11.2 与三角形有关的角（7大题型）-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

11.2 与三角形有关的角 【考点归纳】 · 考点一：三角形内角和定理的应用 · 考点二：与平行线有关的三角形内角和问题 · 考点三：与角平分线有关的三角形内角和问题 · 考点四：三角形折叠中的角度问题 · 考点五：直角三角形的两个锐角互余问题 · 考点六：三角形的外角问题 · 考点七：与三角形有关的角综合问题 【知识归纳】 知识点一、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角8、三角形的外角 知识点二、三角形的外角 （1）三角形的一个外角与相邻的内角互补。 （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。＞或＞ 【题型归纳】 题型一：三角形内角和定理的应用 1．（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东惠州·二模）如图，在中，，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东聊城·二模）将一副三角板按如图放置，其中，，，如果，则（    ）    A． B． C． D． 题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 4．（23-24八年级上·四川绵阳）如图，在中，平分交于点，过点作交于点，若，，则的大小为（　　）    A． B． C． D． 5．（2019·湖北黄石·一模）如图，在中，点D、E分别在、边上，，点F在的延长线上，若，，则的大小为（　　）    A． B． C． D． 6．（2022·湖北十堰·一模）如图，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，则∠B的度数为（） A．120° B．128° C．110° D．100° 题型三：与角平分线有关的三角形内角和问题 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点是、角平分线的交点，点是、角平分线的交点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，是角平分线，，垂足为D，点D在点E的左侧，，，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 题型四：三角形折叠中的角度问题 10．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，则与之间的关系是（     ）      A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点D在上，将沿折叠，使A点落在边上的E点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型五：直角三角形的两个锐角互余问题 13．（23-24八年级下·湖南永州·期末）在中，，则两个锐角的度数为（    ） A．和 B．和 C．和或和 D．以上说法都不对 14．（2024·广东河源·一模）如图，，于点C，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·山东青岛·二模）两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型六：三角形的外角问题 16．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的外角，平分，平分，且相交于点D．若，则等于（    ） A． B． C． D． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型七：与三角形有关的角综合问题 19．（24-25八年级上·甘肃） 如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E，点F为延长线上的一点，连接． (1)若，，求证：； (2)若，探究、有怎样的数量关系，并说明理由． 20．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 21．（24-25八年级上·河南开封）如图，锐角，点B，C分别在，上． (1)如图1，若，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则______． (2)若点Q在 内部（点Q不在线段上），连接，，，，，分别平分和，且与交于点，求的度数； (3)如图2，点G是线段延长线上一点，过点G作于点H，与 的平分线交于点O，请直接写出 与的数量关系． 【高分演练】 一、单选题 22．（2024八年级上·全国）某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的，则比大（　　）． A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将沿折叠，使点落在处，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 24．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 25．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，点，分别在射线，上运动，平分，的反向延长线与的平分线交于点．若已知，则（    ） A． B． C． D． 26．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 28．（2024·湖北宜昌·模拟预测）将三角尺和（其中）按如图方式放置，其中斜边 ， 顶点 C，D 分别在 上，与 相交于点 P，则的度数是（   ） A． B． C． D． 29．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 30．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 31．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的平分线，过点C的射线与平行，若，则 ． 32．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的外角，平分平分，且交于点D．若，则的度数为 ． 33．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ． 34．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，将直角三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与点重合，点B与延长线上的点F重合，连接．若满足则的度数为 ． 三、解答题 35．（24-25八年级上·重庆铜梁·开学考试）如图，点，分别在直线，上，连接，，，分别与，相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：． (3)若，求的度数． 36．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，分别是的中线，角平分线，高，且，求的度数． 37．（2024八年级上·全国）如图所示，均为直角三角形，且，过点C作平分交于点F．    (1)求证：； (2)求的度数． 38．（2024八年级上·全国）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 39．（2024八年级上·全国）如图，在中，，，平分，交于， (1)若，求的度数； (2)若于点，求的度数． 40．（2024八年级上·全国）如图，在中，与的平分线相交于点．    (1)若，则的度数是　 　； (2)如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； (3)如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2 与三角形有关的角 【考点归纳】 考点一：三角形内角和定理的应用 考点二：与平行线有关的三角形内角和问题 考点三：与角平分线有关的三角形内角和问题 考点四：三角形折叠中的角度问题 考点五：直角三角形的两个锐角互余问题 考点六：三角形的外角问题 考点七：与三角形有关的角综合问题 【知识归纳】 知识点一、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角8、三角形的外角 知识点二、三角形的外角 （1）三角形的一个外角与相邻的内角互补。 （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。＞或＞ 【题型归纳】 题型一：三角形内角和定理的应用 1．（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 2．（2024·广东惠州·二模）如图，在中，，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．先求出，再根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2024·山东聊城·二模）将一副三角板按如图放置，其中，，，如果，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和的应用，先计算，根据对顶角相等得，根据三角形内角和得，即可得解．解题的关键是掌握：三角形的内角和是． 【详解】解：如图，根据题意，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A．    题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 4．（23-24八年级上·四川绵阳）如图，在中，平分交于点，过点作交于点，若，，则的大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和得出，利用角平分线得出，再利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：，， ， 平分交于点， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答． 5．（2019·湖北黄石·一模）如图，在中，点D、E分别在、边上，，点F在的延长线上，若，，则的大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查三角形内角和．根据平行线的性质得出，进而利用三角形内角和解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．（2022·湖北十堰·一模）如图，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，则∠B的度数为（） A．120° B．128° C．110° D．100° 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理即可求出，再根据平行线的性质即得出． 【详解】∵在中，， ∴． ∵AB∥CD， ∴．　 故选D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和平行线的性质．掌握三角形的三个内角的和为，两直线平行同位角相等是解题关键． 题型三：与角平分线有关的三角形内角和问题 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点是、角平分线的交点，点是、角平分线的交点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识；设，，由，推出，推出，推出，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：设，， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 故选：C． 8．（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及直角三角形的性质．在中，由三角形的内角和定理得到的度数，又根据平分，得到的度数，再根据余角的定义即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴． 故选：C． 9．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，是角平分线，，垂足为D，点D在点E的左侧，，，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．利用三角形内角和定理可得，结合是角平分线，可得，再利用直角三角形的两锐角互余，可求得，由此可求的度数． 【详解】解： ，， ， 是角平分线， ， 又 ， ， ． 故选：A． 题型四：三角形折叠中的角度问题 10．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠，三角形的内角和定理，根据折叠的性质，结合角的和差关系求出，，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵，且∠1=100°， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，则与之间的关系是（     ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换与三角形内角和定理，解题的关键是熟练的掌握翻折变换与三角形内角和定理． 根据三角形的内角和定理表示出，再根据折叠前后的两个图形能够完全重合，然后利用平角等于180度列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图，， ∵三角形的顶点落在折叠后的四边形内部， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：B． 12．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点D在上，将沿折叠，使A点落在边上的E点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角问题，先求出的度数，根据折叠的性质，结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 故选B． 题型五：直角三角形的两个锐角互余问题 13．（23-24八年级下·湖南永州·期末）在中，，则两个锐角的度数为（    ） A．和 B．和 C．和或和 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及直角三角形中两锐角互余等知识，分类计算，当时，，则，当时，，结合已知条件可得出和． 【详解】解：当时，， 则， 当时，， 则，， 故选：C． 14．（2024·广东河源·一模）如图，，于点C，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得，再根据直角三角形两锐角互余即可得解．掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 15．（2024·山东青岛·二模）两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形中两锐角互余的性质，熟练掌握其内容是解题的关键．由，可得，根据，可得，而，由此可求出． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 题型六：三角形的外角问题 16．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的外角，平分，平分，且相交于点D．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据角平分线的定义可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义以及三角形外角的性质是解决本题的关键． 根据角平分线的定义，由平分，平分，得，．根据三角形外角的性质，得，从而得到． 【详解】解：平分，平分， ，． ∵， ∴， ∴， ， ． 故选：B． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．设，根据角平分线的定义得，由三角形的外角定理得，则，同时，由此得，则，进而得，，然后再根据可得的度数． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点D， ∴． 故选：D． 题型七：与三角形有关的角综合问题 19．（24-25八年级上·甘肃） 如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E，点F为延长线上的一点，连接． (1)若，，求证：； (2)若，探究、有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求出，再根据邻补角得出，最后根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质可得出，再由同位角相等，两直线平行可证明结论； （2）由得，再结合外角的性质得，再证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴， ∴ ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 整理得，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键． 20．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义： （1）先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，由垂线的定义得到，则，根据即可解题； （2）仿照（1）的步骤求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．（24-25八年级上·河南开封·开学考试）如图，锐角，点B，C分别在，上． (1)如图1，若，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则______． (2)若点Q在 内部（点Q不在线段上），连接，，，，，分别平分和，且与交于点，求的度数； (3)如图2，点G是线段延长线上一点，过点G作于点H，与 的平分线交于点O，请直接写出 与的数量关系． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定义即可求的度数； （2）分两种情况，两种情况均根据角平分线性质以及邻补角定义求的度数，根据三角形内角和定义即可求解． （3）由三角形外角性质可知，再由角平分线性质可得，由三角形内角和定义以及对顶角相等可得，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：点在上方时，如图， ， ， ，分别平分，， ， ，， ； 点在下方时，如图， ， ∴ ∴ 即， ∴， ，分别平分和， ∴ 综上所述，的度数为或． （3）解：，理由如下： ，分别是和的平分线， ，， ， ， 即， ， ，， ， ． 【高分演练】 一、单选题 22．（2024八年级上·全国）某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的，则比大（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两内角之和成为解题的关键． 由平角的定义可得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ， ∵是的外角， ∴， ∴． 故选：C． 23．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将沿折叠，使点落在处，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形翻折与三角形内角和，熟练掌握三角形内角和为及翻折中的角度不变是解题的关键．利用翻折得，，可分别求出和，再利用三角形内角和可求． 【详解】由翻折知，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 24．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 25．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，点，分别在射线，上运动，平分，的反向延长线与的平分线交于点．若已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键是能把三角形的外角和角的平分线相结合．先运用三角形外角的性质求出的度数，再运用角平分线求出的度数，再运用角平分线求出，用三角形外角性质即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， 又平分的平分线， ， ． 故选：A． 26．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．由平分，平分，利用角平分线的定义，可求出，的度数，由是的外角，是的外角，利用三角形的外角性质，可求出，的度数，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：平分，平分， ，． 是的外角，是的外角， ，， ． 故选：B 27．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的相关计算，由角平分线的定义得到，，结合题意可求得的度数，根据外角性质即可得到结果． 【详解】解：如图， 的角平分线和的外角平分线交于点P， ，， ， ，， 是的外角， ， 故选：A． 28．（2024·湖北宜昌·模拟预测）将三角尺和（其中）按如图方式放置，其中斜边 ， 顶点 C，D 分别在 上，与 相交于点 P，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角尺、平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 由题意可得，再根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵三角尺和，其中， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 29．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角的性质与内角和定理，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，可判断③，再利用三角形外角的性质得到，等量代换可判断②，根据三角形内角和定理及等量代换可判断①和④，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，的反向延长线交的平分线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴③能求出的大小； ∵， ∴， ∴②能求出的大小； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴①能求出的大小，④不能求出的大小； 故选：D． 二、填空题 30．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】此题考查三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的关系， 根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到，由此即可得到答案． 【详解】如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 31．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的平分线，过点C的射线与平行，若，则 ． 【答案】45 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质．根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：45． 32．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的外角，平分平分，且交于点D．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义以及三角形外角的性质是解决本题的关键．根据角平分线的定义，由平分平分，得．根据三角形外角的性质，得，从而推断出． 【详解】解：∵平分平分， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 33．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．首先根据三角形内角和定理得到，然后根据折叠的性质和平行线的性质分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵把沿折叠， ∴， 如图，若， ∴， ∴ ∵把沿折叠， ∴； 如图，若， ∴   ∵把沿折叠， ∴ 综上所述，的大小为或． 故答案为：或． 34．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，将直角三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与点重合，点B与延长线上的点F重合，连接．若满足则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查图形的折叠，熟知折叠前后图形的形状和大小相等、得到并利用三角形内角和是解本题的关键，属于常见题型．由折叠可得，由角平分线和三角形内角和得，再利用三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得：，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 35．（24-25八年级上·重庆铜梁·开学考试）如图，点，分别在直线，上，连接，，，分别与，相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：． (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行直线的判定和性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟知：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据对顶角相等，可以推算出，根据同位角相等，两直线平行，即可证得； （2）由（1）可得，利用平行直线的性质得到，结合已知条件可以证得，即可得到； （3）由（1）（2）得到，，推出，由三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵直线与相交， ∴（对顶角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． （3）解：由（1）（2）得到，， ， ， ， ． 36．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，分别是的中线，角平分线，高，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，先利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和定理求出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高，即， ∴， ∴． 37．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，均为直角三角形，且，过点C作平分交于点F．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的判定，角平分线的定义： （1）利用角平分线的性质，先说明与的关系，再利用平行线的判定得结论； （2）先求出，再利用三角形的外角和内角的关系求解． 【详解】（1）证明：∵，且平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，． 在中，∵， ∴． ∴ ． 38．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，等量代换思想解答即可； （2）根据，，得到，根据，得到，计算的度数． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 39．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，平分，交于， (1)若，求的度数； (2)若于点，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据三角形内角和定理求得，再由角平分线的定义可得，由两直线平行，内错角相等即可求得的度数； （）根据三角形内角和定理求得，再由角平分线的定义可得，由直角三角形两锐角互余即可求得的度数； 本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角的和差，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，与的平分线相交于点．    (1)若，则的度数是　 　； (2)如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； (3)如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解答过程； (3)或或或． 【分析】（）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （）先求出，根据得，然后分四种情况讨论即可； 此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理，理解角平分线定义是解题的关键． 【详解】（1）在中，， ∵与 的平分线相交于点， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2），之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）∵平分,平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴， 由（）可知: ， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： 当时, 则， ∴， 此时， 当时，则， ∴，则， 此时， 当时，则， ∴， 此时， 当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$