专题06 指数与指数函数（八大重难点题型）-【课后优辅导】2024年高一数学上学期秋季精品讲义（人教A版2019）

专题06 指数与指数函数 考点1、指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 考点2、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【解题方法总结】 1、指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 重难点题型突破（一）指数的定义与指数简单运算 例1、（24-25高一上·全国·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 例2、（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 例3、（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1、（2024高二下·浙江·学业考试）（多选题）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2、（22-23高一上·甘肃武威·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3、（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 例4、（24-25高一上·河南信阳·开学考试）计算： (1) (2) 1、（24-25高一上·全国·课堂例题）计算：. 重难点题型突破（二）指数运算及指数方程、指数不等式 例5、（23-24高一上·广西柳州·开学考试）若，则的值为 . 例6、（24-25高一上·全国·课后作业）在算式中，“中､国､精､神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 例7．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 例8．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 1、（22-23高一上·江苏宿迁·期中）（多选题）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 2、（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 3、（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数满足：，则 . 4、（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破（三） 指数函数的图像与性质 例9．（22-23高一上·四川宜宾·阶段练习）已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 例10．（2018·山西·一模）函数 (且)与函数在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C． D． 2．（22-23高一上·广东·阶段练习）（多选题）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破（四）指数函数的单调性与最值（比较大小） 例11．（23-24高一上·贵州·阶段练习）下列函数为奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 例12、（23-24高三上·上海静安·阶段练习）函数的严格增区间是 . 1．（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 2．（23-24高一上·四川凉山·期末）不等式的解集为 ． 例13．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，则的大小关系是 .（用号连接） 例14．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 、 1、（23-24高一上·四川绵阳·期中）在中，最大的数是 . 2、（24-25高一上·全国·课前预习）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破（五） 指数型复合函数的应用 例15、（23-24高二下·天津河东·期末）设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例16、（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例17、（22-23高一下·浙江杭州·期末）（多选题）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数是减函数 例18、（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ． 1．（24-25高三上·浙江·开学考试）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·江苏南京·期末）（多选题）已知函数，则下列命题中，正确的有（    ） A．函数的值域为； B．函数的单调增区间为； C．方程有两个不同的实数解； D．函数的图象关于直线对称． 4．（23-24高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 ． 重难点题型突破（六）指数与指数函数的应用 例19、（21-22高一上·陕西渭南·期末）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤 小时． 例20．（19-20高三·安徽·阶段练习）地震震级是衡量地震本身大小的尺度，由地震所释放出来的能量大小来决定，释放出的能量愈大，则震级愈大.震级的大小可通过地震仪测出.中国使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，地震释放的能量与地震里氏震级之间的关系为.已知地区最近两次地震的震级，的值分别为，，释放的能量分别为，.记，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·浙江温州·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85℃的开水泡制，再等茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，如果茶水原来的温度是℃，经过一定时间t min后的温度 （单位：℃）可由公式求得，其中表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯85°C的绿茶放在室温为25℃的房间中，如果茶温降到40℃需要20min．那么在25℃室温下，用85℃的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间 min，才能达到最佳饮用口感． 2．（20-21高一上·山东青岛·期中）专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（    ） (参考数据：) A． B． C． D． 重难点题型突破（七）指数函数中的恒成立问题 例21．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知定义在上的偶函数满足：当时，，且对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例22、（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知，且，函数，若存在最小值，则实数的取值范围为 ． 例23．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 ． 3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破（八）指数函数的综合问题 例24．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）已知定义域为的函数，若对任意，，均有恒成立，则下列情形可能成立的是（    ） A． B． C． D． 例25．（23-24高一上·天津滨海新·期末）若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）（多选题）已知函数，则（    ） A．若的定义域为R，则a的取值范围是 B．若的值域为，则a的取值范围是 C．若，则的单调递增区间是 D．若，且，则 2．（2007高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 例26．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数（，且）是定义在R上的奇函数． (1)求a的值； (2)若关于t方程在有且仅有一个根，求实数k的取值范围． 例27、（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数且． (1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若，设，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 1．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若时，的最小值为，求的值． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为． (1)设，求的取值范围； (2)若恒成立，求的范围． 1．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 2．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024高三·北京·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·山东青岛·开学考试）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（    ） A．5.94万元 B．1.18万元 C．6.18万元 D．0.94万元 6．（23-24高一上·重庆·期末）（多选题）已知，，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·宁夏银川·期末）（多选）以下关于数的大小的结论正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选题）已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）计算： . 10．（23-24高一上·福建漳州·阶段练习）已知函数是R上的减函数，则a的取值范围为 ． 11．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则的单调递减区间为 . 12．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数为奇函数． (1)写出k的值并求函数的值域； (2)当时，恒成立，求m的取值范围． 13．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； (3)若，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 指数与指数函数 考点1、指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 考点2、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【解题方法总结】 1、指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 重难点题型突破（一）指数的定义与指数简单运算 例1、（24-25高一上·全国·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 例2、（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据分数指数幂与根式的互化公式逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 例3、（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 1、（2024高二下·浙江·学业考试）（多选题）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用根式运算法则及根式与分数指数幂互化，选出正确答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误. 故选：ABC. 2、（22-23高一上·甘肃武威·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【分析】由指数幂的运算性质逐个判断即可. 【详解】，A错； ，B正确； ，C错误； ，D错误 故选:B 3、（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解． 【详解】，． 故答案为：． 例4、（24-25高一上·河南信阳·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）直接利用根式计算即可得出结果； （2）利用分数指数幂以及绝对值和三角函数值计算可得结果. 【详解】（1）易知， 所以 （2）显然， 所以. 1、（24-25高一上·全国·课堂例题）计算：. 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】原式. 重难点题型突破（二）指数运算及指数方程、指数不等式 例5、（23-24高一上·广西柳州·开学考试）若，则的值为 . 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数幂的运算可得答案. 【详解】因为，所以，， 故答案为：2. 例6、（24-25高一上·全国·课后作业）在算式中，“中､国､精､神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【分析】由题意可知“中､国､精､神”分别代表四个不同的数字为非负整数，且最大的数字小于5，然后分情况讨论可得答案. 【详解】由题意可知“中､国､精､神”分别代表四个不同的数字为非负整数， 因为，所以“中”代表的数字小于5， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为3，2，1，0，此时，不合题意， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为4，2，1，0，此时，不合题意， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为4，3，1，0，此时，不合题意， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为4，3，2，0，此时，符合题意， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为4，3，2，1，此时，不合题意， 所以“中､国､精､神”分别代表的数字为4，3，2，0， 所以“国”字所对应的数字为3. 故选：B 例7．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案. 【详解】将两边平方，得，即， 所以. 故选：A. 例8．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、指数幂的运算 【分析】先由等式得到，再应用基本不等式求得的范围，结合选项判断即可. 【详解】由得：，解得，即， 由于，，当且仅当（即）时取得等号. 故选：CD. 1、（22-23高一上·江苏宿迁·期中）（多选题）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、指数幂的运算 【分析】利用指数的运算性质，得到，可判断AB选项，然后利用基本不等式判断CD选项的结果. 【详解】由，则，， 即，，两式相乘得， 所以，有，A选项正确，B选项错误； 由，有， 则， C选项错误，D选项正确. 故选：AD 2、（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】给平方后再开方求解即可. 【详解】，所以. 故选：A. 3、（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数满足：，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【分析】由立方和公式以及完全平方公式即可求解. 【详解】. 故答案为：18 4、（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、简单的指数方程 【分析】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可. 【详解】由，得， 所以，， 解得. 故选：B 重难点题型突破（三） 指数函数的图像与性质 例9．（22-23高一上·四川宜宾·阶段练习）已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、二次函数的图象分析与判断 【分析】方法1：由图象求得且，再由a、b的范围确定的单调性及它与y轴的交点的大概位置即可得结果；方法2：由不等式的性质得且，逐个分析每个选项的图象确定其a、b的范围，看与已知是否一致 【详解】方法1：∵，如图所示， 又∵， ∴且， ∵， ∴令得：，即：与y轴的交点为， 又且， ∴在R上单调递减，且与y轴的交点为，，只有C选项满足. 方法2：∵， ∴，① 又∵， ∴，  ② ∴由①②得： 且且， ∴且， ∵，∴令得：，即：与y轴的交点为， 对于A项，由图知，在R上单调递减，∴，与y轴的交点为，∴，这与已知且相矛盾，错误； 对于B项，由图知，在R上单调递增，∴，与y轴的交点为，∴，这与已知且相矛盾，错误； 对于C项，由图知，在R上单调递减，∴，与y轴的交点为，∴，∴且，正确； 对于D项，由图知，在R上单调递增，∴，与y轴的交点为，∴，这与已知且相矛盾，错误； 故选：C. 例10．（2018·山西·一模）函数 (且)与函数在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、二次函数的图象分析与判断、函数图像的识别 【详解】当时，函数为增函数；函数图象的开口向上，对称轴为，且与y轴的交点为，排除B． 当时，函数为减函数；函数图象的开口向下，对称轴为，与y轴的交点为，排除C,D，故A正确．选A． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二次函数的图象分析与判断、判断指数型函数的图象形状 【分析】利用排除法，根据指数函数和二次函数的图象与性质分析判断即可 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 2．（22-23高一上·广东·阶段练习）（多选题）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据函数与的图象，利用图像平移即可求解. 【详解】由的图象可以观察出函数在定义域上单调递减，所以， 函数的图象是在的图象的基础上向左平移得到的，所以. 故选：AC 重难点题型突破（四）指数函数的单调性与最值（比较大小） 例11．（23-24高一上·贵州·阶段练习）下列函数为奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对选项中的函数的定义域以及奇偶性、单调性逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数，即A错误； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称，满足奇函数定义， 且在上为增函数，即B正确； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称， 由对勾函数性质可知其在单调递减，在上单调递增，可知C错误； 对于D，函数的定义为，关于原点对称，但不能满足奇函数定义，可得D错误. 故选：B 例12、（23-24高三上·上海静安·阶段练习）函数的严格增区间是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、判断指数函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性 【分析】由指数函数、二次函数单调性结合复合函数单调性单调性即可求解. 【详解】因为关于单调递减，若函数关于单调递增， 则由复合函数单调性可知只需单调递减即可， 而的单调递减区间为， 所以函数的严格增区间是. 故答案为：. 1．（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性和单调性确定正确答案. 【详解】的定义域为， ，所以是奇函数， 由于，所以在上单调递增. 故选：A 2．（23-24高一上·四川凉山·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、判断指数函数的单调性 【分析】根据函数的单调性、一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】依题意，，即， 由于在上单调递增，所以， ， 解得或，所以不等式的解集为. 故答案为： 例13．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，则的大小关系是 .（用号连接） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性，即可比较的大小关系，即得答案. 【详解】由题意知， 而在R上单调递减，故， 故， 故答案为： 例14．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为指数函数为上的增函数，则， 又因为幂函数在上为增函数，则，故. 故选：D. 、 1、（23-24高一上·四川绵阳·期中）在中，最大的数是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数幂的运算，结合指数函数的性质，判断每个数的取值范围，比较大小即可得出答案． 【详解】因为，， 所以中，最大的数是， 故答案为：. 2、（24-25高一上·全国·课前预习）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】首先利用指数函数的单调性可得，然后利用幂函数单调性可得，从而选择正确答案. 【详解】因为指数函数在减函数， 所以，即. 又因为幂函数在单调递增函数， 所以，即. 于是. 故选：C. 重难点题型突破（五） 指数型复合函数的应用 例15、（23-24高二下·天津河东·期末）设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在上单调递减，函数在R上单调递增， 因此函数的单调递减区间是，而函数在区间单调递减， 则，即，解得，所以a的取值范围是. 故选：D 例16、（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域. 【详解】由，则， 所以的值域为. 故选：C 例17、（22-23高一下·浙江杭州·期末）（多选题）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数是减函数 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、求指数型复合函数的值域、判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】求函数的奇偶性可判断AB；分离参数可得，根据指数函数的值域可判断C；根据单调性的定义可判断D. 【详解】的定义域为，，则， 所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误； ，因为,所以,， 所以,故的值域为,C正确； 设,则 , 因为，所以， 所以,即， 所以函数是增函数，故D错误， 故选:AC. 例18、（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得. 【详解】当时，，函数， 显然当，即时，，当，即时，， 所以所求值域是. 故答案为： 1．（24-25高三上·浙江·开学考试）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数单调性同增异减列不等式，由此来求得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在上单调递增，则，即. 故选：A 2．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据二次函数的单调性和指数函数的单调性综合分析即可求解. 【详解】二次函数开口向下， 当时，最大值为， 函数是单调递减函数， 所以的值域为. 故选：B. 3．（22-23高一上·江苏南京·期末）（多选题）已知函数，则下列命题中，正确的有（    ） A．函数的值域为； B．函数的单调增区间为； C．方程有两个不同的实数解； D．函数的图象关于直线对称． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】求函数零点或方程根的个数、判断指数函数的单调性、求指数型复合函数的值域、二次函数的图象分析与判断 【分析】A选项，根据求出，得到答案；B选项，根据复合函数单调性求出的单调递增区间即可；C选项，求出，得到两个实数解；D选项，根据关于对称，得到的图象关于对称，D正确. 【详解】A选项，因为，故， 故函数的值域为，A错误； B选项，因为在R上单调递增， 故的单调递增区间为的单调递增区间， 因为的单调递增区间为， 所以函数的单调增区间为，B正确； C选项，令，即，所以，解得， 故方程有两个不同的实数解，C正确； D选项，关于对称， 故的图象关于对称，D正确. 故选：BCD 4．（23-24高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】令，然后利用配方法可得答案. 【详解】令，则， 则， 所以当时，有最小值. 故答案为：. 重难点题型突破（六）指数与指数函数的应用 例19、（21-22高一上·陕西渭南·期末）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤 小时． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1）、指数幂的运算 【分析】先列出关于还需要过滤时间x小时的方程，解之即可求得还需要过滤时间为4小时. 【详解】根据题意有，，可得，即 设污染物消除至最初的还需要过滤x小时， 则，即 则，即， 则，解之得 故答案为：4 例20．（19-20高三·安徽·阶段练习）地震震级是衡量地震本身大小的尺度，由地震所释放出来的能量大小来决定，释放出的能量愈大，则震级愈大.震级的大小可通过地震仪测出.中国使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，地震释放的能量与地震里氏震级之间的关系为.已知地区最近两次地震的震级，的值分别为，，释放的能量分别为，.记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算 【分析】分别求出和，可得到，然后比较的大小关系即可选出答案. 【详解】依题意，，，故，要比较与的大小关系，可比较与的大小关系，易知，而，故.同理可得，，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查数学文化，考查指数的运算性质，考查运算能力、推理论证能力以及化归与转化思想，属于基础题. 1．（22-23高一上·浙江温州·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85℃的开水泡制，再等茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，如果茶水原来的温度是℃，经过一定时间t min后的温度 （单位：℃）可由公式求得，其中表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯85°C的绿茶放在室温为25℃的房间中，如果茶温降到40℃需要20min．那么在25℃室温下，用85℃的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间 min，才能达到最佳饮用口感． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（2）、指数幂的运算 【分析】由85°C的绿茶放在室温为25℃的房间中茶温降到40℃需要20min代入公式得；茶温降到40℃需要min代入公式得，观察与为平方关系，可求得. 【详解】一杯85°C的绿茶放在室温为25℃的房间中，如果茶温降到40℃需要20min，那么：，所以 一杯85°C的绿茶放在室温为25℃的房间中，如果茶温降到55℃需要min，那么：，所以， 所以，所以， 故答案为：10 2．（20-21高一上·山东青岛·期中）专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（    ） (参考数据：) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1）、指数幂的化简、求值 【解析】根据列式求解即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即， 所以，由于，故， 所以，所以，解得. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题. 重难点题型突破（七）指数函数中的恒成立问题 例21．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知定义在上的偶函数满足：当时，，且对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式 【分析】根据题意，可得的解析式，分别求得当时，时，时，和的表达式，结合题意，即可求得的范围，综合即可得答案. 【详解】由题意知：, 当时，， 所以，所以， 因为，所以； 当时，， 所以，所以， 当时，， 所以，所以， 综上. 实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据题意求得的解析式，分类讨论，将和进行转化，考查分类讨论的思想，属中档题. 例22、（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知，且，函数，若存在最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、由指数（型）的单调性求参数、分段函数的单调性、一次函数的图像和性质 【分析】令，分类讨论a的取值范围，判断的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案. 【详解】由题意，令， 当时，在上单调递减，在上单调递减， 则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，即，解得， 这与矛盾； 当时，，此时，无最小值； 当时，在上单调递增，在上单调递增， 则在上的值域为，在上的值域为， 此时无最小值； 综合以上可知实数的取值范围为， 故答案为： 例23．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、根据函数的最值求参数 【分析】分别在条件下结合指数函数单调性及二次函数性质，确定函数的取值规律，由条件列不等式求的范围，可得结论. 【详解】（1）当时，若，则， 因为函数在上单调递增，所以， 若，则，当且仅当时取等号， 因为不存在最小值， 所以，所以， （2）当时，若，则， 因为函数在上单调递增，所以， 若，则，当且仅当时取等号， 因为不存在最小值， 所以，所以， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、由函数奇偶性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】将函数解析式变形，判断函数的单调性和奇偶性，利用奇偶性以及单调性解不等式即可. 【详解】由题可知，， 令，则， 所以是奇函数．又由，可得， 即，得． 由，因为均为上的减函数， 所以在上单调递减，所以，即， 解得，即实数的取值范围是． 故选：A 2、（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、含参指数函数的最值 【分析】对任意，都存在，使得，只需即可，分别求出在的最大值及在上的最大值，则答案可求. 【详解】， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 在R上单调递减， 所以当时，， 因为对任意，都存在，使得， 所以只需即可，即，解得， 即m的取值范围是． 故答案为：. 3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】由题意关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减，注意到，且，从而原不等式等价于，由此即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以关于轴对称， 由向左平移1个单位得到，所以关于直线对称， ，，且，都有， 在上单调递增， ∴在上单调递减， ∵，且，而， ∴，∴，解得， ∴原不等式的解集为. 故选：B. 重难点题型突破（八）指数函数的综合问题 例24．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）已知定义域为的函数，若对任意，，均有恒成立，则下列情形可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断指数函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】对ACD，根据函数的单调性判断，对B举例说明不正确. 【详解】对A：若，所以，所以为单调递减的指数函数，因此对任意，，均有恒成立，故A正确； 对B：若，，函数无意义，故B错误； 对C：若，所以，所以为单调递增的指数函数，所以对任意，，均有恒成立，故C错误； 对D：若，所以，所以为单调递增的指数函数，所以对任意，，均有恒成立，故D错误； 故选：A 例25．（23-24高一上·天津滨海新·期末）若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、求指数函数在区间内的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论、研究有最小值情况下参数范围. 【详解】由在上递增，且值域为， 由，开口向上且对称轴为， 所以，二次函数在上递减，在上递增， 要使有最小值， 当时，显然不成立； 当时，，则，可得； 综上，实数的取值范围是. 故选：B 1．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）（多选题）已知函数，则（    ） A．若的定义域为R，则a的取值范围是 B．若的值域为，则a的取值范围是 C．若，则的单调递增区间是 D．若，且，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、判断指数型复合函数的单调性、基本不等式求和的最小值、已知函数的定义域求参数 【分析】首先化简根式内得，由含根式函数的定义域结合指数运算即可判断A；由值域为R，可得，则B可判断；由复合函数的单调性结合根式的定义域即可判断C；化简可得，结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，因为， 若的定义域为R，则，，A正确； 对于B，若的值域为，则，，B错误； 对于C，令，由得， 由复合函数的单调性知的单调递增区间是，C正确； 对于D，由及， 可得，， 又，所以，，D错误． 故选：AC． 2．（2007高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、指数函数最值与不等式的综合问题、求已知指数型函数的最值 【分析】分离参数得恒成立，由复合型指数函数的最值得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式可化为. 因为，所以，所以的最大值为. 所以，所以. 故选：C. 例26．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数（，且）是定义在R上的奇函数． (1)求a的值； (2)若关于t方程在有且仅有一个根，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据奇函数的定义可确定的值. （2）先确定函数的单调性，结合函数的奇偶性，班函数方程转化为代数方程，再求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数是上的奇函数，所以恒成立. 所以恒成立恒成立恒成立， 即恒成立，所以. （2）， 设，则 因为在上单调递增，所以， 又，所以即， 所以是上的增函数. 在上只有一解. 问题转化为：关于的一元二次方程在只有一解. 设. ①若或. 当时，，故符合题意； 当时，，故不符合题意； ②若，或，在只有一解，故符合题意； 若，方程或，在上有两解，故不符合题意； ③若，此时方程在上只有一解. 综上可知：. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性求参数，常用的方法有： （1）利用特殊点的函数值的关系求出参数的值，该方法需要验证； （2）直接利用函数奇偶性的概念求参数，该方法不需要验证. 例27、（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数且． (1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若，设，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数、求指数型复合函数的值域、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）首先判断函数的奇偶性与单调性，依题意可得，参变分离可得在上恒成立，再由基本不等式求出即可得解； （2）首先求出解析式，依题意在上的值域是在上值域的子集，设在上的值域为集合，结合（1）求出的值域，再分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质求出的最值，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由题知：，，所以为奇函数． 设，， 因为，所以，所以，因为，所以． 所以在上单调递增． 所以， 因为在上单调递增，所以，因为，所以在上恒成立， 因为，当且仅当时，即时，． 所以，解得，所以． （2）因为，即，解得或（舍去）， 所以， 因为对任意的，总存在，使得， 所以在上的值域是在上值域的子集． 设在上的值域为集合， 由（1）知在上单调递增，，值域为， 所以． 函数的对称轴为， 当时，，，即 所以，解得． 当时，，，，因为， 所以，解得． 当时，，，， 所以，解得． 综上所述：． 1．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）当时，将不等式转化为，并用指数函数的单调性求解； （2）先使用换元法，将函数转化为，并分3类讨论函数的最小值即可. 【详解】（1）当时，不等式即为， 所以， 则有，则， 故不等式的解集为． （2）令，，则， 开口向上，对称轴方程为， ①当，即时，，则，不符合题意； ②当，即时，，则； ③当，即时，，则，不满足条件． 综上所述，的值为． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为． (1)设，求的取值范围； (2)若恒成立，求的范围． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据指数函数的单调性求出函数的值域； （2）依题意在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）∵，，在上单调递增， ∴当时，取最小值为，当时，取最大值为2， ∴的取值范围为． （2）∵在上恒成立， 又，当且仅当即时取等号， ∴的最小值为，∴． 1．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、条件等式求最值 【分析】利用基本不等式及指数幂的运算性质求最值，注意等号成立条件. 【详解】由，当且仅当，即时取等号， 所以目标式最小值为. 故选：C 2．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题、指数函数图像应用 【分析】由指数函数的性质可知恒过定点，再由指数函数的性质可知不过第二象限. 【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点， 即，此时， 由于由向下平移2个单位得到，且过点， 由此可知不过第二象限. 故选：B 3．（2024高三·北京·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意，利用指数函数的性质，转化为或，进而求得不等式的解集. 【详解】由不等式等价于，可得， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：B. 4．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数的性质判定大小即可. 【详解】由指数函数的性质易得，所以，，故. 故选：D 5．（22-23高一下·山东青岛·开学考试）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（    ） A．5.94万元 B．1.18万元 C．6.18万元 D．0.94万元 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算 【分析】由指数的运算得出存期的本利和，再减去本金得出所求利息. 【详解】由题意可得，则， 即存期，本利和为， 则存期，则利息为万元. 故选：D 6．（23-24高一上·重庆·期末）（多选题）已知，，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】取特值可判断AD；由指数函数的单调性可判断B；作差法判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，设，则在R上单调递增， 而，所以，故B正确； 对于C，， 因为，，所以，，， 所以，所以，故C正确； 对于D，取，，所以，故D错误. 故选：BC. 7．（23-24高一上·宁夏银川·期末）（多选）以下关于数的大小的结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】由指数函数的性质判断即可. 【详解】对于选项A：因为指数函数在上单调递增，且，，所以选项A正确， 对于选项B：∵指数函数在上单调递减，且，所以选项B正确， 对于选项C：，所以选项C不正确， 对于选项D：，且，∴，所以D正确． 故选：ABD． 8．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选题）已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】作出函数的图象，由数形结合判断四个选项的正误. 【详解】的图象如下图所示,由图可知在单调递减，在上单调递增 因为， 若，因为在单调递减，此时不满足 所以，同理可得， 因为，所以 所以，即，对. 即，错. 若，因为 所以 此时，错，，对. 若,因为 所以 即 综上所述，对. 故选： 9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）计算： . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】; 故答案为： 10．（23-24高一上·福建漳州·阶段练习）已知函数是R上的减函数，则a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、判断指数函数的单调性 【分析】利用分段函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是R上的减函数，则，解得. a的取值范围为. 故答案为：. 11．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则的单调递减区间为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】将原函数视为复合函数，利用复合函数的性质求解即可. 【详解】令，， 则是由和构成的复合函数， 由指数函数性质得在上单调递减， 由二次函数性质得的单调递增区间为， 由复合函数性质得的单调递减区间为. 故答案为： 12．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数为奇函数． (1)写出k的值并求函数的值域； (2)当时，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)；函数的值域为 (2) 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据奇函数定义取特值可得，并检验；根据函数解析式，结合指数函数值域以及奇函数性质求的值域； （2）根据（1）可得在内单调递减，可得，结合指数函数最值分析求解. 【详解】（1）令，解得， 可知函数的定义域为，关于原点对称， 若函数为奇函数， 则，解得，可得， 且， 可知符合题意，即， 若，则，，可得； 根据奇函数对称性可得：若，； 综上所述：函数的值域为. （2）由（1）可知：，且若，；若，； 因为在内单调递增， 可知在内单调递减，且， 若，可得，即， 因为，则，可得，解得， 所以m的取值范围为. 13．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)0 (2)函数是定义在上的增函数，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）奇函数的定义域关于原点对称，得出的值，利用，解出，验证是奇函数，可求得； （2）由（1）求出定义域以后，用定义判断函数的单调性即可； （3）利用单调性求解即可. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数， 可得，解得，的定义域为， 由，即，解得， 则， ， 所以为上的奇函数，故，； 即. （2）函数是定义在上的增函数． 证明：设，，且， ， 因为，所以，即， 则，即， 又因为，所以函数是定义在上的增函数． （3）即为， 因为在上单调递增，可得， 解得且， 所以原不等式的解集为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$