课时作业19 导数的综合应用-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

课时作业19导数的综合应用 1.已知函数f(.x)=lnx+a(a∈R),证明：a≤2.已知函数f(x)=lnx-ax一b. 是时x)<e-s血0. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)≤0恒成立，求的取值范围。 2勾·讲与练·高三数学·基础版 -326- 3.已知函数f(x)=e-x-2,当x>0时，(x一 4.已知函数f(x)=a.x3+b.x+1(a,b∈R)在 k)f'(x)十x十1>0恒成立，求整数k的最 x=1处取得极值0. 大值. (1)求a,b: (2)若过点(1，m)存在三条直线与曲线y= f(x)相切，求实数m的取值范围. -327- 第三章一元函数的导数及其应用 ‘练参 考 答 案 在(-1,0)上单调递增, 所以f(x)极小值 =f(-1)= -3e-1, f(x)极大值 =f(0)= -1. (2)因为f(x)=(ax2+x+a)ex,所 以f'(x)= (ax+a+1)(x+1)ex, 令f'(x)=0,得x = -1或x = - a+1 a = -1- 1 a , 因为a>0,所以-1- 1 a <-1 , 若 -1- 1 a ∈ (-2,-1),即a>1, 则 当 x ∈ -2,-1- 1 a 时, f'(x)>0,f(x)单调递增, 当 x ∈ -1- 1 a ,-1 时, f'(x)<0,f(x)单调递减, 所 以 f(x)max = f -1- 1 a = (2a+1)e -1-1a, 若-1- 1 a ∈ (-∞,-2],即0<a≤ 1,则当x ∈ (-2,-1)时,f'(x)< 0,f(x)单调递减, 所以f(x)max =f(-2)=(4a-2+ a)e-2 = (5a-2)e-2, 综上所述,a>1时,f(x)max=(2a+ 1)e -1-1a, 0<a≤1时,f(x)max=(5a-2)e-2. 课时作业19 导数的综合应用 1.证明:要证明当a ≤ 1 2 时, f(x)< ex -sin θ,即证明当a≤ 1 2 时,ln x+ a<ex -sin θ, 即证明当a≤ 1 2 时,ln x+a-ex + sin θ<0,构造函数h(x)=ln x+a- ex +sin θ x >0,a≤ 1 2 , h'(x)= 1 x -e x,函数h'(x)= 1 x - ex 在(0,+∞)上为减函数, h'(1)=1-e<0,h' 1 2 =2- e> 0,所 以 存 在 x0 ∈ 1 2 ,1 , 使 h'(x0)= 1 x0 -e x0 =0, 1 x0 =e x0, 所以 在 区 间 (0,x0)上,h'(x)> 0, h(x)单调递增,在区间(x0,+∞)上, h'(x)<0,h(x)单调递减,h(x)≤ h(x0)=ln x0 -e x0 +a+sin θ = ln e -x0 - 1 x0 +a+sin θ = - x0 + 1 x0 +a+sin θ<-2 x0· 1 x0 +a+ sin θ= -2+a+sin θ<0, 即h(x)<0,所以当a≤ 1 2 时,ln x+ a-ex +sin θ<0, 所以当a≤ 1 2 时,f(x)<ex -sin θ. 2.解:(1)由 f(x)=ln x -ax - b⇒f'(x)= 1-ax x (x >0), 若a≤0,则f'(x)>0恒成立,即 f(x)在(0,+∞)上单调递增,若a> 0,令f'(x)>0得x < 1 a ,即f(x) 在 0,1a 上单调递增, 令f'(x)<0得x > 1 a ,即f(x)在 1 a ,+∞ 上单调递减, 综 上 所 述,当 a ≤ 0 时,f(x)在 (0,+∞)上单调递增; 当a>0时,f(x)在 0, 1 a 上单调 递增,在 1 a ,+∞ 上单调递减. (2)由(1)得 当a ≤0时,f(x)在 (0,+∞)上单调递增, 当 x 趋 近 于 + ∞ 时,f(x)趋 近 于+∞,不符合题意, 故a>0,则f(x)≤f 1 a = -ln a- 1-b≤0,所以 b a ≥- ln a+1 a , 令g(a)= - ln a+1 a ⇒g' (a)= ln a a2 , 显然当a∈ (0,1)时,g'(a)<0,当 a∈(1,+∞)时,g'(a)>0,故g(a) 在(0,1)上单调递减, 在(1,+∞)上单调递增,即g(a)≥ g(1)= -1, 所以b a ≥-1 ,即b a ∈ [-1,+∞). 3.解:由题意,(x-k)f'(x)+x+1= (x-k)(ex -1)+x +1>0⇔k < x+1 ex -1 +x 对一切x >0恒成立. 令 g(x)= x+1 ex -1 + x, 则 k < g(x)min. g'(x)= ex(ex -x-2) (ex -1)2 . 令h(x)=ex -x -2(x >0),则 h'(x)=ex -1>0在x∈ (0,+∞) 恒成立,即h(x)在(0,+∞)上单调递 增,又易知h(1)<0,h(2)>0,所以 h(x)在(0,+∞)上存在唯一零点. 设此零点为x0,则x0 ∈ (1,2). 又g'(x)与h(x)同号,故当x ∈ (0, x0)时,g'(x)<0; 当x ∈ (x0,+∞)时,g'(x)>0. 所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在 (x0,+∞)上单调递增,所以 g(x)min =g(x0)= x0+1 e x0 -1 +x0. 又由h(x0)=0,得e x0 =x0+2,代入 得g(x0)= x0+1 (x0+2)-1 +x0 =1+ x0 ∈ (2,3),又k<g(x0),故整数k 的最大值为2. 4.解:(1)由 题 意 知 f'(x)=3ax2 + 2bx, 因为函数f(x)=ax3+bx2+1(a, b∈R)在x =1处取得极值0, 所以f'(1)=3a+2b=0,f(1)=a+ b+1=0,解得a=2,b= -3, 经检验,符合题意,所以a =2,b = -3. (2)由(1)可知,函数f(x)=2x3- 3x2+1,所以f'(x)=6x2-6x, 设切点坐标为(x0,2x30-3x20+1),所 以切线方程为y-(2x30-3x20+1)= (6x20-6x0)(x-x0),因为切线过点 (1,m), 所以m-(2x30-3x20+1)= (6x20- 6x0)(1-x0),即m = -4x30+9x20- 6x0+1, 令h(x)= -4x3+9x2-6x+1,则 h'(x)= -12x2 + 18x - 6 = -6(2x-1)(x-1), 令h'(x)=0,解得x = 1 2 或x =1, 当x 变化时,h'(x),h(x)的变化情况 如下表所示, x -∞, 1 2 12 12 ,1 1 (1,+∞) h'(x) - 0 + 0 - h(x) 单调递减 - 1 4 单调递增 0 单调递减 因此,当x = 1 2 时,h(x)有极小值 h 12 = -14, 当x=1时,h(x)有极大值h(1)=0, 过点(1,m)存在3条直线与曲线y = f(x)相切, 等价于关于x 的方程m = -4x3 + 9x2-6x+1有三个不同的实根,则 - 1 4 <m <0 , 所以实数m 的取值范围是 - 1 4 ,0 . 第四章 三角函数、 解三角形 课时作业20 任意角与弧度制、 三角函数的概念 1.C 若α 是第一象限角,则k·360°< α<90°+k·360°,k∈Z,-90°-k· 360°<-α<-k·360°,k∈Z,则-α 是第四象限角,故D错误;-k·360°< 90°-α<90°-k·360°,k∈Z,则90°- α 是第一象限角,故 A错误;90°-k· 360°<180°-α<180°-k·360°,k∈ Z,则180°-α 是第二象限角,故B错 误;180°-k·360°<270°-α<270°- k·360°,k∈Z,则270°-α是第三象限 角,故C正确.故选C. 2.C 由扇形面积公式知,扇形的面积为 1 2 ×4 2×2=16(m2).故选C. 3.A 由题意知,与60°角的终边关于x 轴对称的角为θ = -60°+360°·k, k∈Z.当k=2时,θ= -60°+720°= 660°,A正确;经验证,其他三项均不符 合要求.故选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -583-