第1章 勾股定理自我检测-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

一、 选择题 （每题 3 分， 共 30 分） 1. 若一个直角三角形的一条直角边长是 7 cm ， 另一条直角边比斜边短 1 cm ， 则斜边 长为 （ ） A. 18 cm B. 20 cm C. 24 cm D. 25 cm 2. 一架 2.5 m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上， 这时梯脚距离墙脚 0.7 m ， 如果梯子的 顶端沿墙下滑 0.4 m ， 那么梯脚移动的距离是 （ ） A. 1.5 m B. 0.9 m C. 0.8 m D. 0.5 m 3. 若等腰三角形腰长为 10 cm ， 底边长为 16 cm ， 那么它的面积为 （ ） A. 48 cm 2 B. 36 cm 2 C. 24 cm 2 D. 12 cm 2 4. 观察下列几组数据： ①8 ， 15 ， 17 ； ②7 ， 12 ， 15 ； ③12 ， 15 ， 20 ； ④7 ， 24 ， 25. 其 中能作为直角三角形三边长的有 （ ） A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组 5. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， D 为 AC 上一点， 且 DA=DB=5 ， 如果 △DAB 的面 积为 10 ， 那么 DC 的长是 （ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 4.5 6. 如图， 一块直角三角形的纸片， 两直角边 AC=6 cm ， BC=8 cm. 现将直角边 AC 沿 直线 AD 折叠， 使它落在斜边 AB 上， 且与 AE 重合， 则 CD 等于 （ ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm 7. 如图， 西安路与南京路平行， 并且与八一街垂直， 曙光路与环城路垂直， 如果小明 站在南京路与八一街的交叉口， 准备去书店， 按图中的街道行走， 最近的路程约为 （ ） A. 600 m B. 500 m C. 400 m D. 300 m 8. 在 △ABC 中， AB=15 ， AC=13 ， 高 AD=12 ， 则三角形的周长是 （ ） A. 42 B. 32 C. 42 或 32 D. 37 或 33 9. 已知一直角三角形的木板， 三边的平方和为 1 800 cm 2 ， 则斜边长为 （ ） 第 7 题图第 6 题图第 5 题图 环城路 北 南京路 曙光路 西安路 八 一 街 300 m 400 m 400 m 书店 D C A B A C E B D 第一章自我检测 （时间： 60 分钟 总分： 100 分） 数学八年级上册 （北师大版） 第一章自我检测 141 八年级上册 （北师大版）数学 A. 30 cm B. 80 cm C. 90 cm D. 120 cm 10. 如图， 每个小正方形的边长为 1 ， A ， B ， C 是小正方形的顶点， 则 ∠ABC 的度数为 （ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 二、 填空题 （每题 3 分， 共 24 分） 11. 在锐角 △ABC 中， AD⊥BC ， AD=12 ， AC=13 ， BC=14 ， 则 AB= . 12. 若一个三角形的边长分别是 12 ， 16 和 20 ， 则这个三角形最长边上的高是 . 13. 小张和小李的跑步速度分别是 6 m/s 和 8 m/s ， 他们同时从同一地点分别向东、 南 练习跑步， 当两人相距 160 m 时， 他们出发的时间是 s. 14. 小王的身高为 1.70 m ， 现想摘取高 5.70 m 处的一个椰子， 为了安全需要， 使梯子 底端离椰树根部 3 m ， 那么梯子较合适的长度是 m. 15. 已知等腰三角形的腰长为 10 ， 一腰上的高为 6 ， 则以底边为边长的正方形的面积 为 . 16. 在四边形 ABCD 中， 已知 AD⊥DC ， AD=8 ， DC=6 ， CB=24 ， AB=26 ， 则四边形 ABCD 的面积为 . 17. 如图 1 ， 这是我国古代著名的 “赵爽弦图” 的示意图， 它是由四个全等的直角三 角形围成的 . 若 AC=6 ， BC=5 ， 将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍， 得到图 2 所示的 “数学风车”， 则这个风车的外围周长是 . 18. 在直线 l 上依次摆放着七个正方形 （如图所示） . 已知斜放置的三个正方形的面积分别 是 1 ， 2 ， 3 ， 正放置的四个正方形的面积依次是 S 1 ， S 2 ， S 3 ， S 4 ， 则 S 1 ＋S 2 ＋S 3 ＋S 4 ＝ . 三、 解答题 （每题 7 分， 共 28 分） 19. 如图， 在 △ABC 中， D 为边 BC 上的一点， AB=13 ， AD=12 ， AC=15 ， BD=5. 求 △ABC 的面积 . 第 18 题图第 17 题图 图 2 图 1 第 19 题图 A B C l S 1 1 S 2 2 S 3 3 S 4 A B C D 第 10 题图 A B C 142 20. 一张长方形纸片宽 AB=8 cm ， 长 BC=10 cm. 现将纸片折叠， 使顶点 D 落在 BC 边 上的点 F 处 （折痕为 AE ）， 求 EC 的长 . 21. 一块长 4 m 、 宽 2.1 m 的薄木板能否从一个宽 1 m 、 高 2 m 的门框内通过？ 试说明 理由 . 22. 如图是一个三级台阶， 它的每一级的长、 宽、 高分别为 20 dm ， 3 dm ， 2 dm ， A 和 B 是这个台阶两个相对的端点， A 点有一只昆虫想到 B 点去吃可口的食物， 则昆虫沿 着台阶爬到 B 点的最短路程是多少？ A B 20 2 3 第 20 题图 第 22 题图 A B C D E F 第一章自我检测 143 八年级上册 （北师大版）数学 四、 探究题 （每题 9 分， 共 18 分） 23. 如图， 一个高为 18 m 、 底面周长为 5 m 的圆柱形水塔， 现制造一个螺旋形登梯， 为了减小坡度， 要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端， 问登梯至少多长 . （提示： 拿一张白纸动手操作， 你一定会发现其中的奥妙） 24. （ 1 ） 图 1 是由四个相同的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形， 若大正 方形的面积为 13 ， 每个直角三角形的两条直角边的和是 5 ， 求中间小正方形的面积 . （ 2 ） 如图 2 ， 现有一张长为 6.5 cm 、 宽为 2 cm 的长方形纸片， 将它分割成 6 块后， 拼 成一个无缝隙无重叠的正方形 . （要求： 先在图 2 中画出分割线， 再画出拼成的正方形， 并标明相应数据） 第 24 题图 图 2 图 1 第 23 题图 144 八年级上册 （北师大版）数学 5 三角形内角和定理 （第 2 课时） 1. （ 1 ） 100° （ 2 ） 35° （ 3 ） 60° （ 4 ） 70° （ 5 ） 30° （ 6 ） 70° 2. A 3. A 4. B 5. 证明 ： 如图 ， 连接 BC ， 则 ∠A+∠ABC+∠ACB=180° . ∵∠ABC=∠ABF+∠CBF ， ∠ACB=∠ACF+∠BCF ， ∴∠A+∠ABF+∠CBF+∠ACF+∠BCF=180°. 又 ∵∠BFD 是 △BCF 和 △DEF 的外角， ∴∠CBF+∠BCF=∠D+∠E ， ∴∠A+∠ABF+∠ACF+∠D+∠E=180°. 6. ∠M= １ ２ ∠A. 证明： ∵CM 是 ∠ACB 的外角平分线， ∴∠MCN= １ ２ ∠ACN= １ ２ （ ∠A+∠ABC ） . ∵BM 平分 ∠ABC ， ∴∠MBC= １ ２ ∠ABC. 又 ∵∠MCN=∠M+∠MBC ， ∴∠M=∠MCN-∠MBC= １ ２ （ ∠A+ ∠ABC ） - １ ２ ∠ABC= １ ２ ∠A. 7. 解： （ 1 ） 180° 提示： 将 ∠A+∠C 、 ∠B+∠D 和 ∠E 转化 到同一个三角形中， 即可得到 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. （ 2 ） 180°. （ 3 ） 成立 . 提 示： 与 （ 1 ） 方法相同 . （ 4 ） 略 . 8. 减小 10 提示： 如图， 延长 EF ， 交 CD 于点 G ， ∵ ∠ACB＝180°-50°-60°＝70° ， ∴∠ECD＝∠ACB＝70°. ∵∠DGF＝∠DCE+∠E ， ∴∠DGF＝70°+30°＝ 100°. ∵∠EFD＝110° ， ∠EFD＝∠DGF+∠D ， ∴∠D＝10°. 9. B 10. C 第一章自我检测 1. D 2. C 3. A 4. B 5. B 6. B 7. B 8. C 9. A 10. C 11. 15 １２. 9.６ １３. １６ １４. ５ １５. ４0 或 360 １６. １４４ １7. 7６ 18. 4 提示： 由三角形全等及勾股定理可知 S 1 +S 2 =1 ， S 3 +S 4 =3 ， ∴S 1 +S 2 +S 3 +S 4 =4. 19. 解： ∵AD 2 +BD 2 =12 2 +5 2 =169=AB 2 ， ∴△ABD 为直角三角形， 且 ∠ADC=90°. 由勾股定理得 DC=9 ， ∴BC=14 ， ∴S △ABC =84. 20. 解： 易得 Rt△ADE≌Rt△AFE ， ∴AF=AD=10 cm ， EF=DE. 设 CE=x cm ， 则 DE=EF=CD-CE=8-x. 在 Rt△ABF 中 由勾股定理得 AB 2 +BF 2 =AF 2 ， 即 8 2 +BF 2 =10 2 ， ∴BF=6 cm ， ∴CF=BC-BF=10-6= 4 （ cm ） . 在 Rt△ECF 中由勾股定理可 得 EF 2 =EC 2 +CF 2 ，即（ 8-x ） 2 =x 2 +4 2 ， ∴64-16x+x 2 =x 2 +16 ， ∴x=3 ， 即 EC=3 cm. 21. 解： 能通过 . 理由如下： 长方形门框 对角线的平方 5 大于 2.1 2 =4.41 （薄木板宽的平方） . 22. 解： 由题意知， A 到 B 的最短路程相当于将三级台阶展 成一个长方形平面图的对角线长 ， 这个长方形的长为 3× （ 2+3 ） =15 （ dm ）、 宽为 20 dm ， 则对角 线的长为 25 dm. 23. 解： 水塔的平面展开图如图所示 . ∵ 绕一周半到达水塔顶， 则登塔的路径为 AB+CD ， AB 2 =12 2 +5 2 ， CD 2 =6 2 +2.5 2 ， ∴AB=13 ， CD=6.5 ， ∴ 登梯至少 19.5 m. 24. 解： （ 1 ） 1. 提示： a 2 +b 2 +2ab=25 ， a 2 +b 2 =c 2 =13 ， 2ab=12 ， 则 c 2 -2ab=1. （ 2 ） 将长方形分成两个宽为 2 、 长为 3 的长方 形和两个宽为 0.5 、 长为 1 的长方形 . 第二章自我检测 1. D 2. B 3. B 4. D 5. A 6. C 7. B 8. C 9. D 10. D 11. 3 姨 ， 2-π ， 1- 2 姨 12. 3 ±0.7 13. 5 - ３ ２ 14. ＜ 15. -2 16. 0 或 1 17. 21+9 3 姨 18. 6-2 2 姨 19. 5- 3 姨 20. （ 1 ） 1 （ 2 ） 1 （ 3 ） 1 （ 4 ） 1 （ 5 ） （ n+1 姨 + n 姨 ）（ n+1 姨 - n 姨 ） =1 21. 整数集合 {0 ， -8 3 姨 ， … } 分数集合 合 - ３ ４ ， -1.732 ， 0.512 512 ， - ６+ １ ４ 姨 ， ２２ 7 ， … … 正数集合 合 5 姨 ， 4 3 姨 ， π ３ ， 2 2 姨 ， 0.512 512 ， 22 7 ， 0.104 004 000 4 ， … （相邻两个 4 之间 0 的个数逐次加 1 ）， … … 负数集合 合 - 3 4 ， -1.732 ， -8 3 姨 ， - 6+ １ 4 姨 ， … … 有理数集合 合 - 3 4 ， 0 ， -1.732 ， -8 3 姨 ， 0.512 512 ， - 6+ １ 4 姨 ， 22 7 ， … … 无理数集合 合 5 姨 ， 4 3 姨 ， π 3 ， 2 2 姨 ， 0.104 004 000 4 … （相邻两个 4 之间 0 的个数逐次加 1 ）， … … 22. （ 1 ） 0.6 （ 2 ） -13 （ 3 ） 15 （ 4 ） -2+2 2 姨 （ 5 ） 5 （ 6 ） - 3 ２ 23. 解： -5 １ ２ ＜- -4 １ 3 ＜-3＜- 2 姨 ＜0＜0.6＜1.414＜ ３ 姨 ＜π＜4 24. （ 1 ） -5 （ 2 ） ２ ３ 姨 +２ （ 3 ） 10 姨 10 （ 4 ） 4 7 10 姨 （ 5 ） -8 ５ 姨 （ 6 ） 5 ６ 姨 （ 7 ） 1 （ 8 ） - 49 4 25. 解： a=-1 ， b=-2 ， ∴4a+5b 2 的算术平方根是 4. 26. 解： 设冰 箱的长、 宽、 高分别为 5x dm ， 4x dm ， 3x dm ， 由题意得 5x · 4x · 3x=1 620 ， 解得 x=3 ， ∴ 它的长、 宽、 高分别为 1.5 m ， 1.2 m ， 0.9 m. 27. 解： （ 1 ） 如图， 延长 AD ， BC 交于点 E ， 在 Rt△ABE 中， ∠E=90°-∠B=45° ， ∴∠E= 第 23 题答图 A B C D E A B C D F 50° 30° 20° 60° G 第 8 题答图 第 5 题答图 E F A B C D 192