专题02 巧用有理数的七种方法（七大题型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版2024新教材）

专题02 巧用有理数的七种方法（七大题型） 【题型01 归类法】 【题型02 凑整法】 【题型03 拆项法】 【题型05 逆向法】 【题型04 组合法】 【题型06 裂项相消法】 【题型07 倒数求值法】 【题型01 归类法】 方法：运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 【典例1】计算： 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【变式1-2】简便计算： (1)； (2)． 【变式1-3】计算： (1) ； (2)． (3)； (4) 【题型02 凑整法】 方法：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消 【典例2】计算： (1) (2) 【变式2-1】使用运算律计算： 【变式2-2】计算：． 【变式2-3】计算： (1) (2) 【题型03 拆项法】 方法:将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律)(结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁 【典例3】计算： 【变式3-1】（1）计算：； （2）计算． 【变式3-2】阅读下面的计算方法： 计算： 解：原式 上面的解法叫拆项法． 请你运用这种方法计算： ． 【变式3-3】阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【题型04 逆向法】 方法：主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单 【典例4】计算题：． 【变式4-1】计算： 【变式4-2】利用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式4-3】用简便方法计算下面各题． (1) (2) 【题型05 组合法】 方法：通过组合相同的因数，减少计算量 【典例5】计算：． 【变式5-1】计算：． 【变式5-2】计算: 【变式5-3】计算：． 【题型06 裂项相消法】 方法：通过将数列中的每一项分解成两部分，然后重新组合，使得部分项在求和过程中相互抵消，从而简化计算。 【典例6】先阅读下列例题，然后进行解答： 例：计算 解：因为 所以， 请根据你的理解解答下列各题： (1)计算： (2)计算： 【变式6-1】先阅读，再答题 根据你发现的规律，试写出： (1)； (2)________________； (3)计算： 【变式6-2】观察下列各式：，根据规律解答下列各题． (1)__________________； (2)计算：． 【变式6-3】计算：． 【题型07 倒数求值法】 方法：倒数法:有些含有分数的数学问题，直接求解比较繁琐，若将分子、分母上下颠倒，则便于求解，这种解法称为倒数法。 【典例7】阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式=． 解法②：原式=． 解法③：原式的倒数为， ∴原式= 解法④：原式= (1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的； (2)在正确的解法中，选择一种解法计算： 【变式7-1】计算：． 【变式7-2】先计算，再阅读材料，解决问题： (1)计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算： 解：原式的倒数是： ． 故． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【变式7-3】阅读下列材料，根据材料计算： 计算： 解：原式的倒数为 所以原式 根据以上材料计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 巧用有理数的七种方法（七大题型） 【题型01 归类法】 【题型02 凑整法】 【题型03 拆项法】 【题型05 逆向法】 【题型04 组合法】 【题型06 裂项相消法】 【题型07 倒数求值法】 【题型01 归类法】 方法：运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 【典例1】计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键．利用有理数加法运算法则和加法运算律计算，即可求解． 【详解】解： 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）利用加法交换律与加法结合律，把互为相反数的两数相加，另两数相加； （2）利用加法交换律与加法结合律，把小数部分相同的两数相加，互为相反数的两数相加． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据有理数加法的交换律和结合律将和结合，和结合，再进行计算即可． （2）根据有理数加法的交换律和结合律将和结合，和结合，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． (3)； (4) 【答案】(1) (2)16 (3)1 (4)17 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算； （1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型02 凑整法】 方法：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消 【典例2】计算： (1) (2) 【答案】(1)20 (2)5 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算律： （1）利用有理数的加法运算律计算，即可求解； （2）利用有理数的加法运算律计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式2-1】使用运算律计算： 【答案】 【分析】先把互为相反数的两个数相加，再把减法化为加法运算，再通分计算即可. 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，熟记加减混合运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键. 【变式2-2】计算：． 【答案】 【分析】利用有理数的加法结合律和交换律求解． 【详解】解：                 ． 【点睛】本题考查了有理数的加法，灵活运用有理数的运算律是解题的关键． 【变式2-3】计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用有理数加法的交换律与结合律计算即可得； （2）先去括号、将分数化成小数，再利用有理数加法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键． 【题型03 拆项法】 方法:将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律)(结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁 【典例3】计算： 【答案】，计算过程见解析 【分析】此题考查了有理数的加法法则，利用拆分法进行计算，正确理解解题方法并正确解题是关键； 将各带分数依据已知题的拆分方法分别拆分，再将整数部分、分数部分分别相加，根据有理数的加法法则进行计算即可得到答案； 【详解】解：原式 【变式3-1】（1）计算：； （2）计算． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【变式3-2】阅读下面的计算方法： 计算： 解：原式 上面的解法叫拆项法． 请你运用这种方法计算： ． 【答案】 【分析】读懂题意，根据材料中的拆项法运算即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查阅读理解，读懂题意，理解题目材料中所给的拆项法，现学现用是解决问题的关键． 【变式3-3】阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】利用题目提供的方法计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键． 【题型04 逆向法】 方法：主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单 【典例4】计算题：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及乘法分配律是解本题的关键． 原式逆用乘法分配律计算即可求出值． 【详解】解： ． 【变式4-1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的简便计算，掌握乘法结合律是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式4-2】利用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了利用运算律进行有理数的简便运算等知识． （1）逆用分配律进行计算即可求解； （2）逆用分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-3】用简便方法计算下面各题． (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查分数的混合运算，简便计算，运算律的运用，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律的逆运算即可求解； （2）将拆成，再运用乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型05 组合法】 方法：通过组合相同的因数，减少计算量 【典例5】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．根据有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得． 【详解】解： ． 【变式5-1】计算：． 【答案】 【分析】观察算式发现，加数为正负相间，且从第一个加数开始，连续两个加数的和是，据此可解决问题．本题考查实数计算中的规律，能发现从第一个加数开始的两个连续加数的和都为是解题的关键． 【详解】解：观察所给算式可知， 这个加数正负相间，且从第一个加数开始的两个连续加数的和都为， 所以原式 ． 【变式5-2】计算: 【答案】1011 【分析】本题考查了数的规律，整式的加减法的速算与巧算，根据分组的方法计算是解答本题的关键． 根据观察，式子中一共有个加数，每两个加数为一组，和是3，这些数分成组，再算出结果即可． 【详解】解： 【变式5-3】计算：． 【答案】 【分析】通过观察，每四项的和为0，按此规律计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减法，得到每四项的和为0是解题的关键． 【题型06 裂项相消法】 方法：通过将数列中的每一项分解成两部分，然后重新组合，使得部分项在求和过程中相互抵消，从而简化计算。 【典例6】先阅读下列例题，然后进行解答： 例：计算 解：因为 所以， 请根据你的理解解答下列各题： (1)计算： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先拆分，再抵消法计算即可求解； （2）先拆分，再抵消法计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式6-1】先阅读，再答题 根据你发现的规律，试写出： (1)； (2)________________； (3)计算： 【答案】(1)9；11 (2) (3) 【分析】本题考查数字规律的探索，结合题意分析规律是解题的关键． （1）根据题中规律得出第5个等式即可得出结果； （2）根据题意总结出规律即可； （3）结合（2）中规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第5个等式为， 故答案为：9；11； （2）由题意可得，第n个等式：， 故答案为： （3） ， ． 【变式6-2】观察下列各式：，根据规律解答下列各题． (1)__________________； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题目中给定的等式，得到，即可得出结论； （2）利用裂项相加法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已有算式，推出． 【变式6-3】计算：． 【答案】 【分析】把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解：观察分数，，，，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了数字类探究题，对于这类问题，应首先仔细审题，运用运算技巧或所学知识进行简算． 【题型07 倒数求值法】 方法：倒数法:有些含有分数的数学问题，直接求解比较繁琐，若将分子、分母上下颠倒，则便于求解，这种解法称为倒数法。 【典例7】阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式=． 解法②：原式=． 解法③：原式的倒数为， ∴原式= 解法④：原式= (1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的； (2)在正确的解法中，选择一种解法计算： 【答案】(1)① (2) 【分析】（1）根据有理数的运算法则以及运算顺序观察，由于除法没有分配律，即可求解； （2）选取解法中正确的一种解法进行解题即可． 【详解】（1）解：解法①是错误的，除法没有分配律； 故答案为：①． （2）原式的倒数为 ， ∴原式 【点睛】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律，能够根据题目中几种方式进行计算是解题的关键． 【变式7-1】计算：． 【答案】 【分析】可以先求出所求式子的倒数的结果，然后再写出所求式子的结果即可． 【详解】原式的倒数为： ， ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式7-2】先计算，再阅读材料，解决问题： (1)计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算： 解：原式的倒数是： ． 故． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据题目中的例子的解题方法，可以求出所求式子的值． 【详解】（1）原式 ； （2）原式的倒数是： ， 故原式． 【点睛】本题考查有理数的混合运算以及乘法运算律，解答本题的关键是明确有理数混合运算法则． 【变式7-3】阅读下列材料，根据材料计算： 计算： 解：原式的倒数为 所以原式 根据以上材料计算： 【答案】 【分析】首先看懂例题的做法，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可． 【详解】解：原式的倒数为 原式． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$