专题4.1 数列的概念【九大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.1 数列的概念【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 观察法求数列通项】 3 【题型2 判断或写出数列中的项】 3 【题型3 根据数列的递推关系式求通项或项】 4 【题型4 利用an与Sn的关系求通项或项】 4 【题型5 求数列的前n项和】 5 【题型6 递推数列的实际应用】 5 【题型7 数列的单调性的判断】 7 【题型8 数列的最大（小）项】 7 【题型9 数列周期性的应用】 8 【知识点1 数列的概念】 1．数列的概念 数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 【题型1 观察法求数列通项】 【例1】（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·福建福州·期中）已知数列的前项依次为，则的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【题型2 判断或写出数列中的项】 【例2】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第19项 【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江绥化·开学考试）已知数列的一个通项公式为，且，则等于（    ） A． B． C．5 D．6 【变式2-2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知数列的通项公式为，则（    ） A．13 B．14 C．30 D．49 【变式2-3】（23-24高三上·山西朔州·期中）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列，则484是数列中的第（    ） A．12项 B．13项 C．14项 D．15项 【题型3 根据数列的递推关系式求通项或项】 【例3】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二下·河南南阳·开学考试）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用an与Sn的关系求通项或项】 【例4】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·吉林·期中）已知数列的前n项和为，若，，则（    ） A．-3 B．3 C．-2 D．2 【变式4-2】（23-24高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二下·河南焦作·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．16 B．4 C．12 D．不确定 【题型5 求数列的前n项和】 【例5】（2024·安徽合肥·三模）已知数列的前项和为，首项，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二下·浙江·期中）已知数列的前项和为，首项，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二下·广东·期中）已知数列的前项和为，，且（且），若，则（    ） A．49 B．50 C．51 D．52 【变式5-3】（23-24高三上·山西吕梁·期末）已知为数列的前项和，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 递推数列的实际应用】 【例6】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（    ） A．18 B． C． D． 【变式6-1】（2024·陕西安康·模拟预测）生物学家在研究植物的生长过程中，发现某种树苗的生长规律为：树苗在第1年长出一条新枝，新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每条树枝都按照这个规律生长，则第10年的树枝条数为（    ） A．56 B．55 C．54 D．34 【变式6-2】（2024·河南·三模）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ） A．55 B．58 C．60 D．62 【变式6-3】（23-24高三下·全国·开学考试）雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生也与雪花类似，由等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每-个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：（2），（3），（4）是等边三角形（1）经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线）若按照上述规律，一个边长为的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是（    ）        A． B． C． D． 【知识点2 数列的性质】 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有>，那么称数列{}为递增数列；如果对所有的，都有< ，那么称数列{}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有= (k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{}为有界数列，否则称{}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【题型7 数列的单调性的判断】 【例7】（23-24高二下·山东·阶段练习）下列数列不是单调数列的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二下·北京·期中）数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·北京西城·三模）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-3】（23-24高二上·广东·期末）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型8 数列的最大（小）项】 【例8】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二下·上海虹口·期中）已知数列，下列说法正确的是（    ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 【变式8-2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）数列、满足：，，，则数列的最大项是（    ） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 【变式8-3】（2024·北京海淀·三模）已知数列的通项公式为，前n项和为，前n项积为.则下列结论正确的个数为（    ） ①既有最小值，又有最大值， ②满足的n的值共有6个； ③使取得最小值的n为7； ④有最小值，无最大值； A．1 B．2 C．3 D．4 【题型9 数列周期性的应用】 【例9】（23-24高二上·江苏南京·期末）若数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，，则的前2024项和为（   ） A．589 B．590 C． D． 【变式9-3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 数列的概念【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 观察法求数列通项】 3 【题型2 判断或写出数列中的项】 4 【题型3 根据数列的递推关系式求通项或项】 6 【题型4 利用an与Sn的关系求通项或项】 8 【题型5 求数列的前n项和】 9 【题型6 递推数列的实际应用】 10 【题型7 数列的单调性的判断】 13 【题型8 数列的最大（小）项】 15 【题型9 数列周期性的应用】 18 【知识点1 数列的概念】 1．数列的概念 数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 【题型1 观察法求数列通项】 【例1】（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意逐一检验选项即可. 【解答过程】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 【变式1-1】（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将数列前5项改写为统一格式即可发现规律得到数列的通项公式. 【解答过程】由题数列的前5项可改写为， 其中负号交替出现在偶数项，分母为从1开始的奇数， 故数列的通项公式为. 故选：D. 【变式1-2】（23-24高二下·福建福州·期中）已知数列的前项依次为，则的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】观察数列的前项分析其变化规律即可求解. 【解答过程】数列的前项依次为， 即， 所以的一个通项公式为．故B正确； 对A，代入，，故A错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误； 故选：B. 【变式1-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用特殊值排除选项即可. 【解答过程】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，当时，，当时，， 当时，，当时，，故B正确； 对于C选项，当时，，故C错误； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：B. 【题型2 判断或写出数列中的项】 【例2】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第19项 【解题思路】令，解出即可得. 【解答过程】令，解得， 即是这个数列的第项. 故选：A. 【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江绥化·开学考试）已知数列的一个通项公式为，且，则等于（    ） A． B． C．5 D．6 【解题思路】根据通项公式及，求出的值，再将代入求解即可. 【解答过程】解：因为，即，解得， 所以． 故选：B. 【变式2-2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知数列的通项公式为，则（    ） A．13 B．14 C．30 D．49 【解题思路】由通项公式分别求出即可得. 【解答过程】由， 得，， 所以. 故选：C. 【变式2-3】（23-24高三上·山西朔州·期中）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列，则484是数列中的第（    ） A．12项 B．13项 C．14项 D．15项 【解题思路】先利用两数列的通项公式分析两数列相同项的特点，得到的奇偶项的性质，从而得解. 【解答过程】设，则，可得， 则为3的倍数或为3的倍数， 设或，则或， 故的奇数项项数为t，偶数项项数为r， 又，由，解得（舍去）， 由，解得，484是数列中的第14项． 故选：C． 【题型3 根据数列的递推关系式求通项或项】 【例3】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 由，可得，然后利用累乘法可求得结果 【解答过程】由，得， 所以，，，……，，，（）， 所以， 所以， 因为，所以， 因为满足上式，所以， 故选：B. 【变式3-1】（23-24高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项公式即可. 【解答过程】数列中，，因此， 则数列是常数列，于是，， 所以. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，可以采用累加法进行求解. 【解答过程】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 【变式3-3】（23-24高二下·河南南阳·开学考试）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】当 ,两式做差整理求解即可. 【解答过程】因为， 当 ，两式做差得： ， 故 ，当，，符合；故 . 故选：D. 【题型4 利用an与Sn的关系求通项或项】 【例4】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】当时，求得；当时，根据化简得，再检验得出通项公式即可. 【解答过程】当时，； 当时，， 经验证，不符合上式，所以 故选：D. 【变式4-1】（23-24高二下·吉林·期中）已知数列的前n项和为，若，，则（    ） A．-3 B．3 C．-2 D．2 【解题思路】根据递推关系，赋值即可求解． 【解答过程】若，，变形得到，， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 故选：B. 【变式4-2】（23-24高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用关系求通项公式. 【解答过程】当，则， 而，显然不满足上式，所以. 故选：D. 【变式4-3】（23-24高二下·河南焦作·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．16 B．4 C．12 D．不确定 【解题思路】根据求出，进而利用求出答案. 【解答过程】由题意得，化简得， 故 . 故选：C. 【题型5 求数列的前n项和】 【例5】（2024·安徽合肥·三模）已知数列的前项和为，首项，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】借助与的关系并化简可得，结合，逐项代入计算即可得解. 【解答过程】由可得， 所以可得， . 故选：D. 【变式5-1】（23-24高二下·浙江·期中）已知数列的前项和为，首项，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据递推关系可得，即可逐一代入求解. 【解答过程】由可得， 所以可得， ，， ， 故选：C. 【变式5-2】（23-24高二下·广东·期中）已知数列的前项和为，，且（且），若，则（    ） A．49 B．50 C．51 D．52 【解题思路】根据给定的递推关系，结合变形，再构造常数列求出，然后代入计算即可. 【解答过程】当时，，则， 于是，即有， 因此数列是常数列，，即， 由，得，而，所以. 故选：A. 【变式5-3】（23-24高三上·山西吕梁·期末）已知为数列的前项和，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题，当时，，当时，进而分奇偶性讨论得，为正偶数，，为正奇数，再求和即可. 【解答过程】解：因为， 所以，当时，，解得， 当时，， 所以，当为偶数时，，故，为正奇数； 当为奇数时，，即，故，为正偶数； 所以， 故选：A. 【题型6 递推数列的实际应用】 【例6】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（    ） A．18 B． C． D． 【解题思路】根据题意确定之间的关系以及与的关系即可得所求. 【解答过程】由题意可知， ， ， ， 所以. 故选：C. 【变式6-1】（2024·陕西安康·模拟预测）生物学家在研究植物的生长过程中，发现某种树苗的生长规律为：树苗在第1年长出一条新枝，新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每条树枝都按照这个规律生长，则第10年的树枝条数为（    ） A．56 B．55 C．54 D．34 【解题思路】设第年共有条树枝，结合题意可得，，，计算出即可得. 【解答过程】设第年共有条树枝，则有，， 第三年开始，新枝变老枝，继续生长， 则当时，， 故有 . 故选：B. 【变式6-2】（2024·河南·三模）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ） A．55 B．58 C．60 D．62 【解题思路】表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推，不难得出所求. 【解答过程】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， ∴， 又∵; ; ; ; ; , 故选：A. 【变式6-3】（23-24高三下·全国·开学考试）雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生也与雪花类似，由等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每-个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：（2），（3），（4）是等边三角形（1）经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线）若按照上述规律，一个边长为的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是（    ）        A． B． C． D． 【解题思路】找出相邻图形的边长之间的关系以及相邻图形边数之间的关系即可求解. 【解答过程】设雪花曲线的边长分别为，边数为， 周长为. ，，，， ，，，，， ，，，，， 故选：C. 【知识点2 数列的性质】 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有>，那么称数列{}为递增数列；如果对所有的，都有< ，那么称数列{}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有= (k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{}为有界数列，否则称{}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【题型7 数列的单调性的判断】 【例7】（23-24高二下·山东·阶段练习）下列数列不是单调数列的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用函数的单调性判断A、B，利用作差法判断C，列出数列的前几项，即可判断D. 【解答过程】对于A：因为函数在定义域上单调递增， 所以数列单调递增，故A错误； 对于B：因为函数在定义域上单调递减， 所以数列单调递减，故B错误； 对于C：令 因为，函数在上单调递增，当时， 所以（），所以， 故数列单调递增，故C错误； 对于D：数列的前几项分别为，，，，，，，， 显然数列不单调，故D正确. 故选：D. 【变式7-1】（23-24高二下·北京·期中）数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数列单调递增得到，再求出在上的最小值，即可求出的范围，再进行条件判断选出答案即可. 【解答过程】因为数列是单调递增数列， 所以，即，化简得， 所以， 令，则在上递增， 所以，所以, 所以使“数列是单调递增数列”的充要条件是， 所以充分不必要条件是可以是. 故选：A. 【变式7-2】（2024·北京西城·三模）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由递增数列的性质，分别判断充分性和必要性即可. 【解答过程】为递增数列时，有，不能得到为递增数列，充分性不成立； 为递增数列时，不一定有，即不能得到为递增数列，必要性不成立. 所以“为递增数列”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式7-3】（23-24高二上·广东·期末）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出. 【解答过程】由，得，即， 而，则，即，， 由数列为递增数列，得任意的恒成立， 则，即恒成立， 当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为1，则， 当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【题型8 数列的最大（小）项】 【例8】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作商探讨数列的单调性，进而求出最大项即可. 【解答过程】数列中，，则， 令，解得，则当时，，即， 同理当时，，即，而当时，， 所以数列的偶数项中最大项为. 故选：D. 【变式8-1】（23-24高二下·上海虹口·期中）已知数列，下列说法正确的是（    ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 【解题思路】将分奇偶项分别作差，判断出奇数项和偶数项的单调性，从而可得结果. 【解答过程】数列, 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故此时有最大项为； 当时，，， ， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故此时有最小项为， 综上，既有最大项，又有最小项. 故选：C. 【变式8-2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）数列、满足：，，，则数列的最大项是（    ） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 【解题思路】利用累加法得到，即可得到，然后列不等式求即可. 【解答过程】时，，，，，将上式累加，得，解得（对于同样成立），故， 令，即， 解得，，故，即第九项最大. 故选：B. 【变式8-3】（2024·北京海淀·三模）已知数列的通项公式为，前n项和为，前n项积为.则下列结论正确的个数为（    ） ①既有最小值，又有最大值， ②满足的n的值共有6个； ③使取得最小值的n为7； ④有最小值，无最大值； A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】化简为，利用数列的单调性，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于①中，由数列的通项公式为， 可得，当时，数列的各项小于1，且是单调递减数列； 当时，数列的各项大于1，且是单调递减数列， 所以，数列的最小项为，最大项为，所以①正确； 对于②中，当时，满足； 当时，满足；当时，， 所以，满足时，，共有4个值，所以②不正确； 对于③中，当时，，随着的增大而增大，且； 当时，，随着n的增大而减小， 且， 当时，为正数，所以， 综上所述，使得取得最小值的为7，所以③正确； 对于④中，由上述中的讨论，可得在中，只有为负数，且， 所以存在最小值或， 从第8项开始，为正数，结合，可知随着的增大而增大，所以无最大值， 所以④正确. 故选：C. 【题型9 数列周期性的应用】 【例9】（23-24高二上·江苏南京·期末）若数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据递推式写出数列的前几项，可得是周期为的周期数列，从而可求得答案. 【解答过程】数列满足，， ， ， ， ， ， 是周期为的周期数列， 而， 故． 故选：A. 【变式9-1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据递推公式列出数列的前几项，找到规律，即可判断. 【解答过程】因为且， 所以，， ，，，， 所以是以为周期的周期数列，所以. 故选：C. 【变式9-2】（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，，则的前2024项和为（   ） A．589 B．590 C． D． 【解题思路】由递推公式写出前项，发现数列是以4为周期的周期数列，从而利用周期可得结果. 【解答过程】因为， 所以，， ， 而，所以数列是以4为周期的周期数列， 所以的前2024项和． 故选：C. 【变式9-3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据“冰霓猜想”结合递推关系，可知数列从开始，是以3为周期的数列，进而即可求解. 【解答过程】由题意可知，，，，，， ，，，，，……， 所以根据“冰霓猜想”可知. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$