第12章 第14讲 全等三角形-2024-2025学年人教版八年级数学上册点拨训练

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12章 第14讲 全等三角形 学习目标 1.了解全等形和全等三角形的概念. 2.能够找出全等三角形的对应元素. 3.掌握全等三角形的对应边、角相等. 【重点】探究全等三角形的性质. 【难点】掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素. 老师告诉你 全等三角形的性质的作用： 1.求角的度数 2.证明两个角相等 3.求线段的长度 4.证明两条线段相等 5.判断两条直线的位置关系 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 全等图形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 在平面几何中，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 【新知导学】 例1-1．如图所示的各组图形中，不是全等形的是（　　） A. B. C. D. 【对应导练】 1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（　　） A. B. C. D. 2．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（　　） A. B. C. D. 3．下列说法正确的是（　　） A. 两个面积相等的图形一定是全等图形 B. 两个正方形是全等图形 C. 若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形 D. 两个全等图形的面积一定相等 4．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是_____（填序号）． 知识点2 全等三角形及其对应元素 1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2.对应边、对应角、对应顶点的定义： 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【新知导学】 例2-1 .下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号） 例2-2 .已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（   ） A．与是对应边 B．与是对应边 C．与是对应边 D．不能确定 的对应边 【对应导练】 1．如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是 2 .如图，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，对于以下结论： ①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角， 其中正确的是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3 .如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边． 知识点3 全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等； （2）全等三角形的对应角相等； 后面还会学到：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【新知导学】 例3-1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（　　） A. 60° B. 55° C. 65° D. 66° 例3-2．如图，若△ABC≌△DEF，B，E，C，F四点在同一直线上，BC=7，CF=2，则EC的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 例3-3．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2． （1）求∠F的度数与DH的长； （2）求证：AB∥DE． 【对应导练】 1 .如图，，若，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 2．如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F=∠A，求证：AD∥BF． 3．已知，如图∠B=90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三点共线．试说明：AC⊥CE． 4．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F． （1）求证：∠CAE=∠BAD； （2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数． 2、 题型训练 1. 利用全等三角形性质判断两直线的位置 1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE． 求证：（1）△ACD≌△BEC； （2）CF⊥DE． 2.如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明： （1）BD=DE+CE； （2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE． 2. .利用全等三角形求角度 3．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F． （1）求证：∠CAE=∠BAD； （2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数． 4．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE=10，BC=4，∠D=30°，∠C=70°． （1）求线段AE的长． （2）求∠DBC的度数． 3. 利用全等三角形求周长 5 .如图，△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，求DF的长． 6．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4． （1）求∠CBE的度数． （2）求△CDP与△BEP的周长和． 4. 利用全等三角形判断图形形状 7 .如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4． (1)求∠BAC的度数； (2)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积． 3、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是( ) A. B. C. D. 2．下图中全等的三角形是( ) A.①和② B.②和④ C.②和③ D.①和③ 3．如图,,且,,则的度数的值为( ) A. B. C. D. 4．如图，，，，则的长度为( ) A. B. C. D. 5．如图，若，则下列结论中一定成立的是( ) A. B. C. D. 6．2.下列图形中是全等形的是( ) A. B. C. D. 7．如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，则EC的长为( ) A.5 B.4.5 C.4 D.3.5 8．三个全等三角形按如图的形式摆放,则的度数是( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知，且的周长为6，若，则DF的长为_________. 10．如图，D在边上，，，则的度数为______. 11．如图，四边形四边形，若，，，则____________°. 12．如图，在平面直角坐标系中，，则点D的坐标是__________. 13．如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动.设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为_____. 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）试在下列图形中，沿正方形的网格线（虚线）画线，将图形分割成两个全等的图形. 15．（8分）如图，A，C，E三点在同一直线上，且. （1）求证：. （2）若，求证：. 16．（8分）如图，在中，cm，cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以a cm/s的速度运动，设运动的时间为t s. （1）求CP的长度（用含t的代数式表示）； （2）若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且和是对应角，求a的值. 17．（8分）如图，，其中点A,B,C,D在一条直线上. （1）若，，求的度数； （2）若cm，cm，求AB的长. 18．（8分）如图，已知，点D在上，与交于点P. （1）若，，求的 度数. （2）若，，求与的周长之和. 19．如图，试说明: (1) (2) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12章 第14讲 全等三角形（解析版） 学习目标 1.了解全等形和全等三角形的概念. 2.能够找出全等三角形的对应元素. 3.掌握全等三角形的对应边、角相等. 【重点】探究全等三角形的性质. 【难点】掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素. 老师告诉你 全等三角形的性质的作用： 1.求角的度数 2.证明两个角相等 3.求线段的长度 4.证明两条线段相等 5.判断两条直线的位置关系 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 全等图形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 在平面几何中，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 【新知导学】 例1-1．如图所示的各组图形中，不是全等形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 解：观察发现，A、C、D选项的两个图形都可以完全重合，是全等图形， B选项中圆与椭圆不可能完全重合，不是全等形． 故选：B． 【对应导练】 1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据全等形的概念进行判断即可． 解：A、长方形被对角线分成的两部分是全等形； B、正六边形被对角线分成的两部分是全等形； C、梯形被对角线分成的两部分不是全等形； D、圆被对角线分成的两部分是全等形， 故选：C． 2．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据全等图形的概念分析即可． 解：A、该图象是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图象是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图象不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图象是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．下列说法正确的是（　　） A. 两个面积相等的图形一定是全等图形 B. 两个正方形是全等图形 C. 若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形 D. 两个全等图形的面积一定相等 【答案】D 【解析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可． 解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，说法错误，不符合题意； B、两个边长相等的正方形是全等图形，说法错误，不符合题意； C、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等图形，说法错误，不符合题意； D、两个全等图形的面积一定相等，说法正确，符合题意； 故选：D． 4．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是_____（填序号）． 【答案】（1）（4）（5） 【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 解：5组图案，其中是全等形的是（1）（4）（5）． 故答案为：是（1）（4）（5）． 知识点2 全等三角形及其对应元素 1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 2.对应边、对应角、对应顶点的定义： 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 3. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【新知导学】 例2-1 .下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号） 【答案】①③ 【分析】先求出的度数，然后分析求解即可. 【详解】解：在③中，， ∴与①中的相等，并且两夹边对应相等， ∴属于全等的2个图形是①③ 故答案为①③. 【点评】本题考查了三角形全等的条件，熟悉全等三角形的判定定理是解题的关键. 例2-2 .已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（   ） A．与是对应边 B．与是对应边 C．与是对应边 D．不能确定 的对应边 【答案】A 【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案． 解：与是对应角，和是对应角， 和是对应角， 与是对应边， 故选A． 【点拨】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键． 【对应导练】 1．如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是 【答案】C 【解析】甲可根据ASA判定与△ABC全等；乙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案． 解：甲三角形夹b边的两角分别与已知三角形对应相等，故甲与△ABC全等； 乙三角形50°内角及所对边与△ABC对应相等且均有70°内角，可根据AAS判定乙与△ABC全等； 则与△ABC全等的有乙和甲， 故选：C． 2 .如图，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，对于以下结论： ①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角， 其中正确的是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由全等三角形的对应边相等、对应角相等对以下结论进行判定． 【详解】解：△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D． ①AB与CD是对应边．故①正确； ②AC与CA是对应边．故②正确； ③点A与点C是对应顶点．故③错误； ④点C与点A是对应顶点．故④错误； ⑤∠ACB与∠CAD是对应角．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②⑤，共有3个． 故选B． 3 .如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边． 【答案】．对应角是：与，与； 对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD． 【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案． 解：   ． 因为与是对应角，所以其余的对应角是： 与，与； 对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD． 【点拨】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键． 知识点3 全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等； （2）全等三角形的对应角相等； 后面还会学到：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【新知导学】 例3-1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（　　） A. 60° B. 55° C. 65° D. 66° 【答案】C 【解析】直接利用全等三角形的性质得出∠1=∠2进而得出答案． 解：∵如图是两个全等三角形， ∴∠1=∠2=180°-60°-55°=65°． 故选：C． 例3-2．如图，若△ABC≌△DEF，B，E，C，F四点在同一直线上，BC=7，CF=2，则EC的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】利用全等三角形的性质可得BC=EF=7，再利用线段的和差关系计算即可． 解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF=7， ∴CF=2， ∴EC=EF-CF=7-2=5， 故选：C． 例3-3．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2． （1）求∠F的度数与DH的长； （2）求证：AB∥DE． 【解析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠F=∠ACB，即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出∠B=∠DEF，根据平行线的判定得出即可． 解：（1）∵∠A=85°，∠B=60°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=35°， ∵△ABC≌△DEF，AB=8， ∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8， ∵EH=2， ∴DH=8-2=6； （2）证明：∵△ABC≌△DEF， ∴∠DEF=∠B， ∴AB∥DE． 【对应导练】 1 .如图，，若，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质得到，，最后利用三角形外角的性质求解即可． 解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 2．如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F=∠A，求证：AD∥BF． 【解析】根据△ABE≌△DCE得到∠A=∠ADC，然后利用∠F=∠A得到∠F=∠EDC，利用同位角相等，两直线平行证得结论． 证明：∵△ABE≌△DCE， ∴∠A=∠ADC， ∵∠F=∠A， ∴∠F=∠EDC， ∴AD∥BF． 3．已知，如图∠B=90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三点共线．试说明：AC⊥CE． 【解析】根据Rt△ABC≌Rt△CDE可得∠BCA=∠CED，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CED+∠ECD=90°，进而得到∠BCA+∠ECD=90°，再根据角之间的关系可得∠ACE=90°． 证明：∵∠B=90°，△ABC≌△CDE， ∴∠D=90°， ∴∠BCA=∠CED， ∵△DCE是直角三角形， ∴∠CED+∠ECD=90°， ∴∠BCA+∠ECD=90°， ∴∠ACE=180°-90°=90°， ∴AC⊥CE． 4．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F． （1）求证：∠CAE=∠BAD； （2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数． 【解析】（1）根据全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAE，再求出答案即可； （2）根据全等三角形的性质得出∠D=∠B，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，求出∠BED=∠BAD即可． （1）证明：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE， ∴∠CAE=∠BAD； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠D=∠B， ∵∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°， ∴∠BED=∠BAD， ∵∠BAD=35°， ∴∠BED=35°． 2、 题型训练 1. 利用全等三角形性质判断两直线的位置 1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE． 求证：（1）△ACD≌△BEC； （2）CF⊥DE． 【解析】（1）根据平行线性质求出∠A=∠B，根据SAS推出即可． （2）根据全等三角形性质推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出即可． 证明：（1）∵AD∥BE， ∴∠A=∠B， 在△ACD和△BEC中 ∴△ACD≌△BEC（SAS）， （2）∵△ACD≌△BEC， ∴CD=CE， 又∵CF平分∠DCE， ∴CF⊥DE． 2.如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明： （1）BD=DE+CE； （2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠ADB=90°． 【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可； （2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根据平行线的判定求出即可． 【详解】解：（1）∵△BAD≌△ACE， ∴BD=AE，AD=CE， ∴BD=AE=AD+DE=CE+DE， 即BD=DE+CE； （2）△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE， 理由是：∵△BAD≌△ACE， ∴∠E=∠ADB=90°， ∴∠BDE=180°−90°=90°=∠E， ∴BD∥CE． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力． 2. .利用全等三角形求角度 3．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F． （1）求证：∠CAE=∠BAD； （2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数． 【解析】（1）根据全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAE，再求出答案即可； （2）根据全等三角形的性质得出∠D=∠B，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，求出∠BED=∠BAD即可． （1）证明：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE， ∴∠CAE=∠BAD； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠D=∠B， ∵∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°， ∴∠BED=∠BAD， ∵∠BAD=35°， ∴∠BED=35°． 4．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE=10，BC=4，∠D=30°，∠C=70°． （1）求线段AE的长． （2）求∠DBC的度数． 【解析】（1）根据全等三角形的性质得到AB=DE=10，BE=BC=4，结合图形计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠D=30°，∠DBE=∠C=70°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可． 解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE=10，BC=4， ∴AB=DE=10，BE=BC=4， ∴AE=AB-BE=6； （2）∵△ABC≌△DEB，∠D=30°，∠C=70°， ∴∠BAC=∠D=30°，∠DBE=∠C=70°， ∴∠ABC=180°-30°-70°=80°， ∴∠DBC=∠ABC-∠DBE=10°． 3. 利用全等三角形求周长 5 .如图，△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，求DF的长． 【解析】直接利用全等三角形的性质得出AC=AD，进而得出答案． 解：∵△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5， ∴AC=AD=12，AE=AF=5， ∴DF=12-5=7． 6．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4． （1）求∠CBE的度数． （2）求△CDP与△BEP的周长和． 【解析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC=∠DBE，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可． 解：（1）∵∠ABE=162°，∠DBC=30°， ∴∠ABD+∠CBE=132°， ∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC=∠DBE， ∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°， 即∠CBE的度数为66°； （2）∵△ABC≌△DBE， ∴DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4， ∴△CDP与△BEP的周长和=DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5． 4. 利用全等三角形判断图形形状 7 .如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4． (1)求∠BAC的度数； (2)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积． 【答案】(1)90° (2) 等腰直角三角形，8 【分析】(1)根据垂直的定义得到∠D=90°，求得∠DBA+∠BAD=90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA=∠CAE，等量代换即可得到结论； (2)根据全等三角形的性质得AC=AB=4，再根据三角形的面积求出答案． 【详解】（1）解：∵BD⊥DE， ∴∠D=90°， ∴∠DBA+∠BAD=90°， ∵△ABD≌△CAE， ∴∠DBA=∠CAE ∴∠BAD+∠CAE=90°， ∴∠BAC=90°； （2）解：∵△ABD≌△CAE， ∴AC=AB=4， 又∵∠BAC=90° ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴△ABC的面积=4×4÷2=8． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的面积公式，证得△ABC是直角三角形是解决本题的关键． 3、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是( ) A. B. C. D. 【答案】：A 解析：观察选项可知，选项B，C，D中的虚线把图形分成全等的两部分， 故选：A. 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2．下图中全等的三角形是( ) A.①和② B.②和④ C.②和③ D.①和③ 【答案】D 解析：A、①和②，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意； B、②和④，5cm分别是图②和图④30°的邻边和对边，两个三角形不全等，不符合题意； C、②和③，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意； D、①和③，SAS，两个三角形全等，符合题意； 故选D. 【点拨】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键． 3．如图,,且,,则的度数的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 解析:,, ,, , , , . 故选:D. 【点拨】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 4．如图，，，，则的长度为( ) A. B. C. D. 【答案】B 解析：， ，， . 故选：B. 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 5．如图，若，则下列结论中一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】：B 解析：， ，，，， ， 即. 故A，C，D选项错误，B选项正确， 故选：B. 【点拨】本题考查了全等三角形的性质，，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键． 6．2.下列图形中是全等形的是( ) A. B. C. D. 【答案】：D 解析：A.两个图形不能完全重合，不是全等形； B.两个图形不能完全重合，不是全等形； C.两个图形不能完全重合，不是全等形； D.两个图形能完全重合，是全等形； 故选：D. 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 7．如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，则EC的长为( ) A.5 B.4.5 C.4 D.3.5 【答案】：B 解析：，， ， ，， ， ， 故选：B. 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 8．三个全等三角形按如图的形式摆放,则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 解析:如图所示: 由图形可得:, 三个全等三角形, , 又, , 的度数是. 故选:D. 【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知，且的周长为6，若，则DF的长为_________. 【答案】2.1 解析：，， ， 的周长为6， ， 故答案为：2.1. 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等。 10．如图，D在边上，，，则的度数为______. 【答案】 解析：， ，， ，， 中，， ， 故答案为：. 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 11．如图，四边形四边形，若，，，则____________°. 【答案】105 解析：四边形四边形， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：105. 【点评】本题主要考查了全等图形的定义，解题的关键是熟练掌握形状和大小都相同的图形是全等图形． 12．如图，在平面直角坐标系中，，则点D的坐标是__________. 【答案】 解析：，，点D的坐标是. 【点评】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，掌握全等三角形性质是解题的关键． 13．如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动.设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为_____. 答案：2或7 解析：正方形ABCD, ，， 是直角三角形， 为直角三角形， 点P只能在上或者上， 当点P在上时，如图，当时，有， ， ， ， 当点P在上时，则当时，有， ， 故答案为：2或7. 【点评】本题考查了全等三角形的性质，明确全等三角形的对应角所对的边为对应边是解本题的关键. 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）试在下列图形中，沿正方形的网格线（虚线）画线，将图形分割成两个全等的图形. 答案：如图所示. 解析： 15．（8分）如图，A，C，E三点在同一直线上，且. （1）求证：. （2）若，求证：. 答案：（1）见解析 （2）见解析 解析：（1）， ，， ， ； （2）， ，， ， . 【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力． 16．（8分）如图，在中，cm，cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以a cm/s的速度运动，设运动的时间为t s. （1）求CP的长度（用含t的代数式表示）； （2）若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且和是对应角，求a的值. 答案：（1）因为cm，cm， 所以cm. （2）①当时，因为，D为AB的中点， 所以，所以，解得. 此时， 所以，即，解得. ②当时，，解得. 此时， 所以，即，解得. 综上所述，a的值为3或. 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 17．（8分）如图，，其中点A,B,C,D在一条直线上. （1）若，，求的度数； （2）若cm，cm，求AB的长. 答案：（1），. ， ， . （2），， ，即. cm，cm， （cm）， cm. 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 18．（8分）如图，已知，点D在上，与交于点P. （1）若，，求的 度数. （2）若，，求与的周长之和. 答案：（1）, , 即, （2）, , 【点拨】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 19．如图，试说明: (1) (2) 答案：(1) (2)时, 理由如下: (添加的条件是) 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定等，灵活选择性质和判定定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$