专题05 整式中的应用、规律、新定义型的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题05 整式中的应用、规律、新定义型的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、整式的加减实际应用问题 1 类型二、单项式的规律探究问题题 5 类型三、整式中的数字类规律探究问题 8 类型四、整式中的图形类规律探究问题 12 类型五、整式加减中的新定义型问题 16 压轴能力测评（15题） 21 解题知识必备 1. 整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【要点提示】（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 压轴题型讲练 类型一、整式的加减实际应用问题 例题：（24-25七年级上·全国·假期作业）已知是长方形，以为直径的圆弧与只有一个交点，且=． (1)用含a的代数式表示阴影部分面积； (2)当时，求阴影部分面积（取3）． 【变式训练1】（23-24七年级下·广西贺州·期末）如图，是某学校内的一块长为30米，宽为15米的长方形劳动实践基地，为了行走方便，学校决定请工人对三条都一样宽的走道进行硬化（阴影部分）．设走道的宽为x米． (1)求走道的全面积为________；（试用含x的代数式表示并化简） (2)经测量该走道的宽x为0.5米，求出该走道的总面积； (3)经商议按25元/米的费用支付给工人工钱，则学校要付给工人的费用是多少元？ 【变式训练2】（23-24七年级上·山东菏泽·期末）“囧”：是网络流行语，像一个人脸郁闷的神情，如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为、，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为、． (1)用含有、的代数式表示图中“囧”的面积； (2)令“囧”的面积为，若代数式的值与、无关，求此时的值． 【变式训练3】（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成 的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长，宽 的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取，长度单位为米） 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 不超过平方米的部分，元/平方米，超过平方米的部分，元/平方米 乙厂商 元/平方米，每购一平方米玻璃送米铝合金 (1)一扇这样窗户 一 共需要铝合金多少米？（用含的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含的式子表示） (3)某公司需要购进扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表中报价，当时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 类型二、单项式的规律探究问题题 例题：（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）有一组单项式：第n个单项式是 ． 【变式训练1】（22-23七年级上·四川绵阳·期中）观察下列单项式：x，，，，，…考虑他们的系数和次数，请写出第n个单项式： ． 【变式训练2】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是 ，第（是正整数）个式子是 ． 【变式训练3】（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）观察下列单项式：． (1)请你写出第个，第个单项式． (2)第个单项式的系数是多少？ (3)第个单项式的次数是多少？ (4)根据上面的归纳，请写出第个单项式． 类型三、整式中的数字类规律探究问题 例题：（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式 ； （2）写出你猜想的第个等式 （用含的等式表示）． 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式．（用含n的式子表示） 【变式训练3】（23-24七年级上·云南昆明·期中）观察下列各式： ……①； ……②； ……③ … (1)根据上述规律写出第5个等式是： ； (2)试写出第（为正整数）个等式： ； (3)计算：． 类型四、整式中的图形类规律探究问题 例题：（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． (1)填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 (2)①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 【变式训练1】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）小明用若干根等长的小木棒设计出如下图形，呈一定的规律性，则第个图形中有小木棒 根． 【变式训练2】（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图2为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；…. (1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； (2)若铺设这条小路共用去块六边形地砖，分别用含的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)当时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量． 【变式训练3】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）将若干张长3厘米、宽2厘米的纸片按图中样子（重复一竖一横）重叠摆在桌子上． (1)填表． 纸片张数 …… 盖住桌面面积/ (2)8张这样的纸片盖住桌面的面积是______平方厘米． (3)用S表示盖住桌面的面积，n表示纸片张数，请你写出与之间的关系式：______． (4)______张纸片盖住桌面的面积是2022平方厘米． 类型五、整式加减中的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)4与______是关于6的实验数；代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 【变式训练1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：满足 (1)当，化简； (2)如果化简的结果与无关，求的值． 【变式训练2】（23-24七年级上·江苏常州·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值； (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，    ①______0，______0（填“>”、“=”或“<”）； ②化简． 【变式训练3】（23-24七年级上·江西宜春·期中）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对，中，是“相伴有理数对”的是 ___________； (2)若是“相伴有理数对”，求x的值； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【变式训练4】（23-24七年级上·江苏·周测）定义某种新运算“”，根据下列各式，回答问题： ； ； ； ． (1)填空：　 　； (2)若，与相等吗？请说明理由； (3)若，，试说明：、不论取何值，的运算结果总是为正数． 压轴能力测评（15题） 一、填空题 1．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）对两个有理数，定义新运算：．若，则的值为 ． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，，，……，若符合前面式子的规律，则 ． 3．（22-23七年级上·广东广州·期中）观察下面的一列单项式：，，，，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第n个单项式为 ． 4．（2024·湖北随州·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，写出第4个等式为 ，第n个等式为 ． 5．（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起，下图是用“形”来表示“数”、请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9，依次排下去，第10幅图的点数为 ，第n幅图的点数为 ． 二、解答题 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有一列单项式：． (1)写出第99个，第2024个单项式； (2)写出第个，第个单项式． 7．（23-24六年级上·山东威海·期末）定义：若，则称与是关于的平衡数．例如：，所以1与2是关于3的平衡数；，所以10与是关于5的平衡数． (1)与是关于______的平衡数；与______是关于2的平衡数； (2)若，，判断与是否是关于3的平衡数，并说明理由． 8．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）观察下列各式：，，． (1)按照发现的规律填空：________； (2)你发现的规律是：________；（n为正整数） (3)用规律计算：． 9．（23-24七年级上·广东湛江·期中）按如下规律摆放三角形： (1)图有______个三角形，图有______个三角形，图有______个三角形． (2)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ (3)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）学校餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人； (2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人； (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有50张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 11．（23-24七年级上·四川达州·期末）观察下面的三行单项式 ，，，，… ，，，，… ，，，，… 根据你发现的规律，完成以下各题： (1)第行第个单项式为 ；第行第个单项式为 ． (2)第行第个单项式为 ． (3)取每行的第个单项式，令这三个单项式的和为．计算当时，的值． 12．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）阅读材料：以下给出求的值的方法． 解：设（1） 将等式两边同时乘2得：（2） 将（2）式和（1）式左右两边分别相减，可得： 此时，即． 请你仿照此法计算： (1)，结果用含幂的表达式给出； (2)（其中为正整数），结果使用含的表达式给出． 13．（23-24七年级上·四川资阳·期末）定义：如果整式与整式的和是一个常数，则称，为数的“绝佳整式”．如：与为数5的“绝佳整式”． (1)已知整式与整式为数2的“绝佳整式”，若，求整式； (2)已知关于的整式与为数的“绝佳整式”，求的值； (3)已知一个能被4整除的三位数的百位数字、十位数字、个位数字分别为，且关于的整式与为数的“绝佳整式”，求这个三位数． 14．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．②求的“友好数”为__________． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 15．（23-24九年级上·江西吉安·期末）九年级某班在学习了教材页的数学活动后，某数学小组经讨论组织了一次综合与实践活动，经历了如下过程： 将大小相同的标准小等边三角形按如图所示的方式进行摆放，根据图形中的规律，解决如下问题： 问题提出 （1）在下列三个图中，标准小等边三角形的个数分别是：图1中共有_______个，图2中共有_______个，图3中共有_______个； 操作发现 （2）按此规律摆放下去，猜想第四个图形中，共有标准小等边三角形的数为_______个； 数学思考 （3）按以上规律摆放下去，是否存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为个的情况？如果存在，求最后这个图形中标准小等边三角形的个数；如果不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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（3）用单价乘以总面积进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：走道的全面积为：； （2）解：当时：， 故该走道的总面积为：平方米； （3）解：（元）． 【变式训练2】（23-24七年级上·山东菏泽·期末）“囧”：是网络流行语，像一个人脸郁闷的神情，如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为、，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为、． (1)用含有、的代数式表示图中“囧”的面积； (2)令“囧”的面积为，若代数式的值与、无关，求此时的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用代数式表示式、整式加减的应用、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查列代数式和整式加减运算，熟练掌握代数式求值的方法，根据题意列出准确的代数式是解题的关键． （1）由题意直接利用正方形面积减去两个三角形面积，以及一个小长方形面积即可得到图中“囧”的面积； （2）根据题意先得出“囧”的面积，进而代入代数式，依据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得“囧”的面积： ； （2） ， 把代入，得 ， 代数式的值与无关， ， ． 【变式训练3】（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成 的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长，宽 的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取，长度单位为米） 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 不超过平方米的部分，元/平方米，超过平方米的部分，元/平方米 乙厂商 元/平方米，每购一平方米玻璃送米铝合金 (1)一扇这样窗户 一 共需要铝合金多少米？（用含的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含的式子表示） (3)某公司需要购进扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表中报价，当时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 【答案】(1)米； (2)平方米； (3)甲． 【知识点】整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、用代数式表示式、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（）根据题意求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可； （）根据题意求出窗框的面积即可； （）根据报价分别求出甲、乙的费用比较大小即可判断； 本题考查了列代数式，整式混合运算的应用，代数式求值，掌握题意，列出代数式并正确求值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得， 一扇这样窗户 一 共需要铝合金：米， 答：一扇这样窗户一共需要铝合金米； （2）解：根据题意得， 一扇这样窗户一共需要玻璃：平方米， 答：一扇这样窗户一共需要玻璃平方米； （3）解：当时， 铝合金长为： 米， 玻璃面积为：平方米， 从甲厂商购买需要：元； 从乙厂商购买需要：元； ∵， ∴从甲厂商购买窗户合算． 类型二、单项式的规律探究问题题 例题：（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）有一组单项式：第n个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知第n个单项式的分母为，分子为，据此规律可得答案． 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为，， 第3个单项式为， 第4个单项式为， ……， 以此类推可知，第n个单项式的分母为，分子为， ∴第n个单项式为， 故答案为： ． 【变式训练1】（22-23七年级上·四川绵阳·期中）观察下列单项式：x，，，，，…考虑他们的系数和次数，请写出第n个单项式： ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的单项式可以发现数字因数和字母的指数的变化特点，即可写出第n个单项式，即可得出结果． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴第n个单项式：． 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是 ，第（是正整数）个式子是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题、数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了单项式，数字的变化规律；判断出单项式的符号，系数以及幂与序号之间的关系是解决本题的关键． 【详解】解：通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为，字母是，的指数为． 则第项为， ∴第2023个式子是， 故答案为：，． 【变式训练3】（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）观察下列单项式：． (1)请你写出第个，第个单项式． (2)第个单项式的系数是多少？ (3)第个单项式的次数是多少？ (4)根据上面的归纳，请写出第个单项式． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【知识点】单项式规律题 【分析】不难看出系数部分为的指数为以开始的自然数，的指数都是，据此可解答； 结合可解答； 结合可解答； 结合可解答． 【详解】（1）， ， ， 第个单项式为：， 第个单项式为：； （2）由可得：第个单项式的系数是：； （3）由可得：第个单项式的次数是：； （4）由可得：第个单项式为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律． 类型三、整式中的数字类规律探究问题 例题：（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【知识点】有理数的加减混合运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； ②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：① ． ② ． 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式 ； （2）写出你猜想的第个等式 （用含的等式表示）． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查有理数和整式的知识，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答． （ 1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，即可得到第六个等式； （ 2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可． 【详解】解：（1）∵第个等式：， 第个等式， 第个等式， 第个等式， ∴第个等式为：． 故答案为：． （2）由（ 1）得，第个等式：， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式．（用含n的式子表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第n个等式，用字母表示出所得的规律即可． 【详解】（1）解：通过观察前面式子可得： 第5个等式：， 故答案为：； （2）通过观察前面式子可得： 第n个等式： ． 【变式训练3】（23-24七年级上·云南昆明·期中）观察下列各式： ……①； ……②； ……③ … (1)根据上述规律写出第5个等式是： ； (2)试写出第（为正整数）个等式： ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字的变化规律类题型，正确理解题意、发现数字的变化规律是解决此题的关键． （1）根据题目中式子的特点，直接写出第5个等式即可； （2）根据题目中式子的特点，写出第n个等式，然后将等式左边做适当的变形可得右边； （3）根据前面得到的n个式子分别相加，变形后即可得答案．． 【详解】（1）根据题意，等式中不变的是底数3，等式右边的系数2，运算符号不变，指数的特点是第1个等式，两边的指数为2，1，1；第2个等式，两边的指数为3，2，2；第3个等式，两边的指数为4，3，3，第n个等式的指数为，故第五个等式为； 故答案为：． （2）根据题意，等式中不变的是底数3，等式右边的系数2，运算符号不变，第n个等式的指数为，故第n个等式为； 故答案为：． （3）根据题意，得 ……①； ……②； ……③ ………………………… …… 左右两边，分别相加，得 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型四、整式中的图形类规律探究问题 例题：（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． (1)填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 (2)①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②块 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了平面镶嵌(密铺)问题和用代数式表示规律，解题的关键是要注意分别找到三角形和正方形的个数的规律． （1）直接根据图像中各方块数量填表即可解题； （2）①根据图1、2、3正方形个数与正三角形个数寻找规律，即可解题； ②根据①中规律直接解题即可． 【详解】（1）解：由图可得： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 11 10 图3 3 16 14 （2）解：①由图可知： 图中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图2中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图3中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 在图n中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 故答案为，； ②由①可得： 在图10中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 在图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量为块． 【变式训练1】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）小明用若干根等长的小木棒设计出如下图形，呈一定的规律性，则第个图形中有小木棒 根． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，计算出前个图形的小木棒数量可得规律第个图形有根小木棒，据此可得答案． 【详解】解：第个图形有根小木棒， 第个图形有根小木棒， 第个图形有根小木棒， 第个图形有根小木棒， ……， 以此类推，可得第个图形有根小木棒， 当时，， ∴第个图形中有小木棒根 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图2为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；…. (1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； (2)若铺设这条小路共用去块六边形地砖，分别用含的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)当时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量． 【答案】(1)， (2)正方形地砖有块，三角形地砖有块 (3)正方形地砖和三角形地砖的总数量为块 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形的规律，整式的运算，理解图形的数量关系，掌握整式的运算是解题的关键． （1）根据图形的数量，找出数量关系即可求解； （2）根据（1）中的数量关系列式求解即可； （3）把代入上述的数量关系式即可求解． 【详解】（1）解：第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； 第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； 第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； ， ∴第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； ∴每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块， 故答案为：，； （2）解：根据第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块， ∴用去块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块； （3）解：当时，正方形地砖有：（块），三角形地砖有：（块）， ∴（块）， ∴正方形地砖和三角形地砖的总数量为块． 【变式训练3】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）将若干张长3厘米、宽2厘米的纸片按图中样子（重复一竖一横）重叠摆在桌子上． (1)填表． 纸片张数 …… 盖住桌面面积/ (2)8张这样的纸片盖住桌面的面积是______平方厘米． (3)用S表示盖住桌面的面积，n表示纸片张数，请你写出与之间的关系式：______． (4)______张纸片盖住桌面的面积是2022平方厘米． 【答案】(1)8，10，12 (2)20 (3) (4)1009 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了图形与规律探索，代数式求值，一元一次方程的实际应用． （1）根据题意得出：每增加一个纸片所增加的面积是2平方厘米，从而得出增加的规律，这是解决本题的关键，第一张纸盖住的面积是平方厘米，第二张纸盖住的就是平方厘米，第三张纸盖住的也是平方厘米，以后每张纸盖住的面积都是2平方厘米，由此填表， （2）由（1）即可求解； （3）由（1）得出规律：n张纸重叠，那么覆盖的面积就是，再根据规律求解； （4）令，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：第一张纸盖住的面积是平方厘米， 第二张纸盖住的就是平方厘米， 第三张纸盖住的也是平方厘米， 以后每张纸盖住的面积都是2平方厘米， 纸片张数 …… 盖住桌面面积/ 8 10 12 （2）解：由（1）得以后每张纸盖住的面积都是2平方厘米， 时，则（平方厘米）； （3）解：由（1）得出规律：n张纸重叠，则覆盖的面积就是， ； （4）解：， ， ． 类型五、整式加减中的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)4与______是关于6的实验数；代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 【答案】(1)2， (2)a与b是关于6的实验数，理由见解析 (3)d的值为 【知识点】整式的加减运算、整式加减的应用 【分析】本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键． （1）根据题中给出的定义计算即可； （2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是； （3）由题意得出，把c的值代入计算即可求出d的值． 【详解】（1）解：， ∴4与2是关于6的实验数； ， ∴与是关于6的实验数， 故答案为：2；； （2）解：a与b是关于6的实验数，理由： ， ∴a与b是关于6的实验数； （3）解：由题意得，， ， ． 【变式训练1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：满足 (1)当，化简； (2)如果化简的结果与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据所给的新定义结合整式的加减计算法则进行求解即可； （2）根据化简的结果与y的取值无关，得出，求出x的值，然后代入（1）中所求的式子中求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：原式 ， 化简的结果与无关 ， ， 当时，原式． 【变式训练2】（23-24七年级上·江苏常州·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值； (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，    ①______0，______0（填“>”、“=”或“<”）； ②化简． 【答案】(1)8 (2)①＜，＜；（2） 【知识点】有理数的减法运算、化简绝对值、整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了新定义，利用数轴判断式子的正负，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序及绝对值的性质． （1）根据新定义计算可得； （2）根据数轴得出且，从而得出、，再根据绝对值性质解答可得． 【详解】（1）根据题意知： ； （2）①由图可知且， 则、， 故答案为：＜，＜． ②． 【变式训练3】（23-24七年级上·江西宜春·期中）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对，中，是“相伴有理数对”的是 ___________； (2)若是“相伴有理数对”，求x的值； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减中的化简求值、两个有理数的乘法运算、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和有理数的混合运算，理解题意掌握去括号法则和合并同类项法则以及有理数的混合运算法则是解题的关键，应用了整体代入的数学思想． （1）根据题干条件，代数计算，符合“相伴有理数对”的定义，即为答案； （2）根据“相伴有理数对”的定义，代数化简计算，即可作答． （3）先根据“相伴有理数对”的定义，得，再代入，化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，∵数对， ∴，故不是“相伴有理数对”； ∵数对 ∴，故是“相伴有理数对”； 故答案为： （2）解：∵是“相伴有理数对”， ∴ 解得； （3）解：∵是“相伴有理数对”， ∴， 故． 【变式训练4】（23-24七年级上·江苏·周测）定义某种新运算“”，根据下列各式，回答问题： ； ； ； ． (1)填空：　 　； (2)若，与相等吗？请说明理由； (3)若，，试说明：、不论取何值，的运算结果总是为正数． 【答案】(1)； (2)与不相等，理由见解析； (3)见解析． 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算、有理数四则混合运算 【分析】（）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （）各自利用题中的新定义计算得到结果， 判断即可； （）把与代入原式后，利用题中的新定义化简，再根据非负数的性质判断即可. 【详解】（1）解：根据题中的新定义 ； ； ； ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：与不相等，理由如下： ∵，且， ∴，， ∴与不相等， （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵运算的结果与的取值无关，且总是正数， ∴、不论取何值的运算结果总是为正数. 【点睛】此题考查了新定义运算，正确理解定义的新运算的意义是解题的关键． 压轴能力测评（15题） 一、填空题 1．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）对两个有理数，定义新运算：．若，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题为新定义问题，考查了整式的加减等知识．根据新定义得到，结合即可求出． 【详解】解：由新定义得， 因为， ∴． 故答案为：3 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，，，……，若符合前面式子的规律，则 ． 【答案】419 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解决此类探究性问题，解题的关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 观察可得，等式的前面为加法算式，前面加数与后面加数的分母为算式的序数加1，分母为分子的平方减1，据此规律解答即可． 【详解】，，，， ， ， ，， ， 故答案为：419． 3．（22-23七年级上·广东广州·期中）观察下面的一列单项式：，，，，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第n个单项式为 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】第个：，第个：，第个：，第个：，据此找出第个单项式即可求解． 【详解】解：由题意可知 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：； 第7个单项式为， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了探究单项式规律问题，找出规律是解题的关键． 4．（2024·湖北随州·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，写出第4个等式为 ，第n个等式为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意推导一般性规律即可． 【详解】解：由题意知，第4个等式为，第n个等式为， 故答案为：，． 5．（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起，下图是用“形”来表示“数”、请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9，依次排下去，第10幅图的点数为 ，第n幅图的点数为 ． 【答案】 37 / 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的规律题．根据第1，2，3幅图的点数，可得到规律，即可求解． 【详解】解：第1幅图的点数为， 第2幅图的点数为， 第3幅图的点数为， 依次排下去， 第10幅图的点数为， 第n幅图的点数为． 故答案为：37； 二、解答题 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有一列单项式：． (1)写出第99个，第2024个单项式； (2)写出第个，第个单项式． 【答案】(1)第99个单项式为，第2024个单项式为 (2)第个单项式为，第个单项式为 【知识点】单项式规律题 【分析】（1）根据题意得出规律：系数是连续的整数，次数和系数相同，即可得出答案； （2）根据（1）的规律解答即可． 【详解】（1）根据题意，得：第99个单项式为，第2024个单项式为； （2）第个单项式为，第个单项式为． 【点睛】本题考查了整式的规律探寻，找到规律是解题的关键． 7．（23-24六年级上·山东威海·期末）定义：若，则称与是关于的平衡数．例如：，所以1与2是关于3的平衡数；，所以10与是关于5的平衡数． (1)与是关于______的平衡数；与______是关于2的平衡数； (2)若，，判断与是否是关于3的平衡数，并说明理由． 【答案】(1)； (2)与是关于3的平衡数，理由见解析 【知识点】整式的加减运算、有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法、整式的加减，熟练掌握相关运算法则，理解题中新定义是解答的关键． （1）根据题中新定义和有理数的加法运算法则、整式的加减运算法则求解即可； （2）根据题中新定义和整式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的平衡数， ∵， ∴与是关于2的平衡数， 故答案为：；； （2）解：与是关于3的平衡数，理由为： ， ∴与是关于3的平衡数． 8．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）观察下列各式：，，． (1)按照发现的规律填空：________； (2)你发现的规律是：________；（n为正整数） (3)用规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题考查离散值的变化规律，运用规律计算是关键． （1）根据所给算式的特点写出即可； （2）写出发现的规律通式即可； （3）运用规律计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：； （2）． 故答案为：； （3）原式 9．（23-24七年级上·广东湛江·期中）按如下规律摆放三角形： (1)图有______个三角形，图有______个三角形，图有______个三角形． (2)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ (3)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（）观察图形即可求解； （）根据（）中的规律即可求解； （）把代入（）中的结果计算即可求解； 本题考查了图形的变化规律类问题，代数式求值，通过图形，找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由图形可得，图有个三角形，图有个三角形，图有个三角形， 故答案为：，，； （2）解：∵时，有个三角形，即个三角形， 时，有个三角形，即个三角形， 时，有个三角形，即个三角形， ∴第个图形中有个三角形； （3）解：当时，， ∴第个图形中有个三角形． 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）学校餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人； (2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人； (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有50张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 【答案】(1)22；14 (2)； (3)选择第一种方式；理由见解析 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． （1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；旁边4人除外，每张桌可以坐2人，由此即可解决问题； （2）根据（1）中所得规律列式可得； （3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断． 【详解】（1）解：当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐（人）， 第二种摆放方式能坐（人）； （2）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人， 即有n张桌子时是； 第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人， 即． （3）解：选择第一种方式．理由如下； 第一种方式：50张桌子一共可以坐（人）； 第二种方式：50张桌子一共可以坐（人）； ∵， ∴选择第一种方式． 11．（23-24七年级上·四川达州·期末）观察下面的三行单项式 ，，，，… ，，，，… ，，，，… 根据你发现的规律，完成以下各题： (1)第行第个单项式为 ；第行第个单项式为 ． (2)第行第个单项式为 ． (3)取每行的第个单项式，令这三个单项式的和为．计算当时，的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索、单项式规律题、整式的加减运算 【分析】本题考查数字的变化规律，能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是关键． （1）观察所给的与式子可得的特点，第个数是，的特点，第个数是； （2）观察式子的特点，可得第个数是，即可求出解； （3）先求出，再将代入求出，最后再求即可． 【详解】（1）解：的特点，第个数是， 第个单项式是； 的特点，第个数是， 第个单项式是， 故答案为：，． （2）解：的特点，第个数是， 故答案为：． （3）解：的第个单项式是，的第个单项式是，的第个单项式是， ， 当时，， ． 12．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）阅读材料：以下给出求的值的方法． 解：设（1） 将等式两边同时乘2得：（2） 将（2）式和（1）式左右两边分别相减，可得： 此时，即． 请你仿照此法计算： (1)，结果用含幂的表达式给出； (2)（其中为正整数），结果使用含的表达式给出． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律． （1）根据所给的解答方式进行求解即可； （2）仿照所给的解答方式进行求解即可． 【详解】（1）解：设，将等式两边同时乘以3得： ， 将下式减去上式得 即； （2）解：设，将等式两边同时乘以3得： ， 将下式减去上式得， 即． 13．（23-24七年级上·四川资阳·期末）定义：如果整式与整式的和是一个常数，则称，为数的“绝佳整式”．如：与为数5的“绝佳整式”． (1)已知整式与整式为数2的“绝佳整式”，若，求整式； (2)已知关于的整式与为数的“绝佳整式”，求的值； (3)已知一个能被4整除的三位数的百位数字、十位数字、个位数字分别为，且关于的整式与为数的“绝佳整式”，求这个三位数． 【答案】(1) (2) (3)224或404或440 【知识点】整式的判断、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是进行整式的加减计算． （1）根据“绝佳整式”的定义列式计算即可求解； （2）根据“绝佳整式”的定义得到，，依此计算即可求； （3）分两种情况：①当时；②当时，进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：整式与整式为数2的“绝佳整式”，， ； （2）与为数的“绝佳整式”， ， ； （3）①当时，由题意，得： ， 为十位数字和个位数字，且这个三位数能被4整除， 或， 这个三位数为404或440． ②当时，由题意，得：， ． 为百位数字和十位数字，且这个三位数能被4整除， 或 这个三位数为224或404． 综上所述，这个三位数为224或404或440． 14．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．②求的“友好数”为__________． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 【答案】(1)①与3不是互为“友好数”，理由见解析；② (2) (3) 【知识点】相反数的定义、数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题考查数字规律，整式的加减： （1）①根据“友好数”的定义即可求解；②根据“友好数”的定义即可求解； （2）有理数与互为“友好数”，与互为相反数，可知，，化简代数式即可求解； （3）根据题意计算出，由此即可找出数字规律求解． 【详解】（1）解：①与3不是互为“友好数”，理由如下： ∵， ∴与3不是互为“友好数”； ②∵， ∴， ∴的“友好数”为； 故答案为： （2）解：∵有理数与互为“友好数”，与互为相反数， ∴， ∴ （3）解：解：由题意得，当时，它的友好数， ∴， ∴这组数从开始4次一循环， ∵， ∴的值为． 15．（23-24九年级上·江西吉安·期末）九年级某班在学习了教材页的数学活动后，某数学小组经讨论组织了一次综合与实践活动，经历了如下过程： 将大小相同的标准小等边三角形按如图所示的方式进行摆放，根据图形中的规律，解决如下问题： 问题提出 （1）在下列三个图中，标准小等边三角形的个数分别是：图1中共有_______个，图2中共有_______个，图3中共有_______个； 操作发现 （2）按此规律摆放下去，猜想第四个图形中，共有标准小等边三角形的数为_______个； 数学思考 （3）按以上规律摆放下去，是否存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为个的情况？如果存在，求最后这个图形中标准小等边三角形的个数；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）4，9，；（2）；（3）存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为个的情况，且最后这个图形中标准小等边三角形的个数为个 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）根据图形求解作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据题意推导一般性规律，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，图1中共有4个，图2中共有9个，图3中共有个； 故答案为：4，9，； （2）解：由题意知，第四个图形中，共有标准小等边三角形的数为个，   故答案为：； （3）解：∵图1中共有 个， 图2中共有个， 图3中共有个； 图4中共有个； …… ∴图中共有个， 依题意得，， ∵， ∴， ∴存在，最后这个图形中标准小等边三角形的个数为个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$