专题04 三角形经典大题重难点题型专训（7大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题04三角形经典大题重难点题型中线（7大题型） 题型一 三角形的三边关系 题型二 与三角形的高有关的计算问题 题型三 根据三角形中线求长度、面积 题型四 三角形的内角 题型五 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型六 三角形的外角 题型七 多边形及其内角和 【经典例题一 三角形的三边关系】 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简． 2．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）已知是三角形的三边长． (1)化简：； (2)满足，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由． 3．（23-24八年级上·河南商丘·期中）已知a、b、c是三角形的三边长 (1)化简． (2)若．求（1）中式子的值． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）若三边均不相等的三角形三边a，b，c（）满足，则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． (1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号） ①4，2，1；    ②13，18，9；    ③19，20，19；    ④9，8，6 (2)已知“不均衡三角形”三边分别为，求出所有符合条件的x的整数值． 5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）问题提出：最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形）， 问题探究：为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论。 （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1. 按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形，表①： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2. 根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形. 表②： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 1 2个1 2 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：表③： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 1 2个2 2 ， 2 3 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：表④： 最长边长 最短边长 （最长边长， 最短边长，第 三边长） 整数边三角形个数 计算方式 算式 4 1 (4,1,4) 1 3个2 2×3 2 (4,2,3), (4,2,4) 2 3 (4,3,3), (4,3,4) 2 4 (4,4,4) 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：表⑤： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 2 ， 2 3 4 ， 2 5 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有 个； （2）在整数边三角形中，设最长边长为n，总结上述探究过程，当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为n的整数边三角形的个数； （3）最长边长为128的整数边三角形有 个； 拓展延伸：在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有 个. 【经典例题二 与三角形的高有关的计算问题】 6．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知，与相交于点． (1)找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由； (2)如果，，垂足分别为、，，求的值． 7．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）如图，点和满足，现同时将点，分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点，的对应点分别为点，，连接，，．    (1)求点 A， B的坐标； (2)若轴上存在点，使面积等于四边形的面积，求点的坐标； (3)点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，过点作的垂线，交于点，当点到达点时，整个运动过程随之结束．时间为秒，若线段将四边形的面积分成两部分，请直接写出的值 8．（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 9．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中满足关系式． (1)求的值； (2)如果在第二象限内有一点，那么请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，其中a、b满足． (1)求a、b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题三 根据三角形中线求长度、面积】 11．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】 如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由， 【应用】 如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积为 ； 【拓展】 （1）如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为 ． （2）如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为 （用含S的代数式表示）；四边形的面积存在最大值，这个值为 ． 12．（2024·山东青岛·一模）（1）如图1，是等腰直角三角形，，为的中点，，则________； （2）如图2，是直角三角形，，为的中点，，，则________； （3）如图3，在中，为的中点，，，则________． 13．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起． 【问题思考】 （1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）； （2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）； 【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整： ∵， ∴_________（由问题2的结论得） ∴_________， 即_________， ∵是的中点， ∴_________（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积． 【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线． 请你独立尝试完成小悟同学的说理过程． 14．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 15．（16-17七年级·北京西城·期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，．试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长差． 【经典例题四 三角形的内角】 16．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)若一个“梦想三角形”有一个角为，则它的最小内角的度数为_________； (2)如图1，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？ (3)如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，．若是“梦想三角形”，且，求的度数． 17．（23-24七年级下·江苏常州·期中）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下∶ (1)[论证]如图1，延长至点，过点作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程． (2)[应用]如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ① 设，则________（用含的代数式表示）； ②的度数为________． (3)[拓展]如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，同时绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止．设运动时间为秒．在旋转过程中，当的值为多少时，与的一边平行？请直接写出的值． 18．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”.    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 19．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，分别是，的平分线，分别是，的平分线． (1)当，时，________，________， (2)若，求，的度数； (3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 20．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点、分别在的边、上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． (1)如图（1）当，时，　　． (2)如图（2）当时，　　． (3)在解题过程中，你认为与是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由． 【经典例题五 与角平分线有关的三角形内角和问题】 21．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在中，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)探究：小明认为如果不知道与的具体度数，只知道，也能得出的度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由． 22．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分，平分，连接、，且． (1)证明：； (2)若，，求的度数； (3)作与的角平分线交于点，探究、的数量关系，并证明你的结论． 23．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在中，平分． (1)如图①，若于点D，，求的度数； (2)如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图②，在线段上任取一点P，过点P作于点D，请尝试写出之间的数量关系，并说明理由． 24．（23-24八年级上·湖北·期末）如图，点A、B分别在射线上运动（不与点O重合）． (1)如图1，若的平分线交于点C，则_______； (2)如图2，若的平分线交于点C，则________； (3)如图2，若的外角的平分线交于点D，求与之间的数量关系，并求出的度数． 25．（23-24七年级下·广东深圳·期中）【基础探究】 （1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、．若，，请你求出的度数； （2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为 ； （3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、．若，，、分别平分、，则的度数为 ； 【问题迁移】 （4）如图4，在中，，、分别平分、．则 ； 【拓展深化】 如图，在中，D、E是、上的点，设，． （5）如图5，、分别平分、．用含m、n的式子表示的度数为 ； 【经典例题六 三角形的外角】 26．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则_____； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 27．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，，点A，B分别在的边，上（不与点O重合）. (1)若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D.则的度数为_______. (2)如图2，若，，求的度数. (3)如图3，若将“”改为“（）”，，，求的度数（用含，n的代数式表示）. 28．（23-24七年级下·四川成都·期中）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数． 29．（23-24七年级下·广东江门·期中）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答： (1)如图1，和具有怎样的数量关系？请直接写出______； (2)如图2，的平分线与的平分线相交于点Q，求的大小； (3)如图3，点P是线段上的动点（不与A，D重合），连接、，的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由． 30．（23-24七年级下·重庆·期中）佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关． 测量数据如下表： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … (1)通过以上测量数据，请你写出与的数量关系： ； (2)如图2，的平分线交于点，当时，求的度数； (3)如图3，在中，若与的平分线交于点，请猜想与的数量关系，并进行证明． 【经典例题七 多边形及其内角和】 31．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 32．（2024七年级下·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 33．（23-24七年级下·江苏南通·期中）学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线，点E在之间，点P、Q分别在直线上，连接． (1)如图1，运用上述结论，探究之间的数量关系．并说明理由； (2)如图2，平分平分，当时，求的度数； (3)如图3，若点E在的下方，平分平分的反向延长线交于点F，当时，请求出的度数． 34．（2024·安徽蚌埠·二模）如图是正方形、正五边形、正六边形． (1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______． (2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）． (3)若，求相应的正多边形的边数． 35．（23-24七年级下·山东淄博·期中）中，，点D，E分别是边，上的点，点P是一动点．设，，． (1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则___________°； (2)若点P在线段上运动，如图（2）所示，则，，三者之间的关系为：___________． (3)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则，，三者之间有何关系？请写出你的猜想并说明理由； (4)若点P运动到外且在直线的上方、直线的左侧范围内运动时，请探究，，之间的关系（画图并直接写出结果）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04三角形经典大题重难点题型中线（7大题型） 题型一 三角形的三边关系 题型二 与三角形的高有关的计算问题 题型三 根据三角形中线求长度、面积 题型四 三角形的内角 题型五 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型六 三角形的外角 题型七 多边形及其内角和 【经典例题一 三角形的三边关系】 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：的三边长是，， ，即， 三角形的周长是小于22的偶数， ， 或； （2）解：由三角形三边关系得：， ，， ． 2．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）已知是三角形的三边长． (1)化简：； (2)满足，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)此三角形是等腰三角形，详见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． （1）根据三角形三边关系定理可得，，再去绝对值符号即可； （2）根据及三角形的周长是16求得a，b，c的值即可判断三角形的形状． 【详解】（1）解：是三角形的三边长， ． ，． ． （2）此三角形是等腰三角形． 理由如下： ， ． ． 三角形的周长是16， ． ． 此三角形是等腰三角形． 3．（23-24八年级上·河南商丘·期中）已知a、b、c是三角形的三边长 (1)化简． (2)若．求（1）中式子的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据三角形的三边关系判断出，及的符号，再根据绝对值的性质化简； （2）将代入（1）化简的结果即可． 【详解】（1）∵a、b、c是三角形的三边长， ∴， ； （2）当时， 原式= 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，化简绝对值，整式的加减，求代数式的值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）若三边均不相等的三角形三边a，b，c（）满足，则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． (1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号） ①4，2，1；    ②13，18，9；    ③19，20，19；    ④9，8，6 (2)已知“不均衡三角形”三边分别为，求出所有符合条件的x的整数值． 【答案】(1)② (2)10，12，13，14 【分析】本题考查了三角形三边关系，求不等式的解集，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键． （1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，根据“不均衡三角形”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴4，2，1不能组成“不均衡三角形”； ②∵， ∴13，18，9能组成“不均衡三角形”； ③∵， ∴19，20，19不能组成“不均衡三角形”； ④∵， ∴9，8，6不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：②； （2）∵， ∴． 当时，即， 则， 解得：（舍）      当时，即， 则， 解得：，则，符合题意的x取值为10                                                     当时，即， 则， 解得：，则，符合题意的x取值为12，13，14                                                综合的x的取值为10，12，13，14． 5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）问题提出：最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形）， 问题探究：为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论。 （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1. 按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形，表①： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2. 根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形. 表②： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 1 2个1 2 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：表③： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 1 2个2 2 ， 2 3 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：表④： 最长边长 最短边长 （最长边长， 最短边长，第 三边长） 整数边三角形个数 计算方式 算式 4 1 (4,1,4) 1 3个2 2×3 2 (4,2,3), (4,2,4) 2 3 (4,3,3), (4,3,4) 2 4 (4,4,4) 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：表⑤： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 2 ， 2 3 4 ， 2 5 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有 个； （2）在整数边三角形中，设最长边长为n，总结上述探究过程，当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为n的整数边三角形的个数； （3）最长边长为128的整数边三角形有 个； 拓展延伸：在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有 个. 【答案】⑤，，，3，3个3，；（1）12；（2）当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形个数的规律不一样， 当n为奇数时，最长边长为n的整数边三角形的个数为，当n为偶数时，最长边长为n的整数边三角形的个数为；（3）4160；拓展延伸：295 【分析】⑤根据上面列举求解即可； （1）由上面列举规律求解即可； （2）按照n为奇数或n为偶数分类，找出n与两数乘积中第一个的关系即可求解； （3）在（2）的基础上，将代入求解， 拓展延伸：分成当最长边是三角形的边长和侧棱两种情况求解即可． 【详解】解：⑤由题意可得， 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 3个3 2 ， 2 3 ，， 3 4 ， 2 5 1 故答案为：，，，3，3个3，； （1）列表如下： 最短边长 最长边 三角形个数 1 2 3 4 5 6 ∴最长边长为6的整数边三角形有个， 故答案为：12； （2）列表如下： 最长边长是奇数时 算式 1 3 5 7 ⋯ ⋯ n 最长边长是偶数时 算式 2 4 6 ⋯ ⋯ n ∴当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形个数的规律不一样， 当n为奇数时，最长边长为n的整数边三角形的个数为，当n为偶数时，最长边长为n的整数边三角形的个数为； （3）当时，， 故答案为：4160； 拓展延伸：当侧棱是9时，底边三角形的最长边可以是1，2，3，4，5，6，7，8， ∴直三棱柱个数共有：， 当底的棱长是9时，， ∴， 故答案为：295． 【点睛】本题考查数字规律型、三角形的三边关系，解决问题的关键是列出表格总结出规律及正确分类． 【经典例题二 与三角形的高有关的计算问题】 6．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知，与相交于点． (1)找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由； (2)如果，，垂足分别为、，，求的值． 【答案】(1)与，与，与，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形的面积及平行线间的距离，解答此题的关键是熟知以下知识：①同底等高的三角形面积相等；②两平行线之间的距离相等． （1）根据同底等高的三角形面积相等可得出面积相等的三角形，过作，，垂足、，由平行线间的距离相等可知，再由三角形的面积公式即可得出； （2）由，，，再根据三角形的面积公式可知，进而可得出结论． 【详解】（1）解： 与，与，与．理由如下： 过作，，垂足、， ，（已知）， （平行线间距离的意义）． ，，（三角形面积公式）， ． （2）解：，，（已知） ，（三角形面积公式）． ， ． ， ． ， ． 7．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）如图，点和满足，现同时将点，分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点，的对应点分别为点，，连接，，．    (1)求点 A， B的坐标； (2)若轴上存在点，使面积等于四边形的面积，求点的坐标； (3)点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，过点作的垂线，交于点，当点到达点时，整个运动过程随之结束．时间为秒，若线段将四边形的面积分成两部分，请直接写出的值 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形面积、非负数的非负性、平移性质．由点的坐标正确表示相应图形的面积是解决此题的关键． （1）由平方和绝对值的非负性可得点A，B的坐标； （2）由平移可得到点的坐标，进而可表示出面积与四边形的面积； （3）根据题意分别表示出两部分图形的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：由平移性质得：， 设点， ， 令， 解得：或， ∴或； （3）解：如图所示：      ， ①若， 解得：； ②若， 解得：， 故或，使得将四边形的面积分成的两部分． 8．（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （3）过作于，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：过作于， ， ， ， ， 故点到直线的距离为． 9．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中满足关系式． (1)求的值； (2)如果在第二象限内有一点，那么请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）根据几个非负数和的性质得到，分别解一元一次方程得到； （2）根据三角形的面积公式和四边形的面积 进行计算； （3）可求，是已知量，根据题意，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，； （2）解：由（1）知，，，， ∴，，， ∴，， ，， ； （3）解：由（1）知，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形的面积与的面积相等， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴点P的坐标为 【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系，非负数的性质．也考查了三角形的面积公式．解题的关键是数形结合，求出，，． 10．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，其中a、b满足． (1)求a、b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1), (2) (3)或或或 【分析】本题考查绝对值和二次方的非负性，平面直角坐标系中点的坐标，三角形的面积，坐标与图形，分类讨论思想． （1）根据非负数的性质得出a和b的值； （2）过点M作轴于点N，根据四边形的面积等于和的和得出答案； （3）首先根据题意得出的面积，然后分点N在x轴和y轴两种情况分别求出答案． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴,． （2）解：过点M作轴于点N，如图所示： ∵，，且在第二象限， ∴，，， ∴， ， ∴； （3）解：当时，四边形的面积为． ∴， ①当N在x轴上时， 设，则， ， 解得：或， ∴或； ②当N在y轴上时， 设，则， 解得：或， ∴或． 综上所述，点N的坐标为或或或． 【经典例题三 根据三角形中线求长度、面积】 11．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】 如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由， 【应用】 如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积为 ； 【拓展】 （1）如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为 ． （2）如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为 （用含S的代数式表示）；四边形的面积存在最大值，这个值为 ． 【答案】探究：，理由见解析；应用：24；拓展：（1）54；（2），32 【分析】探究：根据等底同高的三角形面积相等，即可得结论； 应用：连接，，，运用探究结论可知，则，同理可得，即可求得阴影部分的面积； 拓展：（1）如图，连接，，利用等高的性质，求得所有三角形的面积，再求和，可得结论； （2）连接并延长交于，可知是边上的中点，记6个小三角形的面积分别为，，，，，，可得，进而可得，可知四边形面积，要使得四边形面积最大，只需要使得的面积最大，则只需要，可得的面积最大值为，即可求得四边形面积最大值． 本题考查与三角形中线有关的面积问题，等高模型的性质等知识，解题的关键是理解三角形中线的性质． 【详解】解：探究：，理由如下： 过点作，交于， ∵是中边上的中线，则， ∴， 即：； 应用：连接，，， ∵点A、B、C分别是、、的中点， ∴，，， ∴， 则， 同理可得， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：24； 拓展：（1）如图，连接，． ∵，则， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积 ． 故答案为：54； （2）连接并延长交于， ∵点、是、边上的中点， ∴是边上的中线， 记6个小三角形的面积分别为，，，，，， 则，，，， ∴，即：， ∴，即：， 同理可知，， ∴， ∴四边形面积， 要使得四边形面积最大，只需要使得的面积最大， ∵中，，， ∴要使得的面积最大，则只需要， ∴的面积最大值为， 则四边形面积最大值为， 故答案为：，32． 12．（2024·山东青岛·一模）（1）如图1，是等腰直角三角形，，为的中点，，则________； （2）如图2，是直角三角形，，为的中点，，，则________； （3）如图3，在中，为的中点，，，则________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式； （1）过点作垂足分别为，根据三角形中点的性质可得，根据已知得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点作垂足分别为，同（1）的方法即可求解； （3）过点作垂足分别为，同（1）的方法即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作垂足分别为， 依题意，是等腰直角三角形，，为的中点，则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴； 故答案为：． （2）如图所示，过点作垂足分别为，， ∵为的中点， ∴ ∴ ∴ 同（1）可得∴ ∴， ∴； 故答案为：． （3）如图所示，过点作垂足分别为，， ∵为的中点， ∴ ∴ 同（1）可得 ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起． 【问题思考】 （1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）； （2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）； 【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整： ∵， ∴_________（由问题2的结论得） ∴_________， 即_________， ∵是的中点， ∴_________（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积． 【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线． 请你独立尝试完成小悟同学的说理过程． 【答案】【问题思考】，；【深入思考】；；；；【推广探究】证明见解析 【分析】本题考查三角形中线的性质、平行线的性质及三角形的面积， 【问题思考】（1）根据三角形中线的性质及三角形的面积可得结论； （2）根据平行线的性质及三角形的面积可得结论； 【深入思考】根据问题思考的结论即可得证； 【推广探究】根据问题思考的结论即可得证； 理解并掌握问题思考的结论并灵活运用是解题的关键． 【问题思考】解：（1）∵是的中线， ∴， ∴和等底同高， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴和同底同高， ∴， 故答案为：； 【深入思考】证明：∵， ∴（由问题2的结论得） ∴， 即， ∵是的中点， ∴（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积； 【推广探究】证明：∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴直线平分四边形的面积， 则直线即为所求直线． 14．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)7cm (3) 【分析】本此题主要考查了三角形的高线和中线，三角形的面积， （1）根据三角形面积公式得，据此可得的长； （2）的周长为，的周长为，据此可得和的周长之差； （3）根据点是边的三等分点，分两种情况讨论如下：①当时，根据为中线得，即，再根据得，即，据此即可得出的值；当时，同理可得，，据此即可得出的值． 【详解】（1）在中，，，，，为边上的高， ， ， 即的长度为； （2）为边上的中线， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长的周长， 即和的周长之差为； （3）点是边的三等分点， 有以下两种情况： ①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ，即， ， ， ，即， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ，即， ． 综上所述：的值为． 15．（16-17七年级·北京西城·期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，．试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长差． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先根据三角形面积公式可得，依此可求的长； （2）先根据三角形面积公式计算出，然后利用是边的中线得到； （3）利用等量代换得到的周长-的周长． 【详解】（1） 解：∵，是边上的高， ∴ ， ∴， 即的长度为； （2） 解：如图，∵是直角三角形，，，， ∴， 又∵是边的中线， ∴， ∴，即， ∴． ∴的面积是； （3） 解：∵是边的中线， ∴， ∴的周长﹣的周长 ， 即和的周长的差是． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 【经典例题四 三角形的内角】 16．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)若一个“梦想三角形”有一个角为，则它的最小内角的度数为_________； (2)如图1，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？ (3)如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，．若是“梦想三角形”，且，求的度数． 【答案】(1)或 (2)、都是“梦想三角形”，见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、“梦想三角形”的定义、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）分两种情况：当时三角形的一个内角的倍时，当另外两个内角是倍关系时，分别求解即可得出答案； （2）根据“梦想三角形”的定义判断即可得出答案； （3）根据“梦想三角形”的定义、角平分线的定义结合三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：当时三角形的一个内角的倍，则有这个内角为，第三个内角为，故最小的内角为， 当另外两个内角是倍关系时，则有另外两个内角分别为，，故最小的内角为； 综上所述，它的最小内角的度数为或； （2）解：结论：、都是“梦想三角形”． 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴为“梦想三角形”， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是“梦想三角形”； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“梦想三角形”，， ∴． ∵， ∴． 17．（23-24七年级下·江苏常州·期中）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下∶ (1)[论证]如图1，延长至点，过点作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程． (2)[应用]如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ① 设，则________（用含的代数式表示）； ②的度数为________． (3)[拓展]如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，同时绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止．设运动时间为秒．在旋转过程中，当的值为多少时，与的一边平行？请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)的值为或或或 【分析】（1）利用平行线的性质以及平角的性质即可证明； （2）①由角平分线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再由平行线的性质并结合三角形外角的定义及性质得出，推出，即可得解；②由平行线的性质结合角平分线的定义得出，求出即可得出答案； （3）总时间（秒），再分四种情况：当第一次与重合前，时，延长交于；当第一次与重合前，时；当第一次与重合后，时，令交于；当第一次与重合后，时；分别利用平行线的性质建立一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）证明：延长至点，过点作，    ∴，， ∵， ∴； （2）解①如图：    ∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止． ∴总时间（秒）， ∴的运动角度为， 当第一次与重合前，时，延长交于，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当第一次与重合前，时，    由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当第一次与重合后，时，令交于，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当第一次与重合后，时，    由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 18．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”.    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）①利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可；②由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， 为“友爱三角形” ； （2）解：的度数为或， 是“友爱三角形”，D是边上一点（不与点A，B重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 19．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，分别是，的平分线，分别是，的平分线． (1)当，时，________，________， (2)若，求，的度数； (3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)的值不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算、三角形的内角和定理等知识点，学会整体思想是解题关键． （1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可； （3）利用（2）的结论即得结果． 【详解】（1）解：∵分别是，的平分线，，， ∴，， ∴； ∵分别是，的平分线， ∴， ∴． 故答案为60，120． （2）解：在中，， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵，， ，， ∴，， ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴． （3）解：的值不变，理由如下： 由（2）可知：，， ∴，即当的大小变化时，的值不变． 20．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点、分别在的边、上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． (1)如图（1）当，时，　　． (2)如图（2）当时，　　． (3)在解题过程中，你认为与是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由． 【答案】(1)45 (2)120 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （3）由（2）的思路可得结论． 【详解】（1）解： ，， ， ， 是的平分线， ， 平分， ， ， （2）设，， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ． （3），理由如下： 设， 平分， ， 设， ， 平分， ， ， ． 【经典例题五 与角平分线有关的三角形内角和问题】 21．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在中，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)探究：小明认为如果不知道与的具体度数，只知道，也能得出的度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)可以， 【分析】本题考查角平分线定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线定义即可解答； （2）先利用三角形内角和定理可得，然后根据角的和差即可解答； （3）用表示出、，然后根据角的和差可得，最后将代入即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ （3）解：可以，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 若，则． 22．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分，平分，连接、，且． (1)证明：； (2)若，，求的度数； (3)作与的角平分线交于点，探究、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) ，证明过程见详解 【分析】（1）如图，过点作，根据平行线的性质和判定，平行公理可得结论； （2）设，，根据三角形的内角和定理可得：，从而可得结论； （3）如图2，设，，根据角平分线的定义可得，，根据8字形可得①，②，由①②可得结论． 本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，解题的关键是利用8字形和三角形的内角和定理解决问题． 【详解】（1）证明：如图1，过点作， ， ， ， ， ； （2）解：设，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 在和中，， ，， ， ， ， ； （3）解：如图2，，理由如下： 设，， 平分，平分， ，， ， ，即①， ， ，即②， 由（1）知：， 由（2）知：， 得：， ． 23．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在中，平分． (1)如图①，若于点D，，求的度数； (2)如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图②，在线段上任取一点P，过点P作于点D，请尝试写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义： （1）先求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，然后由，代入计算即可； （2）先利用三角形的内角和以及角平分线的定义求得，再根据直角三角形的性质可得，然后由，代入计算即可； （3）过作于，根据平行线的性质可得，由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得，再根据直角三角形的性质可得，然后由，代入计算可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的度数为． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． （3）解：，理由如下： 过作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴． 24．（23-24八年级上·湖北·期末）如图，点A、B分别在射线上运动（不与点O重合）． (1)如图1，若的平分线交于点C，则_______； (2)如图2，若的平分线交于点C，则________； (3)如图2，若的外角的平分线交于点D，求与之间的数量关系，并求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、多边形的内角和等知识： （1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的也得出，再由三角形内角和定理即可得出结果； （2）由三角形内角和定理和角平分线的也得出，再由三角形内角和定理得出的度数； （3）求出，同理：，由四边形内角和求出，由（1）知：，即可得出结果 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的平分线交于点C， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：在中，， ∵的平分线交于点C， ∴， 即， ∴； 故答案为：； （3）解：∵分别是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 即， 同理：， ∵四边形内角和等于360°， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 25．（23-24七年级下·广东深圳·期中）【基础探究】 （1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、．若，，请你求出的度数； （2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为 ； （3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、．若，，、分别平分、，则的度数为 ； 【问题迁移】 （4）如图4，在中，，、分别平分、．则 ； 【拓展深化】 如图，在中，D、E是、上的点，设，． （5）如图5，、分别平分、．用含m、n的式子表示的度数为 ； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质进行求解即可； （2）设，由（1）可知：，再根据，即可得出答案； （3）设，由（1）可知：，，根据角平分线的定义，进行求解即可； （4）根据三角形内角和定理和角平分线的定义进行求解即可； （5）延长与的延长线交于点，求出，由（4）可知：，然后求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作，如图1所示： ， ， ， ， 即， ， ； 故答案为：． （2）设，如图2所示： 的平分线与的平分线交于点， ， ，由（1）可知：， ， ， ， 由三角形的内角和定理得：， ， ， ； 故答案为：． （3）设，如图3所示： 、分别平分、， ，，，， ，由（1）可知：，， ， ， 解得：， ． 故答案为：． （4），， ， 、分别平分、， ， ， ， ； （5）延长与的延长线交于点，如图5所示： ， ， ， ， 、分别平分、， 由（4）可知：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行公理的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【经典例题六 三角形的外角】 26．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则_____； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)． 【分析】（）延长交于，依据平行线的性质，可得，再根据是的外角，即可得到； （）依据，可得，再根据是的外角，即可得到，即； （）设，则，进而得出，依据，可得，求得，即可得出的度数， 本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为：； （2），理由： ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （3）∵， 设，则， ∵，，， 又∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 在中，． 27．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，，点A，B分别在的边，上（不与点O重合）. (1)若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D.则的度数为_______. (2)如图2，若，，求的度数. (3)如图3，若将“”改为“（）”，，，求的度数（用含，n的代数式表示）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了三角形外角的性质定理，熟练掌握三角形外角的性质定理是解题的关键. （1）由三角形外角性质得到，，由角平分线的定义得到，，代入即可的答案； （2）由三角形外角性质得到，，，代入即可的答案； （3）由三角形外角性质得到，，，代入即可的答案. 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵， ∴ ∵是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D. ∵， ∴ 故答案为： （2）∵， ∴. ∵， ∴ ∵， ∴ （3）∵， ∴ ∵， ∴. ∵， ∴. 28．（23-24七年级下·四川成都·期中）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵，是高， ∴， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∵， ∴ （2）∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∵是边上的高， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）∵C、A、G三点共线，是角平分线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 29．（23-24七年级下·广东江门·期中）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答： (1)如图1，和具有怎样的数量关系？请直接写出______； (2)如图2，的平分线与的平分线相交于点Q，求的大小； (3)如图3，点P是线段上的动点（不与A，D重合），连接、，的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变，理由见解析 【分析】（1）如图1，延长交于．由题意知：，，故，．进而推断出． （2）如图2，延长交于．由题意知：，，得，，故．因为的平分线与的平分线相交于点，所以，．那么，． （3）由题意知：，得，故． 【详解】（1）如图1，延长交于． ，理由如下： 由题意知：，． ，． 和是对顶角， ． ． （2）如图2，延长交于． 由题意知：，． ，． ． 平分， ． 同理可得：． 四边形的内角和等于． ． ． （3）如图3，设和交于点O， 由题意知：． ． ． 的值不变． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质、对顶角的性质、角平分线的定义以及四边形内角和等于，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质、对顶角的性质、角平分线的定义以及四边形内角和等于是解题的关键． 30．（23-24七年级下·重庆·期中）佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关． 测量数据如下表： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … (1)通过以上测量数据，请你写出与的数量关系： ； (2)如图2，的平分线交于点，当时，求的度数； (3)如图3，在中，若与的平分线交于点，请猜想与的数量关系，并进行证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）由表中与的测量数据，找到规律即可得到答案； （2）利用三角形内角和定理得到，再由邻补角定义、角平分线定义得到，最后在中，由三角形内角和定理求解即可得到答案； （3）根据角平分线定义、三角形外角性质列式化简即可得到答案． 【详解】（1）解： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … 与的数量关系：， 故答案为： （2）解：如图所示： ，， ， 在中，，则， ， 的平分线交于点， ， 在中，； （3）解：， 证明如下： 与的平分线交于点， ，， ，， ． 【点睛】本题考查规律探究，涉及找规律、角平分线定义、三角形内角和定理、邻补角定义、三角形外角性质等知识，熟练掌握角平分线定义、三角形内角和与外角性质，数形结合得到角的关系是解决问题的关键． 【经典例题七 多边形及其内角和】 31．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②场 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据表格信息寻求规律是解题的关键． （1）连接作图即可； （2）①根据所给数据规律解答即可； ②根据每班都需要和对手比赛一次，且一次比赛能满足2个班级的比赛需求列式运算即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：①，； ②（场）， 答：共需要比赛场． 32．（2024七年级下·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 【答案】(1)，，， (2)过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复） (3)边形的对角线条数的为 【分析】此题考查了多边形的对角线的知识． （1）过点和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点、的情况． （2）过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）过每一点有条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数． 【详解】（1）解：过顶点可以画条对角线，它们分别是； 过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线； 故答案为：，，，； （2）解：过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）解：边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出条， 共有个顶点，应为条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． 即边形的对角线条数的为． 33．（23-24七年级下·江苏南通·期中）学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线，点E在之间，点P、Q分别在直线上，连接． (1)如图1，运用上述结论，探究之间的数量关系．并说明理由； (2)如图2，平分平分，当时，求的度数； (3)如图3，若点E在的下方，平分平分的反向延长线交于点F，当时，请求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质、多边形内角和、角平分线的定义、平角等知识： （1）根据平行线的性质，得出，进而得出结论； （2）根据角平分线的定义、平角的定义以及四边形的内角和即可求解； （3）利用角平分线、平角、三角形的内角和、平行线的性质以及等量代换进行计算即可． 【详解】（1）解：， 如图1，过点E作，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图2， 由（1）得，； ∵， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴， 在四边形中， ； （3）解：如图3，延长交与点M， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，即， ∴， ∴． 34．（2024·安徽蚌埠·二模）如图是正方形、正五边形、正六边形． (1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______． (2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）． (3)若，求相应的正多边形的边数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的知识； （1）根据正多边形的性质逐个求解即可； （2）根据（1）中的结果总结规律即可； （3）根据（2）中的结论列方程求解即可． 【详解】（1）由正方形， 可得：， ； 由正五边形，可得：，， ， ； 由正六边形，可得：，， ， ； 故答案为：，，； （2）根据（1）中的结果发现等于正边形一个内角的度数， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 解得． 35．（23-24七年级下·山东淄博·期中）中，，点D，E分别是边，上的点，点P是一动点．设，，． (1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则___________°； (2)若点P在线段上运动，如图（2）所示，则，，三者之间的关系为：___________． (3)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则，，三者之间有何关系？请写出你的猜想并说明理由； (4)若点P运动到外且在直线的上方、直线的左侧范围内运动时，请探究，，之间的关系（画图并直接写出结果）． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析； (4)或．，图见解析 ． 【分析】本题考查的是邻补角的含义，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，理解类比解题思路是解本题的关键． （1）由邻补角的含义结合四边形的内角和定理可得答案； （2）由邻补角的含义结合四边形的内角和定理可得答案； （3）如图3中，设交于M，再利用三角形的外角可得答案； （4）分两种情况，先画图，再利用三角形的外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）结论：； 理由：∵，， ∴， ∴． （3）结论：， 理由：如图3中，设交于M． ∵，， ∴ （4）情况1：如图（4），结论：， 理由：设交于M． ∵，， ∴ 情况2：，理由如下： 如图（5），，， ∴． 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $$