第2章 实数自我检测-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

一、 选择题 （每题 2 分， 共 20 分） 1. 实数可分为 （ ） A. 正数和负数 B. 整数和分数 C. 分数和小数 D. 有理数与无理数 2. 1 4 的算术平方根是 （ ） A. - 1 2 B. 1 2 C. ± 1 2 D. 1 16 3. 实数 1 3 ， ２ 姨 4 ， π 6 中， 分数的个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 若 a 2 =16 ， |b|=3 ， 则 a+b 等于 （ ） A. -7 B. ±7 C. ±1 D. ±7 或 ±1 5. 若 a 2 =b 2 ， 则下列等式中成立的是 （ ） A. |a|=|b| B. a 3 =b 3 C. a=b D. a 姨 = b 姨 6. 若 x ， y 为实数， 且 3x-1 姨 + 1-3x 姨 +y=6 ， 则 xy 的值为 （ ） A. 0 B. 1 3 C. 2 D. 不能确定 7. m 是一个自然数的平方根， 在该自然数后面的一个自然数的平方根是 （ ） A. ± m+1 姨 B. ± m 2 +1 姨 C. ± m 姨 +1 D. m+1 8. 下列各式正确的是 （ ） A. （ -9 ） × （ -25 ） 姨 = （ -9 ） 姨 × -25 姨 =15 B. 4 2 +7 2 姨 =4+7=13 C. 2 3 姨 = 1 3 6 姨 D. - 45 姨 5 姨 = -45 5 姨 9. 下列各题中， 计算正确的是 （ ） A. 6 5 姨 ×6 ２ 姨 =6 10 姨 B. 6 5 姨 ×6 ２ 姨 =6 7 姨 C. 3 5 12 1 2 姨 × 1 2 姨 ＝ 3 5 ２ 姨 D. 4 3 4 1 2 姨 × ２ 姨 ＝4 10． 下列运算结果不正确的是 （ ） A. 3 6 姨 6 3 姨 = 2 姨 2 B. 15 姨 12 姨 = 5 姨 2 C. 0.76 姨 0.19 姨 =2 D. 9 15 姨 27 5 姨 = 3 姨 15 第二章自我检测 （时间： 60 分钟 总分： 100 分） 第二章自我检测 145 八年级上册 （北师大版）数学 二、 填空题 （每题 2 分， 共 20 分） 11. 在实数 - 1 3 ， 3 姨 ， 2.236 ， - ２16 3 姨 ， 2-π ， 0.23 ， 1- ２ 姨 中， 是无理数的有 . 12. 9 的算术平方根是 ； 0.49 的平方根是 . 13. 125 的立方根是 ； -3 3 8 的立方根是 . 14. 比较大小： 7 （填 “ ＞ ” “ ＜ ” 或 “ ＝ ”） 50 姨 . 15. 已知 |a-2|+ b-3 姨 ＝0 ， 则 a 2 -2b= . 16. 如果一个数的算术平方根等于它本身， 那么这个数是 . 17. 计算： （ 2 3 姨 +3 ） 2 - ２7 姨 = . 18. 计算： （ 2－ ２ 姨 ） 2 + 8 姨 = . 19. 计算： 1 5 姨 × （ 1２5 姨 - 15 姨 ） = . 20. 计算： （ 1 ）（ ２ 姨 +1 ）（ ２ 姨 －1 ） = ； （ 2 ）（ 3 姨 + ２ 姨 ）（ 3 姨 - ２ 姨 ） = ； （ 3 ） （ 2+ 3 姨 ）（ 2- 3 姨 ） = ； （ 4 ） （ 5 姨 +2 ）（ 5 姨 －2 ） = ； （ 5 ） 通过以上计算， 观察规律， 写出用 n （ n 为正整数） 表示上面规律的等式： . 三、 解答题 （第 21 、 22 题各 6 分， 第 23 题 4 分， 第 24 题 24 分， 共 40 分） 21. 把下列各数写入相应的集合内： - 3 4 ， 5 姨 ， 0 ， 4 3 姨 ， π 3 ， -1.732 ， -8 3 姨 ， 2 2 姨 ， 0.512 512 ， - 6+ 1 4 姨 ， 22 7 ， 0.104 004 000 4 … （相邻两个 4 之间 0 的个数逐次加 1 ） . 整数集合 { … } 分数集合 { … } 正数集合 { … } 负数集合 { … } 有理数集合 { … } 无理数集合 { … } 22. 求下列各式的值 . （ 1 ） 0.36 姨 ； （ 2 ） - 169 姨 ； （ 3 ） 2２5 姨 ； （ 4 ） -8 3 姨 + 8 姨 ； （ 5 ） 1２5 3 姨 ； （ 6 ） -3 3 8 3 姨 . 146 23. 把下列各数按照由小到大的顺序， 用 “ ＜ ” 连接起来 . 4 ， -3 ， -5 1 2 ， 1.414 ， 0 ， 0.6 ， - ２ 姨 ， π ， - -4 1 3 ， 3 姨 . 24. 计算 . （ 1 ） 1 2 + （ -1 ） 2 021 + 1 4 姨 -|-5| ； （ 2 ） 4 6 姨 -4 1 2 姨 +3 8 姨 姨 # ÷2 2 姨 ； （ 3 ） 2 3 姨 ÷ 2 2 3 姨 × 2 5 姨 ； （ 4 ） 37 2 -27 2 196 姨 ； （ 5 ） 24 姨 × 1 1 3 姨 × -2 5 2 姨 姨 姨 ； （ 6 ） 45 姨 ÷3 1 5 姨 × 3 2 2 2 3 姨 ； （ 7 ） ［ 50 姨 - （ 32 姨 + 18 姨 ）］ ÷ （ － 8 姨 ）； （ 8 ） - 0.25 姨 ÷ - 1 2 2 姨 4 + 2 1 3 -3.7 姨 姨 5 × 27 3 姨 . 第二章自我检测 147 八年级上册 （北师大版）数学 四、 解答题 （每题 5 分， 共 20 分） 25. 已知 |a+1|+ 3a-2b-1 姨 =0 ， 求 4a+5b 2 的算术平方根 . 26. 已知长方体冰箱的容积为 1 620 dm 3 ， 它的长、 宽、 高的比是 5 ∶ 4 ∶ 3 ， 则它的长、 宽、 高分别是多少米？ 27. 如图， 在四边形 ABCD 中， ∠A=∠C=90° ， ∠B=45° ， AB=2 6 姨 ， CD= 3 姨 . 求： （ 1 ） 四边形 ABCD 的周长； （ 2 ） 四边形 ABCD 的面积 . 28. 如图 1 是第七届国际数学教育大会 （简称 ICME鄄7 ） 的会徽， 会徽的主体图案是由 如图 2 的一连串直角三角形演化而成的 . 其中 OA 1 =A 1 A 2 =A 2 A 3 = … =A 7 A 8 =1. （ 1 ） 图中有没有直角边等于斜边一半的直角三角形？ 为什么？ （ 2 ） 如果把图 2 中的直角三角形继续作下去， 那么在 OA 1 ， OA 2 ， …， OA 25 这些线段 中有多少条的长度为正整数？ 第 27 题图 C D A B 第 28 题图 图 1 图 2 A 8 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 O 148 八年级上册 （北师大版）数学 5 三角形内角和定理 （第 2 课时） 1. （ 1 ） 100° （ 2 ） 35° （ 3 ） 60° （ 4 ） 70° （ 5 ） 30° （ 6 ） 70° 2. A 3. A 4. B 5. 证明 ： 如图 ， 连接 BC ， 则 ∠A+∠ABC+∠ACB=180° . ∵∠ABC=∠ABF+∠CBF ， ∠ACB=∠ACF+∠BCF ， ∴∠A+∠ABF+∠CBF+∠ACF+∠BCF=180°. 又 ∵∠BFD 是 △BCF 和 △DEF 的外角， ∴∠CBF+∠BCF=∠D+∠E ， ∴∠A+∠ABF+∠ACF+∠D+∠E=180°. 6. ∠M= １ ２ ∠A. 证明： ∵CM 是 ∠ACB 的外角平分线， ∴∠MCN= １ ２ ∠ACN= １ ２ （ ∠A+∠ABC ） . ∵BM 平分 ∠ABC ， ∴∠MBC= １ ２ ∠ABC. 又 ∵∠MCN=∠M+∠MBC ， ∴∠M=∠MCN-∠MBC= １ ２ （ ∠A+ ∠ABC ） - １ ２ ∠ABC= １ ２ ∠A. 7. 解： （ 1 ） 180° 提示： 将 ∠A+∠C 、 ∠B+∠D 和 ∠E 转化 到同一个三角形中， 即可得到 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. （ 2 ） 180°. （ 3 ） 成立 . 提 示： 与 （ 1 ） 方法相同 . （ 4 ） 略 . 8. 减小 10 提示： 如图， 延长 EF ， 交 CD 于点 G ， ∵ ∠ACB＝180°-50°-60°＝70° ， ∴∠ECD＝∠ACB＝70°. ∵∠DGF＝∠DCE+∠E ， ∴∠DGF＝70°+30°＝ 100°. ∵∠EFD＝110° ， ∠EFD＝∠DGF+∠D ， ∴∠D＝10°. 9. B 10. C 第一章自我检测 1. D 2. C 3. A 4. B 5. B 6. B 7. B 8. C 9. A 10. C 11. 15 １２. 9.６ １３. １６ １４. ５ １５. ４0 或 360 １６. １４４ １7. 7６ 18. 4 提示： 由三角形全等及勾股定理可知 S 1 +S 2 =1 ， S 3 +S 4 =3 ， ∴S 1 +S 2 +S 3 +S 4 =4. 19. 解： ∵AD 2 +BD 2 =12 2 +5 2 =169=AB 2 ， ∴△ABD 为直角三角形， 且 ∠ADC=90°. 由勾股定理得 DC=9 ， ∴BC=14 ， ∴S △ABC =84. 20. 解： 易得 Rt△ADE≌Rt△AFE ， ∴AF=AD=10 cm ， EF=DE. 设 CE=x cm ， 则 DE=EF=CD-CE=8-x. 在 Rt△ABF 中 由勾股定理得 AB 2 +BF 2 =AF 2 ， 即 8 2 +BF 2 =10 2 ， ∴BF=6 cm ， ∴CF=BC-BF=10-6= 4 （ cm ） . 在 Rt△ECF 中由勾股定理可 得 EF 2 =EC 2 +CF 2 ，即（ 8-x ） 2 =x 2 +4 2 ， ∴64-16x+x 2 =x 2 +16 ， ∴x=3 ， 即 EC=3 cm. 21. 解： 能通过 . 理由如下： 长方形门框 对角线的平方 5 大于 2.1 2 =4.41 （薄木板宽的平方） . 22. 解： 由题意知， A 到 B 的最短路程相当于将三级台阶展 成一个长方形平面图的对角线长 ， 这个长方形的长为 3× （ 2+3 ） =15 （ dm ）、 宽为 20 dm ， 则对角 线的长为 25 dm. 23. 解： 水塔的平面展开图如图所示 . ∵ 绕一周半到达水塔顶， 则登塔的路径为 AB+CD ， AB 2 =12 2 +5 2 ， CD 2 =6 2 +2.5 2 ， ∴AB=13 ， CD=6.5 ， ∴ 登梯至少 19.5 m. 24. 解： （ 1 ） 1. 提示： a 2 +b 2 +2ab=25 ， a 2 +b 2 =c 2 =13 ， 2ab=12 ， 则 c 2 -2ab=1. （ 2 ） 将长方形分成两个宽为 2 、 长为 3 的长方 形和两个宽为 0.5 、 长为 1 的长方形 . 第二章自我检测 1. D 2. B 3. B 4. D 5. A 6. C 7. B 8. C 9. D 10. D 11. 3 姨 ， 2-π ， 1- 2 姨 12. 3 ±0.7 13. 5 - ３ ２ 14. ＜ 15. -2 16. 0 或 1 17. 21+9 3 姨 18. 6-2 2 姨 19. 5- 3 姨 20. （ 1 ） 1 （ 2 ） 1 （ 3 ） 1 （ 4 ） 1 （ 5 ） （ n+1 姨 + n 姨 ）（ n+1 姨 - n 姨 ） =1 21. 整数集合 {0 ， -8 3 姨 ， … } 分数集合 合 - ３ ４ ， -1.732 ， 0.512 512 ， - ６+ １ ４ 姨 ， ２２ 7 ， … … 正数集合 合 5 姨 ， 4 3 姨 ， π ３ ， 2 2 姨 ， 0.512 512 ， 22 7 ， 0.104 004 000 4 ， … （相邻两个 4 之间 0 的个数逐次加 1 ）， … … 负数集合 合 - 3 4 ， -1.732 ， -8 3 姨 ， - 6+ １ 4 姨 ， … … 有理数集合 合 - 3 4 ， 0 ， -1.732 ， -8 3 姨 ， 0.512 512 ， - 6+ １ 4 姨 ， 22 7 ， … … 无理数集合 合 5 姨 ， 4 3 姨 ， π 3 ， 2 2 姨 ， 0.104 004 000 4 … （相邻两个 4 之间 0 的个数逐次加 1 ）， … … 22. （ 1 ） 0.6 （ 2 ） -13 （ 3 ） 15 （ 4 ） -2+2 2 姨 （ 5 ） 5 （ 6 ） - 3 ２ 23. 解： -5 １ ２ ＜- -4 １ 3 ＜-3＜- 2 姨 ＜0＜0.6＜1.414＜ ３ 姨 ＜π＜4 24. （ 1 ） -5 （ 2 ） ２ ３ 姨 +２ （ 3 ） 10 姨 10 （ 4 ） 4 7 10 姨 （ 5 ） -8 ５ 姨 （ 6 ） 5 ６ 姨 （ 7 ） 1 （ 8 ） - 49 4 25. 解： a=-1 ， b=-2 ， ∴4a+5b 2 的算术平方根是 4. 26. 解： 设冰 箱的长、 宽、 高分别为 5x dm ， 4x dm ， 3x dm ， 由题意得 5x · 4x · 3x=1 620 ， 解得 x=3 ， ∴ 它的长、 宽、 高分别为 1.5 m ， 1.2 m ， 0.9 m. 27. 解： （ 1 ） 如图， 延长 AD ， BC 交于点 E ， 在 Rt△ABE 中， ∠E=90°-∠B=45° ， ∴∠E= 第 23 题答图 A B C D E A B C D F 50° 30° 20° 60° G 第 8 题答图 第 5 题答图 E F A B C D 192 参考答案与提示 ∠B ， ∴AE=AB=2 ６ 姨 . ∴BE= AB 2 +AE 2 姨 = 2 姨 AB=4 3 姨 . 在 Rt△DCE 中， ∵∠E=45° ， CE= CD= 3 姨 ， ∴DE= 2 姨 CD= 6 姨 ， ∴ 四边形 ABCD 的周长为 DA+AB+BC+CD= （ AE-DE ） +AB+ （ BE-CE ） +CD=2AB-DE+BE=2×2 6 姨 - 6 姨 +4 3 姨 =3 6 姨 +4 3 姨 . （ 2 ） S 四边形 ABCD =S △ABE - S △CDE = １ ２ AB · AE- １ ２ CD · CE= １ ２ × （ 2 ６ 姨 ） 2 - １ ２ × （ 3 姨 ） 2 = 2１ ２ . 28. 解： （ 1 ） 图中有直角边等于 斜边一半的直角三角形 . ∵△A 1 OA 2 是直角三角形， 由勾股定理， 得 OA 2 2 =OA 2 1 +A 1 A 2 2 ， ∴OA 2 = 2 姨 ， 同理 OA 3 = 3 姨 ， OA 4 = 4 姨 =2. ∵ 在 Rt△OA 3 A 4 中， A 3 A 4 =1 ， OA 4 =2 ， ∴Rt△OA 3 A 4 为直角边等于斜边一半的直角三角形 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知， OA n = n 姨 （ 1≤n≤25 ）， ∴ 当 n 为完全平方数时， n 姨 才能是正整数， ∴ 当 n=1 ， 4 ， 9 ， 16 ， 25 时， OA n 为正整数， 共有五条 . 第三章自我检测 1. D 2. A 3. B 4. B 5. A 6. B 7. B 8. B 9. A 10. D 11. （ 10 ， 9 ） 7 排 13 号 12. 3 4 5 13. a<1 14. 二或四 15. （ -5 ， 0 ） 16. 北偏东 40° 17. （ 4 ， 0 ） 或 （ 0 ， 4 ） 或 （ 4 ， 4 ） 18. 5 19. 解： 方法 1 ： 用有序实数对 （ a ， b ） 表示 . 如以食品柜为原点， 水平方向为 x 轴， 竖直方向为 y 轴， 建立直角坐标系， 则钟表柜 （ 2 ， 0 ）， 文具柜 （ 2 ， 1 ）， 五金柜 （ 1 ， 2 ） . 方法 2 ： 用方向和距离表示， 略 . 20. 解： （ １ ） A （ -5 ， 6 ）， B （ -5 ， 1 ）， C （ -2 ， 1 ） . （ ２ ） 图略， 关于 y 轴对称 . （ ３ ） 图略， 关于 x 轴对称 . （ ４ ） 均互为相反数 . 21. （ 1 ） 图略 . （ 2 ） 11. 22. 解： 提示： 以 BC 中点为原点， 以 BC 所在的直线为 x 轴， BC 边上的高所在的直线为 y 轴， 建立直角坐 标系， 则 A （ 0 ， 4 ）， B （ -3 ， 0 ）， C （ 3 ， 0 ） . 23. （ 1 ） D （ 4 ， 2 ）， 8. （ 2 ） 存在 . P （ 0 ， 4 ） 或 （ 0 ， -4 ） . ２４. 解： 过 P 点作 PD⊥x 轴 ， 垂足为点 D. ∵A （ - 3 姨 ， 0 ）， B （ 0 ， 1 ） ， ∴OA= 3 姨 ， OB=1 ， 则由勾股定理 ， 得 AB= OA 2 +OB 2 姨 =2. ∵△ABC 为等边三角形， CA⊥x 轴， ∴△ABC 的高等于 OA= 3 姨 ， BC=AC=AB=2. ∴S △ABC = 1 2 ×2× 3 姨 = 3 姨 . ∵S △ABP =S △AOB +S 梯形 BODP －S △ADP = 1 2 × 3 姨 ×1＋ 1 2 ×3 （ 1+a ） － 1 2 a （ 3 姨 +3 ） = 3 姨 +3- 3 姨 a 2 ， 2S △ABP =S △ABC ， ∴2× 3 姨 +3- 3 姨 a 2 = 3 姨 . ∴a= 3 姨 . ∴P （ 3 ， 3 姨 ） . 第四章自我检测 1. C 2. D 3. B 4. A 5. C 6. B 7. y=3x 8. y=-x+3 9. y=-x+1 10. s=75t 11. y=15+2.5x 12. （ 1 ） 40 （ 2 ） 8 5 （ ３ ） y=40-5x 0≤x≤8 13. 解： （ 1 ） 直线 y=3x-2 与 x 轴、 y 轴交点的坐标分别为 2 3 ， ， ' 0 ， （ 0 ， -2 ）； 直线 y=-2x+3 与 x 轴、 y 轴交点的坐标分别为 3 ２ ， ， ， 0 ， （ 0 ， 3 ） . （ 2 ） 函数 y=3x-2 的 y 值随着 x 的增大而增 大， 函数 y=-2x+3 的 y 值随着 x 的增大而减小 . 14. 解： 直线 y=- １ ２ x+3 与 y 轴的交点坐标为 Q （ 0 ， 3 ）， ∵ 点 Q 与点 P 关于 x 轴对称， ∴P （ 0 ， -3 ） . 设这个函数关系式为 y=kx+b ， ∵ 点 P （ 0 ， -3 ） 在该函数图象上， ∴b=-3. ∵ 点 （ -2 ， 5 ） 在函数图象上， ∴5=-2k- 3 ， 解得 k=-4 ， ∴ 这个一次函数的关系式为 y=-4x-3. 15. 解： （ 1 ） y=19x- 8 000. （ 2 ） 令 y=19x-8 000=106 000 ， 解得 x=6 000 ， ∴ 该厂在这个月中生产 产品 6 000 件 . 16. 解： （ 1 ） 80 （ 6 ， 160 ） （ 2 ） 由图象知， 快车比慢车每 小时快 40 km ， 则 y=40x－40×2 ， 即 y=40x－80 （ 2≤x≤6 ） . （ 3 ） 由题意知， 快 车 6 h 到达乙地， 慢车 9 h 到达乙地， 且比快车早出发 1 h ， 则快车到达 2 h 后， 慢车到达乙地 ， 补充图象如图所示 . 17. 解 ： （ 1 ） S=-2x+12 （ 0<x<4 ） . （ 2 ） P 点坐标为 （ 1 ， 5 ） . （ 3 ） 能 . P 点坐标为 （ 2 ， 4 ） . 18. 解： （ 1 ） 当 x≤40 时， 设 y＝kx＋b ， 由 x＝10 时， y＝ 2 000 ， x＝30 时， y＝3 000 ， 得 k＝50 ， b＝1 500 ， ∴y＝50x＋1 500. 当 x≥40 时， 由已知得 x=40 时， y=3 500 ， 则 y= 3 500+100 （ x-40 ）， 即 y＝100x-500. （ 2 ） 由题意得 100x-500=4 000 ， 解得 x=45. ∴ 应从第 45 天开始进行人工喷灌 . 19. 解： （ 1 ） 由图象可知， 小王全家在旅游景点游玩了 4 h. （ 2 ） 设 s=kt+b ， 由 （ 14 ， 180 ） 及 （ 15 ， 120 ） 得 14k+b=180 ， 15k+b=120 ， 解得 k=-60 ， b=1 020 ， ∴s= -60t+1 020 ； 令 s=0 ， 得 t=17 ， 则返程途中 s 与时间 t 的函 数关系是 s=-60t+1 020 ， 小王全家当天 17:00 到家 . （ 3 ） 本题答案不唯一， 只要合理即可， 但需注意合理性主要 2 4 6 8 10 12 80 y/km x/h O A B 第 16 题答图 第 27 题答图 E A B C D 193