6 二元一次方程与一次函数-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

二元一次方程组 第五章 自主导学 典例精析 例题 已知 y 1 =- b 4 x-5+a ， y 2 =2ax+4a+b. （ 1 ） 求 a ， b 为何值时， 两函数的图象重合 . （ 2 ） 如果两直线相交于点 （ -1 ， 4 ）， 求 a ， b 的值 . 【分析】 （ 1 ） 两函数图象重合即函数表达式相同 . （ 2 ） 两直线相交于点 （ -1 ， 4 ）， 即两 直线都经过点 （ -1 ， 4 ）， 则 x=-1 ， y=4 满足两直线表达式 . 【解答】 （ 1 ） 由题意得 - b 4 =2a ， -5+a=4a+b b # # # # " # # # # $ . 解得 a=1 ， b=-8 % . （ 2 ） 因为 y 1 =- b 4 x-5+a 和 y 2 =2ax+4a+b 过点 （ -1 ， 4 ）， 所以 b 4 -5+a=4 ， -2a+4a+b=4 b # # # # " # # # # $ . 解得 a=16 ， b=-28 % . 【点拨】 清楚图象重合时表达式相同， 相交点坐标满足每一个函数表达式是关键， 将对 应项系数相等， 将点坐标代入表达式中列出方程即可 . 基础巩固 达标闯关 1. 已知二元一次方程组 x-y=-5 ， x+2y=- % 2 的解为 x=-4 ， y=1 % ， 则在同一平面直角 坐标系中， 直线 l 1 ： y=x+5 与直线 l 2 ： y=- 1 2 x-1 的交点坐标为 ． 2. 如图， 直线 y=2x-4 和直线 y=-3x+1 交于一点， 则方程组 2x-y=4 ， 3x+y= % 1 的 解是 . 3. 如图， 以两条直线 l 1 ， l 2 的交点坐标为解的方程组是 （ ） A. x-y=1 ， 2x-y= % 1 B. x-y=-1 ， 2x-y=- % 1 C. x-y=-1 ， 2x-y= % 1 D. x-y=1 ， 2x-y=- % 1 4. 若二元一次方程组 mx-y=2 ， nx-y= % 5 无解， 则 m 与 n 的数量关系是 （ ） A. m=n B. m=－n C. mn=1 D. mn=－1 6 二元一次方程与一次函数 第 2 题图 第 3 题图 x y O -4 1 （ 1 ， -2 ） x y O 3 2 1 1 2 3 -1 -1 l 1 l 2 93 八年级上册 （北师大版）数学 5. 如图是两个一次函数的图象， 交点 A 的坐标可以看作哪两 个二元一次方程组成的方程组的解？ 能力提升 综合拓展 6. 直线 a 与直线 y=2x+1 的交点的横坐标为 2 ， 与直线 y=－x+2 的交点的纵坐标为 1 ， 求 直线 a 对应的函数表达式 . （直线 a 是一次函数的图象） 中考链接 真题演练 7. （ 2022 ·杭州） 已知一次函数 y=3x-1 与 y=kx （ k 是常数， k≠0 ） 的图象的交点坐标是 （ 1 ， 2 ）， 则方程组 3x-y=1 ， kx-y= = 0 的解是 . 8. （ 2022 ·梧州） 如图， 在平面直角坐标系中， 直线 y=2x+b 与直线 y=-3x+6 相交于点 A ， 则关于 x ， y 的二元一次方程组 y=2x+b ， y=-3x+ = 6 的解是 （ ） A. x=2 ， y= = 0 B. x=1 ， y= = 3 C. x=-1 ， y= = 9 D. x=3 ， y= = 1 9. （ 2023 ·宁夏） 在同一平面直角坐标系中， 一次函数 y 1 ＝ax+ b （ a≠0 ） 与 y 2 ＝mx+n （ m≠0 ） 的图象如图所示， 则下列结论错误的 是 （ ） A. y 1 随 x 的增大而增大 B. b＜n C. 当 x＜2 时， y 1 ＞y 2 D. 关于 x ， y 的方程组 ax-y=-b ， mx-y=- = n 的解为 x=2 ， y= = 3 第 5 题图 x y O 4 3 2 1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -1 A -2-3-4 x y O 1 3 A 第 8 题图 3 2 O x y y 1 =ax+b y 2 =mx+n 第 9 题图 94 参考答案与提示 意， 得 x-y=19 ， 1.5y=0.5x+8.5 ! . 化简得 x-y=19 ， 3y-x=17 ! . 解这个方程组， 得 x=37 ， y=18 ! . 答： 小王的实际乘车时间为 37 min ， 小张的实 际乘车时间为 18 min. 7. 解： （ 1 ） 设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 x mg ， 一片国槐树叶一年的平均滞尘量 为 y mg ， 由题意， 得 x+y=62 ， x=2y-4 ! . 解得 x=40 ， y=22 ! . 答： 一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 40 mg ， 一片国槐树叶一年的 平均滞尘量为 22 mg. （ 2 ） 50 000×40=2 000 000 （ mg ） =2 kg. 答： 这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约 2 kg． 8. 解： （ 1 ） 由题意， 得 1 2 × （ 415-400 ） ＝7.5 （ m ） . 87×2+2π （ 36+1.2×7 ） ≈453 （ m ） . 答： 第三圈半圆形弯道长比第一 圈半圆形弯道长多 7.5 m ， 小王同学计算的第八圈长约 453 m. （ 2 ） 设小王同学的平均速度为 x m/s ， 邓教练的平 均速度为 y m/s ， 由题意， 得 y=2x ， 20 （ x+y ） =400+7.5 ! . 解得 x= 163 24 ， y= 163 12 2 % % % % $ % % % % & . 答： 小王同学的平均速度为 163 24 m/s ， 邓教练的平 均速度为 163 12 m/s. 6 二元一次方程与一次函数 1. （ -4 ， 1 ） 2. x=1 ， y=- ! 2 3. C 4. A 5. y=x-4 ， 3y+5x=12 ! . 6. 解 ： 由已知得直线 a 与直线 y=2x+1 的交点为 （ 2 ， 5 ）， 直线 a 与直线 y=-x+2 的交点为 （ 1 ， 1 ）， ∴ 直线 a 过 （ 2 ， 5 ）， （ 1 ， 1 ）， 可求得直线 a 的函数表达式为 y=4x-3. 7. x=1 ， y= ! 2 8. B 9. C ７ 用二元一次方程组确定一次函数表达式 1. D 2. 解： （ 1 ） 在 y=x+3 中， 令 y=0 ， 得 x=-3. ∴B （ -3 ， 0 ） . 把 x=1 代入 y=x+3 得 y=4 ， 即 m=4. ∴C （ 1 ， 4 ） . 设 直线 l 2 对应的函数表达式为 y=kx+b ， ∴ k+b=4 ， 3k+b=0 ! . 解得 k=-2 ， b=6 ! . ∴ 直线 l 2 对应的函数表达式为 y=-2x+6. （ 2 ） ∵A （ 3 ， 0 ）， B （ -3 ， 0 ）， ∴AB=3- （ -3 ） =6. 设 M （ a ， a+3 ）， 由 MN∥y 轴， 得 N （ a ， -2a+6 ）， 则 MN=|a+3- （ -2a+6 ） |= AB=6. 解得 a=3 或 a=-1. ∴ 点 M 的坐标为 （ 3 ， 6 ） 或 （ -1 ， 2 ） . 3. 解： （ 1 ） v 快 = 180 ２ =90 （ km/h ）， v 慢 = １80 3 = 60 （ km/h ） . ∴ 快车的速度为 90 km/h ， 慢车的速度为 60 km/h. （ 2 ） 由题意， 得点 E 的横坐标为 2+1.5=3.5 ， 则 点 E 的坐标为 （ 3.5 ， 180 ） . 快车从点 E 到点 C 用的时间为 360-180 90 =2 （ h ）， 则点 C 的坐标为 （ 5.5 ， 360 ） . 设 线段 EC 所表示的 y 1 与 x 之间的函数关系式为 y 1 =kx+b ， 根据题意， 得 3.5k+b=180 ， 5.5k+b=360 ! . 解得 k=90 ， b=-135 ! . 即线段 EC 所表 示的 y 1 与 x 之间的函数关系式是 y 1 =90x－135 （ 3.5≤x≤5.5 ） . （ 3 ） 由题意知， OD 所表示的函数关系式为 y=60x. 由图象知， 线段 OD 与线段 EC 交于点 F. 设点 F 的坐标为 （ a ， b ）， 则 b=60a ， b=90a-135 ! . 解得 a=4.5 ， b=270 ! . ∴ 点 F 的坐标为 （ 4.5 ， 270 ）， 点 F 代表的实际意义是在 4.5 h 时， 快车与慢车行驶的路程相等 . 4. 解： （ 1 ） 设 y 与 x 的函数关系 式为 y＝kx+b ， 由题意， 得 2k+b=148 ， 8k+b=136 ! . 解得 k=-2 ， b=152 ! . ∴y＝-2x+152. 将表中 x ， y 的对应值代入均满足， ∴y 与 x 的函 数关系式为 y＝-2x+152. （ 2 ） 根据题意， 得 x+y=130 ， y=-2x+152 ! . 解得 x=22 ， y=108 ! . ∴ 双层部分的长度为 22 cm. （ 3 ） 由题知， 当 x＝0 时， y＝152 ， 当 y＝0 时， x＝76. ∴76≤L≤152. 5. 解： （ 1 ） 把点 A （ 2 ， m ） 的坐标代入 y＝2x- 5 2 中， 得 m＝ 3 2 . 设直线 AB 的函数表达式为 y＝kx+b ， 把 A 2 ， 3 2 * ， B （ 0 ， 3 ） 的坐标代入， 得 2k+b= 3 2 ， b=3 2 % % % $ % % % & . 解得 k=- 3 4 ， b=3 2 % % % $ % % % & . ∴ 直 线 AB 的函数表达式为 y＝- 3 4 x+3． （ 2 ） ∵ 点 P （ t ， y 1 ） 在线段 AB 上， ∴y 1 ＝- 3 4 t+3 （ 0≤t≤2 ） . ∵ 点 Q （ t-1 ， y 2 ） 187