第三章 3 探索与表达规律-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步训练方案(北师大版2024)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·七年级数学上册 3　 探索与表达规律 第 1 课时　 探索数式与图形规律 探索数式规律 1. (3 分)按一定规律排列的一列数依次是 2 3 、1、 8 7 、11 9 、14 11 、17 13 …,按此规律,这列数中第 100 个 数是(　 　 ) A. 299 199 　 　 B. 299 201 　 　 C. 301 201 　 　 D. 303 203 2. (3 分)观察下列算式:12-02 = 1+0 = 1;22 -12 = 2 +1= 3;32-22 = 3+2= 5;42-32 = 4+3 = 7;52 -42 = 5 +4= 9;…,若字母 n 表示自然数,请你把观察到 的规律用含 n 的等式表示出来: 　 。 探索图表规律 3. [教材思考·交流变式](3 分)如图 1 是某月 的日历,用笔在日历中任意框出两组呈斜对 角线交叉的 5 个代表日期的数,如图 2 若设交 叉框中的五个数分别为 a、b、c、d、m,且 a+b+c +d= 64,则 m 的值为　 　 　 　 。 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 图 2 4. (3 分)(驻马店月考)如图,从左至右,第 1 个 图由 1 个六边形,6 个正方形和 6 个三角形组 成;第二个图由 2 个六边形,11 个正方形和 10 个三角形组成;第 3 个图由 3 个六边形,16 个 正方形和 14 个三角形组成;…,按照此规律, 第 10 个图中正方形的个数和三角形的个数之 和为(　 　 ) A. 90 B. 93 C. 96 D. 99 5. (3 分) (河南模拟)观察下列图形的构成规 律,依照此规律,第 10 个图形中共有( 　 　 ) 个“•”。 　 …… A. 90 B. 91 C. 110 D. 111 6. (10 分)(郑州期中)实践与探索:将连续的奇 数 1,3,5,7…,排列成如下的数表,用十字框 框出 5 个数(如图),设中间的数为 a。 …… (1)若将十字框上下左右平移,但一定要框住 数表中的 5 个数,用含 a 的代数式表示十字框 框住的 5 个数之和。 (2)十字框框住的 5 个数之和能等于 285 吗? 若能,分别写出十字框框住的 5 个数;若不能, 请说明理由。 (3)十字框框住的 5 个数之和能等于 365 吗? 若能,分别写出十字框框住的 5 个数;若不能, 请说明理由。 05 第 2 课时　 数字游戏 数字游戏 1. (3 分)将 2 026 个数排成一行,对于任意相邻 的三个数,都有中间的数等于前后两数的和, 若第一个数是 0,第二个数是 1,那么这 2 026 个数的和是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. [教材思考·交流变式] (7 分)学习《整式及 其加减》后,在一次数学活动中,乐乐对东东 说:“你在心里想好一个两位数,将十位数字 乘 5,然后加 4,再将所得新数乘 2,最后将得 到的数加个位数字,把你的结果告诉我,我就 知道你心里想的两位数。” 通过两人的对话, 你能判断乐乐说得对吗? 请你说明原因。 我的结果是 85。 　 你心里想的是 77。 我的结果是 27。 　 你心里想的是 19。 3. (10 分)计算两个两位数的积,这两个数的十 位上的数字相同,个位上的数字之和等于 10。 53×57 = 3 021,38×32 = 1 216,84×86 = 7 224, 71×79 = 5 609。 (1)你发现上面每两个数的积的规律是:十位 上的数字乘十位上的数字加一的积作为结果 的千位和百位,两个个位上的数字相乘的积 作为结果的 　 　 　 　 ,请写出一个符合上述 规律的算式:　 　 　 　 。 (2)设其中一个数十位上的数字为 a,个位上 的数字为 b, 请用含 a, b 的式子表示这个 规律。 4. [教材尝试·思考变式] (10 分) ( 1) 如果用 a,b 分别表示一个两位数的十位数字和个位 数字,那么这个两位数可以表示为　 　 　 　 ; (2)交换这个两位数的十位数字和个位数字, 得到的数可以表示为　 　 　 　 ; (3)试问 9 能否整除上面两个数的差? 请说 明理由。 15 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·七年级数学上册 ☆　 问题解决策略:归纳 探索数式规律 1. (3 分)一根绳子弯曲成如图(1)所示的形状。 当用剪刀像图(2)那样沿虚线 a 把绳子剪断 时,绳子被剪为 5 段;当用剪刀像图(3)那样沿 虚线 b 把绳子再剪一次时,绳子就被剪为 9 段。 若用剪刀在虚线 a、b 之间把绳子再剪(n-1)次 (剪刀的方向与 a 平行), 这时绳子的段 数是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 4n+1 B. 4n+2 C. 4n+3 D. 4n+5 2. (3 分)将全体正奇数摆成一个三角形数阵 如下,按照以下排列的规律,第 26 行第 7 个数是(　 　 ) A. 663 B. 657 C. 662 D. 656 3. 跨学科试题·化学 (3 分)如图,烷烃中甲烷的 化学式是 CH4,乙烷的化学式是 C2H6,丙烷的 化学式是 C3H8,…,按照此规律。 设碳原子 (C)的数目为 n(n 为正整数),则它们的化学 式都可以用下列哪个式子来表示(　 　 ) A. CnH2n+2 B. CnHn+1 C. CnH2n-2 D. CnHn+3 4. (8 分)阅读理解:我们知道 72025 是一个很大 的数,怎样求出它的个位数字呢? 我们依次算一下 71,72,73,74,…,观察其个位 数字的变化,寻找其中的规律,经过归纳,得 出结论。 71 = 7 72 = 49 73 = 343 74 = 2 401 75 = 16 807 76 = 117 649 77 = 82 3543 78 = 5 764 801 … … … … (1)观察上述各式,可以得出个位数字的变化 规律是　 　 　 　 。 (2) 你能猜到 710 的个位数字是多少吗? 那 么,72025 的个位数字又是多少呢? 5. [教材回顾反思变式] (8 分)在△ABC 中,有 一点 P1,当 P1,A,B,C 没有任何三点在同一直 线上时,可构成三个不重叠的小三角形(如 图)。 当△ABC 内的点的个数增加时,若其他 条件不变,三角形内互不重叠的小三角形的 个数情况怎样呢? (1)完成下表: 三角形 ABC 内点的个数 1 2 3 … 1 002 构成不重叠的 小三角形的个数 3 5 　 　 … 　 　 (2)当三角形 ABC 内有 n 个点时,构成不重叠 的小三角形的个数是多少? 25 原式= 0+( -1) 2 -1×(-1)= 1-( -1)= 2。 综上所述, 式子 a+b+x2-cdx 的值为 0 或 2。 8. 解:(1)2(mx2-x- 7 2 )+4x2+3nx= 2mx2-2x-7+4x2+3nx = (2m + 4) x2 + (3n - 2) x - 7,因为关于 x 的多项式 2(mx2-x- 7 2 )+4x2 + 3nx 的值与 x 的取值无关,所以 2m+4= 0,3n-2= 0,所以 m= -2,n= 2 3 ; (2)由(1)得:m= -2,n= 2 3 ,所以 3(2m2-3mn-5m-1) +6(-m2+mn-1)= 6m2 -9mn-15m-3-6m2 +6mn-6 = -3mn-15m-9= -3×(-2)× 2 3 -15×(-2)-9= 25。 9. 解:原式= 17x2-8x2-5x-4x2-x+3+5x2+6x-1-3 = 10x2 -1。 因为 x= 2029 和 x = -2029 时,x2 的值不变,所以 他计算的结果是正确的。 10. 解:(1)10a+b; (2)因为(10a+b)+(10b+a)= 11a+11b= 11(a+b),a, b 都是整数,所以 a+b 也是整数,所以这两个数的和 能被 11 整除。 因为(10a+b) -(10b+a)= 10a+b-10b -a= 9a-9b = 9(a-b),(10b+a) -(10a+b)= 10b+a- 10a-b= 9b-9a= 9(b-a),a,b 都是整数,所以 a-b,b- a 也是整数,所以这两个数的差一定是 9 的倍数。 3　 探索与表达规律 第 1 课时　 探索数式与图形规律 1. B　 【解析】由 2 3 、 5 5 、 8 7 、 11 9 、 14 11 、 17 13 …,可得第 n 个数 为 3n-1 2n+1 。 因为 n = 100,所以第 100 个数为 299 201 。 故选 B。 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题考查了数字的规律变化,通过观察数 字,分析、归纳并发现其中的规律,并应用规律解决问 题是解题的关键。 2. (n+1) 2-n2 = 2n+1 3. 16 4. B　 【解析】因为第 1 个图由 1 个六边形、6 个正方形 和 6 个三角形组成,所以正方形和三角形的个数和 = 6+6= 12= 9+3;因为第 2 个图由 11 个正方形和 10 个 三角形组成,所以正方形和三角形的个数和= 11+10= 21= 9×2+3;因为第 3 个图由 16 个正方形和 14 个三 角形组成,所以正方形和三角形的个数和 = 16+14 = 30= 9×3+3,…,所以第 n 个图中正方形和三角形的个 数之和= 9n+3,当 n = 10 时,第 10 个图中正方形和三 角形的个数之和为:9×10+3= 93。 故选 B。 5. D　 【解析】由图形可知:n = 1 时,“•”的个数为:1×2 +1= 3;n = 2 时,“•”的个数为:2×3+1 = 7;n = 3 时, “•”的个数为:3×4+1= 13;n = 4 时,“•”的个数为:4 ×5+1= 21;所以第 n 个图形中,“•”的个数为:n(n+ 1)+1。 当 n = 10 时,“•”的个数为:10×11+1 = 111。 故选 D。 6. 解:(1)从数表知道中间的数为 a,上面的为 a-12,下 面的为 a+12,左面的为 a-2,右面的为 a+2,故框住的 5 个数之和为 a+(a-2) +(a+2) +(a-12) +(a+12)= 5a; (2)十字框框住的 5 个数之和能等于 285。 当 5a= 285 时,a= 57,57÷12= 4……9,所以 57 在第 5 行,从左到 右第 5 个数,5 个数分别为 45,55,57,59,69。 (3)十字框框住的 5 个数之和不能等于 365。 理由:当 5a= 365 时,a= 73,又因为 73÷12 = 6……1,所以 73 在 第 7 行第一列,因为我们设的 a 是十字框正中间的 数,故不可能。 第 2 课时　 数字游戏 1. D　 2. 解:乐乐说得对,理由如下:设所想两位数的十位数字 为 a,个位数字为 b,则原两位数为 10a+b,根据题意 得:2(5a+4)+b= 10a+b+8,所以 10a+b+8-(10a+b)= 8,即结果比原数大 8,把计算结果减去 8 就是心里所 想的数,所以当结果是 85 时,心里所想的数为 85-8 = 77,当结果是 27 时,心里所想的数是 27-8= 19。 3. 解:(1)十位和个位　 44×46= 2024 (2)(10a+b)(10a+10-b)= 100a(a+1)+b(10-b)。 4. 解:(1)10a+b (2)10b+a (3)能,理由:10a+b-(10b+a)= 10a+b-10b-a = 9a-9b = 9(a-b),所以 9 能整除上面两个数的差。 ☆　 问题解决策略:归纳 1. D　 【解析】当 n= 1 时,绳子为 5 = 1+4×1 段;n = 2 时, 绳子为 9= 1+4×2 段;∴ 一共剪(n+1)次时,绳子的段 数为 1+4(n+1)= 4n+5。 故选 D。 2. A　 【解析】由图可知,第一行有 1 个数,第二行有 2 个 数,第三行有 3 个数……,第 n 行有 n 个数,∴ 第 25 行 有 25 个数,∴ 前 25 行一共有 (1+25)×25 2 = 325 个数, ∴ 第 26 行第 7 个数是第 325+7= 332 个数,∴ 第 26 行 第 7 个数是 332×2-1= 663。 故选 A。 3. A　 【解析】设碳原子的数目为 n(n 为正整数)时,氢 原子的数目为 an,观察,发现规律:a1 = 4= 2×1+2,a2 = 6= 2×2+2,a3 = 8= 2×3+2,…,∴ an = 2n+2。 ∴ 碳原子 的数目为 n(n 为正整数)时,它的化学式为 CnH2n+2。 故选 A。 4. 解:(1)四个数字 7,9,3,1 依次循环 (2)10÷4= 2……2,所以 710 的个位数字是 9;2025÷4= 506……1,72025 的个位数字是 7。 5. 解:(1)7　 2005 (2)根据(1)发现:当△ABC 内的点的个数是 n 时,三 角形内互不重叠的小三角形的个数是 2n+1。 追梦第三章章末复习　 整式及其加减 1. A　 2. D　 3. D 4. 解:因为两个多项式是同次多项式,所以 b = 4 或 b = 2 —01—