课时作业20 任意角与弧度制、三角函数的概念-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

hhh 第四章 三角函数、解三角形 课时作业20 任意角与弧度制、三角函数的概念 一、单项选择题 1.(2023·上海嘉定区高三期中)若α是第一象限 角,则下列各角是第三象限角的是 ( ) A.90°-α B.180°-α C.270°-α D.-α 2.(2023·北京延庆区统考)在半径为4 m的扇形 中,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为 ( ) A.8 m2 B.12 m2 C.16 m2 D.32 m2 3.(2023·山东威海统考)下列角的终边与60°角 的终边关于x 轴对称的是 ( ) A.660° B.-660° C.690° D.-690° 4.-210°化为弧度是 ( ) A.- 4 3π B.- 7 6π C.- 3 2π D.- 5 6π 5.若cos θ>0且tan θ<0,则θ为 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 6.(2023·北京丰台区统考)在平面直角坐标系 xOy 中,角α与角β均以x 轴的非负半轴为始 边,终边关于原点O对称.若角α的终边与单位 圆 ☉O 交于点P 2 3 ,- 5 3 ,则cos β= ( ) A.23 B.- 2 3 C.53 D.- 5 3 二、多项选择题 7.在平面直角坐标系xOy 中,角α 的顶点在原 点O,始边为x 轴的非负半轴,终边经过点 P(1,m)(m <0),则下列各式的值恒大于0 的是 ( ) A.sin α tan α B.cos α-sin α C.sin αcos α D.sin α+cos α 8.(2023·甘肃武威高三期中)下列式子表示正确 的是 ( ) A.120°= 2π 3 rad B.tan- π 4 =-1 C.sinπ2-α =-cos α D.α 为第二象限角,则cos α<0 9.(2023·广西钦州统考)已知角α的顶点为坐标 原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有 两点A(-1,a),B(b,1)且sin α= 1 3 ,则 ( ) A.a=- 2 4 B.b=-22 C.cos α=- 22 3 D.tan α=- 2 4 三、填空题 10.(2023·安徽亳州校考)角α的终边经过点(2, -1),则sin α+cos α 的值为 . 11.(2023·广西钦州高三期中)已知半径为3的 扇形OAB 的弦长AB=32,则该扇形的弧长 是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -328- 第四章 三角函数、解三角形 3 12.立德中学拟建一个扇环形 状的花坛(如图),该扇环 面是由以点O 为圆心的两 个同心圆弧和延长后可通过点O 的两条直线 围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中 大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在 圆的半径为x 米,圆心角为θ(弧度).当θ= 4 3 时,x= 米.现要给花坛的边缘(实线部 分)进行装饰,已知直线部分的装饰费用为 4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米,则 花坛每平方米的装饰费用M 最小为 元 M= 总费用 花坛总面积 . 四、解答题 13.已知α=-1 520°. (1)将α写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的 形式,并指出它是第几象限角; (2)求与α终边相同的角θ,满足-4π≤θ<0. 14.(2023·安徽舒城联考)油纸伞是世界上最早 的雨伞,是中国古人智慧的结晶.它以手工削 制的竹条做伞架,以涂刷天然防水桐油的皮 棉纸做伞面.伞面可近似看成圆锥形.若某种 油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为90 cm, 顶点到下边沿上任一点的长度为100 cm. (1)若该伞的伞面沿一条母线剪开,展开所得 扇形的圆心角为多少弧度? (2)若伞面的内外表面需要各刷1次桐油,每 平方米需要刷桐油π 30 kg,则刷一个这样的油 纸伞需要多少千克桐油? (参考数据:π2≈9.9) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -329- 参 考 答 案 在(-1,0)上单调递增, 所以f(x)极小值 =f(-1)= -3e-1, f(x)极大值 =f(0)= -1. (2)因为f(x)=(ax2+x+a)ex,所 以f'(x)= (ax+a+1)(x+1)ex, 令f'(x)=0,得x = -1或x = - a+1 a = -1- 1 a , 因为a>0,所以-1- 1 a <-1 , 若 -1- 1 a ∈ (-2,-1),即a>1, 则 当 x ∈ -2,-1- 1 a 时, f'(x)>0,f(x)单调递增, 当 x ∈ -1- 1 a ,-1 时, f'(x)<0,f(x)单调递减, 所 以 f(x)max = f -1- 1 a = (2a+1)e -1-1a, 若-1- 1 a ∈ (-∞,-2],即0<a≤ 1,则当x ∈ (-2,-1)时,f'(x)< 0,f(x)单调递减, 所以f(x)max =f(-2)=(4a-2+ a)e-2 = (5a-2)e-2, 综上所述,a>1时,f(x)max=(2a+ 1)e -1-1a, 0<a≤1时,f(x)max=(5a-2)e-2. 课时作业19 导数的综合应用 1.证明:要证明当a ≤ 1 2 时, f(x)< ex -sin θ,即证明当a≤ 1 2 时,ln x+ a<ex -sin θ, 即证明当a≤ 1 2 时,ln x+a-ex + sin θ<0,构造函数h(x)=ln x+a- ex +sin θ x >0,a≤ 1 2 , h'(x)= 1 x -e x,函数h'(x)= 1 x - ex 在(0,+∞)上为减函数, h'(1)=1-e<0,h' 1 2 =2- e> 0,所 以 存 在 x0 ∈ 1 2 ,1 , 使 h'(x0)= 1 x0 -e x0 =0, 1 x0 =e x0, 所以 在 区 间 (0,x0)上,h'(x)> 0, h(x)单调递增,在区间(x0,+∞)上, h'(x)<0,h(x)单调递减,h(x)≤ h(x0)=ln x0 -e x0 +a+sin θ = ln e -x0 - 1 x0 +a+sin θ = - x0 + 1 x0 +a+sin θ<-2 x0· 1 x0 +a+ sin θ= -2+a+sin θ<0, 即h(x)<0,所以当a≤ 1 2 时,ln x+ a-ex +sin θ<0, 所以当a≤ 1 2 时,f(x)<ex -sin θ. 2.解:(1)由 f(x)=ln x -ax - b⇒f'(x)= 1-ax x (x >0), 若a≤0,则f'(x)>0恒成立,即 f(x)在(0,+∞)上单调递增,若a> 0,令f'(x)>0得x < 1 a ,即f(x) 在 0,1a 上单调递增, 令f'(x)<0得x > 1 a ,即f(x)在 1 a ,+∞ 上单调递减, 综 上 所 述,当 a ≤ 0 时,f(x)在 (0,+∞)上单调递增; 当a>0时,f(x)在 0, 1 a 上单调 递增,在 1 a ,+∞ 上单调递减. (2)由(1)得 当a ≤0时,f(x)在 (0,+∞)上单调递增, 当 x 趋 近 于 + ∞ 时,f(x)趋 近 于+∞,不符合题意, 故a>0,则f(x)≤f 1 a = -ln a- 1-b≤0,所以 b a ≥- ln a+1 a , 令g(a)= - ln a+1 a ⇒g' (a)= ln a a2 , 显然当a∈ (0,1)时,g'(a)<0,当 a∈(1,+∞)时,g'(a)>0,故g(a) 在(0,1)上单调递减, 在(1,+∞)上单调递增,即g(a)≥ g(1)= -1, 所以b a ≥-1 ,即b a ∈ [-1,+∞). 3.解:由题意,(x-k)f'(x)+x+1= (x-k)(ex -1)+x +1>0⇔k < x+1 ex -1 +x 对一切x >0恒成立. 令 g(x)= x+1 ex -1 + x, 则 k < g(x)min. g'(x)= ex(ex -x-2) (ex -1)2 . 令h(x)=ex -x -2(x >0),则 h'(x)=ex -1>0在x∈ (0,+∞) 恒成立,即h(x)在(0,+∞)上单调递 增,又易知h(1)<0,h(2)>0,所以 h(x)在(0,+∞)上存在唯一零点. 设此零点为x0,则x0 ∈ (1,2). 又g'(x)与h(x)同号,故当x ∈ (0, x0)时,g'(x)<0; 当x ∈ (x0,+∞)时,g'(x)>0. 所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在 (x0,+∞)上单调递增,所以 g(x)min =g(x0)= x0+1 e x0 -1 +x0. 又由h(x0)=0,得e x0 =x0+2,代入 得g(x0)= x0+1 (x0+2)-1 +x0 =1+ x0 ∈ (2,3),又k<g(x0),故整数k 的最大值为2. 4.解:(1)由 题 意 知 f'(x)=3ax2 + 2bx, 因为函数f(x)=ax3+bx2+1(a, b∈R)在x =1处取得极值0, 所以f'(1)=3a+2b=0,f(1)=a+ b+1=0,解得a=2,b= -3, 经检验,符合题意,所以a =2,b = -3. (2)由(1)可知,函数f(x)=2x3- 3x2+1,所以f'(x)=6x2-6x, 设切点坐标为(x0,2x30-3x20+1),所 以切线方程为y-(2x30-3x20+1)= (6x20-6x0)(x-x0),因为切线过点 (1,m), 所以m-(2x30-3x20+1)= (6x20- 6x0)(1-x0),即m = -4x30+9x20- 6x0+1, 令h(x)= -4x3+9x2-6x+1,则 h'(x)= -12x2 + 18x - 6 = -6(2x-1)(x-1), 令h'(x)=0,解得x = 1 2 或x =1, 当x 变化时,h'(x),h(x)的变化情况 如下表所示, x -∞, 1 2 12 12 ,1 1 (1,+∞) h'(x) - 0 + 0 - h(x) 单调递减 - 1 4 单调递增 0 单调递减 因此,当x = 1 2 时,h(x)有极小值 h 12 = -14, 当x=1时,h(x)有极大值h(1)=0, 过点(1,m)存在3条直线与曲线y = f(x)相切, 等价于关于x 的方程m = -4x3 + 9x2-6x+1有三个不同的实根,则 - 1 4 <m <0 , 所以实数m 的取值范围是 - 1 4 ,0 . 第四章 三角函数、 解三角形 课时作业20 任意角与弧度制、 三角函数的概念 1.C 若α 是第一象限角,则k·360°< α<90°+k·360°,k∈Z,-90°-k· 360°<-α<-k·360°,k∈Z,则-α 是第四象限角,故D错误;-k·360°< 90°-α<90°-k·360°,k∈Z,则90°- α 是第一象限角,故 A错误;90°-k· 360°<180°-α<180°-k·360°,k∈ Z,则180°-α 是第二象限角,故B错 误;180°-k·360°<270°-α<270°- k·360°,k∈Z,则270°-α是第三象限 角,故C正确.故选C. 2.C 由扇形面积公式知,扇形的面积为 1 2 ×4 2×2=16(m2).故选C. 3.A 由题意知,与60°角的终边关于x 轴对称的角为θ = -60°+360°·k, k∈Z.当k=2时,θ= -60°+720°= 660°,A正确;经验证,其他三项均不符 合要求.故选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -583- hhh 4.B 因为360°=2π弧度,所以1°= π 180 弧度,所 以 -210°= -210× π 180= - 7π 6 弧度.故选B. 5.D 由三角函数的定义可知,cos θ>0 时,θ 的终边在第一、四象限及x 轴的 正半轴;tan θ<0时,θ的终边在第二、 四象限,所以cos θ>0且tan θ<0时, θ 为第四象限角.故选D. 6.B 角α 与角β 终边关于原点O 对称, 且角α 的 终 边 与 单 位 圆 ☉O 交 于 点 P 2 3 ,- 5 3 ,所以角β 的终 边 与 单 位圆 ☉O 交 于 点 P' - 2 3 ,5 3 ,故 cos β= - 2 3. 故选B. 7.AB 由题意知sin α<0,cos α >0, tan α <0,则 sin α tan α >0 ,故 A 正 确; cos α-sin α>0,故B正确;sin αcos α< 0,故C错误;sin α+cos α 的符号不确 定,故D错误.故选AB. 8.ABD 对于A,120°= 2π 3 rad,所以A正 确;对 于 B,tan- π 4 = -tan π4 = -1,所以B正确;对于C,sin π 2-α = cos α,所以C错误;对于D,α 为第二象 限角,则cos α <0,所 以 D正 确.故 选ABD. 9.BCD 因为角α的顶点为坐标原点,始 边与x 轴的非负半轴重合,终边上有 两点A(-1,a),B(b,1)且sin α= 1 3 , 所以 a 1+a2 = 1 b2+1 = 1 3 ,所以 a2 = 1 8 ,b2 =8,由 a 1+a2 = 1 3 ,可 知a>0,所以角α为第二象限的角,所 以b<0,所以a= 2 4 ,b= -22,所 以 A 错 误,B 正 确;所 以 cos α = b b2+1 = - 22 3 ,tan α = 1 b = - 1 22 = - 2 4 ,所 以 C,D 正 确,故 选BCD. 10.55 解析:由题设sin α = - 1 22+(-1)2 = - 5 5 ,cos α = 2 22+(-1)2 = 25 5 ,所以sin α+cos α = 5 5. 11.3π2 解析:在 △ABO 中,AB2 = OA2 + OB2 =18,故 ∠AOB = π 2 ,故弧长 l= π 2 ×3= 3π 2. 12.5 103 解析:由题意可得,30=xθ+10θ+ 2(10-x),解得θ= 10+2x 10+x ,当θ= 4 3 时,解得x =5,S花 = 1 2 ×10× θ×10- 1 2 ·θ·x2 = θ 2 (100- x2)= -x2+5x+50(0<x<10), 装饰费为9θ(x+10)+2(10-x)· 4=9xθ+90θ+8(10-x)=170+ 10x, 故 M = 170+10x -x2+5x+50 = - 10(17+x) x2-5x-50 ,令t=17+x,17< t<27,则 M = - 10t (t-17)2-5(t-17)-50 = - 10t t2-39t+324 = - 10 t-39+ 324 t , ∵t+ 324 t ≥2 t ·324 t =36 ,当且仅 当t = 324 t ,即t =18时,等 号 成 立,∴M 的最小值为- 10 36-39= 10 3 , 花坛每平方米的装饰费用 M 最小为 10 3 元. 13.解:(1)因为α= -1 520°= -360°× 5+280°,280°= 280 180π= 14 9π , 所以α = 14 9π-10π. 因为3π 2 < 14 9π<2π ,所以α是第四象 限角. (2)α= 14 9π-10π= - 4 9π+2π- 10π= - 4 9π-8π , 所以与α 终 边 相 同 的 角 可 表 示 为 θ= - 4 9π+2kπ (k∈Z), 令 -4π≤- 4 9π+2kπ<0 ,解 得 - 16 9 ≤k< 2 9 (k∈Z), 所以k= -1,k=0. 当k= -1时,θ= - 4π 9-2π= - 22 9π ; 当k=0时,θ= - 4π 9. 所以θ= - 22 9π 或θ= - 4π 9. 14.解:(1)由题可知圆锥的底面周长为 2π×90=180π(cm), 所 以 展 开 后 所 得 扇 形 的 圆 心 角 为 180π 100 = 9π 5 (rad). (2)由题可知圆锥的侧面积S= 1 2× 2π×90×100=9 000π(cm2), 所以刷一个这样的油纸伞需要2× 9 000π×10-4 × π 30 = 0.06π 2 ≈ 0.06×9.9=0.594(kg)桐油. 课时作业21 同角三角函数 基本关系式及诱导公式 1.A ∵α 为第四象限角,∴sin α<0, ∴sin α= - 1-cos2α = - 22 3 . 故 选A. 2.D 由题意知θ∈ π 2 ,π , ∴cos θ= - 1-sin2θ = - 3 5 , tan θ= sin θ cos θ = - 4 3 , ∴ sin(π+θ)+2sin π 2 -θ 2tan(π-θ) = -sin θ+2cos θ -2tan θ = - 4 5 - 6 5 8 3 = - 3 4. 故选D. 3.A 因为1+sin 2α 1-2sin2α =2, 1+sin 2α 1-2sin2α = sin2α+2sin αcos α+cos2α cos2α-sin2α = (sin α+cos α)2 (cos α+sin α)(cos α-sin α)= sin α+cos α cos α-sin α = tan α+1 1-tan α ,所以 tan α+1 1-tan α =2 ,解 得tan α = 1 3. 故 选A. 4.C 因为θ是第二象限角,所以sin θ= 1-cos2θ = 5 13 ,所以tan(π+θ)= tan θ= sin θ cos θ = - 5 12. 故选C. 5.A 由2sin α-cos α =0得tan α = 1 2 , 所 以 sin2α - 2sin αcos α = sin2α-2sin αcos α sin2α+cos2α = tan2α-2tan α tan2α+1 = 1 2 2 -2× 1 2 1 2 2 +1 = - 3 5. 故选A. 6.B 由 已 知 可 得,α ∈ π 2 ,π ,所 以 sin α>0,cos α<0.由 cos α+sin α = - 1 3 , cos2α+sin2α =1, 可得, sin α = - 1+ 17 6 , cos α = - 1+ 17 6 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 故选B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -584-