精品解析：2024年湖南省衡阳市船山实验中学中考模拟数学试题(一)

衡阳市船山实验中学2024上学期中考模拟测试（一） 初三数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题。在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求。 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．最后一题为附加题，考生可以选择性作答； 本试卷共3道大题，26道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. “横看成岭侧成峰”出自北宋苏轼的《题西林壁》．这句诗词说明用不同角度观察同一事物可能会有不同的结论．某物体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. ` C. D. 4. 餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约万吨．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 7. 某服装店购进一批甲、乙两种款型衬衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．问甲、乙两种款型的衬衫各购进多少件?设乙种款型的衬衫购进x件，所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为 ，点B的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 若、 是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，取一根长100 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 并将其吊起来．在中点 的左侧距离中点 处挂一个重的物体，在中点 右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点 的距离（单位： ）及弹簧秤的示数 （单位： ）满足．若弹簧秤的示数 不超过7 ，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 要使代数式有意义，则x的取值范围是_________． 12. 因式分解：_________． 13. 如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则点P的对应点的坐标是 _____． 14. 若点在第二象限，则x的取值范围是______． 15. 正多边形的一个中心角为度，那么这个正多边形的一个内角等于________度． 16. 袋子里装有红、黄、白三种颜色的小球，除了颜色之外小球的形状、大小、材质完全相同，搅拌均匀后从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，如果袋中红球有3个，则袋中的黄球和白球共有___个． 17. 如图，菱形 中，，，，垂足分别为 ， ，若，则________ ． 18. 如图，四边形 内接于， 为的直径， 平分．若，，则 的长为______ ． 三、解答题（本大题共8小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题8分，第23，24题每小题9分，第25，26小题每小题10分，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简：，再从中选择一个合适的整数作为x的值代入求值． 21. 某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：______， ______，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七、八年级共有900人参加本次知识竞赛，且规定9分及9分以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， （1）求反比例函数和一次函数的关系式． （2）根据图象直接写出不等式时，x的取值范围； （3）若动点P在x轴上，求的最小值． 23. 如图，在 中，，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧于点P，作射线 ，交 于点D，过点D作交 于点E，交 于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）当，时，求菱形的周长． 24. 你就像一个三角形，我是边上的一条辅助线，虽然有时候我会和你发生摩擦，但这并不妨碍我们在相爱中彼此依靠．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度 为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为 （A、B、P、Q四点在同一平面）． （1）求路段的长（结果保留根号）； （2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段 的长（结果保留根号）． 25. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）如图1，将沿 翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． （3）如图2，若点G为线段 上的动点，过点G作交于点H．求面积的最大值，并求此时G点坐标； 26. 如图，四边形 为的内接四边形，对角线 为直径，过点 作于点 ，交 于点 ． （1）若，求的度数； （2）连接 ，若，求的值； （3）在（2）的条件下， ①记分别为，若，求的度数； ②若交于点，试用含 的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市船山实验中学2024上学期中考模拟测试（一） 初三数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题。在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求。 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．最后一题为附加题，考生可以选择性作答； 本试卷共3道大题，26道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，无理数．熟练掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键． 根据无理数是无限不循环小数判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，，是有理数，故A、B、D不符合要求；是无理数，故C符合要求； 故选：C． 2. “横看成岭侧成峰”出自北宋苏轼的《题西林壁》．这句诗词说明用不同角度观察同一事物可能会有不同的结论．某物体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上往下看得到的视图判断即可． 【详解】解：根据俯视图的定义可知， 它的俯视图是， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图，解题关键是理解三视图的定义，树立空间观念，准确识图． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. ` C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根的意义、二次根式的减法、积的乘方和完全平方式逐一计算即可． 【详解】解：A．，选项A不符合题意； B．，选项B不符合题意； C．，选项C不符合题意； D．，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的意义、二次根式的减法、积的乘方、完全平方式，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 4. 餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约万吨．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时， 是正整数；当原数的绝对值小于 时， 是负整数． 【详解】解：将数据万用科学记数法表示为． 故选：A． 5. 如图，将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据三角板可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，， 两个三角板中有刻度的边互相垂直， ， ， 故选：C． 6. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意． B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意． C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题意． D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型． 7. 某服装店购进一批甲、乙两种款型衬衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．问甲、乙两种款型的衬衫各购进多少件?设乙种款型的衬衫购进x件，所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设乙种款型的衬衫购进x件，则甲种款型的衬衫购进1．5x件，根据“甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元”列出方程即可． 【详解】解：设乙种款型的衬衫购进x件，则甲种款型的衬衫购进1．5x件，由题意得： 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到相等关系列方程． 8. 如图，与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点B的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质和位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或者．根据位似变换的性质，即可解题． 【详解】解：与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点B的坐标为， 点在第四象限， 点的坐标为即， 故选：C． 9. 若 、是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根的定义，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 由题意知，，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，取一根长100 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 并将其吊起来．在中点 的左侧距离中点 处挂一个重的物体，在中点 右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点 的距离（单位： ）及弹簧秤的示数 （单位：）满足．若弹簧秤的示数 不超过7，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据题意确定弹簧秤的示数 关于的函数解析式，再结合图像即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ∴弹簧秤的示数 关于的函数解析式为， 且该函数图像在第一象限， 随的增大而减小， 当时，可有， 越大，弹簧秤的示数 越小，而的最大值， ∴若弹簧秤的示数 不超过7，则的取值范围是． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 要使代数式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】由分式及二次根式有意义的条件可得，再解不等式组即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：且 故答案为：且 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式组的解法，熟记分式及二次根式有意义的条件是解本题的关键． 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 13. 如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则点P的对应点的坐标是 _____． 【答案】(-2,-1) 【解析】 【分析】根据“左减右加，上加下减”的原则即可求解． 【详解】由图可知，P点坐标为(-5,4)， ∵图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位， ∴P点横坐标加3，纵坐标减5， 即-5+3=-2，4-5=-1， 即的坐标为(-2,-1)． 故答案为：(-2,-1)． 【点睛】本题考查了坐标的平移，掌握“左减右加，上加下减”的原则是解答本题的关键． 14. 若点在第二象限，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查象限内的坐标特征，以及求一元一次不等式组的解集，根据第二象限内横坐标小于零，纵坐标大于零，建立一元一次不等式组求解，即可解题． 【详解】解： 点在第二象限， ， 解①得：， 解②得：， 则x的取值范围是， 故答案为：． 15. 正多边形的一个中心角为度，那么这个正多边形的一个内角等于________度． 【答案】144 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角为，求出正多边形的边数，再求出其每个外角，即可根据内角和外角的和为度求出每个内角的度数． 【详解】解：由于正多边形的中心角等于，， 所以正多边形为正 边形， 又因为其外角和为， 所以其外角为， 其每个内角为． 故答案为． 【点睛】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的中心角和外角、内角混淆． 16. 袋子里装有红、黄、白三种颜色的小球，除了颜色之外小球的形状、大小、材质完全相同，搅拌均匀后从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，如果袋中红球有3个，则袋中的黄球和白球共有___个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是已知概率求数量，设袋中的黄球和白球共有 个，再建立方程求解即可． 【详解】解：设袋中的黄球和白球共有 个，则 ， 解得；，经检验符合题意； ∴袋中的黄球和白球共有个； 故答案为： 17. 如图，菱形 中，，，，垂足分别为， ，若，则________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果． 【详解】解：在菱形 中，， ， ， ， ， 在中，， 同理，， ， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含直角三角形的性质，及三角函数等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 18. 如图，四边形 内接于， 为的直径， 平分．若，，则 的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理结合角平分线性质可推出 是等腰直角三角形，先根据勾股定理求出 的长，再根据锐角三角函数即可求出 的长． 【详解】解： 四边形 内接于， 为的直径， ， 平分， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 在 中，，， ， 在 中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线性质，勾股定理，等腰三角形性质和判定，解直角三角形三角函数，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 三、解答题（本大题共8小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题8分，第23，24题每小题9分，第25，26小题每小题10分，共66分） 19. 计算：． 【答案】1． 【解析】 【分析】利用负整数指数幂法则，立方根定义，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 【详解】原式=+2-2×+-1=1． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 先化简：，再从中选择一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】，取则原式的值为（取则原式的值为） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的 的值是解答本题的关键．先化简分式，然后根据分式有意义的条件求出 的取值范围，最后代入化简后的式子求解，即可解题． 【详解】解： ， 且 为整数， 可取的值有，，， ， ， 由题可知要分式有意义，即，，， 可取的值有， ， 取代入上式得：上式， （取代入上式得：上式）． 21. 某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出： ______，______，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七、八年级共有900人参加本次知识竞赛，且规定9分及9分以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），， 补全条形统计图如下： （2）七年级成绩更好， 七、八年级平均分相同，而七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差， 七年级成绩更好，更稳定； （3）该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有人 【解析】 【分析】本题考查了画条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据中位数的定义第13个数据是中位数，在等级B中，可以确定的 值，根据所占百分比最大的数据是众数，可以确定的值；根据题意得到七年级等级C人数后补全条形图即可． （2）根据平均分相同，方差越小，越稳定解答． （3）用总人数乘以优秀率即可得到人数． 【小问1详解】 解： 七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩， 七年级中位数为从小到大排序后的第名同学的成绩， 由条形统计图可知；从小到大排序后的第名同学的成绩在等级B中， 故七年级中位数， 由扇形图可知：即等级A所占比例最多， 八年级众数， 由题可知：七年级等级C人数为：（人）， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知：样本中七、八年级的优秀率为：， 该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数为：（人）． 22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， （1）求反比例函数和一次函数的关系式． （2）根据图象直接写出不等式时，x的取值范围； （3）若动点P在x轴上，求的最小值． 【答案】（1）； （2）或 （3）10 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数中求解，即可得到反比例函数解析式，再结合反比例函数求出点，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据题意得到不等式，其x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方的部分； （3）作关于 轴的对称点，连接交 轴于点 ，连接，利用轴对称性质和两点之间线段最短可知， 的最小值为，利用勾股定理求出的长，即可解题． 【小问1详解】 解： 反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为， 反比例函数过点， ， 解得， ， 一次函数的图象过点，， ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可知不等式， 即时， x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：作关于 轴的对称点，连接交 轴于点 ，连接， ， 由轴对称性质可知，， 根据两点之间线段最短可知，当 、 、三点共线时，取值最小， 的最小值为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的关系式、反比例函数与一次函数的交点问题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，以及利用轴对称求最短路径． 23. 如图，在 中，，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧于点P，作射线，交 于点D，过点D作交 于点E，交 于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）当，时，求菱形的周长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 由作图轨迹可知： 为 的角平分线， ， ， ， ， 为菱形； （2）菱形的周长为 【解析】 【分析】（1）根据题意易证四边形是平行四边形，再根据作图轨迹可知 为 的角平分线，再结合，可得，从而可得，即可证得四边形为菱形； （2）根据勾股定理先求出 的长，设菱形边长为 ，则，，根据可判断，从而得到关于 的等式，解出 即可得出菱形的边长，进而求得菱形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， 设菱形边长为 ，则，， ， ， 即， 解得：， 菱形的周长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质与判定，勾股定理，等边对等角，角平分线性质，一元一次方程的实际应用，相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 24. 你就像一个三角形，我是边上的一条辅助线，虽然有时候我会和你发生摩擦，但这并不妨碍我们在相爱中彼此依靠．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度 为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A、B、P、Q四点在同一平面）． （1）求路段的长（结果保留根号）； （2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段 的长（结果保留根号）． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）根据，求解即可． （2）如图，过点 作于，于．由题意，，设米，则米，在中，根据，构建方程求出 ，再利用勾股定理求出 即可． 【小问1详解】 解：过点P作， 由题意，， ， ， （米）； 【小问2详解】 如图，过点 作于M，于 ． 由题意，， 设米，则米， ， ∴四边形是矩形， ∴米，米，米， 在中，， ， 解得：， 米，米， 米． 25. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）如图1，将沿 翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． （3）如图2，若点G为线段 上的动点，过点G作交 于点H．求面积的最大值，并求此时G点坐标； 【答案】（1）； （2） 的坐标为或或或 （3）有最大值为，G点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据题意得到 ，结合三角函数得到点 的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，将抛物线解析式化为顶点式即可得到其顶点坐标； （2）根据题意得到顶点，进而得到为等腰直角三角形，过点 作交 于点 ，结合轴对称性质证明，得到，且有轴，设直线 的解析式为，利用待定系数法求出直线 的解析式，进而得到点 ，点坐标，根据点P在对称轴上，使得是直角三角形，设，则，，，结合勾股定理逆定理分以下三种情况①当时，②当时，③当时，建立等式，讨论求解，即可解题； （3）设直线 的解析式为，利用待定系数法求出直线 的解析式，利用平行的特点设的解析式为，分别得到，，进而根据表示出的表达式，再利用二次函数的最值，得到的最大值，并推出G点坐标． 【小问1详解】 解： 抛物线与y轴交于点， ， ， ， ，即， 抛物线过点，， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 抛物线的顶点坐标； 【小问2详解】 解： 时，解得，， ，即， ， 为等腰直角三角形， ， 过点 作交 于点 ， ， ， 由对称的性质可知，， ， ， ， ， 轴， 设直线 的解析式为， ， 解得， 直线 的解析式为， 当时，有，解得， ，即， ， ， 点P在对称轴上，使得是直角三角形， 设， 则，，， ①当时， 有， 解得或， 的坐标为或； ②当时， 有， 解得， 的坐标为； ③当时， 有， 解得， 的坐标为； 综上所述， 的坐标为或或或； 【小问3详解】 解：设直线 的解析式为， ， 解得， 直线 的解析式为， ， 设的解析式为（其中 的横坐标范围为）， 联立与，有，解得， 当时，， 即， 当时，有，即， 即， ， ， 当时，有最大值为， 此时，G点坐标为． 【点睛】本题考查了三角函数综合，待定系数法求函数解析式，二次函数顶点式，等腰直角三角形性质，轴对称性质，全等三角形性质和判定，勾股定理逆定理，二次函数的最值，解题的关键是利用分类讨论和数形结合的思想解决问题． 26. 如图，四边形 为的内接四边形，对角线 为直径，过点 作于点 ，交 于点 ． （1）若，求的度数； （2）连接 ，若，求的值； （3）在（2）的条件下， ①记分别为，若，求的度数； ②若交于点，试用含 的式子表示． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先证明，然后根据圆周角定理即可求解； （2）证明，得出，根据可设，则，，最后代入计算即可； （3）①由可得，则可证，得出，则，然后证明四边形 是矩形，得出，在 中，利用正切定义求出，即可求解； ②过点 作交 于点，则，，，根据相似三角形的性质可求出，， ，由平行线分线段成比例得出，在中，，结合（2）即可求解． 【小问1详解】 解：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ， ， ， 设，则， ， ； 【小问3详解】 解：①∵， ，即， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， 在 中，， ； ②过点 作交 于点， ，即 ，即 ，即 在中， 由（2）得： 【点睛】本题考查了圆周角定理以及推论，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $