4 估算-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

八年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 估算 5 姨 的大小 . （结果精确到 0.01 ） 【分析】 运用算术平方根的概念， 可找到与 5 接近的两个完全平方数， 即 4＜5＜9 ， 由此即 可估算出 5 姨 的整数部分是 2． 又因为 5 和 4 比较接近， 所以 5 姨 的小数部分小于 0.5 ， 再分 别计算 2.3 2 ， 2.2 2 ， 判断与 5 姨 之间的大小关系， 再取小数点后两位数， 即可估算出 5 姨 的值 . 【解答】 因为 4＜5＜9 ， 所以 2＜ 5 姨 ＜3． 又因为 5<6.25=2.5 2 ， 所以 5 姨 小于 2.5. 因为 2.3 2 =5.29 ， 2.2 2 =4.84 ， 所以 2.2＜ 5 姨 ＜2.3. 因为 2.23 2 =4.972 9 ， 2.24 2 =5.017 6 ， 所以 2.23＜ 5 姨 ＜2.24. 因为 5.017 6 更接近于 5 ， 所以 5 姨 约为 2.24. 【点拨】 此题主要考查估算无理数大致范围的能力 . 此题的解法实质上给出了估算一个正 无理数的一般方法， 即用两个有理数逼近的方法 . 特别说明有两点： 第一， 逼近的次数是由 估算要求的精确度决定的， 本例要求精度是 0.01 ， 所以作了三次有理数逼近， 即整数部分、 十分位和百分位； 第二， 两个逼近的有理数的平方数中， 哪个与估算的无理数平方数的误差 小， 那么这个有理数就是无理数估算值 . 基础巩固 达标闯关 1. 请估算下列各无理数的大小 . （ 1 ） 56 姨 （结果精确到 0.1 ） ＝ ； （ 2 ） 21.２ 姨 （结果精确到 0.1 ） ＝ ； （ 3 ） ２00 3 姨 （结果精确到 1 ） ＝ . 2. 比较大小： 7 姨 -1 3 1 3 ； 3 姨 -2 5 1 5 . 3. -π ， - 3 姨 ， - 2 姨 三数从小到大排列的顺序为 . 4. 若正方形 ABCD 的面积为 57 ， 则边 AB 的长介于连续整数 和 之间 ． 5. 下列各组数不可以作为一个三角形的三边长的是 （ ） A. 1 ， 3 姨 ， 2 B. 3 姨 ， 4 姨 ， 5 姨 C. 3 ， 4 ， 5 D. 3 2 ， 4 2 ， 5 2 6. 估计 12 的负的平方根介于 （ ） A. -5 和 -4 之间 B. -4 与 -3 之间 C. -3 与 -2 之间 D. -2 与 -1 之间 7. 写出符合下列条件的数 . （ 1 ） 绝对值小于 5 姨 的整数； （ 2 ） 大于 - 7 姨 且小于 13 姨 的正整数 . 4 估 算 20 实 数 第二章 能力提升 综合拓展 8. 小张同学家的客厅是面积为 28 m 2 的正方形， 那么请你判断一下这个正方形客厅的边 长 x 是有理数还是无理数 . 如果结果精确到 0.1 m ， 那么边长 x 的取值是多少？ * 9. 某开发区占地是一个面积为 12×10 7 m 2 的长方形， 且这个长方形的长是宽的 3 倍 . 请你 用估算的方法解决下列问题 . （ 1 ） 如果结果精确到 100 m ， 它的宽大约是多少米？ （ 2 ） 在开发区内， 想建设一个面积为 8 700 m 2 的占地为正方形的体育馆， 如果要求结果 精确到米， 请你估算一下它的边长是多少 . 中考链接 真题演练 10. （ 2023 ·内蒙古） 若 a ， b 为两个连续整数， 且 a＜ 3 姨 ＜b ， 则 a+b= ． 11. （ 2023 ·青海） 写出一个比 - 2 姨 大且比 2 姨 小的整数： ． 12. （ 2023 ·南京） 整数 a 满足 19 姨 <a< 29 姨 ， 则 a 的值为 （ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 13. （ 2023 ·扬州） 已知 a＝ 5 姨 ， b＝2 ， c＝ 3 姨 ， 则 a ， b ， c 的大小关系是 （ ） A． b＞a＞c B． a＞c＞b C． a＞b＞c D． b＞c＞a 14. （ 2022 ·临沂） 满足 m>｜ 10 姨 -1｜ 的整数 m 的值可能是 （ ） A． 3 B． 2 C． 1 D． 0 15. （ 2023 ·宁夏） 估计 23 姨 的值应在 （ ） A． 3.5 和 4 之间 B． 4 和 4.5 之间 C． 4.5 和 5 之间 D． 5 和 5.5 之间 16. （ 2022 ·绵阳） 正整数 a ， b 分别满足 53 3 姨 ＜a＜ 98 3 姨 ， 2 姨 ＜b＜ 7 姨 ， 则 b a = （ ） A． 4 B． 8 C． 9 D． 16 17. （ 2023 ·徐州） 2 023 姨 的值介于 （ ） A． 25 与 30 之间 B． 30 与 35 之间 C． 35 与 40 之间 D． 40 与 45 之间 21 八年级上册 （北师大版）数学 3 勾股定理的应用 1. 17 2. 100 提示： 将长方体半个侧面即面 C′D′DC 和面 A′D′DA 展成长为 80 cm 、 宽为 60 cm 的长方形， 使 A ， C′ 为长方形的不相邻的两顶点 . 3. C 4. 解： 过点 B 向下作垂线， 得到直角三角形， 则垂直于水平线的直 角边为 8 km ， 水平直角边为 8-3+1=6 （ km ）， 则 AB=10 km. 5. 解： ∵80<100 ， ∴ 受到噪声影响 . 如图， 假设当拖 拉机行驶到 C 点开始影响学校， 行驶到 D 点结束对学校的影响， 则 AC=AD=100 m. ∵BC 2 =BD 2 =100 2 -80 2 =3 600= 60 2 ， ∴BC=BD=60 m. 故 CD=120 m. 又 ∵18 km/h=5 m/s ， ∴ 拖拉机影响学校的时间为 120÷5=24 （ s ） . * 6. 解： 当蚂蚁在侧面 A 1 ABB 1 和侧面 B 1 BCC 1 或在侧面 A 1 ADD 1 和侧面 D 1 DCC 1 上爬行时， 爬行最短路线的长的平方 d 2 1 = （ 2+ 1 ） 2 +3 2 =18. 当蚂蚁在侧面 A 1 ABB 1 和侧面 A 1 B 1 C 1 D 1 或在侧面 ABCD 和侧面 DCC 1 D 1 上爬行时， 爬行最短路线的长的 平方 d 2 2 =2 2 + （ 3+1 ） 2 =20. 当蚂蚁在侧面 ABCD 和侧面 BCC 1 B 1 或在侧面 A 1 ADD 1 和侧面 A 1 B 1 C 1 D 1 上爬行时， 爬行最短 路线的长的平方 d 2 3 =1 2 + （ 3+2 ） 2 =26. 综上所述： d 2 1 <d 2 2 <d 2 3 . ∵d 1 >0 ， d 2 >0 ， d 3 >0 ， ∴d 1 最短 . 如图所示， 当蚂蚁沿 A→ M→C 1 或沿 A→N→C 1 爬行时， 爬行路线最短， 且最短路线 d 的平方等于 18. 7. 50 8. 10 第二章 实 数 1 认识无理数 （第 1 课时） 1. 不是 不是 不是 2. D 3. D 4. 解： ∵AB 2 =3 2 +4 2 =25 ， ∴AB=5 ； BC 2 =3 2 +3 2 =18 ， DC 2 =2 2 +3 2 =13 ， AD 2 =2 2 + 4 2 =20 ； AC=7 ， BD=5. ∴AB ， AC ， BD 的长度是有理数， BC ， CD ， AD 的长度不是有理数 . 1 认识无理数 （第 2 课时） 1. 2.323 232 …， - 2 7 ， 3.14 ， １22 123 -π ， 0.101 001 000 1 … （两个 1 之间依次加一个 0 ） 2. A 3. C 4. （ 1 ） 105. （ 2 ） b 2 =105 ， 不是 . （ 3 ） 10.2 ， 验证略 . 5. 图略 . 2 平方根 （第 1 课时） 1. D 2. D 3. C 4. D 5. （ 1 ） 0 （ 2 ） 4 （ 3 ） 2 （ 4 ） 3 6. （ 1 ） 0.2 （ 2 ） 0.2 （ 3 ） 4 （ 4 ） 5 7. （ 1 ） 3 4 （ 2 ） 50 （ 3 ） 0 （ 4 ） 0.5 （ 5 ） １1 13 （ 6 ） １ 6 8. 解： ∵①②③④⑤ 的斜边依次为 2 姨 ， 2 2 姨 ， 2 3 姨 ， 2 4 姨 ， 2 5 姨 ， ∴ 第 n 个等腰直角三角形的斜边长为 2 n 姨 . 9. 2 023 2 023 2 024 １0. 3 １1. 5 １2. 2 （答案不唯 一） １3. 2 １4. C 2 平方根 （第 2 课时） 1. 0 0 或 1 2. 1 3. D 4. C 5. （ 1 ） ± １ ２ （ 2 ） 7 5 或 3 5 6. m=7 ， n=3 ， m+2n=13. 7. 解： ∵-1<a< -0.5 ， 0.5<b<1 ， ∴ 原式 =-a-b- （ b-a ） =-a-b-b+a=-2b. 8. ±5 9. ±2 １0. 5 姨 １1. D 3 立 方 根 1. 0 或 ±1 2. A 3. A 4. C 5. （ 1 ） 0.6 （ 2 ） -0.2 （ 3 ） 0.5 （ 4 ） 9 ２ 6. （ 1 ） 10 （ 2 ） -2 （ 3 ） - 3 5 （ 4 ） 8 7. （ 1 ） x=3 （ 2 ） x=-1 （ 3 ） x= 2 5 8. - １1 4 ， - 35 18 . 9. ±8. 10. 2. １1. 3 １2. 2 13. A 14. B ４ 估 算 1. （ 1 ） 7.5 （ 2 ） 4.6 （ 3 ） 6 2. > < 3. -π<- 3 姨 <- 2 姨 4. 7 8 5. D 6. B 7. （ 1 ） -2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2 （ 2 ） 1 ， 2 ， 3 8. 是无理数， 约为 5.3 m. * 9. 解： （ 1 ） 设开发区占地的宽为 x m ， 则长为 3x m ， 3x 2 =12×10 7 ， 第 6 题答图 M A 1 B 1 C 1 A B C D D 1 N 1 cm 2 cm 3 cm 第 5 题答图 P Q A C M N B D 178 参考答案与提示 x 2 =4×10 7 . 解得 x=1 000 40 姨 . 又 ∵6＜ 40 姨 ＜7 ， ∴ 40 姨 的整数部分为 6. 又 ∵6.3 2 =39.69<40 ， 要求结果精确到 100 m ， ∴x≈6 300 m. （ 2 ） 设正方形的边长为 y m ， 则 y 2 =8 700. 解得 y= 8 700 姨 =10 87 姨 . 又 ∵9＜ 87 姨 ＜10 ， 9.3 2 =86.49<87 ， 8 700 姨 ≈93. ∴ 要建设的体育馆的边长约为 93 m. １0. 3 １1. -1 （或 0 或 1 ） １2. C １3. C １4. A １5. C １6. D 17. D ５ 用计算器开方 1. 2.492 2. 2.32 3. ＞ ＜ 4. B 5. 不能 6. 11.31 44.79 0.32 -4.52 7. 11.6 cm. 8. 0.445 4.45 44.5 445 规律： 被开方数的小数点每向左 （右） 移动两位， 算术平方根就相应地向左 （右） 移动一位. 6 实 数 1. 整数集合 {0 ， -27 3 姨 ， （ -2 ） 2 023 ， 5 2 ， … } 负实数集合 {- 3.6 姨 ， 2 姨 - 3 姨 ， -27 3 姨 ， （ -2 ） 2 023 ， … } 分 数集合 合 １0 3 ， 3.14 ， 0.243 ， … … 无理数集合 合 - 3.6 姨 ， 仔 ２ ， 1 000 姨 ， 2 姨 - 3 姨 ， 6 姨 3 ， … … 2. 2 姨 1 7 5 姨 - 3 姨 3. -1 ， 0 ， 1 ， 2 4. 3 15 姨 -3 5. 2 姨 ， 3 姨 （答案不唯一） 6. - 10 3 7. 0 3 8. C 9. D 10. C 11. B 12. C 13. 作图略 . １４. 3 １５. 6 １6. 2 2 姨 -1 １7. B １8. C 7 二次根式 （第 1 课时） 1. 3 7 姨 5 2 姨 6 姨 3 5 姨 5 2. 2 6 姨 2 3 姨 3. 12 1 6 4. 40 3 姨 5. 3 11 姨 10 8 3 6. C 7. D 8. C 9. 解： （ 1 ） ∵-8<0 ， ∴ -8 姨 不是二次根式 . （ 2 ） ∵ - １ 3 3 ( 2 >0 ， ∴ - １ 3 3 3 2 姨 是二次根式 . （ 3 ） ∵ 3 3 姨 的根指数 是 3 ， ∴ 3 3 姨 是立方根， 不是二次根式 . （ 4 ） ∵ 当 x 为任意实数时 x 2 +9>0 ， ∴ x 2 +9 姨 是二次根式 . 10. （ 1 ） 22 2 姨 （ 2 ） 12 2 × （ 3 2 +4 2 ） 姨 =60 （ 3 ） 60 （ 4 ） 2 3 3 姨 11. AC=24 cm. 12. 解： ∵DE 是 AB 边上的高， ∴∠AED= ∠BED=90°. 在 Rt△ADE 中， 由勾股定理， 得 AE= AD 2 -DE 2 姨 = （ 2 5 姨 ） 2 -4 2 姨 =2． 同理， 在 Rt△BDE 中， 由勾股定 理 , 得 BE= BD 2 -DE 2 姨 = （ 4 5 姨 ） 2 -4 2 姨 =8. ∴AB=AE+BE=2+8=10. 在 △ABC 中 ， ∵AB=10 ， AC=6 ， BC=8 ， ∴AB 2 = AC 2 +BC 2 . ∴△ABC 是直角三角形 . 设 △ABC 的 AB 边上的高为 h ， 则 1 2 AB×h= 1 2 AC×BC ， 即 10h=6×8. ∴h=4.8. ∴ △ABC 的边 AB 上的高为 4.8. 13. 解： （ 1 ） 根据题意， 得 BP=2t ， PC=16-2t. 当 t=3 时， 16-2×3=10. 在 Rt△APC 中， ∵AC=8 ， PC=10, ∴ 由勾股定理， 得 AP= AC 2 +PC 2 姨 = 164 姨 =2 41 姨 ． ∴AP 的长为 2 41 姨 . （ 2 ） 在 Rt△ABC 中， AC=8 ， BC=16 ， 由勾股定理， 得 AB= 64+256 姨 = 320 姨 =8 5 姨 . 若 BA=BP ， 则 2t=8 5 姨 ， 解得 t=4 5 姨 ； 若 AB=AP ， 则 BP=32. ∴2t=32 ， 解得 t=16 ； 若 PA=PB ， 则 （ 2t ） 2 = （ 16-2t ） 2 +8 2 . 解得 t=5． 答： 当 △ABP 为等腰三角形 时， t 的值为 4 5 姨 或 16 或 5. 14. x≥-1 15. 2-m 16. A 17. C 18. D 19. D 7 二次根式 （第 2 课时） 1. 2 5 2. 3 3. 15 6 姨 ab 4. 2 30 姨 5. 3 2 姨 2 2 姨 6. 6 3 姨 3- 2 姨 7. C 8. C 9. B 10. D 11. （ 1 ） 5 （ 2 ） 3 （ 3 ） 6 12. （ 1 ） 14 2 姨 （ 2 ） 30 （ 3 ） -1- 3 姨 （ 4 ） 19+6 2 姨 （ 5 ） 2+ 2 姨 （ 6 ） 14 5 5 姨 13. 解： A 2 +B 2 +7= （ 5 姨 +2 ） 2 + （ 5 姨 -2 ） 2 +7=25. ∴ 原式 =5. １４. 6 １５. 3 2 姨 １６. 2 １7. D １8. C 19. C 20. B 21. B 7 二次根式 （第 3 课时） 1. - 3 姨 49 5 15 姨 2. 3 3 姨 -14 2 姨 3. 13-2 42 姨 = （ 7 姨 - 6 姨 ） 2 4. D 5. A 6. B 7. （ 1 ） 10 2 姨 - 2 10 姨 （ 2 ） 3 （ 3 ） 5 2 姨 （ 4 ） 15-2 3 姨 （ 5 ） 7 姨 - 6 姨 （ 6 ） 3-2 5 姨 8. 解： 三角形的面积 = 1 2 （ 3 姨 +1 ）（ 3 姨 -1 ） = 1 2 ［（ 3 姨 ） 2 -1 ］ =1 （ cm 2 ）； 直角三角形的斜边长 = （ 3 姨 +1 ） 2 + （ 3 姨 -1 ） 2 姨 =2 2 姨 （ cm ）， 三角形的周长 = （ 3 姨 +1 ） + （ 3 姨 -1 ） +2 2 姨 =2 3 姨 +2 2 姨 =2 （ 3 姨 + 2 姨 ） （ cm ） . 答： 直角三角形的面积是 1 cm 2 ， 周长是 2 （ 3 姨 + 2 姨 ） cm. 9. 解： 都成立 . 规律： 当带分数的整数部分与分数部分的分子相等， 且分母为 179