专题05 等腰三角形分类讨论五大题型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题05 等腰三角形分类讨论五大题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、腰和底不明时需讨论 2 类型二、顶角和底角不明时需讨论 2 类型三、涉及中线、高位置的讨论 2 类型四、等腰三角形个数的讨论 2 类型五、动点引起的分类讨论 3 压轴能力测评（11题） 5 类型1 对腰长和底长的分类讨论 在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论.判定的依据是:三角形的任意两边之和大于第三边;两边之差小于第三边. 类型2对顶角和底角的分类讨论 对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论，在分类时要注意:三角形的内角和等于180°:等腰三角形中至少有两个角相等. 类型3 等腰三角形个数的讨论 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），求x轴上一点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线” （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 类型一、腰和底不明时需讨论 【典例1】若等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的底边长是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】一个等腰三角形的其中两条边是7厘米和3厘米，它的周长是（    ）厘米． A．18 B．13 C．16 D．17 【变式1-2】若等腰三角形有两条边的长度为，，则它的底边长为（　　） A．或 B． C． D． 【变式1-3】已知等腰三角形的一边等于另一边等于，则它的周长为 ． 类型二、顶角和底角不明时需讨论 【典例2】等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 【变式2-1】等腰三角形中有一内角等于，那么这个三角形的最小内角的度数为（   ）度 A．50 B．20 C．40或50 D．20或50 【变式2-3】等腰三角形的一个外角是，它的底角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 类型三、涉及中线、高位置的讨论 【典例3】若等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则此三角形的顶角是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式3-2】等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，那么这个三角形底角为（   ） A． B． C． D．或 【变式3-3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 类型四、等腰三角形个数的讨论 【典例4】如图，网格中的每个正方形的顶点称作格点，图中在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【变式4-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 【变式4-3】在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在轴上确定一点，使为等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标 ． 类型五、动点引起的分类讨论 【典例5】如图，中，，、分别从点、点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动．已知点的运动速度为，点的运动速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当M、N两点重合时，求t的值． (2)当为等边三角形时，求t的值． (3)点M、N运动过程中，点M、N能否与中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出对应的时间t，若不能请说明理由． 【变式5-1】在中，，，，，是线段的中点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)___________(用的代数式表示)； (2)点出发 ___________秒后，； (3)当时，求的值； (4)在点运动的同时，有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿作往返运动，当点运动到终点时，点也随之停止运动，在两点运动的过程中，若为等腰三角形，直接写出的值． 【变式5-2】图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．    (1)_____（用t的代数式表示） (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【变式5-3】如图，点是等边内的一点，，．以为一边作等边，使和在直线同一侧，连接． (1)与全等吗？说明你的理由； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当为多少度时， 是等腰三角形？请直接写出答案． 1．等腰三角形的底边长为，连接一腰的中点和它所对的顶点，把其周长分为两部分，两部分的差为，则腰长为（　　） A． B． C．或 D．以上结论全不对 2．在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 3．等腰三角形的一个内角为80度，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 4．有一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（　　） A．或 B． C． D． 5．已知等腰三角形的三边长分别是2，，6，则这个等腰三角形的周长是（    ） A． B．10 C．10或14 D．14 6．如图，A、B、C三点均为格点，且为等腰三角形，则满足条件的点C个数有（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 8．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则它的周长为 ． 9．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（    ） A．或 B． C． D．或 10．如图，在中，，，，，点P从点A出发沿运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿运动，到达A点后立即原路返回，速度为，当点P到达B点时，两点同时停止．    (1)当点Q在边上运动时，运动几秒后，是等腰三角形？ (2)当点Q在边上运动时，运动几秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 11．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，求的值； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数．若不可以，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 等腰三角形分类讨论五大题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、腰和底不明时需讨论 2 类型二、顶角和底角不明时需讨论 6 类型三、涉及中线、高位置的讨论 9 类型四、等腰三角形个数的讨论 12 类型五、动点引起的分类讨论 15 压轴能力测评（11题） 21 类型1 对腰长和底长的分类讨论 在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论.判定的依据是:三角形的任意两边之和大于第三边;两边之差小于第三边. 类型2对顶角和底角的分类讨论 对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论，在分类时要注意:三角形的内角和等于180°:等腰三角形中至少有两个角相等. 类型3 等腰三角形个数的讨论 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），求x轴上一点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线” （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 类型一、腰和底不明时需讨论 【典例1】若等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的底边长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质，可以分为是腰或底边两种情况；结合三角形的三边关系可以确定三角形的三边的长度，由此确定选项．本题主要考查等腰三角形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：依题意， 当是等腰三角形的底边时， 则其腰长是， 能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时， 则其底边是， ∵ ∴不能够组成三角形； 故该等腰三角形的底边长为． 故选：A． 【变式1-1】一个等腰三角形的其中两条边是7厘米和3厘米，它的周长是（    ）厘米． A．18 B．13 C．16 D．17 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形的特性和三角形周长的计算方法．根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；判断出该三角形的腰为7厘米，进而根据三角形的周长计算方法解答即可． 【详解】解：∵一个等腰三角形的其中两条边是7厘米和3厘米， ∴三角形三边长为7厘米、7厘米、3厘米或7厘米、3厘米、3厘米， 当三角形三边长为7厘米、7厘米、3厘米时，三角形周长为厘米， 当三角形三边长为7厘米、3厘米、3厘米时，，不构成三角形， ∴三角形周长为厘米， 故选：D． 【变式1-2】若等腰三角形有两条边的长度为，，则它的底边长为（　　） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分两种情况，结合三角形三边关系，计算即可得出答案． 【详解】解：当腰长为，底边为时，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为，底边长为时，，能构成三角形，符合题意； 故它的底边长为， 故选：B． 【变式1-3】已知等腰三角形的一边等于另一边等于，则它的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． 分情况讨论即可． 【详解】解：当为腰，为底时， ，， 能构成三角形， 等腰三角形的周长； 当为腰，为底时， ，， 能构成三角形， 等腰三角形的周长； 故答案为：或． 类型二、顶角和底角不明时需讨论 【典例2】等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案． 【详解】解：当角为顶角时，则顶角为， 当角为底角时，则两个底角和为，求得顶角为， 故选：D． 【变式2-1】等腰三角形中有一内角等于，那么这个三角形的最小内角的度数为（   ）度 A．50 B．20 C．40或50 D．20或50 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算． 【详解】解：当是等腰三角形的顶角时，则底角就是； 当是等腰三角形的底角时，则顶角是． ∴这个三角形的最小内角的度数为20或50， 故选：D． 【变式2-3】等腰三角形的一个外角是，它的底角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质．利用三角形外角的性质，分别计算当角为等腰三角形底角的外角时和当角为等腰三角形顶角的外角时的底角的大小即可． 【详解】解：分类讨论： （1）当角为等腰三角形底角的外角时，底角． （2）当角为等腰三角形顶角的外角时，底角． 故选：D． 类型三、涉及中线、高位置的讨论 【典例3】若等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则此三角形的顶角是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分类讨论，为锐角三角形或钝角三角形，取斜边中点，利用等边三角形的判定与性质结合直角三角形的性质，等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1， 由题意得，高线， ∴， 取中点为点K， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即顶角是， 如图2， 由题意得腰长，高线， ∴， 同上可求， 顶角， 所以，此三角形的顶角是或． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，外角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式3-1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点．分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可． 【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 所以顶角是； ②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，，故顶角是．    故选：C． 【变式3-2】等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，那么这个三角形底角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，分高在等腰三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当三角形的高线在三角形的内部时，如图：，，则： ∴； 当三角形的高线在三角形的外部时，如图：，，则：， ∵， ∴； 故选D． 【变式3-3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角性质，当等腰三角形的顶角是钝角或锐角两种情况分析即可，熟练掌握等腰三角形的性质及理解分类讨论思想的应用是解题的关键． 【详解】当等腰三角形的顶角为锐角时，过作于点，如图所示， ∴， ∵， ∴； 当等腰三角形的顶角为钝角时，过作，交延长线于点，如图所示， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 类型四、等腰三角形个数的讨论 【典例4】如图，网格中的每个正方形的顶点称作格点，图中在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了的等腰三角形的判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质讨论腰．根据题意画出图形，进行判断即可． 【详解】解：分别以A、B为圆心，为半径作圆，如图所示：    根据图可知，两个圆经过的格点有8个，的垂直平分线不经过格点， ∴满足为等腰三角形的格点的个数为8个． 故选：B． 【变式4-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】以三边分别为底的三种情况进行讨论，即可求解，本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：掌握确定等腰三角形的方法． 【详解】解：当为底时，作线段的垂直平分线，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 故选：． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，为半径画圆；以B为圆心，为半径画圆；作的垂直平分线；它们与坐标轴的交点即为点C的位置． 【详解】解：如图，①以A为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点B，，，，得到以A为顶点的等腰，，； ②以B为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点A，，，，得到以B为顶点的等腰，，； ③作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， ∴符合条件的点C共7个， 故选：D．    【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，能够找出所有C点的位置是解题的关键． 【变式4-3】在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在轴上确定一点，使为等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标 ． 【答案】，，，，． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．分别以、为圆心，以长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点，再作线段的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点，作出图形，利用数形结合求解即可． 【详解】解：如图， ， ， 当时，可得，， 当时，． 当时，设， 则有， ， ，， 故答案为：，，，，． 类型五、动点引起的分类讨论 【典例5】如图，中，，、分别从点、点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动．已知点的运动速度为，点的运动速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当M、N两点重合时，求t的值． (2)当为等边三角形时，求t的值． (3)点M、N运动过程中，点M、N能否与中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出对应的时间t，若不能请说明理由． 【答案】(1) (2)t为4秒 (3)能，M、N运动的时间为4秒或8秒或16秒 【分析】此题考查等边三角形性质与全等三角形的判定和性质，以及通过题目所给信息，合理设置未知数建立方程，并求出对应的解． （1）写出点与点的运动距离公式，并写出两点重合的表达式，解出方程即可； （2）因为为等边三角形，则为，结合为等边三角形的性质、列式计算，即可作答． （3）结合等腰三角形的性质，进行分类讨论，即点、运动4秒后，可得到等边三角形，即是以为底边的等腰三角形；当点、在边上运动时，可以得到以为底的等腰三角形；当点、在边上运动时，也可以得到以为底的等腰三角形，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：当点第一次到达点时，、同时停止运动，且点第一次到达点需要运动 运动时间． 点的运动距离设为， 则； 设点的运动距离为， 则． 、两点重合， 可表示为：，即 解得：； （2）解：设经过秒后，为等边三角形 ∵ ∴当时，为等边三角形 ， ， 解得： 即为等边三角形时，为4秒． （3）解：由（2）得，点、运动4秒后，可得到等边三角形，即是以为底边的等腰三角形； 当点、在边上运动时，可以得到以为底的等腰三角形． 假设是等腰三角形，则， ， 又， 是等边三角形，， 在和中， ，， ， ， 解得：， 即当为8秒，为以为底边的等腰三角形； 同理可得，当点、在边上运动时，也可以得到以为底的等腰三角形， 此时，，可得： 设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形， ，， 由题意得，， 解得： 综上所述，点、能否与中的某一顶点构成等腰三角形，、运动的时间为4秒或8秒或16秒． 【变式5-1】在中，，，，，是线段的中点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)___________(用的代数式表示)； (2)点出发 ___________秒后，； (3)当时，求的值； (4)在点运动的同时，有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿作往返运动，当点运动到终点时，点也随之停止运动，在两点运动的过程中，若为等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 或 【分析】本题考查了列代数式，等边三角形的性质，等腰三角形的性质； （1），则，即可求解； （2）由题意得：，，，则，即可求解； （3）当时，则，则，则，即可求解； （4）当时，此时，点在上，点在上，则，即，解得：；当，时，同理可解． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：； （2）由题意得：，， ，则， 解得：舍去， 故答案为：； （3）当时，则， 则，则， 则； （4）点运动的时间为， 当时， 此时，点在上，点在上， 则，即， 解得：； 当时， 此时点在上，点在上， ，为等腰三角形， 则为等边三角形， 则，即， 解得：舍去； 当， 此时点在上，点在上， ，为等腰三角形， 则为等边三角形， 则，即， 解得：； 综上，或． 【变式5-2】图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．    (1)_____（用t的代数式表示） (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，      则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 【变式5-3】如图，点是等边内的一点，，．以为一边作等边，使和在直线同一侧，连接． (1)与全等吗？说明你的理由； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当为多少度时， 是等腰三角形？请直接写出答案． 【答案】(1)，证明见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，，，，求出，根据可证； （2）首先根据已知条件可以证明，然后利用全等三角形的性质可以求出的度数，由此即可判定的形状； （3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下：和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ； （2）是直角三角形， 理由如下：是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， 是直角三角形； （3）是等边三角形， ． ，， ， ， ． ①当时，， ． ②当时，， ． ③当时，， ． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和全等三角形的性质等知识，根据等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键． 1．等腰三角形的底边长为，连接一腰的中点和它所对的顶点，把其周长分为两部分，两部分的差为，则腰长为（　　） A． B． C．或 D．以上结论全不对 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是求出的值后根据三角形三边关系进行验证． 设腰长为，得出方程或，求出后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图所示, 设腰长为，一腰的中线为， 则或， 解得：，， 或2， ①三角形三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理； ②三角形三边是2、2、5，，不符合三角形三边关系定理； 故选：B． 2．在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键． 根据题意分两种情况，当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，讨论求解即可； 【详解】解：分两种情况： 当是锐角三角形时，如图： 是的垂直平分线， ， ， ； 当是钝角三角形时，如图： 是的垂直平分线， ， ， ， ； 综上所述：这个等腰三角形的顶角为或， 故选：C． 3．等腰三角形的一个内角为80度，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．分两种情况讨论：①当角为顶角；②当为底角，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当角为顶角时，顶角度数为； ②当为底角时，顶角：， 故选：C． 4．有一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（　　） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分两种情况，结合三角形三边关系判断即可得出答案． 【详解】解：当腰长为时，底边长为，三角形的三边长为，，，能构成三角形，符合题意； 当底边长为时，腰长为，三角形的三边长为，，，能构成三角形，符合题意； 综上所述，有一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为或， 故选：A． 5．已知等腰三角形的三边长分别是2，，6，则这个等腰三角形的周长是（    ） A． B．10 C．10或14 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．分两种情况讨论：若等腰三角形的腰长为2，底边长为6，则等腰三角形不存在；若等腰三角形的腰长为6，底边长为2，则周长为14，即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形； 若等腰三角形的腰长为6，底边长为2， 则等腰三角形的周长是， 故选：D 6．如图，A、B、C三点均为格点，且为等腰三角形，则满足条件的点C个数有（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的判定可得答案． 【详解】解：如图所示， 以为腰，为顶角，这样的点C的个数有5个， 以为腰，为顶角，这样的点C的个数有4个（点B，A，在同一条直线上，不符合题意）， 综上，满足条件的点C的个数有9个， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是学会分类讨论，注意取舍． 7．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ，，为高，即， 此时， ∴， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 8．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则它的周长为 ． 【答案】14或16 【分析】由等腰三角形的性质可求解；本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当腰长为4时，则周长为， 当腰长为6时，则周长为， 故答案为：14或16； 9．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形外角的性质，正确的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，为等腰三角形腰上的高，并且，取边中点E，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴底角； 当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图， 为等腰三角形腰上的高，并且， 同理可得， ∴， 故选A． 10．如图，在中，，，，，点P从点A出发沿运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿运动，到达A点后立即原路返回，速度为，当点P到达B点时，两点同时停止．    (1)当点Q在边上运动时，运动几秒后，是等腰三角形？ (2)当点Q在边上运动时，运动几秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）根据是等腰三角形可得，据此列方程求解即可； （2）分情况讨论：①当点Q沿运动，是以为底边的等腰三角形时，如图1，证明，求出，然后根据时间＝路程÷速度列式计算；②当点Q沿运动，是以为底边的等腰三角形时，如图2，可得，然后根据时间＝路程÷速度列式计算；③当点Q沿运动，是以为底边的等腰三角形时，④当点Q沿运动，是以为底边的等腰三角形时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵，是等腰三角形， ∴， 设运动时间为t秒，则，， ∴， 解得：， 答：运动3秒后，是等腰三角形； （2）解：分情况讨论： 设运动时间为t秒， ①当点Q沿运动，是以为底边的等腰三角形时，如图1， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    ②当点Q沿运动，是以为底边的等腰三角形时，如图2，    ∴， ∴； ③当点Q沿运动，是以为底边的等腰三角形时，如图1， 由①可知， ∴； ④当点Q沿运动，是以为底边的等腰三角形时，如图2， 由②可知，， ∴， 综上，运动或或或秒后，是以或为底边的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，正确分类讨论是解题的关键． 11．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，求的值； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，，理由见解析； (3)可以；当的度数为110°或80°时，的形状是等腰三角形． 【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题； （2）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． （3）当的度数为110°或80°时，的形状是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； ． ； （2）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴； （3）解：可以；当的度数为110°或80°时，的形状是等腰三角形， ∵时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状是等腰三角形； ∵当的度数为80°时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查三角形综合题，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及的知识点较多，综合性较强． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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