精品解析：河北省保定市第一中学2024-2025学年高一（第八届贯通班）上学期开学考试数学试题

2024—2025学年度第一学期开学考试 数学试题 第八届贯通实验班数学组 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 集合和关系的图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荀子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则在基下的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，已知，则为（ ） A. B. C. D. 7. 如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则||的范围为(　　) A. [0,) B. [0,2) C. [1,) D. [1,2) 8. 奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题有3个小题，每小题6分，全部选对得6分，错选不得分） 9. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 10. 定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 在上单调递增 11. 围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（ ） （参考数据：） A. 的个位数是3 B. 的个位数是1 C. 是173位数 D. 是172位数 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12. 的周期为2，值域为，且为偶函数，则的解析式__________.（写出一个即可） 13. 用表示函数在闭区间I上的最大值．若正数a满足，则a的最大值为________． 14. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 四、解答题（本题共5题，共77分）． 15. 设，函数=（）． （1）求函数的最小正周期及最大值； （2）求的单调递增区间． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积． ①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． 18. 已知函数的某一周期内的对应值如下表： x 1 3 1 （1）根据表格提供的数据求函数的解析式； （2）根据（1）的结果，若函数，的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围． 19. 如图，矩形中，，，点，分别在线段，(含端点)上，为的中点，，设. （1）求角的取值范围； （2）求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期开学考试 数学试题 第八届贯通实验班数学组 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 集合和关系的图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】图中阴影部分对应的集合为，故可得正确的选项. 【详解】图中阴影部分表示的集合为，而， 对比各选项可得只有， 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 3. “不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荀子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析判断即得. 【详解】依题意，不积累一步半步的行程，就没有办法达到千里之远； 不积累细小的流水，就没有办法汇成江河大海，等价于“汇成江河大海，则积累细小的流水”， 所以“积小流”是“成江海”的必要条件. 故选：B 4. 已知，，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则在基下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用图形的性质，结合向量线性运算的向量表示即可得解. 【详解】， 而，所以， 所以， 所以在基下的坐标为. 故选：A. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合角的余弦值确定角的范围计算即可. 【详解】因为，，所以， 则， 则. 故选：A 6. 如图，在中，已知，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，即而求出，结合两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理：， 所以为锐角，， 所以． 故选：B 7. 如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则||的范围为(　　) A. [0,) B. [0,2) C. [1,) D. [1,2) 【答案】A 【解析】 【分析】设的夹角为θ，θ∈，则cosθ∈[﹣1，0），||2=+2=2+2cosθ即可． 【详解】设的夹角为θ,θ∈,则cos θ∈[-1,0),||2=+2=2+2cos θ∈[0,2),故||的范围为[0,). 答案A 【点睛】本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底． 8. 奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案. 【详解】如图，因为， 所以，同理，， 所以为的垂心。 因为四边形的对角互补，所以， ． 同理，， ， ． ， ． 又 ． 由奔驰定理得. 故选C． 【点睛】本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题. 二、多选题（本大题有3个小题，每小题6分，全部选对得6分，错选不得分） 9. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A，在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：C 10. 定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，赋值令，求解；对于B，赋值令，得到关于对称，再结合函数图像平移变换得解；对于C,赋值令，再令，再变形即可；对于D，赋值令，结合时，，举反例可解. 【详解】令，得到，则.故A错误. 令，得到， 则， 则或, 由于当时，，则此时， 故时，，故时，，所以， 而，故对任意恒成立，则关于对称. 可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 则的图象关于点对称，故B正确. 令，得到， 则. 令，得到 令，得到， 两式相减得， 变形， 即, 时，，两边除以， 即，故C正确. 令，则， 时，，则， 且，则，即.故D错误. 故选：BC. 【点睛】难点点睛：解答此类有关函数性质的题目，难点在于要结合抽象函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 11. 围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（ ） （参考数据：） A. 的个位数是3 B. 的个位数是1 C. 是173位数 D. 是172位数 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，因为的个位数以4为周期循环往复，则的个位数与的个位数相同，即可判断AB；对于CD，通过对数运算，得即可判断CD. 【详解】对于AB,由， 个位数分别为以4为周期循环往复， 因为的余数为1， 故的个位数与的个位数相同， 即的个位数为3，故A正确，B错误； 对于CD，因为， 所以， 因为， 所以为173位数，故C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12. 的周期为2，值域为，且为偶函数，则的解析式__________.（写出一个即可） 【答案】(答案不唯一） 【解析】 【分析】取，再验证周期，值域和奇偶性得到答案. 【详解】取， 则函数周期为，，， ，函数为偶函数，满足条件. 故答案为： 13. 用表示函数在闭区间I上的最大值．若正数a满足，则a的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，根据正弦函数的图象与性质求出、，代入不等式求解a的取值范围即可. 【详解】①当时，， 若，则，此时不成立； ②当时，， 若，则，又，解得； ③当时，， 若，则，又，解得； ④当时，，，，不符合题意. 综上所述，，即a的最大值为. 故答案为： 【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查逻辑推理能力、直观想象能力，属于中档题. 14. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【解析】 【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【详解】如图：作于，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 四、解答题（本题共5题，共77分）． 15. 设，函数=（）． （1）求函数的最小正周期及最大值； （2）求的单调递增区间． 【答案】（1）最小正周期为，最大值为； （2）. 【解析】 【分析】 （1）根据向量的数量积的运算和三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由（1）中函数的解析式，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，向量， 可得函数 ， 所以函数的最小正周期为， 当时，即，函数取得最大值，最大值为. （2）由（1）知，函数， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角恒等变换的化简运算，以及三角函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积． ①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简，再根据三角形中角的范围可求得； （2）若选①：利用三角形面积关系和余弦定理求得，然后根据面积公式即可；若选②：根据中点的向量关系式并同时平方，结合余弦定理求得，然后根据面积公式即可. 【小问1详解】 由正弦定理知： 又： 代入上式可得： ，则 故有： 又，则 故的大小为： 【小问2详解】 若选①： 由BD平分得： 则有：，即 在中，由余弦定理可得： 又，则有： 联立 可得： 解得：（舍去） 故 若选②： 可得：， ，可得： 在中，由余弦定理可得：，即 联立 解得： 故 18. 已知函数的某一周期内的对应值如下表： x 1 3 1 （1）根据表格提供的数据求函数的解析式； （2）根据（1）的结果，若函数，的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格提供数据依次求得的值，从而求得解析式； （2）先利用周期公式求n的值，利用换元法，结合三角函数的图象求得m的取值范围. 【小问1详解】 设的最小正周期为T，则T＝2π，由得ω＝1， 又由，解得， 令， 即，解得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 ， 因为函数的最小正周期为，且n>0，∴n＝3， 令，由得， 所以由恰有两个不同的解，得有两个交点， 如图所示，当时，且函数图象和有两个交点时， ， 解得：. 19. 如图，矩形中，，，点，分别在线段，(含端点)上，为的中点，，设. （1）求角的取值范围； （2）求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，得到，当点位于点时，取得最大值，角取最小值，求得，即可求解. （2）在直角中，求得，在直角中，求得，在中，由勾股定理求得，得到，利用换元法和三角函数的性质，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，此时， 因为，所以， 当点位于点时，取得最大值，角取最小值， 由对称性知此时，所以， 所以角的取值范围是. （2）在直角中，且，所以， 在直角中，且，所以， 在中，由勾股定理得， 因为，所以，所以， 所以， 令， 因为，可得，所以， 又由，可得， 因为函数在区间上单调递减， 当时，，此时，解得， 所以当时，的周长取得最小值，最小值为. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法： 1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为 的形式； 2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $