第五章 1 认识方程&2 一元一次方程的解法-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步训练方案(北师大版2024)

1　 认识方程 一元一次方程 1. (3 分)下列各式中,是方程的是(　 　 ) A. 7x-3 = 3x+5　 　 　 B. 4x-7 C. 22 +3 = 7 D. 2x<5 2. (3 分)若方程 2xa-2 -3 = 0 是关于 x 的一元一 次方程,则 a= 　 　 　 　 。 方程的解 3. (3 分)x= 3 是下列哪个方程的解(　 　 ) A. 2x+7 = 11 B. 5x-8 = 2x+1 C. 3x= 1 D. -x= 3 4. [教材习题 2 变式] (6 分) x = -1 是下列方程 的解吗? (1)4x+5 = 8x-3;　 　 　 (2)x2 -3 = 2x。 根据实际问题列一元一次方程 5. 社会发展情境·中国速度 (3 分)中国“最美扶 贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后,张家界到 怀化的运行时间由原来的 3. 5 小时缩短到 1 小 时,运行里程缩短了 40 千米。 已知高铁的平均 速度比普通列车的平均速度每小时快 200 千米, 求高铁的平均速度。 若设高铁的平均速度为 x 千米 / 时,则下列方程正确的是(　 　 ) A. 3. 5x+40 = x-200 B. x+200 = 3. 5(x-40) C. x+40 = 3. 5(x-200) D. 3. 5(x+40)= x-200 6. (8 分)根据题意,列出下列方程. (1)x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 1 3 与 4 的差; (2)天平的 A,B 两个盘内分别盛有 51 g 和 45 g 的盐,应从 A 盘中拿出多少盐放到 B 盘中,才能 使两者所盛盐的质量相等。 若设应从 A 盘中拿 出 x 克盐放到 B 盘中,才能使两者所盛盐的质量 相等; (3)一支球队参加比赛,开局 9 场保持不败, 共积 21 分。 比赛规定胜一场得 3 分,平一场 得 1 分,则该队共胜的场数为多少场。 7. [教材习题 4 变式](3 分)把一批图书分给某 班学生阅读,如果每人分 5 本,则还缺 16 本; 如果每人分 3 本,则剩余 16 本。 设这个班有 学生 x 名,根据题意列方程正确的是(　 　 ) A. 5x-16 = 3x+16　 　 　 B. 5x+16 = 3x-16 C. x +16 3 = x-16 5 D. x +16 5 = x-16 3 8. (3 分)若 mx2 +(k-1) x | k-2 | +5 = 0 是关于 x 的 一元一次方程,则 3m-k2 = 　 　 　 　 。 9. (8 分)若方程( | m | -2) x2 -(m+2) x-6 = 0 是 关于 x 的一元一次方程。 (1)求 m 的值; (2)判断 x= 3,x= - 3 2 ,x= 2 3 是否是方程的解。 07 2　 一元一次方程的解法 第 1 课时　 等式的基本性质 等式的基本性质 1. ( 3 分 ) ( 开 封 月 考 ) 下 列 变 形 中, 正 确 的是(　 　 ) A. 如果 a= b,那么 a+2c= b- 1 2 c B. 如果 a c = b c (c≠0),那么 a= b C. 如果-3x= 3y,那么 x= y D. 如果2x +1 3 -1 = x,那么 2x+1-1 = 3x 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋【注意】根据等式的基本性质,等式两边同时除以一 个数时,需确保这个数不为 0。 利用等式的基本性质解一元一次 方程 2. (3 分)下列解方程正确的有(　 　 ) ①由 y+1 = 3,得 y= 4; ②由 x 2 = -24,得 x= -12; ③由-2y= -8,得 y= 4; ④由 2 3 x= 2,得 x= 3。 A. 1 个　 　 B. 2 个　 　 C. 3 个　 　 D. 4 个 3. (6 分)利用等式的基本性质解方程: (1)8+x= -5; (2)3x-4 = 11。 4. (3 分) 有三种不同质量的物体 “ ” “ ” “ ”,其中,同一种物体的质量都相等,现在 左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物 体, 只 有 一 组 左 右 质 量 不 相 等, 则 该 组 是(　 　 ) A B C D 5. (3 分) (西安期末)根据等式的性质,若等式 m=n 可以变形得到 m+a= n-b,则 a、b 应满足 的条件是(　 　 ) A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D. a= 0,b= 0 6. (7 分)小明对小亮说:“我发现 4 可以等于 3, 你看这里有一个方程 4x-2 = 3x-2,等式的两 边同时加上 2,得 4x = 3x,然后等式的两边同 时除以 x,得 4 = 3。” (1)请你想一想,小明的说法对吗? 为什么? (2)你能求出方程 4x-2 = 3x-2 的解吗? 17 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·七年级数学上册 第 2 课时　 利用移项解一元一次方程 移项 1. (3 分)下列说法中,正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3x= 5+2 可以由 3x+2 = 5 移项得到 B. 1-x= 2x-1 移项后得 1-1 = 2x+x C. 由 5x= 16 得 x= 16 5 这种变形也叫移项 D. 1-7x= 2-6x 移项后得 1-2 = 7x-6x 2. (3 分)在解方程 x-3 = 3x 时,下列移项正确的 是(　 　 ) A. x+3x= 1 B. x-3x= 1 C. x-3x= 3 D. x+3x= 3 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋【易错提醒】移项的依据是等式的基本性质,所以移 项时需注意所移动的项是否改变了符号。 利用移项解一元一次方程 3. (3 分)对于方程 3x-4 = 3-2x,解答过程的正 确顺序是(　 　 ) ①合并同类项,得 5x = 7;②移项,得 3x+2x = 3 +4;③方程两边同除以 5,得 x= 7 5 。 A. ①②③ B. ③②① C. ②①③ D. ③①② 4. (3 分)已知关于 x 的方程 2x+2m = 5-x 的解 是 x= -2,则 m 的值为(　 　 ) A. 1 2 B. - 1 2 C. 11 2 D. - 9 2 5. (3 分)若 2x 的值与 x+3 的值相等,则 x 的值 是　 　 　 　 。 6. (8 分)解下列方程: (1)x-3 = 3 2 x+1; (2)7x+6 = 16-3x。 解方程时移项未变号或将不移动的项 变号致错 7. (5 分)解方程:x-3 = - 1 2 x-4。 8. (3 分)下列变形正确的是(　 　 ) A. 由 8+3x= 15,得 3x= 15+8 B. 由 3x-2 = 2x+3,得 3x+2x= 2+3 C. 由 8x-3 = 3-6x,得 8x+6x= 3+3 D. 由 3x= 2x+5,得 3x-2x= -5 9. ( 3 分 ) ( 平 顶 山 期 末 ) 若 - 2x2m+1y6 与 1 3 x3m-1y10+4n 是 同 类 项, 则 m, n 的 值 分 别 为(　 　 ) A. 2,-1 B. -2,1 C. -1,2 D. -2,-1 10. (3 分)(新郑期末)关于 x 的方程 3x+5 = 0 与 3x+3k= 1 的解相同,则 k= (　 　 ) A. 2 B. 4 3 C. -2 D. - 4 3 11. 中考新趋势·新定义 (3 分)对有理数 a,b 规 定新运算※的定义是:a※b = a+ 2b,则方程 3x※x= 2-x 的解是(　 　 ) A. 1 3 B. 3 C. -3 D. - 1 3 27 第 3 课时　 利用去括号解一元一次方程 去括号 1. (3 分)下列变形不正确的是(　 　 ) A. a+(b-c+d)= a+b-c+d B. a-(b+c-d)= a-b-c+d C. a+b-(c-d)= a+b-c+d D. a+b-( -c+d)= a+b+c+d 2. (3 分)在解方程 2(x-1) -3(2x-3) = 0 时,去 括号正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2x-1-6x+9 = 0 B. 2x-2-6x-3 = 0 C. 2x-2-6x-9 = 0 D. 2x-2-6x+9 = 0 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【归纳总结】去括号时,括号外的因数要与括号内的 每一项相乘,同时注意当括号前是负号时,去括号 后的每一项都要变号。 利用去括号解一元一次方程 3. (3 分)下列是四个同学解方程 2(x-2) -3(4x -1)= 9 的结果,其中正确的是(　 　 ) A. x= -1 B. x= - 8 5 C. x= - 6 5 D. x= 1 4. (3 分)若关于 x 的方程 4-2(x+ 1 2 a) = 0 的解 是 x= -2,则 a 等于(　 　 ) A. -8 B. 0 C. 2 D. 8 5. 学习情境·过程纠错 (8 分)下面是小聪解方 程 2(2x-1)= 8-(3-x)的过程。 解:去括号,得 4x-2 = 8-3-x。 …(第一步) 移项,得 4x+x= 8-3+2。 …(第二步) 合并同类项,得 5x= 7。 …(第三步) 方程两边同时除以 5,得 x= 7 5 。 …(第四步) 根据解答过程完成下列任务。 任务一:第　 　 　 　 步开始出现错误,这一步 错误的原因是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; 任务二:请你根据平时解一元一次方程的经 验,再给其他同学提一条建议 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; 任务三:请你细心地解下列方程: 12-2(2x-1) -3(x+1)= 6。 6. (8 分)解下列方程: (1)x-(3x+2)= 2(x-7); (2)x-2[x-3(x-1)] = 8。 去括号时漏乘项或弄错符号致错 7. (4 分)解方程:2(6-0. 5y)= -3(2y-1)。 37 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·七年级数学上册 8. (3 分)设 P= 2y-2,Q= 2y+3,且 3P-Q= 1,则 y 的值是(　 　 ) A. 0. 4 B. 2. 5 C. -0. 4 D. -2. 5 9. (3 分)已知当 x = 2 时,代数式 a-(3-a) x 的 值是 10,则当 x = - 2 时,这个代数式的值 是(　 　 ) A. 18 B. 16 C. 2 3 D. - 2 3 10. 中考新趋势·新定义 (3 分)对于任意两个有 理数 a,b,规定:a∗b = a-3b。 若 2x∗( -3x- 2)= 28,则 x 的值为(　 　 ) A. 2 B. -22 7 C. 34 11 D. -34 7 11. (3 分)(郑州期末)小明同学买书需用 48 元 钱,付款时恰好用了 1 元和 5 元的纸币共 12 张。 设所用的 5 元纸币为 x 张,根据题意,x 的值是(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 9 12. 学习情境·错解问题 ( 8 分) 王伟在解方程 6( 1 2 x-4) -2x = A-( x- 1) 去括号时,等号右 边括号里的-1 没有变号,因而求得方程的解 是 x= 6,请你正确解出原方程。 13. 生活情境·租车 (8 分)为了帮助学生减轻压 力,学会自我放松,某学校计划组织七年级 学生开展一次“远足行” 活动,去时步行,返 回时坐车。 小明发现:“若租用 35 座的客车 要若干辆,且有 3 人没有座位坐;若租用 40 座的客车,则可以少租 1 辆,且有一辆空 2 个 座位。”求租用 35 座的客车多少辆。 14. 学习情境·阅读理解 (10 分) (无锡期中)先 阅读下列解题过程,然后解答问题。 解绝对值方程: | 2x | = 1。 解:讨论:①当 x≥0 时,原方程可化为 2x= 1, 它的解是 x= 1 2 。 ②当 x<0 时,原方程可 化为-2x= 1,它的解是 x= - 1 2 。 所以原方 程的解为 x= 1 2 或 x= - 1 2 。 (1)依例题的解法,解方程 | 1 2 x | = 2。 (2)尝试解绝对值方程:2 | x-2 | = 6。 47 第 4 课时　 利用去分母解一元一次方程 去分母 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1. (3 分)在解方程3y -1 4 - 1 = 2y +7 12 时,为了去分 母应将方程两边同乘(　 　 ) A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 2. (3 分)方程2x -1 3 -x-1 4 = 1,去分母得到了 8x-4 -3x+3 = 1,这个变形(　 　 ) A. 分母的最小公倍数找错了 B. 漏乘了不含分母的项 C. 分子中的多项式没有添括号,符号不对 D. 正确 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋【点拨】去分母时,不要漏乘不含分母的项,同时注 意不要忽略分数线的括号作用。 利用去分母解一元一次方程 3. (3 分)小组活动中,同学们采用接力的方式求 一元一次方程的解,规则是:每人只能看到前 一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传 递给下一人,最后求出方程的解。 过程如下: 接 力 中, 自 己 负 责 的 一 步 出 现 错 误 的 是(　 　 ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 学习情境·墨迹覆盖 (3 分)某书上有一道解 方程的题:1 +■ 3 + 1 = x,■处在印刷时被油墨 盖住了,查后面的答案知这个方程的解是 x = -2,那么■处应该是(　 　 ) A. 7 B. -10 C. 2 D. -2 5. (3 分) (郑州期末)当 x = 　 　 　 　 时,式子 x-1 2 与 x-2 3 互为相反数。 6. (9 分)解下列方程: (1)3y -2 4 = 2-5y -7 3 。 (2)7x -1 3 -5x+1 2 = 2-3x +1 4 。 (3) x 0. 7 -0. 17-0. 2x 0. 03 = 1。 7. 文化情境·数学文化 (8 分) 《孙子算经》中有 这样一道题,原文如下:今有百鹿入城,家取 一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问:城中家 几何? 大意为:今有 100 头鹿进城,每家取一 头鹿,没有取完,剩下的鹿每 3 家共取一头,恰 好取完,问:城中有多少户人家? 57 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·七年级数学上册 去分母时漏乘项或分子是多项式时未 加括号 8. (3 分)在解方程x -1 3 +x = 3x +1 2 时,方程两边同 时乘 6,去分母后,正确的是(　 　 ) A. 2x-1+6x= 3(3x+1) B. 2(x-1) +6x= 3(3x+1) C. 2(x-1) +x= 3(3x+1) D. (x-1) +x= 3(x+1) 9. (3 分)王老师在如图所示的木板上写了两个 关于 x 的方程,并解出方程①的解比方程②的 解小 4,则 a 的值为(　 　 ) A. 3 2 B. - 3 2 C. 2 D. -2 10. (3 分)(四川期末)若关于 x 的方程kx -1 6 = 1 3 x - 1 2 的 解 为 正 整 数, 则 整 数 k 的 值为(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 或 4 D. 0 或 1 11. (3 分)若方程-2x+1 = 3 的解也是关于 x 的 方程 2-k +x 3 = 0 的解,则 k 的值为　 　 　 　 。 12. 学习情境·错解问题 (8 分)(河南一模)小李 在解方程 3x+5 2 - 2x-m 3 = 1 去分母时,方程右 边的 1 没有乘 6,因而得到方程的解为 x = -4,试求出 m 的值并正确解出方程。 13. 中考新趋势·新定义 (9 分)用“⊕”定义一种 新运算:对于任意有理数 a 和 b,规定 a⊕b = ab2 +2ab+a。 如:1⊕3 = 1×32 +2×1×3+1 = 16。 (1)求( -2)⊕3 的值; (2)若(a +1 2 ⊕3)⊕( - 1 2 )= 8,求 a 的值。 14. 学科素养·整体思想 (9 分)(广州期末)在解 方程 3(x+1) - 1 3 (x-1) = 2(x-1) - 1 2 (x+1) 时,可先将(x+1)、(x-1)分别看成整体进行 移项、合并同类项,得方程 7 2 (x+1) = 7 3 (x- 1),然后再继续求解,这种方法叫作整体求解 法,请用这种方法解方程:5(2x+3) - 3 4 (x-2) = 2(x-2)- 1 2 (2x+3)。 67 专题　 与一元一次方程有关的参数问题 利用方程的解求待定字母的值 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 方法指导:把已知方程的解代入方程,等 式仍然成立,由此可求得方程中待定字母 的值。 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. (3 分)方程2x -■ 3 -x-3 2 = 1 中有一个数字被墨 水盖住了,查后面的答案,知道这个方程的解 是 x= -1,那么墨水盖住的数字是(　 　 ) A. 2 7 B. 1 C. -13 11 D. 0 利用两个方程之间解的关系求待定字母 的值 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 方法指导:此类题中待定字母可看作是已知 数,用含待定字母的式子表示出方程的解, 再根据两个方程的解的关系,建立以待定字 母为未知数的方程,求出待定字母的值。 2. 一题多解 (3 分)若关于 x 的方程 x 2 +m 3 =x-4 与 方程 x-6 2 =-6 的解相同,则m的值为　 　 　 　 。 3. (7 分)当 k 为何值时,关于 x 的方程 2(x-3) = 3k-1 与 3x+2 = -2(k+1)解互为相反数。 利用方程的错解求待定字母的值 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 方法指导:先根据题意写出错解的方程, 再将所得的解代入所写的方程,求出待定 字母的值,从而得到原方程的解。 4. (7 分)小明在解方程2y -1 3 = y+a 4 -1 去分母时, 方程右边的-1 漏乘了 12,因而求得方程的解 为 y= 3,请你帮助小明求出 a 的值,并正确解 出原方程。 结合新定义确定待定字母的值 5. 中考新趋势·新定义 (10 分)定义:如果两个 一元一次方程的解之和为 1,我们就称这两个 方程为“美好方程”。 例如:方程 2x-1 = 3 和 x+ 1= 0 为“美好方程”。 (1) 方程 4x - ( x + 5) = 1 与方程 2y = y + 3 　 　 　 　 “美好方程”;(填“是”或“不是”) (2)若关于 x 的方程 x 2 +m= 0 与方程 3x-2 = x +6 是“美好方程”,求 m 的值; (3)若关于 x 的方程 2x-n+3 = 0 与 3x+5n = 1 是“美好方程”,求 n 的值。 77 6. C　 7. D 8. C　 【解析】90°-70°10′= 19°50′,19°50′+90°+15°10′ = 125°。 故选 C。 9. 解:∠AOC=∠AOD-∠COD= 80°-30° = 50°。 因为 OB 是∠AOC 的平分线,所以∠AOB= 1 2 ∠AOC= 1 2 ×50° = 25°。 10. D　 【解析】正多边形的各条边都相等,各个角都相 等,A,B 正确;各内角都相等,各条边也相等的多边 形是正多边形,C 正确,D 错误。 故选 D。 11. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【易错提醒】本题主要考查了认识平面图形—扇形,应 熟知扇形的定义:由圆心角的两条半径和圆心角所对 的圆弧围成的图形叫作扇形。 12. D　 13. C　 14. B 15. B　 【解析】360°× 3 2+7+3 = 90°。 故选 B。 16. D 17. C　 【解析】如图 1,因为 OM 是∠AOB 的平分线,ON 是∠BOC 的平分线,∠AOB = 50°,∠COB = 80°,所以 ∠BOM= 1 2 ∠AOB = 25°,∠BON = 1 2 ∠COB = 40°,所 以∠MON=∠BON-∠BOM = 40°-25° = 15°;如图 2, 因为 OM 是∠AOB 的平分线,ON 是∠BOC 的平分 线,∠AOB = 50°, ∠COB = 80°, 所 以 ∠BOM = 1 2 ∠AOB= 25°,∠BON = 1 2 ∠BOC = 40°,所以∠MON = ∠BOM+∠BON= 25°+40° = 65°。 故选 C。 18. ∠3>∠1>∠2　 【解析】∠2= 25. 12° = 25°7′12″,∠3= 24°75′= 25°15′,因为 25°15′>25°12′>25°7′12″,所以 ∠3>∠1>∠2。 19. 90 20. 12°　 【解析】如图,因为∠2+∠3+∠4 = 60°,∠2= 26°,所以∠3+∠4 = 34°。 因为 ∠3+∠4+∠5= 60°,所以∠5= 26°。 因为 ∠1+∠3+∠5 = 60°,∠1 = 22°,所以∠3 = 12°。 21. ①②④ 22. 解: ( 1) 因为 OA 平分 ∠EOC,∠EOC = 70°,所以 ∠AOC= 1 2 ∠EOC= 35°,所以∠AOD = 180°-∠AOC = 145°,所以∠BOD= 180°-∠AOD= 35°; (2) 因为∠EOC ∶ ∠EOD = 2 ∶ 3,∠EOC +∠EOD = 180°,所以∠EOC = 2 5 ×180° = 72°,∠EOD = 3 5 ×180° = 108°,则∠AOE= 1 2 ∠EOC= 36°,所以∠BOD= 180° -∠AOE-∠EOD= 36°。 23. 解:(1)-6　 　 8-5t (2)不发生变化。 分两种情况:①当点 P 在 A、B 两 点之间运动时,MN=MP+NP = 1 2 AP+ 1 2 BP = 1 2 (AP+ BP)= 1 2 AB= 7;②当点 P 运动到点 B 的左侧时,MN =MP-NP= 1 2 AP- 1 2 BP= 1 2 (AP-BP)= 1 2 AB = 7。 综 上所述,线段 MN 的长度不发生变化,其值为 7。 第五章　 一元一次方程 1　 认识方程 1. A　 2. 3　 3. B　 4. 解:(1)当 x = -1 时,方程 4x+5 = 8x-3 的左边 = 4× (-1)+5= 1,右边= 8×( -1) -3 = -11,方程左、右两边 的值不相等,所以 x= -1 不是方程 4x+5= 8x-3 的解; (2)当 x = -1 时,方程 x2 -3 = 2x 的左边 = ( -1) 2 -3 = -2,右边= 2×(-1)= -2,方程左、右两边的值相等,所 以 x= -1 是方程 x2-3= 2x 的解。 5. C 6. 解:(1)5x+2= 1 3 x-4 (2)51-x= 45+x (3)设该队前 9 场比赛共胜了 x 场,则平了(9-x)场。 根据题意,3x+1×(9-x)= 21。 7. A 8. -9　 【解析】由题意,得 | k-2 | = 1 且 k-1≠0,m = 0,解 得 k= 3,则 3m-k2 = 3×0-32 = -9。 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【易错提醒】本题考查的是一元一次方程的定义,一元 一次方程需同时满足以下几个条件:(1)只含有一个 未知数;(2)方程中的代数式都是整式;(3)未知数的 次数都是 1。 这几个条件缺一不可。 9. 解:(1)根据题意,得 |m | -2 = 0 且-(m+2)≠0,解得 m = 2; (2)当 m= 2 时,原方程是-4x-6= 0,当 x= 3 时,左边= -18≠0,当 x= - 3 2 时,左边= 0,当 x = 2 3 时,左边 = - 26 3 ≠0。 即 x= - 3 2 是方程的解,x= 3 和 x= 2 3 不是方程的 解。 2　 一元一次方程的解法 第 1 课时　 等式的基本性质 1. B　 【解析】A. 如果 a= b,那么 a+2c= b+2c,故错误;C. 如果-3x= 3y,那么 x= -y,故错误;D. 如果 2x+1 3 -1 = x, 那么 2x+1-3= 3x,故错误。 故选 B。 2. B —51— 3. 解:(1)方程两边都减 8,得 8+x-8 = -5-8。 于是 x = -13; (2)方程两边都加 4,得 3x-4+4= 11+4。 化简,得 3x= 15。 方程两边都除以 3,得 3x÷3= 15÷3。 解得 x= 5。 4. A　 5. A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法点拨】本题主要考查等式的基本性质,牢记等式 的两边都加(或减)同一个代数式,都乘同一个数(或 除以同一个不为 0 的数)所得结果仍是等式是解题的 关键。 6. 解:(1)不对,因为在等式 4x = 3x 的两边同时除以 x 时,没有考虑到 x= 0 时的情况; (2)方程两边同时加上 2,得到 4x = 3x,然后方程的两 边同时减 3x,得到 x= 0。 第 2 课时　 利用移项解一元一次方程 1. D　 2. C　 3. C 4. C　 【解析】把 x= -2 代入方程得-4+2m= 5-(-2),解 得 m= 11 2 。 故选 C。 5. 3　 6. 解:(1)移项,得- 3 2 x+x= 3+1。 合并同类项,得- 1 2 x = 4。 方程两边同乘-2,得 x= -8; (2)移项,得 7x+3x = 16-6。 合并同类项,得 10x = 10。 方程两边同除以 10,得 x= 1。 7. 解:移项,得 x+ 1 2 x = -4+3。 合并同类项,得 3 2 x = -1。 方程两边同乘 2 3 ,得 x= - 2 3 。 8. C 9. A　 【解析】由题意,得 2m+1 = 3m-1,6 = 10+4n,解得 m= 2,n= -1。 故选 A。 10. A 11. A　 【解析】由新运算的定义得 3x+2x = 2-x,解得 x = 1 3 。 故选 A。 第 3 课时　 利用去括号解一元一次方程 1. D　 2. D　 3. A 4. D　 【解析】把 x=-2 代入 4-2(x+ 1 2 a)= 0 中,得 4-2× (-2+ 1 2 a)= 0,即 4+4-a=0,解得 a=8。 故选 D。 5. 任务一:一　 括号前面是“ -”号,去括号时括号内的 每一项都要变号,-x 没有变号 任务二:移项时要变号(答案不唯一) 任务三:解:去括号,得 12-4x+2-3x-3 = 6。 移项,得 -4x-3x= 6+3-2-12。 合并同类项,得-7x = -5。 方程 两边同除以-7,得 x= 5 7 。 6. 解:(1)去括号,得 x-3x-2 = 2x-14。 移项,得 x-3x- 2x= 2-14。 合并同类项,得-4x = -12。 方程两边同除 以-4,得 x= 3。 (2)去括号,得 x-2(x-3x+3)= 8,x-2x+6x-6 = 8。 移 项,得 x-2x+6x= 8+6。 合并同类项,得 5x = 14。 方程 两边同除以 5,得 x= 14 5 。 7. 解:去括号,得 12-y= -6y+3。 移项,得-y+6y = 3-12。 合并同类项,得 5y = -9。 方程两边同除以 5,得 y = - 9 5 。 8. B　 【解析】由题意,得 3(2y-2)-(2y+3)= 1,解得 y = 2. 5。 故选 B。 9. C　 10. A　 【解析】由新定义得 2x-3(-3x-2)= 28,解得 x = 2。 故选 A。 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】在解新定义题型时,首先要理解新定义, 理清数量关系,然后按新定义的运算列出方程,最后解 出方程,即可解决问题。 11. D 12. 解:把 x= 6 代入 3x-24-2x=A-x-1,得 18-24-12 = A -6-1,解得 A= -11,故原方程为 6( 1 2 x-4) -2x = -11 -(x-1),解得 x= 7。 13. 解:设租用 35 座的客车 x 辆,则可列方程 35x+3 = 40(x-1)-2。 解得 x= 9。 答:租用 35 座的客车 9 辆。 14. 解:(1)①当 x≥0 时,原方程可化为 1 2 x = 2,它的解 是 x= 4;②当 x<0 时,原方程可化为- 1 2 x = 2,它的解 是 x= -4。 所以原方程的解为 x= 4 或 x= -4。 (2)①当 x-2≥0 时,原方程可化为 2(x-2)= 6,它的 解是 x= 5;②当 x-2<0 时,原方程可化为-2(x-2)= 6,它的解是 x= -1。 所以原方程的解为 x = 5 或 x = -1。 第 4 课时　 利用去分母解一元一次方程 1. B　 2. B　 3. B　 4. B 5. 7 5 　 【解析】由题意得 x-1 2 +x -2 3 = 0,解得 x= 7 5 。 6. 解:(1)去分母,得 3(3y-2)= 24-4(5y-7)。 去括号, 得 9y-6 = 24-20y+28。 移项,得 9y+20y = 24+28+6。 合并同类项,得 29y = 58。 方程两边同除以 29,得 y = 2。 (2)去分母,得 4(7x-1)-6(5x+1)= 24-3(3x+1)。 去 括号,得 28x-4-30x-6 = 24-9x-3。 移项,得 28x-30x +9x= 24-3+4+6。 合并同类项,得 7x = 31。 方程两边 同除以 7,得 x= 31 7 。 (3)原方程可化为 10x 7 -17 -20x 3 = 1。 去分母,得 30x- 7(17-20x)= 21。 去括号,得 30x-119+140x = 21。 移 项,得 30x + 140x = 21 + 119。 合并同类项,得 170x = 140。 方程两边同除以 170,得 x= 14 17 。 —61— 7. 解:设城中有 x 户人家,依题意,得 x+ x 3 = 100,解得 x =75。 答:城中有 75 户人家。 8. B　 9. C　 【解析】①方程解得 x = -a,②方程解得 x = 2a-2, 因为方程①的解比方程②的解小 4,所以-a+4 = 2a- 2,解得 a= 2。 故选 C。 10. D　 【解析】解方程可得 x = - 2 k-2 。 因为方程的解 x 为正整数,k 为整数,所以 k-2 = -2 或 k-2 = -1,所以 k= 0 或 k= 1。 故选 D。 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　【方法点拨】本题考查了一元一次方程的解和解含字 母系数的一元一次方程,掌握方程的解即 x 是正整数 和 k 是整数的两个条件是解题的关键。 首先求出 x = - 2 k-2 ,再根据方程的解 x 为正整数,k 为整数,分类讨 论即可求出 k 的值。 11. 7 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】解决同解问题中待定字母的值时,首先分 别解出两个方程,然后根据两个解相等列出关于待定 字母的方程,解方程即可。 12. 解:由题意,得 3(3x+5)-2(2x-m)= 1 的解为 x= -4, 把 x= -4 代入解得 m= 3,故原方程为 3x+5 2 -2x -3 3 = 1, 解得 x= -3。 13. 解:(1)(-2)⊕3= -2×32+2×(-2)×3+(-2)= -32; (2) a+1 2 ⊕3 = a+1 2 × 32 + 2× a+1 2 × 3 + a+1 2 = 8( a + 1), [8(a+1)]⊕(- 1 2 )= 8(a+1)×(- 1 2 ) 2+2×8(a+1) × (- 1 2 )+8(a+1)= 2(a+1),由题可知 2(a+1)= 8,解 得 a= 3。 14. 解:将(2x+3)、(x-2)分别看成整体进行移项、合并 同类项,得 11 2 (2x+3)= 11 4 (x-2)。 去分母,得 22(2x+ 3)= 11(x-2)。 去括号,得 44x+66 = 11x-22。 移项、 合并同类项,得 33x= -88。 方程两边同除以 33,得 x = - 8 3 。 专题　 与一元一次方程有关的参数问题 1. B 2. -21　 【解析】方法一:解方程 x-6 2 = -6,得 x = -6,把 x = -6 代入方程 x 2 + m 3 = x-4,得-3+ m 3 = -10,解得 m = -21。 方法二:解方程 x-6 2 = -6,得 x = -6。 解方程 x 2 + m 3 = x-4,得 x = 2 3 m+8。 因为两个方程的解相等,所 以 2 3 m+8= -6。 解得 m= -21。 3. 解:方程 2(x-3)= 3k-1,解得 x = 3k+5 2 。 方程 3x+2 = -2(k+1),解得 x= -2k-4 3 ,根据题意得 3k+5 2 + -2k-4 3 = 0,解得 k= - 7 5 。 4. 解:根据题意得 4(2y-1)= 3(y+a) -1 的解为 y = 3,把 y= 3 代入,解得 a= 4,把 a = 4 代入方程,得 2y-1 3 = y +4 4 -1。 解得 y= 4 5 。 5. 解:(1)不是　 【解析】由 4x-( x+5)= 1,解得 x = 2,由 2y= y+3,解得 y= 3。 因为 2+3≠1,所以方程 4x-( x+ 5)= 1 与方程 2y= y+3 不是“美好方程”; (2)由 3x-2 = x+6,解得 x = 4,由 x 2 +m = 0,解得 x = -2m。 因为关于 x 的方程 x 2 +m= 0 与方程 3x-2 = x+6 是“美好方程”,所以-2m+4= 1,解得 m= 3 2 ; (3)由 2x-n+3= 0,解得 x= n-3 2 ;由 3x+5n= 1,解得 x= 1-5n 3 ;因为关于 x 的方程 2x-n+3 = 0 与 3x+5n = 1 是 “美好方程”,所以 n-3 2 +1 -5n 3 = 1,解得 n= - 13 7 。 3　 一元一次方程的应用 第 1 课时　 形积变化问题 1. C　 2. B　 【解析】设该正方形的边长为 x,则 4(x-2)= 2x,解 得 x= 4,所以 2x= 8,即这个相等的面积是 8。 故选 B。 3. 4×3×2=π( 3 2 ) 2x 4. 解:18 厘米 = 1. 8 分米,9 升 = 9 立方分米。 设这个苹 果的体积是 x 立方分米,依题意有 x+9 = 3×2×1. 8,解 得 x= 1. 8。 故这个苹果的体积是 1. 8 立方分米。 5. A　 【解析】设靠墙邻边的长 AB 为 xm,则由题意,可 得 8+3+3= 2x+5,解得 x = 4. 5,所以新围成的长方形 养鸡场的面积为 5×4. 5= 22. 5(m2)。 故选 A。 6. 解:设长方形的宽为 x,长为 2x。 根据题意得 2(x+2x) = 5+6+9+13,解得 x = 5. 5,2x = 11。 则长方形的长为 11,宽为 5. 5。 7. 24　 【解析】设水桶的底面积为 xdm2,则由题意,可得 5x+20x= 30,解得 x= 1. 2,1. 2×20= 24(dm3)。 8. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【易错点拨】在解决本题过程,注意三点:1. 单位要统 一;2. 外径指外侧直径;3. 钢管是空心的。 9. 解:设长方体的高为 xcm,则宽为 2xcm,则由题意,得 2 (x+2x)= 30,解得 x= 5,宽是 5×2 = 10(cm),长是 30- 5-5 = 20 ( cm),长方体的体积是 20 × 10 × 5 = 1000 (cm3)。 10. 解:三角形的周长= 6+8+10 = 24,①当去掉顶点 A 的 —71—