课时作业15 函数模型的应用-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

第二章 函数的概念与基本初等函数 3 课时作业15 函数模型的应用 一、单项选择题 1.某种细菌在培养过程中,每15 min分裂一次 (由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成 4 096个需经过的时间是 ( ) A.12 h B.4 h C.3 h D.2 h 2.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:兔子和乌龟赛 跑,领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起 来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点 了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到 达了终点.S1,S2 分别表示乌龟和兔子所行的 路程,t为时间,则下列图象中与故事情节相吻 合的是 ( ) A B C D 3.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间 内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨 10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则 该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费 用)为 ( ) A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况 4.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注 的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用 五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分 记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足 L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的 数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约 为(1010≈1.259) ( ) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 5.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最 近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公 顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加 数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较 为接近的是 ( ) A.y=0.2x B.y=0.1x2+0.1x C.y=0.2+log4x D.y= 2x 10 6.草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素,能够 调节免疫功能,增强机体免疫力.草莓味甘、性 凉,有润肺生津,健脾养胃等功效,受到众人的 喜爱.根据草莓单果的质量,可将其从小到大 依次分为4个等级,其等级x(x=1,2,3,4)与 其对应等级的市场销售单价y(单位:元/千 克)近似满足函数关系式y=eax+b,若花同样的 钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍,且1级草 莓的市场销售单价为20元/千克,则3级草莓 的市场销售单价最接近(参考数据:32≈1.26, 3 4≈1.59) ( ) A.30.24元/千克 B.31.75元/千克 C.38.16元/千克 D.42.64元/千克 二、多项选择题 7.某单位准备印制一批证 书,现有两个印刷厂可供 选择,甲厂费用分为制版 费和印刷费两部分,先收 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -317- hhh 取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费, 乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费 用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制 证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中 甲、乙所示,则下列说法中正确的是 ( ) A.甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为 0.5元 B.甲厂的总费用y1 与证书数量x 之间的函数 关系式为y1=0.5x+1 C.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印 刷费平均每个为1元 D.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费 用y2 与证书数量x 之间的函数关系式为 y2= 1 4x+ 5 2 8.预测人口的变化趋势有多种方法,“直接推算 法”使用的公式是Pn=P0(1+k)n(k>-1), 其中Pn 为预测期人口数,P0 为初期人口数,k 为预测期内人口年增长率,n 为预测期间隔年 数(n∈N),则 ( ) A.当k∈ (-1,0)时,这期间人口数呈下降 趋势 B.当k∈ (-1,0)时,这期间人口数呈摆动 变化 C.当k= 1 3 ,Pn ≥2P0 时,n的最小值为3 D.当k=- 1 3 ,Pn ≤ 1 2P0 时,n的最小值为3 9.某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型: 若物体原来的温度为θ0(单位:℃),环境温度 为θ1(θ1 <θ0,单位:℃),物体的温度冷却到 θ(θ>θ1,单位:℃)需用时t(单位:分钟),推 导出函数关系为t=f(θ)= 1 k [ln(θ0-θ1)- ln(θ-θ1)],k为正的常数.现有一壶开水(100 ℃) 放在室温为20 ℃ 的房间里,根据该同学推出 的函数关系研究这壶开水冷却的情况,则(参 考数据:ln 2≈0.7) ( ) A.函数关系θ=θ1+(θ0-θ1)ekt 也可作为这壶 开水的冷却模型 B.当k= 1 20 时,这壶开水冷却到40 ℃ 大约需 要28分钟 C.若f(60)=10,则f(30)=30 D.这壶水从100 ℃冷却到70 ℃所需时间比从 70 ℃ 冷却到40 ℃ 所需时间短 三、填空题 10.某购物网站在2023年11月开展“全部6折”促 销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张 订单金额(6折后)满300元时可减免100元”. 某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的 商品共42件,为使花钱总数最少(不考虑购买 商品数多于42件的情况),他最少需要下的订 单张数为 . 11.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一 个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余 的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发 现 容 器 内 还 有 一 半 的 沙 子,则 再 经 过 min,容器中的沙子只有开始时的八 分之一. 12.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了 保障交通安全,根据国家有关规定:100 mL血 液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶 汽车,酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即 为酒后驾车,80 mg及以上认定为醉酒驾车. 某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒 精含量上升到100 mg/100 mL.如果在停止 喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时 20% 的速度减少,那么他至少经过 个小时才能驾驶汽车(结果取整数,参考数据: lg 0.2≈-0.699,lg 0.3≈-0.523,lg 0.7≈ -0.155,lg 0.8≈-0.097) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -318- 第二章 函数的概念与基本初等函数 3 四、解答题 13.(2023·河北秦皇岛高三月考)我国西部某省 4A级风景区内住着一个少数民族村,该村投 资了800万元修复和加强民俗文化基础设施, 据调查,修复好民俗文化基础设施后任何一 个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数 f(x)与第x 天近似地满足f(x)=8+ 8 x (千 人),且参观民俗文化村的游客人均消费g(x) 近似地满足g(x)=143-|x-22|(元). (1)求该村的第x 天的旅游收入p(x)(单位: 千元,1≤x ≤30,x ∈N*); (2)若以最低日收入的20% 作为每一天纯收 入的计量依据,并以纯收入的5%的税率收回 投资成本,试问该村在两年内能否收回全部 投资成本? (一年以365天计算) 14.(2024·福建莆田第二中学月考)莆田市,古称 “兴化”,又称“荔城”“莆阳”“兴安”“莆仙”,建 制至今已有1 500多年,素有“海滨邹鲁”“文 献名邦”之美称,全市辖4个区、1个县,总面 积4 200平方千米,至2021年末,全市常住总 人口322万人,在全省9个地级市中排名第5 名,2021年全市GDP总量2 883亿元,位列全 省第8名. (1)假设2021年后莆田市GDP的年平均增长 率能保持8%,那么按此增长速度,约经过几 年后,莆田市GDP能实现比2021年翻一番? (2)习近平总书记在党的二十大报告中指出, 到2035年我国要基本实现社会主义现代化, 人均国内生产总值达到中等发达国家水平. 对标国家目标,莆田市未来发展任重道远,需 立大格局、树进取心、施非常策、兴落实风,奋 力开创高质量超越发展,力争实现2035年 GDP比2021年翻两番.要实现这一宏伟目 标,从2021年后GDP的年平均增长率至少要 保持在多少以上? (参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48, 7 2≈1.104) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -319- 参 考 答 案 14.解:(1)当x=0时,f(x)=0;当x∈ (-4,0)时,有 -x ∈ (0,4),此 时 f(x)= -f(-x)= -|log2(-x)|. 故函数f(x)的解析式为f(x)= |log2x|,0<x <4, 0,x =0, -|log2(-x)|,-4<x <0, 当0<x<1时,f(x)= -log2x,函 数f(x)单调递减; 当1<x<4时,f(x)=log2x,函数 f(x)单调递增; 由奇函数的性质,当-1<x<0时, 函数f(x)单调递减; 当-4<x<-1时,函数f(x)单调 递增. 故函数的单调递增区间为(-4,-1), (1,4); 单调递减区间为(-1,0),(0,1). (2)如图, 当x∈ (-4,-1)时,f(x)∈ (-2, 0),f(-1)=0; 当x ∈ (-1,0)时,f(x)∈ (-∞, 0),f(0)=0; 当x∈(0,1)时,f(x)∈(0,+∞), f(1)=0; 当x ∈ (1,4)时,f(x)∈ (0,2); 故m ∈ (-2,0)∪ (0,2). 课时作业15 函数模型的应用 1.C 设这种细菌由1个分裂成4 096个 需经过x 次分裂,则4 096=2x,解得 x =12,故 所 需 时 间t= 12×15 60 = 3(h). 2.B 选项A表示龟兔同时到达;选项C 表示兔子没有追赶乌龟;选项D表示兔 子先到达终点. 3.B 设该股民购进这支股票的价格为a 元,则经历n 次涨停后的价格为a(1+ 10%)n =a×1.1n 元,经历n次跌停后 的价格为a×1.1n×(1-10%)n =a× 1.1n ×0.9n =a× (1.1×0.9)n = 0.99n·a<a,故该股民这支股票略有 亏损. 4.C 由 题 意 知 4.9 = 5+lg V,得 lg V = -0.1,得V =10 -110 ≈0.8,所 以该同学视力的小数记录法的数据约 为0.8. 5.D 由题意,最近三年测得沙漠面积增 加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和 0.76万公顷,即(1,0.2),(2,0.4),(3, 0.76),对于A,函数y=0.2x,当x = 3时,y =0.6和0.76相差较大;对于 B,函数y =0.1x2+0.1x,当x =2 时,y =0.6和0.4相差较大;对于C, 函数y=0.2+log4x,当x=2时,y= 0.7和0.4相差较大;对于D,函数y= 2x 10 ,当x=1时,y=0.2,当x=2时, y=0.4,当x =3时,y=0.8和0.76 相差0.04,综 合 可 得,选 用 函 数 关 系 y = 2x 10 较为近似.故选D. 6.B 由题意可知,e 4a+b ea+b =e3a =1+1,解 得ea = 3 2,由ea+b =20,可得e3a+b = ea+b ·e2a = ea+b · (ea)2 = 20× (32)2 ≈20×1.262 ≈31.75.故选B. 7.ABD 由题图,设甲厂的总费用y1 与 证书数量x 满足的函数关系式为y = kx +b,代 入 点 (0,1),(6,4),可 得 b=1, 6k+b=4, 解 得 k=0.5,b=1. 所 以 甲 厂的总费用y1 与证书数量x 满足的函 数关系式为y1 =0.5x+1,知甲厂制 版费为1千元,印刷费平均每个为0.5 元,故A,B正确;当印制证书数量不超 过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为 3÷2=1.5(元),故C不 正 确;设 当 x>2时,y2 与x 之间的函数关系式为 y2 =mx+n,代入点(2,3),(6,4),可 得 2m+n=3, 6m+n=4, 解 得 m = 1 4 , n= 5 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 当x>2时,y2与x之间的函数关系式 为y2 = 1 4x + 5 2 ,故 D 正 确.故 选ABD. 8.AC P0>0,0<1+k<1,由指数函 数的性质可知Pn =P0(1+k)n(k> -1)是关于n 的单调递减函数,即人 口数呈下降趋势,故A正确,B不正确; k= 1 3 ,Pn =P0 4 3 n ≥2P0,所以 4 3 n ≥2,所以n≥log4 3 2(n∈N), log4 3 2∈ (2,3),所以n 的最小值为3, 故C正确;k=- 1 3 ,Pn =P0 2 3 n ≤ 1 2P0 ,所 以 2 3 n ≤ 1 2 ,所 以n ≥ log2 3 1 2 (n∈ N),log2 3 1 2 =log32 2∈ (1,2),所以n 的最小值为2,故D不正 确.故选AC. 9.BCD 对于A,由t=f(θ)= 1 k [ln(θ0- θ1)-ln(θ-θ1)],得kt=ln θ0-θ1 θ-θ1 , 所以 θ0-θ1 θ-θ1 =ekt,整 理 得θ =θ1 + (θ0-θ1) 1 ekt .故A错误;对于B,由题意 可知t=f(θ)= 1 k [ln(100-20)-ln(θ- 20)]= 1 kln 80 θ-20 .t=20ln 80 40-20= 20ln 4=40 ln 2≈28,故B正确;对于 C,由f(60)=10,得 1 kln 80 40=10 ,得 k= ln 2 10 ,则t= 10 ln 2 ·ln 8030-20= 10 ln 2ln 8=30,故C正确;对于D,设这 壶水从100 ℃冷却到70 ℃所需时间为 t1分钟,则t1= 1 kln 80 70-20= 1 k (ln 8- ln 5),设这壶水从70 ℃ 冷却到40 ℃ 所 需时间为t2分钟,则t2= 1 kln 70-20 40-20= 1 k (ln 5-ln 2),因为t1-t2= 1 k (ln 8+ ln 2-2ln 5)= 1 kln 16 25<0 ,所以t1 < t2,故D正确.故选BCD. 10.3 解析:为使花钱总数最少,需使每张 订单满足“每张订单金额(6折后)满 300元时可减免100元”,即每张订单 打折前原金额不少于500元.由于每 件原价 为48元,因 此 每 张 订 单 至 少 11件,又42=11×3+9,所以最少需 要下的订单张数为3. 11.16 解析:当t=0时,y=a;当t=8时, y =ae-8b = 1 2a ,故e-8b = 1 2. 当容 器中的 沙 子 只 有 开 始 时 的 八 分 之 一 时,即y=ae-bt = 1 8a ,e-bt = 1 8 = (e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过 16 min容器 中 的 沙 子 只 有 开 始 时 的 八分之一. 12.8 解析:因为1小时后血液中酒精含量 为(1-20%) mg/mL,所以x 小时后 血液中酒精含量为(1-20%)x mg/mL, 由题意可知100 mL血液中酒精含量 低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车, 所以(1-20%)x <0.2,0.8x <0.2, 两边取对数lg 0.8x <lg 0.2,即x > lg 0.2 lg 0.8≈7.2 ,所以他至少经过8个小 时才能驾驶汽车. 13.解:(1)依据题意,有p(x)=f(x)· g(x)= 8+ 8 x ·(143-|x-22|) (1≤x ≤30,x ∈N*)= 8x+ 968 x +976 (1≤x ≤22,x ∈N*), -8x+ 1 320 x +1 312(22<x ≤30,x ∈N*). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)① 当1≤x ≤22,x ∈ N* 时, p(x)=8x+ 968 x +976≥ 2 8x·968x +976=1 152(当且仅 当x = 11时,等 号 成 立),因 此, p(x)min =p(11)=1 152千元. ② 当22<x ≤30,x ∈N* 时, p(x)= -8x+ 1 320 x +1 312. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -579- hhh 求导可得p'(x)= -8- 1 320 x2 <0, 所以p(x)= -8x+ 1 320 x +1 312在 (22,30]上单调递减,于是p(x)min= p(30)=1 116千元. 又1 152>1 116,所以日最低收入为 1 116千元. 该村两年可收回的投资资金为 1 116×20%×5%×365×2= 8 146.8(千元)=814.68(万元), 因为814.68万元 >800万元,所以, 该村在两年内能收回全部投资成本. 14.解:(1)由题意,x 年后莆田市GDP为 2 883×(1+8%)x, 令2 883×(1+8%)x =2×2 883,则 1.08x =2, 即x =log1.082= lg 2 lg 108-lg 100= lg 2 3lg 3+2lg 2-2≈ 0.3 1.44+0.6-2= 7.5, 所以约经过8年后,莆田市GDP能实 现比2021年翻一番. (2)设从2021年后GDP的年平均增 长率至少要保持在a以上,且a>0, 由题 意,2 883× (1+a)2 035-2 021 ≥ 22×2 883,即(1+a)14 ≥4,而a+ 1>1, 所以1+a≥ 14 4 = 7 2 ≈1.104,故 a≥0.104=10.4%, 从2021年后GDP的年平均增长率至 少要保持在10.4% 以上. 第三章 一元函数的导数 及其应用 课时作业16 导数的概念 及其意义、导数的运算 1.C lim Δx→0 f(x0+Δx)-f(x0) 2Δx = 1 2limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0) Δx = 1 2f' (x0)=1.故选C. 2.B 当t=3 s时,运动员的滑雪速度为 l'(3) m/s,故A错,B对;当t≥0时, l'(t)=4t+ 3 2 >0 ,故函数l(t)在 [0,+∞)上单调递增,故C,D均错.故 选B. 3.C 由 f(x)=ln(ax)(a >0),则 f'(x)= 1 x ,所 以 f(1)= ln a, f'(1)=1,即切线方程为y=x-1+ ln a,又函数f(x)在x =1处的切线 过原点,所以ln a-1=0,即a=e.故 选C. 4.C 设 切 线 的 切 点 坐 标 为 (x0,y0), y=ln x+x2,y'= 1 x +2x ,x0>0, y'|x=x0 = 1 x0 +2x0 =3,所以 x0 = 1 2 , y0 = -ln 2+ 1 4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 x0 =1, y0 =1, 所以切 点坐标为(1,1)或 12 ,-ln 2+ 1 4 ,所 求的切线方程为3x -y-2=0或 3x-y- 5 4 -ln 2=0.故选C. 5.C 因为y'= 1-ln x-a x2 ,所以曲线 y = ln x+a x 在点(1,a)处的切线的 斜率为k1=y'|x=1=1-a,直线l的 斜率k2 =2,由切线与直线l 垂直知 k1k2 = -1,即2(1-a)= -1,解得 a= 3 2. 6.C ∵f(x)=ex,∴f'(x)=ex, f(0)=1,∴f'(0)=1,∴f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为y =x+ 1.设y=x+1与g(x)相切于点(x0, ln(ax0)),则g'(x0)= 1 x0 =1,解得 x0 =1,又 ln(ax0)-1 x0-0 =1,∴ln a- 1=1,解得a=e2.故选C. 7.ABD ∵f'(x)= ex+a +xex+a + b,∴k=f'(-2)=b-e-2+a,又切线 方 程 为 y = (e-1)x -4,∴b - e-2+a =e-1,解 得b =e,a =2, ∴f(x)=xex+2 +ex,∴f(-2)= -2e-2,∵f'(x)=ex+2+xex+2+ e= (1+x)ex+2+e,令g(x)= (1+ x)ex+2+e,则g'(x)= (2+x)ex+2, 当x<-2时,g'(x)<0,当x>-2 时,g'(x)>0,∴g(x)在(-∞,-2) 上单调递减,在(-2,+∞)上单调递 增,∴g(x)min=g(-2)=e-1>0, 即f'(x)>0,∴f(x)在R上单调递 增.综上可知,A,B,D正确,C错误.故 选ABD. 8.BD 设 产 量 与 时 间 的 关 系 为 y = f(x),由 题 图 可 知 f(x)在 点 (1, f(1)), (2,f(2)), (3,f(3)), (4, f(4))处的切线的斜率越来越小,根据 导数的几何意义可知,前四年该产品 年产量增长速度越来越慢,故A错误, B正确;由题图可知从第四年开始产品 年产量不发生变化,且f(4)≠0,故C 错误,D正确.故选BD. 9.AD 设直线y=3x+m 与曲线y= x3(x >0)相切于点(a,a3),与曲线 y= -x2+nx-6(x >0)相切于点 (b,3b+m),对 于 函 数y =x3(x > 0),y'=3x2,则3a2=3(a>0),解得 a=1,所以13=3+m,即m = -2.对 于函数y = -x2+nx -6(x >0), y'= -2x+n,则 -2b+n=3(b> 0),又 -b2 +nb-6=3b-2,所 以 -b2+b(3+2b)-6=3b-2,又b> 0,所以b=2,n=7.故选AD. 10.18 解析:瞬时速度就是位移对时间的导 数,因为s=3t2+4t3,所以s'=6t+ 12t2,当t=1时,s'=18,即该质点的 瞬时速度为18 m/s. 11.2x+y-7=0 解析:由题知,f'(x)=2- 1 x - 3 x2 = 2x2-x-3 x2 = (2x-3)(x+1) x2 ,x ∈ (0,+∞),∴f'(1)= -2,而f(1)= 5,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处 的切线方程为y-5=-2(x-1),即 2x+y-7=0. 12.9 解析:由题意得f'(x)=3x2+ 1 x ,则 f(1)=1,f'(1)=4,所以切线的方 程为y-1=4(x-1),即y=4x- 3,所以m =4×2-3=5,则g(2)= 5,g'(2)=4,g(2)+g'(2)=9. 13.解:(1)∵y = 1 2e 2x+4-ln(2x+5), ∴y' = 1 2e 2x+4 × (2x + 4)' - 1 2x+5× (2x+5)'= 1 2e 2x+4×2- 1 2x+5× 2=e2x+4- 2 2x+5 . (2)由(1),知y'=e2x+4- 2 2x+5 , ∴y'|x= -2 =1-2= -1.∴ 该函数 的图象在x = -2处的切线的倾斜角 为3π 4. 14.解:(1)∵f(x)=2xf'(e)+ln x, ∴f'(x)= 2f'(e)+ 1 x ,f'(e)= 2f'(e)+ 1 e ,∴f'(e)= - 1 e , f(x)= - 2x e +ln x, ∴f(e)= - 2e e+ln e= -1. (2)∵f(x)= - 2x e +ln x, f'(x)= - 2 e+ 1 x , ∴f(e2)= - 2e2 e +ln e2 =2-2e, f'(e2)= - 2 e+ 1 e2 , ∴f(x)在x =e2 处的切线方程为 y-(2-2e)= - 2 e+ 1 e2 (x - e2),即(2e-1)x+e2y-e2 =0. 课时作业17 导数与 函数的单调性 1.C 由导函数的图象可得当x<0时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当 0<x <2时,f'(x)<0,函数f(x) 单调递减;当x >2时,f'(x)>0,函 数f(x)单调递增.只有C的图象符合 题意.故选C. 2.C 由题意知f(x)=x2-ln x,定义 域为(0,+∞),得f'(x)=2x- 1 x ,令 f'(x)<0,即2x- 1 x <0 ,∴0<x< 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -580-