专题02 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题02.三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.“8”字模型 2 模型2.“A”字模型 2 模型3.三角板拼接模型 3 48 模型1.“8”字模型 “8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌ 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图， 度． 例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点． ①若，求的度数； ②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； (3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． 例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 模型2.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的数量关系为(   ) A．∠1+∠2>∠3+∠4 B．∠1+∠2<∠3+∠4 C．∠1+∠2=∠3+∠4 D．数量关系取决于∠C的度数 例3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）在学习完三角形的内角、外角相关知识后，利用三角形的内角和同学们很容易证明三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系．于是，爱思考的小红在想，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ ①尝试探究：如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？ 解：数量关系：． 理由：∵与分别为的两个外角， ∴．∴． ∵三角形的内角和为，∴． ∴． 小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题． ②初步应用：（1）如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则 ； （2）如图3，在中，分别平分外角，则与有何数量关系？ ；（直接填答案）；③拓展提升：（3）如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）。 模型3.三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）： 例1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·福建厦门·八年级统考期末）将一副三角板如图摆放，若，点F在边上，顶点A，C，D在同一直线上，则下列角的大小为的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023春·四川广元·七年级校联考期中）如图所示，将一副三角板按如图放置，有下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 例4．（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒．    (1)当______秒时，；当______秒时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若有两个内角相等，求的值； (3)当边与边、分别交于点、时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 1．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广西南宁·七年级校考阶段练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：①如果，则；②； ③如果，则；④如果，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）一副三角板如图摆放，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 5．（2022春·山东烟台·七年级统考期中）如图，在中，沿图中虚线截去，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 7．（2023秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 8．（2023·全国·八年级期中）如图，将一副直角三角板如图放置，．若边经过点D，则 ． 9．（2023春·七年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 10．（2023·广东·八年级假期作业）如图，若，则 ． 11．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 12．（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，与的大小是否满足某种确定的数量关系？    (1)特殊探究：若，则　 　度，　 　度，　 　度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，请直接写出与满足的数量关系式． 13．（2022·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°． (1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数； (2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．              14．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点．探究与是否存在某种确定的数量关系． (1)特殊探究：若，则_____度，_____度，_____度；(2)类比探索：请探究与的关系；(3)类比延伸：如图②，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由． 15．（2023·山东八年级课时练习）(1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于(　　) A．90°  B．135°  C．270°  D．315° (2)如图②，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝________°； (3)根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是______________． 16．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，与的角平分线交于点．    (1)若，，求的度数；(2)直接写出，，的数量关系； (3)若与的大小发生变化，（2）的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子． 17．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）实践与探究 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．    (1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 　 　度． (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数． (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02.三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.“8”字模型 2 模型2.“A”字模型 2 模型3.三角板拼接模型 3 48 模型1.“8”字模型 “8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌ 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角相等可得，然后根据余角定义和三角形内角和定理进行分析即可．此题主要考查了三角形内角和、对顶角及余角和补角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 【详解】解：A、对顶角相等可得，A说法正确，不符合题意； B、，，说法正确，不符合题意； C、与是对顶角，，不能得出，说法错误，符合题意； D、，，，， ，说法正确，不符合题意；故选：C． 例2．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图， 度． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ，， ，故答案为：． 例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点． ①若，求的度数； ②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解．②根据，可得，，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，，∵，∴； （2）解：①∵和的平分线和相交于点P，∴， ∵①，②， 由，得：，即， ∵，∴； ②∵，∴，， ∵，， ∴，， ∴，∴），故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解． 例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； (3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． 【答案】(1)；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解 【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，，，两式相加即可得出结论；（2）根据证即可得出结论； （3）在上取一点，使，连接交于点，证，即，同理证，然后同理（1）得，变形不等式即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ，即； （2）证明：平分，， 在和中，，，； （3）证明：在上取一点，使，连接交于点， 是的角平分线，， 在和中，，，，同理可证， ，，，即， ，． 【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，设，，根据外角的性质得：，，所以，最后由三角形内角和定理可得结论；(3)如图3，延长、交于点，根据（2）的结论，并将，代入可得 结论；（4）如图4，同理计算可得结论． 【详解】（1）在中，，在中，， ∵，∴故答案为： （2）设，， ∵，分别平分，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为： （3）由（2）可知：， ∵，∴，∴，∴， （4）如图4，延长、交于点，设，， ∴，，∴，∴， ∴，∴， ∴，，， ∴故答案为： 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 模型2.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，，， ，，故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的数量关系为(   ) A．∠1+∠2>∠3+∠4 B．∠1+∠2<∠3+∠4 C．∠1+∠2=∠3+∠4 D．数量关系取决于∠C的度数 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理及对顶角相等，即可得到∠1+∠2=∠3+∠4． 【详解】解：∵∠1+∠2=180°-∠C，∠3+∠4=∠CEF+∠CFE=180°-∠C，∴∠1+∠2=∠3+∠4，故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，熟练掌握三角形内角和是180°及对顶角相等是解决问题的关键． 例3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）在学习完三角形的内角、外角相关知识后，利用三角形的内角和同学们很容易证明三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系．于是，爱思考的小红在想，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ ①尝试探究：如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？ 解：数量关系：． 理由：∵与分别为的两个外角， ∴．∴． ∵三角形的内角和为，∴． ∴． 小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题． ②初步应用：（1）如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则 ； （2）如图3，在中，分别平分外角，则与有何数量关系？ ；（直接填答案）；③拓展提升：（3）如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）。 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角和定理，角平分线的定义． （1）根据题意利用外角和定理即可得到本题答案；（2）由尝试探究得，再利用角平分线的定义结合三角形的内角和定理即可求解；（3）根据题意延长线段、线段交于点，利用（2）中所得结论及外角和内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：（1）由题意得：在纸片中剪去， ∵，，∴，故答案为：； （2），由尝试探究得， ∵分别平分外角，∴， ∴， ∴ 故答案为：； （3）数量关系为：，理由如下：如图，延长线段、线段交于点， ， ∵通过（2）得，∴， ∵，又∵， ∴，∴． 模型3.三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）： 例1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和得，继而得到的度数，再根据三角形内角和即可得解．解题的关键是掌握三角形丙角和定理． 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴的大小为．故选：B． 例2．（2023·福建厦门·八年级统考期末）将一副三角板如图摆放，若，点F在边上，顶点A，C，D在同一直线上，则下列角的大小为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角板的特征得到特定角的度数，进一步利用外角和内角和定理分别计算出，，的度数，即可判断． 【详解】解：由三角板可知：，，， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴角的大小为的是，故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和，以及三角板的特征，解题时要熟练根据这些性质逐步计算角的度数． 例3．（2023春·四川广元·七年级校联考期中）如图所示，将一副三角板按如图放置，有下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据三角板的性质，得到对①可进行判断；先求出，利用同旁内角互补两直线平行对②进行判断；利用三角板性质结合已知可求出的度数为，即可对③进行判断；先求出，根据利用同旁内角互补两直线平行对④进行判断． 【详解】解：①，，，故①正确； ②，，，， ，，，故②正确；    ③如图，，， ，， ，，与不垂直，故③错误； ④，，， ，，，故④正确， ①②④正确，故选：． 【点睛】本题考查平行线的判定，三角形内角和，熟练掌握三角板的性质并灵活运用是解答本题的关键． 例4．（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒．    (1)当______秒时，；当______秒时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若有两个内角相等，求的值； (3)当边与边、分别交于点、时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)当为6或15或24时，有两个内角相等(3)是定值，，理由见解析 【分析】（1）由平行和垂直求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间； （2）画出图形，分类讨论，①；②；③，求出旋转角，再求出值；（3）找出与，，，有关的数量关系，再把无关的角消去，得出结论． 【详解】（1）如图，当时， 平分，，， 又为的一个外角，，；         如图，当时，，， ，，．故答案为：3；21． （2）①如图，当时，，，； ②如图，当时， ，，，；       ③如图，当时， ，， 综上所述：当为6或15或24时，有两个内角相等． （3）是为定值105，理由如下： 是的一个外角，是的一个外角， ，， 又，， ，，． 【点睛】本题以求三角形旋转时间为背景，考查了学生对图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质和求等腰三角形内角的掌握情况，第（2）问分情况讨论是解决问题的关键，第（3）问找到三个角之间的关系是关键． 1．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，易得，利用三角形的外角的性质，得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，， ∴，∴；故选C． 【点睛】本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键． 2．（2023·广西南宁·七年级校考阶段练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：①如果，则；②； ③如果，则；④如果，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°， ∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴，故①正确； ∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确； ∵，∠B＝45°，∴∠3＝∠B＝45°， ∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③错误； ∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°， ∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°， ∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正确； 所以其中正确的结论有①②④共3个，故选：C． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 3．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）一副三角板如图摆放，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，由，，，证明，，结合，利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，    ∵，，，∴，， ∵，∴，故选D 【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，理清楚图形中角与角之间的关系是解本题的关键． 4．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四边形内角和为和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，∴， ∵，∴故选：A． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和，解题关键在于根据四边形内角和为和直角三角形的性质求解． 5．（2022春·山东烟台·七年级统考期中）如图，在中，沿图中虚线截去，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据四边形内角和求出∠A+∠B，再利用三角形内角和求出∠C即可． 【详解】解：直线DE与AC、BC分别交于E、D， ∵∠B+∠A+∠1+∠2=360°，，∴∠B+∠A=360°-260°=100°， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=80°．故选择C． 【点睛】本题考查四边形内角和与三角形内角和，本题难度不大，只要掌握四边形内角和与三角形内角和是解题关键． 6．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和求出，，由，求出，再由外角和是即可求出答案． 【详解】解：如图，，，， ，， ，， ，．    【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理、多边形外角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 7．（2023秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记，， ，， 又，， ， ，故选C． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 8．（2023·全国·八年级期中）如图，将一副直角三角板如图放置，．若边经过点D，则 ． 【答案】/15度 【分析】根据三角形外角的性质得到答案． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角板的角度计算，三角形外角的性质的应用，正确理解三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 9．（2023春·七年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 【答案】900° 【分析】根据多边形的内角和，可得答案． 【详解】解：连EF，GI，如图 ， ∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案为：900°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 10．（2023·广东·八年级假期作业）如图，若，则 ． 【答案】230° 【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论． 【详解】解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质． 11．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可． 【详解】解：和是的外角，． 又，． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 12．（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，与的大小是否满足某种确定的数量关系？    (1)特殊探究：若，则　 　度，　 　度，　 　度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，请直接写出与满足的数量关系式． 【答案】(1)125，90，35 (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，结论：或，理由见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求解即可． （2）猜想：．利用三角形内角和定理即可解决问题． （3）结论不成立．分三种情形讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意：，， ．故答案为125，90，35． （2）猜想：． 理由：在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵在中，，∴， ∴，∴． （3）判断：（2）中的结论不成立． ①如图3﹣1中，结论：． 理由：设交于O．        ∵，∴，∴． ②如图4﹣2中，结论： ③如图3﹣7中，结论：． 理由：∵， ∴，∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 13．（2022·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°． (1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数； (2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．              【答案】（1）47°；（2）43° 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论；（2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论． 【详解】解：（1），，， ，，，． 平分交于，平分交于， ，． ，， ，． （2），平分交直线于， ， ，， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角以及邻补角，解题的关键是：（1）根据三角形内角和定理找出；（2）根据三角形内角和定理找出．本题属于中档题，难度不大，但重复用到三角形内角和定义稍显繁琐． 14．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点．探究与是否存在某种确定的数量关系． (1)特殊探究：若，则_____度，_____度，_____度；(2)类比探索：请探究与的关系；(3)类比延伸：如图②，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)；；(2)(3)不成立，，理由见解析 【分析】（1）已知，根据三角形内角和定理易求的度数，已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）由（1）中的度数，的度数，相减即可得到与的关系； （3）由于在中，，在中，，相减即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴， ∴．故答案为：；；． （2）与的关系为：， 理由如下：由（1）得：，∵，∴， ∴． ∴． （3）不成立，存在， 理由如下：在中，， 在中，∵，∴， ∴，∴， ∴．∴（2）中的结论不成立． 【点睛】本题考查三角形内角和，直角三角形两锐角互余．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数． 15．（2023·山东八年级课时练习）(1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于(　　) A．90°  B．135°  C．270°  D．315° (2)如图②，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝________°； (3)根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是______________． 【答案】（1）C；（2）220；（3）∠1＋∠2＝180°＋∠A. 【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； （3）根据（1）（2）可以直接写出结果； 【详解】解：(1)∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角的和为90°， ∴∠1＋∠2＝360°－(∠C＋∠B)＝360°－90°＝270°.故选C. (2)在△ABC中，∠A＝40°，∠C＋∠B＝180°－40°=140° ∴∠1＋∠2＝360°－(∠C＋∠B)＝220°，故答案是：220. (3) 根据（1）（2）的结果可得：∠1＋∠2＝180°＋∠A故答案是：∠1＋∠2＝180°＋∠A 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件． 16．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，与的角平分线交于点．    (1)若，，求的度数；(2)直接写出，，的数量关系； (3)若与的大小发生变化，（2）的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子． 【答案】(1)(2)(3)（2）的结论仍然成立，见解析 【分析】（1）顶角相等可得，，利用三角形的内角和定理得，，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得，，从而求出的度数； （2）顶角相等可得，，利用三角形的内角和定理得，，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得，，从而求出，，的数量关系； （3）的解析可得，时，，的关系与与的大小无关，所以，即（2）的结论仍然成立． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 得，， ∵与的角平分线交于点， ∴，∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 得，， ∵与的角平分线交于点，∴， ∴，∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 得，， ∵与的角平分线交于点， ∴，∴， 此时，，的关系与与的大小无关， 即（2）的结论仍然成立． 【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理和角的和与差，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 17．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）实践与探究 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．    (1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 　 　度． (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数． (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值． 【答案】(1)105(2)(3)或 【分析】操作一：可得出，从而，进而得出； 操作二：延长，交于G，可得出，，由得出，进而得出； 操作三：当第一次时，由，得出，从而得出；当第二次时，在第一次基础上，又旋转，进一步得出结果． 【详解】（1）解：，，， ，， ，故答案为：； （2）解：如图1，延长，交于G，平分，，    由题意得：，， ，； （3）解：如图2，，，， 当点A运动到时，，综上所述：或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及其推论，平行线的判定和性质，图形的旋转等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$