精品解析：辽宁省盘锦市兴隆台区辽河油田实验中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

辽河油田实验中学九年级（一）假期作业检测数学试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 B. 若AB＝AD，则▱ABCD是矩形 C. 若AB⊥BC，则▱ABCD是正方形 D. 若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 4. 正比例函数的图象经过一、三象限，则抛物线的大致图象是（ ） A B. C. D. 5. 在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，所有学生共握手231次．若设参加此会的学生为名，据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象与轴的交点是 C. 随着的增大而减小 D. 图象与坐标轴围成的三角形面积是9 7. 下列说法正确的是（ ） A. 九年级某班的英语测试平均成绩是95.5分，说明每个同学的得分都是95.5分 B. 数据，，，，的中位数和众数都是5 C. 要了解一批日光灯使用寿命，应采用全面调查 D. 若甲、乙两组数据中各有15个数据，两组数据的平均数相等，方差，，则说明乙组数数据比甲组数据稳定 8. 二次函数的图象如何平移可得到的图象（ ） A. 向左平移2个单位，向上平移9个单位 B. 向右平移2个单位，向上平移9个单位 C. 向左平移2个单位，向下平移9个单位 D. 向右平移2个单位，向下平移9个单位 9. 甲乙两人匀速从同一地点到1500米处图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走，设甲乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s关于t的函数图象的一部分如图所示．下列结论正确的个数是（ ） （1）时，；（2）甲的速度是30米/分；（3）时，；（4）乙到达终点时甲距离终点还有450米． A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图1．点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（ ）． A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点在轴上，则点关于原点对称点的坐标是______． 12. 如图，线段为等腰的底边，矩形的对角线与交于点，若，则______． 13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC＝3，DE＝1，则线段BD的长为 ___． 14. 若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是______． 15. 已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为______． 三．解答题（共8小题，本题共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． 17. 学校九年级甲、乙两班在参加全校演讲比赛的预选赛中，每班随机抽取5名的成绩分别为：甲班：86，85，77，92，85；乙班：79，85，92，85，89；通过数据分析．列表如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 甲 85 22.8 乙 85 85 19.2 （1）表中______，______，______． （2）你认为哪个班级抽取的5名同学的成绩较好？说明理由． （3）规定大于或等于85分为优秀，九年级现有学生920人．请估计全年级的优秀人数有多少人？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交于为点，且与正比例函数的图象的交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）直接写出：当时的取值范围； （3）若点是轴上一点，且的面积为6，请直接写出点的坐标． 19. 如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上一点，若． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 20. 足球训练中，小辉从球门正前方8米A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 21. 某商场销售一批商品，当每件盈利10元时，可售出500件．经调查发现，在一定范围内，每件商品的单价每涨1元，商场可少售出10件. （1）如果商场通过销售这批商品要盈利8000元，这种商品的单价应涨多少元? （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品涨价多少元时，商场盈利最多？ 22. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：将绕点逆时针旋转，如图②，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程：若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接． ①的度数是______． ②若，求线段的长是多少？ 23. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是． （1）函数和中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； （2）如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽河油田实验中学九年级（一）假期作业检测数学试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 若，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据已知不等式求出的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ∴方程没有实数根． 故选：A． 3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 B. 若AB＝AD，则▱ABCD是矩形 C. 若AB⊥BC，则▱ABCD是正方形 D. 若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、C错误，D正确；即可得出结论． 【详解】∵▱ABCD中，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，选项A不符合题意； ∵▱ABCD中，AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形，不一定是矩形，选项B不符合题意； ∵▱ABCD中，AB⊥BC， ∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，选项C不符合题意； ∵▱ABCD中，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键． 4. 正比例函数的图象经过一、三象限，则抛物线的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过一次函数图像经过一三象限得到k的取值范围，再通过二次项系数大于零判断开口方向，最后通过对称轴的正负判断二次函数对称轴在y轴的左边还是右边即可． 【详解】因为一次函数通过一三象限 所以 所以二次函数开口向上 故C、D项错 对称轴 所以二次函数对称轴在y轴右边 故选：A． 【点睛】此题考查了正比例函数与二次函数的图象与各系数的关系．此题有一定的综合性，注意仔细识图． 5. 在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，所有学生共握手231次．若设参加此会的学生为名，据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键． 设参加此会的学生为名，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】设参加此会的学生为名， 根据题意得，． 故选：C． 6. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象与轴的交点是 C. 随着的增大而减小 D. 图象与坐标轴围成的三角形面积是9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，能根据一次函数的比例系数k和截距b判断函数的图象与性质是解决本题的关键． 将点的横坐标代入解析式即可得到纵坐标，以此来判断A、B选项是否正确，根据一次函数“时，y随x的增大而增大，时，要随x的增大而减小”即可判断C选项，求出一次函数与x轴和y轴的交点坐标即可求得底和高，进而判断D选项的正误． 【详解】将代入得， ∴直线经过，选项A错误； 将代入得， 直线与y轴交点坐标为，选项B错误． ， 一次函数中，y随x的增大而减小，选项C正确． 将代入得， 解得， 直线与x轴交点坐标为， 直线与坐标轴围成的三角形的面积为，选项D错误． 故选：C． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 九年级某班的英语测试平均成绩是95.5分，说明每个同学的得分都是95.5分 B. 数据，，，，的中位数和众数都是5 C. 要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查 D. 若甲、乙两组数据中各有15个数据，两组数据的平均数相等，方差，，则说明乙组数数据比甲组数据稳定 【答案】D 【解析】 【分析】考查全面调查、抽样调查的意义，中位数、众数、平均数以及方差的意义，根据选项内容逐个进行剖析，判断正误，做出选择即可． 【详解】解：A.英语测试平均成绩是95.5，说明这个班的英语成绩的平均水平是95.5分，并不是每个同学的得分都是95.5分，因此选项不符合题意， B. 数据，，，，的中位数是4和众数是5，因此选项不符合题意， C.要了解一批日光灯的使用寿命，应采用抽查的方式，不能采取全面调查，也没有全面调查的必要，因此选项不符合题意， D.甲的方差比乙的方差大，因此乙数据比较稳定，因此选项符合题意， 故选：D． 8. 二次函数的图象如何平移可得到的图象（ ） A. 向左平移2个单位，向上平移9个单位 B. 向右平移2个单位，向上平移9个单位 C. 向左平移2个单位，向下平移9个单位 D. 向右平移2个单位，向下平移9个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的平移问题． 根据配方法，可得顶点式解析式，根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案． 【详解】 ∴二次函数向左平移2个单位，向下平移9个单位可得到的图象． 故选：C． 9. 甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走，设甲乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s关于t的函数图象的一部分如图所示．下列结论正确的个数是（ ） （1）时，；（2）甲的速度是30米/分；（3）时，；（4）乙到达终点时甲距离终点还有450米． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是正确分析图象中的数据． 由图象可判断（1）；利用前5分可求出甲的速度，即可判断（2）；根据乙追上甲是两人行走的路程相等列方程求解即可判断（3）；求出乙到达终点所用的时间，进而列式即可求出甲到终点的距离，即可判断（4）． 【详解】由图象可得，当时，，故（1）正确； 甲的速度为（米/分），故（2）正确； 根据题意得，当乙追上甲时， 解得 ∴当时，，故（3）正确； 乙到达终点用时（分） ∴此时甲离终点的距离为（米），故（4）正确； 综上所述，正确的个数是4个． 故选：D． 10. 如图1．点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（ ）． A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理的应用，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型．根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出线段长度解答即可． 【详解】解：根据题意观察图象可得，点P在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为4，即：时，， 又∵， 因点P从点C运动到点A， 根据函数对称性可得， ∴的面积． 故选：B 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点在轴上，则点关于原点对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特点以及原点对称的点的坐标，根据在y轴的对点的坐标特点横坐标为零，可得a的值，然后再根据关于原点对称，横纵坐标都相反可求出答案. 【详解】解：点轴上， ∴， ∴，， ∴, ∴点关于原点对称点的坐标是， 故答案为：. 12. 如图，线段为等腰的底边，矩形的对角线与交于点，若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和对等腰三角形性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键； 先求出矩形的对角线的长，得到取值，再利用等腰三角形的性质直接得到的值 【详解】解：矩形的对角线与交于点，， ，， ， 线段为等腰底边， ， 故答案为：6． 13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC＝3，DE＝1，则线段BD的长为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得、D，再根据全等三角形的性质、勾股定理可求得，再次利用勾股定理解即可得解． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转，得到 ∴，D ∴，，， ∵， ∴ ∴在中， ∴ ∴在中，． 故答案是： 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 14. 若抛物线与轴有两个不同交点，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确二次函数（是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系，决定抛物线与轴的交点个数．本题抛物线与轴有两个交点，则，然后解不等式即可． 【详解】∵抛物线与轴有两个不同的交点 ∴ 解得： ∵该函数为二次函数 ∴ ∴且． 故答案为：且． 15. 已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，分两种情况进行分析：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y随x的增大而减小，利用待定系数法求解即可得出结果． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， ∵当时，， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，当时，， ∴， 解得,， ∴； 故答案为：或． 三．解答题（共8小题，本题共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ∴，； 【小问2详解】 ，， ∴，； 【小问3详解】 ∴或 ∴，． 17. 学校九年级甲、乙两班在参加全校演讲比赛的预选赛中，每班随机抽取5名的成绩分别为：甲班：86，85，77，92，85；乙班：79，85，92，85，89；通过数据分析．列表如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 甲 85 22.8 乙 85 85 19.2 （1）表中______，______，______． （2）你认为哪个班级抽取的5名同学的成绩较好？说明理由． （3）规定大于或等于85分为优秀，九年级现有学生920人．请估计全年级的优秀人数有多少人？ 【答案】（1）86，85，85 （2）乙班前5名同学的成绩较好 （3）人 【解析】 【分析】本题考查方差、算术平均数、中位数、众数； （1）根据平均数求，根据中位数的定义求，根据众数定义求的值； （2）根据方差、算术平均数、中位数、众数比较两个班前5名同学的成绩即可； （3）求出优秀的比例，再计算九年级的优秀人数即可． 【小问1详解】 解：甲班： 77，85，85，86，92；乙班：79，85，92，85，89； ∴乙班平均分为：， 甲班中位数为85，即， 乙班出现次数最多的是85，故众数为85，则， 故答案为：86，85，85； 【小问2详解】 乙班5名同学的成绩较好， 理由：两个班中位数和众数一样，但是乙班平均分更高，且方差更小说明成绩更加稳定，所以乙班5名同学的成绩较好． 【小问3详解】 全年级的优秀人数有（人）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交于为点，且与正比例函数的图象的交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）直接写出：当时的取值范围； （3）若点是轴上一点，且的面积为6，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点P 的坐标为或 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式数形结合思想应用和几何图形的结合， （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法A、C两点坐标代入即可得到一次函数解析式； （2）利用数形结合的思想，结合点C的坐标即可求得满足题意得解集； （3）利用的面积和点B 的坐标，即可得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵正比例函数的图象过点， ∴，解得， 则点， 则，解得， 那么，一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点，且， ∴； 【小问3详解】 解：当时， ，则点， ∵的面积为6，点， ∴， 解得：， ∴点P 的坐标为或． 19. 如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上一点，若． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，再由等腰三角形的性质可证，即可得出结论； （2）由（1）知，四边形是菱形得到，，然后证明出，得到，则平行四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，理由如下： 由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 20. 足球训练中，小辉从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球不能射进球门 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线解析式； （1）根据题意得到顶点的坐标和点A的坐标，再根据抛物线的顶点式可设抛物线为，再将点A的坐标代入即可求得a，从而得到答案； （2）当时，求出球的高度，判断是否超过球门高度2.44米，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，抛物线顶点坐标为： ， 设抛物的解析式为：， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴球不能射进球门． 21. 某商场销售一批商品，当每件盈利10元时，可售出500件．经调查发现，在一定范围内，每件商品的单价每涨1元，商场可少售出10件. （1）如果商场通过销售这批商品要盈利8000元，这种商品的单价应涨多少元? （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品涨价多少元时，商场盈利最多？ 【答案】（1）这种商品的单价应涨30元或10元 （2）每件商品涨价元时，商场盈利最多 【解析】 【分析】考查了二次函数及其应用问题； （1）总利润每件利润销售量．每件衬衫应涨价元，据题意可得利润表达式列方程求解即可； （2）设每天利润为元，根据函数关系式，运用函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：设衬衫的单价应涨价元， 由题意得：， 解之，得：， ∴这种商品的单价应涨30元或10元． 【小问2详解】 设每天利润为元，每件衬衫应涨价元， 由题意得：， 当时，盈利最多为元． ∴每件商品涨价元时，商场盈利最多． 22. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：将绕点逆时针旋转，如图②，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程：若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接． ①的度数是______． ②若，求线段的长是多少？ 【答案】探究：成立；应用：①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质； 探究：只需要利用证明即可证明； 应用：①由等腰直角三角形的性质得到，再证明即可得到； ②先由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，，则，，则根据计算即可． 【详解】探究：成立，证明如下： 和都是等腰直角三角形， ，， 由旋转的性质可得， ， ； 应用：①和都是等腰直角三角形， ，， ， ，，， ， ； 故答案为：； ②， ， ， ，， ，； ． 23. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是． （1）函数和中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； （2）如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将函数化成顶点式，由二次函数的图象与性质可知，有最小值，，故函数不是有上界函数；根据一次函数的性质可知函数的增减性，由此可得答案； （2）将函数化成顶点式，分，，三种情况讨论，即可求出的值． 【小问1详解】 解：， ， 二次函数图象开口向上， 当时，有最小值， ， 不是有上界函数； ， ， 随的增大而增大， 又， 当时，有最大值， ， 是有上界函数，上确界为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 可知，该二次函数图象的对称轴为直线， ， 二次函数图象开口向下， 分三种情况讨论： 当时， ， 随增大而减小， 当时，有最大值， 的最大值为， 函数是以为上确界的有上界函数， 根据题意可得：， 解得：； 当时， ， 当时，有最大值， 的最大值为， 函数是以为上确界的有上界函数， 根据题意可得：， 解得：， 这与相矛盾，故舍去； 当时， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值， 的最大值为， 函数是以为上确界的有上界函数， 根据题意可得：， 解得：； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了将二次函数化成顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，一次函数的性质（判断一次函数的增减性），解一元一次方程，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$