， 点 Q 从点 C 出发， 以 1 cm/s 的速度沿 CB 向终点 B 运 动， 设运动时间为 t （ s ） ． （ 1 ） 当 0＜t＜6 时， 判断四边形 BQDP 的形状， 并说明理由 . （ 2 ） 当 0＜t＜6 时， 求四边形 BQDP 的面积 S （ cm 2 ） 与运动时间 t （ s ） 的函数关系 . （ 3 ） 四边形 BQDP 可能为菱形吗？ 若可能， 请求出 t 的值； 若不可能， 请说明理由 . 21. 如图 1 ， 将一块直角三角板的直角顶点 P 放在正方形 ABCD 的对角线 BD 上滑动， 并使其中一条直角边始终过点 A ， 另一条直角边与 BC 相交于点 E. （ 1 ） 猜想 PA 与 PE 的数量关系 （不必证明） . （ 2 ） 如图 2 ， 当直角顶点 P 运动到 BD 的延长线上时， （ 1 ） 中猜想的结论还成立吗？ 如果成立， 请给出证明； 如果不成立， 请说明理由 . （ 3 ） 如图 3 ， 当直角顶点 P 运动到 DB 的延长线上时， （ 1 ） 中猜想的结论还成立吗？ 如果成立， 请给出证明； 如果不成立， 请说明理由 . A B C D P Q 第 20 题图 图 1 A F P D B E G C A P D B C E A D E P B C 图 2 图 3 第 21 题图 176 参考答案与提示 ∵tanβ 2 ＝ DL N′L ， ∴ DL N′L ＝ a 2 b 2 . ∴N′L＝ b 2 a 2 DL. ∵NL-N′L＝NN′＝40 ， ∴ b 1 a 1 DL- b 2 a 2 DL＝40. 解得 DL＝ 40a 1 a 2 b 1 a 2 -a 1 b 2 . ∴ 山高 DF＝DL+ LF＝ 40a 1 a 2 b 1 a 2 -a 1 b 2 +1. . " 6 m. 答： 山高 DF 为 40a 1 a 2 b 1 a 2 -a 1 b 2 +1. . " 6 m. 上册 第一章自我检测 1. C 2. B 3. C 4. D 5. A 6. B 7. 2 8. 90 9. 6 10. 16 3 姨 11. 15 12. 60° 或 70° 13. 5 14. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴AB∥CD ， OD=OB ， ∠COD=90°. ∵DH⊥AB ， ∴∠DHB=90°. ∵OH 是 Rt△DHB 斜边 AB 的中线， ∴OH= 1 2 BD=OB. ∴∠OHB=∠OBH. 又 ∵AB∥CD ， ∴∠OBH=∠ODC. ∴∠OHB=∠ODC. ∵∠ODC+ ∠DCO=90° ， ∠DHO+∠OHB=90° ， ∴∠DHO=∠DCO. 15. 证明： ∵ 四边形 AEFC 是菱形 ， ∴AC∥BF ， AC=FC. 又 ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ， ∴AC⊥BD ， AC=BD. ∴BD=FC. 又 ∵ EH⊥AC 于点 H ， ∴EH=BO. ∵BO= 1 2 BD= 1 2 FC ， ∴EH= 1 2 FC. 16. 证明： 如图， 连接 CE. ∵O 为 AC 的中点， EF⊥AC ， ∴AE=EC. ∴∠OAE=∠OCE. ∵OG 为 Rt△AOE 斜边 AE 的中线 ， ∴AG=OG=GE. ∵∠AOG=30° ， ∴∠OAE=∠OCE=30° . ∴OE= AG=EG. ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴∠B=90° . ∴∠ACB=60°. ∴∠ECB=30°. ∴CE 是 ∠ACB 的 平分线 . ∴OE=BE. ∴EB=GE=AG=OG ， ∴DC=AB=EB+GE+AG=3OG. 17. 证明： （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO. 又 ∵△ACE 是等边三角形， ∴EO⊥AC ， 即 DB⊥ AC. ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . （ 2 ） ∵△ACE 是等边三角形， ∴∠AEC=60°. ∵AO=CO ， ∴∠AED= 1 2 ∠AEC=30°. ∵∠AED=2∠EAD ， ∴∠EAD=15°. ∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°. 由 （ 1 ） 知， 四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ADC=2∠ADO= 90°. ∴ 四边形 ABCD 是正方形 . 18. 四边形 PQMN 为菱形 . 证明： 如图， 连接 AC ， BD. ∵P ， Q 分别为 AB ， BC 的 中点 ， ∴PQ 为 △ABC 的中位线 . ∴PQ∥AC ， PQ= 1 2 AC. 同理 MN∥AC ， MN= 1 2 AC. ∴MN∥PQ ， MN=PQ. ∴ 四边形 PQMN 为平行四边形 . 在 △AEC 和 △DEB 中， ∵AE=DE ， EC=EB ， ∠AED=∠CEB=60° ， ∴∠AED+∠CED=∠CEB+∠CED ， 即 ∠AEC=∠DEB. ∴△AEC≌△DEB. ∴AC=BD. ∴PQ= 1 2 AC= 1 2 BD. ∵P ， N 分别为 AB ， AD 的中点， ∴PN= 1 2 BD. ∴PQ=PN. ∴ 四边形 PQMN 为菱形 . 19. 证明 ： （ 1 ） ∵△DEC 是由 Rt△ABC 绕 C 点顺时针旋转 60° 得到的 ， ∴∠CED=∠ABC=90° ， AC=DC ， ∠ACB=∠ACD=60°. ∴△ACD 是等边三角形 . ∴AD=DC=AC. 又 ∵∠ABF=∠ABC=90° ， BC=BF ， ∴AF=AC. ∴△AFC 是 等边三角形 . ∴AF=FC=AC. ∴AD=CD=FC=AF. ∴ 四边形 AFCD 是菱形 . （ 2 ） 四边形 ABCG 是矩形 . 由 （ 1 ） 可知： △ACD 是等边三角形， ∠CED=90° ， 即 DE⊥AC. ∴AE=EC. ∵ 四边形 AFCD 是菱形， ∴AD∥FC. ∴∠EAG=∠ECB ， ∠AGE=∠EBC. ∴△AEG≌△CEB. ∴GE=BE. ∴ 四边形 ABCG 是平行四边形 . 又 ∵∠ABC=90° ， ∴ 四边形 ABCG 是矩形 . 20. 解： （ 1 ） 四边形 BQDP 是平行四边形 . 理由： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC ， AD∥BC. ∵ 点 P 从点 A 出发， 以 1 cm/s 的速度沿 AD 向终点 D 运动， 同时， 点 Q 从点 C 出发， 以 1 cm/s 的速度沿 CB 向终点 B 运动， ∴AP=CQ=1×t=t. ∴AD-AP=BC-CQ ， 即 PD=BQ. ∴ 四边形 BQDP 是平行四边形 . （ 2 ） ∵BQ=6-t ， ∴S 四 边 形 BQDP =BQ · AB= （ 6-t ） ×4=24-4t. （ 3 ） 四边形 BQDP 可能为菱形 . 当 BP=PD 时 ， 荀BQDP 为菱形 . 在 Rt△ABP 中 ， ∵AP=t ， AB=4 ， ∴BP 2 =AP 2 +AB 2 =t 2 +4 2 =t 2 +16. 又 ∵PD=6-t ， ∴BP 2 =PD 2 ， 即 t 2 +16= （ 6-t ） 2 . 解得 t= 5 3 . 21. 解： （ 1 ） 猜想： PA=PE. （ 2 ） 成立 . 证明： 如 图 1 ， 过 P 点作 PF⊥AD 交 DA 的延长线于点 F ， 交 BE 于点 G ， ∴∠AFP=∠AFG=90°. ∵ 四边形 ABCD 是正方 形 ， ∴∠BAD=∠ABC =90° . ∴ 四 边 形 ABGF 是 矩 形 . ∴BG=AF. ∵∠PBG=45° ， ∴∠BPG=45° . ∴PG=BG=AF. ∵ ∠APE=90° ， ∴∠APF+∠EPG=90°. 又 ∵∠APF+∠PAF= 90° ， ∴∠EPG=∠PAF. 又 ∵∠PFA=∠PGE=90° ， ∴△APF≌ △PEG. ∴PA=PE. （ 3 ） 成立 . 证明： 如图 2 ， 过 P 点作 图 1 图 2 第 21 题答图 A D E P B C G F A P D B C E G F A E P B Q C M D N 第 18 题答图 第 16 题答图 E F O A B C D G 243 九年级上册 （北师大版）数学 PF⊥AD 交 DA 的延长线于点 F ， 交 BE 于点 G ， ∴∠AFP=90° . ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ， ∴∠BAD=∠ABC= ∠BAF=∠ABG=90°. ∴ 四边形 ABGF 为矩形 . ∴∠BGF=90° ， BG=AF. ∵∠DBC=45° ， ∴∠PBG=45° . ∴∠BPG= 45° . ∴PG=BG=AF. ∵∠APE=90° ， ∴∠APF+∠EPG=90°. 又 ∵∠APF+∠PAF=90° ， ∴∠EPG=∠PAF. 又 ∵∠PFA= ∠PGE=90° ， ∴△APF≌△PEG （ ASA ） . ∴PA=PE. 第二章自我检测 1. A 2. D 3. D 4. C 5. B 6. B 7. A 8. C 9. x 2 +x-5=0 1 1 -5 10. 2 11. （ x+1 ） 2 =8 12. x 1 =0 ， x 2 =3 13. x 1 =5 ， x 2 = 5 4 14. 2.5 m 15. 560+560 （ 1+x ） +560 （ 1+x ） 2 =1 850 16. （ 1 ） x 1 =-3 ， x 2 =-4 （ 2 ） x 1 = 2 3 ， x 2 = 1 4 （ 3 ） x=-1± 5 姨 （ 4 ） x 1 =0 ， x 2 =1 （ 5 ） y 1 =- 1 2 ， y 2 =-3 （ 6 ） x 1 =-8 ， x 2 = 4 5 （ 7 ） x= -4± 6 姨 5 （ 8 ） x= 7± 91 姨 6 17. 解： 设三、 四月份平均每月增长的百分率为 x ， 则 60 （ 1-10% ）（ 1+x ） 2 =96 ， 解得 x 1 = 1 3 ， x 2 =- 7 3 （舍去）， x≈ 33.3%. 18. 解： 设商品售价提高 x 元， 则（ 10-8+x ） 200- x 0.5 ×1 1 ( 0 =640. 整理得 x 2 -8x+12=0. 解得 x 1 =6 ， x 2 =2. 则每件 商品定价 12 元或 16 元 . 19. 解： （ 1 ） A 100 （ 90-A ） . （ 2 ） 由题意， 10+ A 100 （ 80-A ） =25. 解得 A 1 =30 ， A 2 =50. 由四月份用电情况知 A≥ 45 ， 故 A=50. 20. 解： 设这批服装的利润率是 x ， 则 ［ 20 000 （ 1+x ） -10 000 ］（ 1+x ） =13 200. 解得 x 1 =0.1=10% ， x 2 =- 8 5 （舍去） . 21. 解： （ 1 ） 这两条道路的面积分别为 2a m 2 与 2b m 2 . （ 2 ） 设 b=x m ， a=2x m ， 由题意， 得 x · 2x- （ 2x+4x- 4 ） =312 ， 整理得， x 2 -3x-154=0 ， 解得 x 1 =14 ， x 2 =-11 （舍去）， 则 b=14 ， a=2x=28. （ 3 ） 符合设计方案的草图如图： 方法 1 ： 设 AE=x ， 则 FB=14-2-x=12-x ， AG=13 m ， 由题意， 得 1 2 ×13x- 1 2 × （ 12-x ） ×13=13. 解得 x=7. ∴ 大菱 形花圃的面积为 1 2 ×13×7=45.5 （ m 2 ）， 小菱形花圃的面积为 1 2 ×13×5=32.5 （ m 2 ） . 方法 2 ： 设大菱形花圃的面积为 x m 2 ， 小菱形花圃的面积为 y m 2 ， 则面积之和 x+y= 1 2 ×13AE+ 1 2 ×13FB= 1 2 ×13 （ AE+FB ） = 1 2 ×13×12=78 （ m 2 ） . 则 x+y=78 ， x-y=13 3 . 解得 x=45.5 ， y=32.5 3 . 22. 解： （ 1 ） 设轮船会遇到台风， 需 t h ， 此时轮船位于 C 处， 台风中心移到 E 处， 则 AC=20t ， AE=100-40t ， EC=20 10 姨 . 在 Rt△ACE 中， AC 2 +AE 2 =EC 2 ， 即 （ 20t ） 2 + （ 100- 40t ） 2 = （ 20 10 姨 ） 2 . 整理得 t 2 -4t+3=0. 解得 t 1 =1 ， t 2 =3. 故最初遇到台风的时间为 1 h. （ 2 ） 设台风抵达 D 港口的时间为 t h ， 此时台风中心到达 M 处， 过点 D 作 DF⊥AB ， 垂足为点 F ， 连接 DM ， AF=30 ， DF= 60 2 -30 2 姨 =30 3 姨 . 又 FM=FA+ （ AB-MB ） =130-40t ， MD=20 10 姨 . 由 FD 2 +FM 2 =MD 2 ， 有 （ 30 3 姨 ） 2 + （ 130 -40t ） 2 = （ 20 10 姨 ） 2 ， 即 4t 2 -26t +39 =0. 解 得 t 1 = 13- 13 姨 4 ≈2.35 ， t 2 = 13+ 13 姨 4 ≈4.15. 故台风到达 D 港口的时间约为 2.35 h ， 从 A 处到达 D 港口的船速为 60÷2.35≈25.53 （ n mile/h ）， 所以船速至少应提高 25.53-20≈6 （ n mile/h ） . 第 21 题答图 1 2 3 4 A G H D E F B C 1 2 3 4 1 3 2 4 1 3 42 第 22 题答图 A D B 东 北 C F M E 244