精品解析：山东省德州市乐陵市阜昌中学2024-2025学年九年级9月学情检测数学试题

九年级数学学情调研 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若关于的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则a的值为 （ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是（ ） A. 15 B. 9 C. 10 D. 21 4. 某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡时间，统计结果如表： 时间/小时 7 8 9 10 人数 6 9 11 4 这些学生睡眠时间的众数、中位数是（ ） A. 众数是11，中位数是8.5 B. 众数是9，中位数是8.5 C. 众数是9，中位数是9 D. 众数是10，中位数是9 5. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. 3.4m B. 5m C. 4m D. 5.5m 6. 已知点、点在一次函数的图像上，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 下面三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x； ③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x 其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 如图，在中，，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于F、G两点，连接F、G分别交于于E、于D，连接，若，则的长为（ ） A. 6 B. C. 9 D. 11. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 5s时，两架无人机都上升了40m B. 10s时，两架无人机的高度差为20m C. 乙无人机上升的速度为8m/s D. 10s时，甲无人机距离地面的高度是60m 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），AB⊥轴，AC⊥y轴，D是OB的中点．E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（　　） A. （0，） B. （0，1） C. （0，） D. （0，2） 二、填空题：本题共6小题，共24分． 13. 当时，二次根式的值为___________． 14. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点、分别是，的中点，若，，则的长度是______. 15. 如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若，则AB的长为______． 16. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为______． 17. 将按如图所翻折，为折痕，若，则______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，； ②当时，有最小值； ③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个. 其中正确的结论有______.（写序号即可） 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 20. 某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下： 七年级抽取的学生的初赛成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10． 七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 七年级 8．5 a 八年级 8 7 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，估计八年级进入复赛的学生人数为多少人． （3）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） 21. 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求： （1）线段和的长度； （2）点和点的坐标． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，连接，已知的长为． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）求的面积． 23. 如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． （1）求证:四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 24. “琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进A，B两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，购进A种图书的总费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示． （1）当和时，求y与x之间的函数关系式； （2）现学校准备购进A，B两种图书共300本，已知B种图书每本22元．若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，购进两种图书的总费用为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并说明怎样购买A，B两种图书才能使总费用最少？总费用少为多少元？ 25. （1）尝试探究： 如图1，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于． ①求证：； ②过点作的平分线交于，连结，请探究与的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于，连结交于，连结并延长交于，已知，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情调研 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若关于的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则a的值为 （ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】直接把x=-1代入方程x2+3x+a=0得到关于a的方程，然后解关于a的方程即可． 【详解】把x=-1代入方程得1-3+a=0， 解得a=2． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选A． 3. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是（ ） A. 15 B. 9 C. 10 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义：，，解得即可．本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：∵正方形A、C、D的面积依次为5、6、20， ∴ ∴ 故选：B． 4. 某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡时间，统计结果如表： 时间/小时 7 8 9 10 人数 6 9 11 4 这些学生睡眠时间的众数、中位数是（ ） A. 众数是11，中位数是8.5 B. 众数是9，中位数是8.5 C. 众数是9，中位数是9 D. 众数是10，中位数是9 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义，即可求解． 【详解】解：睡眠时间为9小时的人数最多，学生睡眠时间的众数是9小时， 一共有30个学生，睡眠时间从小到大排序后，第15、16个数据分别是：8，9，即：中位数为8.5． 故选B． 【点睛】本题主要考查中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义，是解题的关键． 5. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. 3.4m B. 5m C. 4m D. 5.5m 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， 设的长为，则 ∴ 在直角中， 又∵ 解得： 故选：A． 6. 已知点、点在一次函数的图像上，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围． 【详解】解： ∵点P（-1，y1）、点Q（3，y2）在一次函数y=（2m-1）x+2的图象上， ∴当-1＜3时，由题意可知y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴2m-1＜0，解得m＜， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，得出一次函数的增减性是解题的关键． 7. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案． 由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴左侧y随x的增大而增大，由此得出答案． 【详解】解： ，， ∴点C与点B关于y轴对称； 由于A、C的图象关于原点对称，因此选项A、C错误； ， 由，可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 对于二次函数只有时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 选项不正确， 故选：B． 8. 直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数与不等式的关系得到的解集即为不等式的解集，利用一次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵直线， ∴， ∴不等式即为， ∴的解集即为不等式的解集， ∵直线交坐标轴于、两点，且， ∴y随x的增大而增大，时， ∴当时，， ∴不等式的解集为， 故选：A． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一元一次不等式与一次函数的关系是解题的关键． 9. 下面三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x； ③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x 其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据y值随x的变化情况，逐一判断． 【详解】解：①当货车开始进入隧道时y逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时y不变且最大，当货车开始离开隧道时y逐渐变小．故①正确； ②王大爷距离家先y逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时y不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即y逐渐变小，故②正确； ③往空杯中匀速倒水，倒满后停止，水的体积逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水量先保持不变，然后逐渐减少，杯中水的体积y与所用时间x，变量y与x之间的函数关系符合图象，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息． 10. 如图，在中，，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于F、G两点，连接F、G分别交于于E、于D，连接，若，则的长为（ ） A. 6 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，求出，利用含30度角直角三角形三边的关系求，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：作已知线段的垂直平分线．也考查了线段垂直平分线的性质和含30度角直角三角形的性质． 11. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 5s时，两架无人机都上升了40m B. 10s时，两架无人机的高度差为20m C. 乙无人机上升的速度为8m/s D. 10s时，甲无人机距离地面的高度是60m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的时间x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可． 【详解】解：设甲的函数关系式为，把(5，40)代入得：，解得， ∴， 设乙的函数关系式为，把(0，20) ，(5，40)代入得： ，解得， ∴， A、5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了20m，不符合题意； B、10s时，甲无人机离地面80m， 乙无人机离地面60m，相差20m，符合题意； C、乙无人机上升的速度为m/s，不符合题意； D、10s时，甲无人机距离地面的高度是80m． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解本题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），AB⊥轴，AC⊥y轴，D是OB的中点．E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（　　） A. （0，） B. （0，1） C. （0，） D. （0，2） 【答案】B 【解析】 【分析】作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，与y轴交于点E，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；E点坐标即为直线A'D与y轴的交点． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，与y轴交于点E，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长； ∵A的坐标为（﹣2，3），AB⊥轴， B点坐标为（-2,0）， D是OB的中点， ∴D点坐标为：（﹣1，0）， A关于y轴的对称点A'，可知A'（2，3）， 设A'D的直线解析式为y＝kx+b，则： ， 解得：， ∴A'D的直线解析式为y＝x+1， 当x＝0时，y＝1 ∴E（0，1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式和求一次函数图象与坐标轴交点坐标，能够利用轴对称求线段的最短距离，将AE+DE的最短距离转化为两点之间，线段最短，并能利用一次函数求出点的坐标是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，共24分． 13. 当时，二次根式的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简、二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故答案为：3． 14. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点、分别是，的中点，若，，则的长度是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形，三角形中位线，勾股定理的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理的运用；根据题意，求出，再根据点，分别是，的中点，则，即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴． 故答案为：． 15. 如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若，则AB的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用矩形和等腰直角三角形性质可证得：△ABE≌△ECF（AAS），得出：AB=CE，BE=CF，由点F是CD的中点，进而根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠B=∠C=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴AE=EF，∠AEF=90°， ∴∠FEC+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠FEC， 在△ABE和△ECF中， ∴△ABE≌△ECF（AAS）， ∴AB=CE，BE=CF， ∵点F是CD的中点， ∴CF=CD， ∴BE=CF=AB， ∵BE+CE=BC=12， ∴AB+AB=12， ∴AB=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 16. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，先根据菱形的面积等于对角线乘积除以2求出，再根据直角三角形的性质得出答案. 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，点O是的中点， ∴． 故答案为：6． 17. 将按如图所翻折，为折痕，若，则______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查图形的折叠和三角形的内角和定理的应用，根据折叠的性质得出，，然后根据三角形的内角和定理和对顶角相等即可得出结论．解题的关键是明确题意，列出相等关系的式子． 【详解】解：设交于点，交于点， 由折叠得：，， ∵，且，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，； ②当时，有最小值； ③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个. 其中正确的结论有______.（写序号即可） 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，平移的性质，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键． 通过观察可判断①②③，通过点得到所在的直线表达式，作出图象后，可判断． 【详解】解：①、当时，或，故①错误； ②、由图象可知，当时，有最小值，故②正确； ③、将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，故③正确； ④、令，， ∴， ∴点在直线的函数图象上，如图所示： 由图象可得，它们有三个交点，故④错误； ∴正确的有②③， 故答案为：②③． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘法与除法，二次根式的化简，再合并即可； （2）先利用平方差公式与完全平方公式进行二次根式的乘法运算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 20. 某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下： 七年级抽取的学生的初赛成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10． 七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 七年级 8．5 a 八年级 8 7 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，估计八年级进入复赛的学生人数为多少人． （3）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） 【答案】（1）9，45 （2）估计八年级进入复赛的学生为225人； （3）七年级的学生初赛成绩更好．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数定义、优秀率的定义即可求出a、m的值； （2）用900乘以满分的百分比即可求解； （3）根据优秀率进行评价即可． 【小问1详解】 ∵七年级的成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10． ∴9分的人数最多，七年级成绩的众数为， 八年级的优秀率是， ∴， 故答案为：9，45； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计八年级进入复赛的学生为225人； 【小问3详解】 解：根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：、． 故七年级的学生初赛成绩更好． 【点睛】本题考查众数定义、优秀率的定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合优秀率、众数进行作答． 21. 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求： （1）线段和的长度； （2）点和点的坐标． 【答案】（1）， （2）点坐标为，点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，坐标与图形，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质得 ，进而利用勾股定理即可得解； （2）由，，得，即可求得．设，则，在中，由．得，求解即可得解． 【小问1详解】 解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，， ， ． 【小问2详解】 解： ，， ， ． 又， 设，则， 在中，． ， ，即， ． 综上，点坐标为，点坐标为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，连接，已知的长为． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式：（1）根据函数图像上点的坐标特征求解； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 点在直线， ， 点的坐标为， 的长为， ， 设直线的解析式为， 把坐标代入得： 直线的解析式为； 【小问2详解】 直线的解析式为 点坐标为， 点的坐标为， 23. 如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． （1）求证:四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 【答案】（1）证明： ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识； 熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键. （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出即可得出结论； （2）由矩形的性质得出由菱形的性质得出，的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为： ． 24. “琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进A，B两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，购进A种图书的总费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示． （1）当和时，求y与x之间的函数关系式； （2）现学校准备购进A，B两种图书共300本，已知B种图书每本22元．若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，购进两种图书的总费用为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并说明怎样购买A，B两种图书才能使总费用最少？总费用少为多少元？ 【答案】（1） （2）购进A种图书200本，购进B种图书100本时，总费用最少为6450元． 【解析】 【分析】（1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）购进A种图书x本，则购进B种图书本，根据题意列出不等式组，求得，然后表示出总费用，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设， 将代入解析式，得， 解得， ， 当时，设， 将、分别代入解析式， 得， 解得， ， 综上，； 【小问2详解】 ∵购进A种图书x本，则购进B种图书本， 根据题意得，， ∴解得， ∴购进两种图书的总费用， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最小值， ∴， ∴当购进A种图书200本，购进B种图书100本时，总费用最少为6450元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． 25. （1）尝试探究： 如图1，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于． ①求证：； ②过点作的平分线交于，连结，请探究与的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于，连结交于，连结并延长交于，已知，求的长． 【答案】（1）①见解析；②PE=PF，证明见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）①先判断出∠CBF=90°，再证明∠DCE=∠BCF即可解决问题． ②证明△PCE≌△PCF（SAS）即可解决问题． （2）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．证明△EMH≌△FMB（AAS），由EM=FM，CE=CF，推出PC垂直平分线段EF，推出PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6-x，理由勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）①如图1中，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°， ∴∠CBF=180°-∠ABC=90°， ∵CF⊥CE， ∴∠ECF=90°， ∴∠DCB=∠ECF=90° ∴∠DCE=∠BCF， ∴△CDE≌△CBF（ASA）． ②结论：PE=PF． 理由：如图1中，∵△CDE≌△CBF， ∴CE=CF， ∵PC=PC，∠PCE=∠PCF， ∴△PCE≌△PCF（SAS）， ∴PE=PF． （2）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=6，∠A=90°，∠EDH=45°， ∵EH⊥AD， ∴∠DEH=∠A=90°， ∴EH∥AF，DE=EH=2， ∵△CDE≌△CBF， ∴DE=BF=2， ∴EH=BF， ∵∠EHM=∠MBF，∠EMH=∠FMB， ∴△EMH≌△FMB（AAS）， ∵EM=FM， ∵CE=CF， ∴PC垂直平分线段EF， ∴PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6-x， 在Rt△APE中，则有（x+2）2=42+（6-x）2， ∴x=3， ∴PB=3． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $