精品解析：广东省广州市执信中学2024-2025 学年九年级上学期开学考试数学试题

2024-2025学年第一学期 初三数学暑假作业情况调研 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 第一部分选择题（共30分） 一、单选题（共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是直线上的两个点，则的大小关系是（） A. B. C. D. 3. 如图，菱形的对角线和相交于点O，E为边的中点，连接，若，则长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 我校男篮队员的年龄分布如表所示，对于不同的m，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） 年龄/岁 13 14 15 人数 m 6 A. 众数，中位数 B. 众数，方差 C. 平均数，中位数 D. 平均数，方差 5. 如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ） A. B. 的面积为5 C. D. 点到的距离为 6. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（ ） A. 平行四边形， B. 平行四边形， C. 菱形， D. 菱形， 7. 若函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，于点，于点，取的中点，则的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 9. 下列命题中，其中正确命题的个数为（ ）个 ①中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5； ②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形； ③三角形的三边分别为，，若，则 ④在中，，则为直角三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为，；点F关于BC，CD的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ） A. 平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 B. 平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（共18分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围为______________． 12. 某体校篮球班21名学生的身高如表：则该篮球班21名学生身高的中位数是__________． 身高（） 180 185 187 190 193 人数（名） 4 6 5 4 2 13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 14. 如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是___________． 15. 甲、乙两船沿直线航道匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为，则与t的函数关系如图．下列说法：①乙船的速度是40千米/时；②甲船航行1小时到达B处；③甲、乙两船航行0.6小时相遇；④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是．其中正确的说法的是______________． 16. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3 ． 若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=________． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图所示，点E在四边形的边上，连接，已知，求证：四边形为平行四边形． 20. 《教育部等五部门关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》要求：保障学生每天校内、校外各1个小时体育活动时间．某学校分别随机调查了男、女学生各100名，统计他们上周平均每天校外体育锻炼的时间，锻炼时间记为分钟，将所得数据分为5个组别（组：；组：；组：；组：；组：），将数据进行分析，得到如下统计： ①100名男生组学生上周平均每天校外体育锻炼时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是： ②100名男生上周平均每天校外体育锻炼时间条形统计图如下图； ③100名女生上周平均每天校外体育锻炼时间分布扇形统计图如下图； ④调查的男女同学上周平均每天校外体育锻炼时间的平均数中位数众数如下表． 性别 平均数 中位数 众数 女生 81.3 79.5 82 男生 81.3 83 请你根据以上信息回答下列问题： （1）根据以上信息填空：______，______，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为男生和女生上周校外锻炼情况哪个更好，请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校有男同学800名，女同学1000名，请估计该校上周平均每天校外体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人． 21. 永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元． （1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？ 22. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点． （1）求证：DE=EF； （2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由； （3）若AB=3，AE=，求BD的长． 23. 如图，已知，点 D 在 y 轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处． （1）求直线的表达式； （2）求 C、D 的坐标； （3）在直线上是否存在一点 P，使得 ? 若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由． 24. 已知，如图，一次函数与x轴、y轴分别交于点A和点B，A点坐标为（3,0），∠OAB=45°． （1）求一次函数的表达式； （2）点P是x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，连接CA并延长交ｙ轴于点Q． ①若点P的坐标为（4,0）,求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式； ②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化范围． 25. 如图①，正方形中，点O是对角线的中点，点P是线段上（不与A，O重合）的一个动点，过点P作且交边于点E． （1）尺规作图：在图①中，过点P作的垂线，垂足为M（不要求写作法，保留作图痕迹）并求证：． （2）如图②，若正方形的边长为6，过E作于点F，在P点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由． （3）如图③，直接写出线段，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期 初三数学暑假作业情况调研 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 第一部分选择题（共30分） 一、单选题（共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 已知是直线上的两个点，则的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，可以解答本题． 【详解】解∶， 随的增大而减小， ∵点在直线上， 故选∶B． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确一次函数的性质． 3. 如图，菱形的对角线和相交于点O，E为边的中点，连接，若，则长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边得一半，先根据菱形的性质得到，然后根据直角三角形斜边的性质得到即可得出答案． 【详解】解：∵是菱形， ∴， 又∵E为边的中点， ∴， 故选B． 4. 我校男篮队员的年龄分布如表所示，对于不同的m，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） 年龄/岁 13 14 15 人数 m 6 A. 众数，中位数 B. 众数，方差 C. 平均数，中位数 D. 平均数，方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 【详解】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为， 则总人数为：， 故该组数据的众数为岁； 按大小排列后，第个数据为：， 则中位数为：岁， 即对于不同的m，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：A． 5. 如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ） A. B. 的面积为5 C. D. 点到的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理求出长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D． 【详解】解：A． ∵， ∴，本选项结论正确，不符合题意； B．，本选项结论正确，不符合题意； C．，，， ， ，本选项结论正确，不符合题意； D．点A到的距离，本选项结论错误，符合题意； 故答案为：D 6. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（ ） A. 平行四边形， B. 平行四边形， C. 菱形， D. 菱形， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，如图，作于，于，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 故选：D． 7. 若函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、解一元一次不等式组，由该函数图象经过第一、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得， 故选：C． 8. 如图，在中，，，于点，于点，取的中点，则的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线定理．根据等腰三角形三线合一的性质可得是的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后判断出是的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：， 是的中线， ，是的中点， ，， 是的中线，是的中点， 是的中位线， ， 的周长． 故选：B． 9. 下列命题中，其中正确命题的个数为（ ）个 ①中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5； ②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形； ③三角形的三边分别为，，若，则 ④在中，，则为直角三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，利用勾股定理及其逆定理、三角形内角和定理即可判定． 【详解】解：若4是斜边，则第三边为, 若4是直角边，则第三边为, 故①错误； ∵三角形的内角和为， ∴若三角形中一个内角等于其它两个内角的和，则这个角的度数为， ∴这个三角形是直角三角形， 故②正确； ∵三角形的三边a、b、c满足， ∴中，， 故③错误； ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形， 故④正确； 综上所述，上述四个命题中，正确的有2个． 故选：B． 10. 如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为，；点F关于BC，CD的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ） A. 平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 B. 平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意，分放五种特殊位置分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，平行四边形，菱形即可求解. 【详解】如图中， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∵对称， ，, , , 同理 , , ∴四边形是平行四边形， 如图所示, 当三点重合时,     ,即 ∴四边形是菱形； 如图所示, 当分别为的中点时, 设则 在中，连接, ， 是等边三角形， ∵为中点， ， ， 根据对称性可得， ， ， 是直角三角形， 且 四边形是矩形. 当分别与重合时, 都是等边三角形，则四边形 是菱形， ∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选:D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（共18分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围为______________． 【答案】x≥0且x≠2 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行计算判断即可． 【详解】解:∵≥0， ∴x≥0 又∵x-2≠0 ∴x≠2 故x的取值范围是x≥0，且x≠2 故答案是：x≥0且x≠2． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解决本题的关键是熟练掌握二次根式中被开方式大于等于0，分式中分母不为0这一条件． 12. 某体校篮球班21名学生的身高如表：则该篮球班21名学生身高的中位数是__________． 身高（） 180 185 187 190 193 人数（名） 4 6 5 4 2 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是中位数的含义，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，再进一步解答即可； 【详解】解：按从小到大的顺序排列，第11个数是， 故中位数是． 故答案为：． 13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式，且二次项系数不为零即可求得的值． 【详解】依题意，有：且， 解得， 故答案为：． 14. 如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或等于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线不在下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 先利用确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线不在直线的上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：函数的图象过点， ， 解得， 由图象得：不等式的解集是：， 故答案为：． 15. 甲、乙两船沿直线航道匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为，则与t的函数关系如图．下列说法：①乙船的速度是40千米/时；②甲船航行1小时到达B处；③甲、乙两船航行0.6小时相遇；④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是．其中正确的说法的是______________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数获取信息．结合图形，分从乙走的全程及时间得出乙的速度；从而可知时，乙走的路程，进而得出甲走的路程，从而可知甲的速度；根据题中对d与时间t的关系可判断甲乙两船航行0.6小时是否相遇；由前面求得的甲乙速度可判断甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段． 【详解】解：乙船从B到C共用时3小时，走过路程为120千米， 因此乙船的速度是40千米/时，①正确； 乙船经过0.6小时走过千米，甲船0.6小时走过千米，所以甲船的速度是千米/时， 开始甲船距B点60千米，因此经过1小时到达B点，②正确； 航行0.6小时后，甲乙距B点都为24千米，但是乙船在B点前，甲船在B点后，二者相距48千米，因此③错误； 开始后，甲乙两船之间的距离越来越小，甲船经过1小时到达B点，此时乙离B地40千米， 航行2.5小时后，甲离B地：千米，乙离B地：千米，此时两船相距10千米，当时，甲乙的距离小于10，因此④正确； 综上所述，正确的说法有①②④． 16. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3 ． 若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=________． 【答案】12 【解析】 【详解】由题意得，正方形EFGH的面积为4， 则4个直角三角形的面积和为4-， 则正方形ABCD的面积为4+4-， 所以S1+S2+S3=4+4-S3+4+S3=12． 故答案为12． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式； （2）用平方差公式进行计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据不同的方程用不同的解法． （1）利用直接开平方法解一元二次方程； （2）利用配方法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 ，； 19. 如图所示，点E在四边形的边上，连接，已知，求证：四边形为平行四边形． 【答案】 证明：在和中， ， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，先证明，推出，再结合，即可得出结论． 【详解】略 20. 《教育部等五部门关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》要求：保障学生每天校内、校外各1个小时体育活动时间．某学校分别随机调查了男、女学生各100名，统计他们上周平均每天校外体育锻炼的时间，锻炼时间记为分钟，将所得数据分为5个组别（组：；组：；组：；组：；组：），将数据进行分析，得到如下统计： ①100名男生组学生上周平均每天校外体育锻炼时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是： ②100名男生上周平均每天校外体育锻炼时间条形统计图如下图； ③100名女生上周平均每天校外体育锻炼时间分布扇形统计图如下图； ④调查的男女同学上周平均每天校外体育锻炼时间的平均数中位数众数如下表． 性别 平均数 中位数 众数 女生 81.3 79.5 82 男生 81.3 83 请你根据以上信息回答下列问题： （1）根据以上信息填空：______，______，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为男生和女生上周校外锻炼情况哪个更好，请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校有男同学800名，女同学1000名，请估计该校上周平均每天校外体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人． 【答案】（1）10，80.5， 补全条形图如下： （2） 男生上周锻炼情况更好，理由：男生上周平均每天体育锻炼时间的中位数、众数均大于女生； （3）该校上周平均每天体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有924人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数、众数、平均数的定义，样本估计总体，理解题意，熟练掌握各个统计数据的计算方法，并灵活运用是解题的关键． （1）求出B组女生所占百分比，根据百分比之和为1即可求得A组女生所占百分比，即可补全条形统计图，根据中位数的定义可得b的值； （2）平均数相同，根据中位数，众数比较即可得出结论； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：B组所占百分比为， ∴， ∴， ， B组的人数为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人） 答：该校上周平均每天体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有924人． 21. 永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元． （1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？ 【答案】（1）购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元 （2）有三种购买方案，分别是：方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；方案3：购买A种树50棵，购买B种树50棵 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组实际应用，一元一次不等式应用． （1）根据题意列二元一次方程组解出即可； （2）根据题意列一元一次不等式，解出后列出方案即可． 【小问1详解】 解：设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元， 由题意可知：， 解方程组得， 答：购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元． 【小问2详解】 解：设购进A种树a棵，由题意可知： ，解不等式得：， 又因为购进A种树不能少于48棵，即：， ∴有三种购买方案，分别是： 方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵； 方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵； 方案1：购买A种树50棵，购买B种树50棵． 22. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点． （1）求证：DE=EF； （2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由； （3）若AB=3，AE=，求BD的长． 【答案】 （1）证明：如图1中， ， ，， ， ， ，， ． （2）解：结论：． 理由：如图2中，在上取一点，使得，连接． ．，． ， ，， ， ， ， ， ， ． （3）BD=1. 【解析】 【分析】（1）先根据等角对等边得出EA=ED，再在Rt△ADF中根据直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等得出∠EAC=∠F，得出EA=EF，等量代换即可解决问题； （2）结论：BD=CF．如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．想办法证明DM=CF，DM=BD即可； （3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．设BD=x，则DN=，DE=AE=，由∠B=45°，EN⊥BN．推出EN=BN=x+=，在Rt△DEN中，根据DN2+NE2=DE2，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）（2）略 （3）如图3中，过点作交于点． ，， ， 设，则，， ，． ， 在中，， 解得或（舍弃） ． 【点睛】本题是一道三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23. 如图，已知，点 D 在 y 轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处． （1）求直线的表达式； （2）求 C、D 的坐标； （3）在直线上是否存在一点 P，使得 ? 若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到图形折叠、面积的计算等，（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可得到直线的表达式；（2）由题意得：，故点，设点D的坐标为，根据，即可得到m的值；（3）由，即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数表达式：， 将点的坐标代入得： ， 解得：， 故直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：， ， 由题意得： ，， ， 故点， 设点D的坐标为：， ， 解得：， 故点； 【小问3详解】 解：存在， 理由如下： 设直线的表达式为， 由点、的坐标代入得： ， 解得：， 直线的表达式为：， ，， ， ， ， 点P在直线上， 设， ， 解得：或5， 即点P的坐标为：或． 24. 已知，如图，一次函数与x轴、y轴分别交于点A和点B，A点坐标为（3,0），∠OAB=45°． （1）求一次函数的表达式； （2）点P是x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，连接CA并延长交ｙ轴于点Q． ①若点P的坐标为（4,0）,求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式； ②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化范围． 【答案】（1）；（2）①点C(7,4)；；②点Q的位置不发生变化，点Q的坐标为（0，-3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由∠AOB=90°，∠OAB=45°，可得∠OBA=∠OAB=45°，即OA=OB，由A（3，0），可得B（0，3），代入y=kx+b可得出k，b的值，即可得出一次函数的表达式； （2）①过点C作x轴的垂线，垂足为D，易证△BOP≌△PDC，进而得出点P，C的坐标，把点A，C的坐标代入y=k1x+b1求解即可； ②由△BOP≌△PDC，可得PD=BO，CD=PO，由线段关系进而得出OA=OB，得出AD=CD，由角的关系可得△AOQ是等腰直角三角形，可得出OQ=OA，即可得出点Q的坐标． 试题解析：解：（1）∵∠AOB=90°，∠OAB=45°， ∴∠OBA=∠OAB=45°， ∴OA=OB， ∵A(3，0)， ∴B(0，3)， ∴，解得， ∴； （2）①过点C作x轴的垂线，垂足为D， ∵∠BPO+∠CPD=∠PCD+∠CPD=90°， ∴∠BPO=∠PCD， 在△BOP和 △PDC 中， ， ∴ △BOP≌ △PDC（AAS）． ∴PD=BO=3，CD=PO， ∵P(4，0)， ∴CD="PO=4," 则OD=3+4=7， ∴ 点C(7,4)， 设直线AC的函数关系式为， 则，解得， ∴直线AC的函数关系式为； ②点Q的位置不发生变化． 理由：由①知 △BOP≌ △PDC， 当P点在x轴正半轴运动时，仍有△BOP≌ △PDC， ∴PD=BO，CD=PO， ∴PO+PD=CD+OB， 即OA+AD=OB+CD， 又∵OA=OB， ∴AD=CD， ∴∠CAD=45°， ∴∠CAD=∠QAO=45°， ∴OQ=OA=3， 即点Q的坐标为（0，-3）． 考点：待定系数法求一次函数解析式；全等三角形的判定和性质． 25. 如图①，正方形中，点O是对角线的中点，点P是线段上（不与A，O重合）的一个动点，过点P作且交边于点E． （1）尺规作图：在图①中，过点P作的垂线，垂足为M（不要求写作法，保留作图痕迹）并求证：． （2）如图②，若正方形的边长为6，过E作于点F，在P点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由． （3）如图③，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1） 如图， 点M即为所作， 设交于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）的长度不发生变化，为定值是 （3） 【解析】 【分析】本题考查用正方形性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件和性质进行有条理的思考和表达能力.利用条件构造三角形全等是解题的关键． （1）作辅助线，构建全等三角形，根据证明可得结论； （2）如图， 连接， 通过证明≌得，则为定值是； （3）根据和是等腰直角三角形， 得整理可得结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 在点运动的过程中，的长度不发生变化，理由是： 如图， 连接， ∵点是正方形对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得： ， ∴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∴为定值是 ； 【小问3详解】 如图， 理由是： ， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知：， ∴， 是等腰直角三角形， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $