课时作业12 对数与对数函数-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

第二章 函数的概念与基本初等函数 3 课时作业12 对数与对数函数 一、单项选择题 1.计算log25·log522= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.函数y= ln x +log0.1 7-x x 的定义域是 ( ) A.(0,7) B.[1,7) C.(0,7)∪ (7,+∞) D.(0,1)∪ (1,7) 3.函数y=|log2x|的图象是 ( ) A B C D 4.已知f(x)=lg 5·lg(10x)+ (lg x)2,则 f(2)= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知a=log43,b=log53,c=log45,则 ( ) A.b<a<c B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b 6.已知函数f(x)=log1 2 x 2+alog1 2 x+4,若对 任意的x∈ 1 4 ,1 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 ,f(x)≤6恒成立,则实数 a的最大值为 ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 二、多项选择题 7.不等式log5(3-2x)<1成立的必要不充分条 件是 ( ) A.(-1,0) B.(-1,1) C.(-1,2) D.(-1,+∞) 8.已知函数y=-logax(a>0,a≠1)和y= 1 a x (a>0,a≠1),以下结论正确的有 ( ) A.它们互为反函数 B.它们的定义域与值域正好互换 C.它们的单调性相反 D.它们的图象关于直线y=x 对称 9.下列关于函数f(x)=log1 2 (x2+x+1)的说法 中,正确的是 ( ) A.有最大值2-log23 B.有最小值2-log23 C.在 -∞,- 1 2 上为增函数 D.在 - 1 2 ,+∞ 上为减函数 三、填空题 10.设函数f(x)=ln(3+2x-x2),则f(x)的单 调递减区间为 . 11.已知对数函数f(x)的图象过点(4,-2),则 不等式f(x-1)-f(x+1)>3的解集为 . 12.设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当 x >0时,f(x)=lg x,则满足f(x)≥0的x 取值范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -311- hhh 四、解答题 13.已知函数f(x)=log1 2 (x2-2ax+3). (1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (2)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间. 14.已 知 函 数 f(x)=log3(x +1),g(x)= log3(1-x),记F(x)=f(x)+g(x). (1)求函数F(x)的定义域; (2)判断F(x)的奇偶性并证明; (3)求使F(x)<0成立的x 的集合. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -312- hhh g(t)max = g 1 4 = 5316,g(t)min = g 3 2 = 74.所 以 f(x)max = 5316, f(x)min = 7 4. 故函数f(x)的值域为 7 4 ,53 16 . (2)方程f(x)=0可转化为λ=2· 2x + 1 2 ·1 2x (-1≤x ≤2). 设φ(x)=2·2x+ 1 2·2x 12 ≤2x ≤ 4 ,当 2x = 12,即 x = -1 时, φ(x)min =2;当2x =4,即x =2时, φ(x)max = 65 8. 所以函数φ(x)的值域为 2, 65 8 . 故实数λ 的取值范围是 2,658 . 课时作业12 对数与对数函数 1.A log25·log522=log252·log52 3 2 = 2× 3 2 ×log25×log52=3. 故选A. 2.B 因为函数y = ln x +log0.1 7-x x , 所以 ln x ≥0, 7-x x >0 , 即 x ≥1,0<x <7, 解得 1≤x <7.故选B. 3.D 因为f(x)= log2x,x ≥1, -log2x,0<x <1, 所 以 函 数 的 定 义域为(0,+∞),即函数图象只出现 在y 轴右侧.值域为[0,+∞),即函数 图象不能出现在x 轴下方.其图象为 在区间(0,1)上是下降的曲线,在区间 (1,+∞)上是上升的曲线,由增长趋 势知C不 正 确,只 有 D满 足 要 求.故 选D. 4.A 因 为f(x)=lg 5·lg(10x)+ (lg x)2,所以f(2)=lg 5×lg 20+ (lg 2)2 =lg 5×(lg 5+lg 4)+(lg 2)2= (lg 5)2+2×(lg 5×lg 2)+(lg 2)2= (lg 5+lg 2)2= (lg 10)2=1.故选A. 5.A 首先0<a<1,0<b<1,因为 a= lg 3 lg 4 ,b= lg 3 lg 5 ,所以a-b= lg 3 lg 4- lg 3 lg 5= lg 3×(lg 5-lg 4) lg 4×lg 5 >0 ,所以 0<b<a<1,因为c=log45>1,所 以b<a<c.故选A. 6.A 令t=log1 2 x,因为x∈ 1 4 ,1 , 所以t∈ (0,2],则问题可转化为对任 意的t∈(0,2],t2+at+4≤6恒成立, 即a≤ 2-t2 t = 2 t -t 对任意的t∈ (0,2]恒成立.因为y = 2 t -t 在t∈ (0,2]上 单 调 递 减,所 以ymin =1- 2= -1,所以a≤-1,即实数a的最大 值为 -1.故选A. 7.CD 解不等式log5(3-2x)<1得 0<3-2x <5,解得-1<x < 3 2 , 即原不等式的解集为 -1, 3 2 ,(-1, 0)⫋ -1, 3 2 ,(-1,1)⫋ -1,32 , 因 此 A,B 都 不 是;而 -1, 3 2 ⫋ (-1,2),-1, 3 2 ⫋(-1,+∞),因 此C,D都是.故选CD. 8.ABD 对于A,注意到y= -logax = log1 a x,则其与函数y= 1 a x 互为反 函数,故 A 正 确;对 于 B,函 数y = log1 a x 定义域为(0,+∞),值域为 R. 函数y = 1 a x 定义域为 R,值域为 (0,+∞),故B正确;对于C,当a>1 时,两函数均在定义域内单调递减.当 0<a<1时,两函数均在定义域内单 调递增,故C错误;对于D,两函数互为 反函数,则函数图象关于直线y=x对 称,故D正确.故选ABD. 9.ACD 令u =x2 +x +1= x + 1 2 2 + 3 4 ≥ 3 4 ,所以log1 2 (x2+x+ 1)≤log1 2 3 4 =2-log23 ,故f(x)有 最大值2-log23.又f(x)=log1 2 (x2+ x+1)是 由 函 数y =log1 2 u 与u = x2+x+1复合而成,且u=x2+x+ 1 在 -∞,- 1 2 上 为 减 函 数,在 -12,+∞ 上为增函数,y=log12u 在(0,+∞)上为减函数,所以由复合 函 数 的 单 调 性 可 知 函 数 f(x)在 -∞,- 12 上为增函数,在 - 12, +∞ 上为减函数.故选ACD. 10.(1,3) 解析:要使函数有意义,则3+2x - x2 >0,解得 -1<x <3,即函数的 定义 域 为 (-1,3),设 g(x)=3+ 2x-x2,x ∈ (-1,3),则函数g(x) 开口向下,对称轴方程为x =1,所以 函数g(x)在(-1,1)上单调递增,在 (1,3)上单调递减,又y =ln x 在定 义域上单调递增,根据复合函数的单 调性可知,函数f(x)=ln(3+2x- x2)的单调递减区间为(1,3). 11.1,97 解 析:设 函 数 f(x)的 解 析 式 为 f(x)=logax(a>0,且a≠1),由函 数的 图 象 过 点(4,-2)可 得 -2= loga4,即a-2 =4,则a= 1 2. 由f(x- 1)-f(x+1)>3,可得f(x-1)>3+ f(x+1),即log1 2 (x-1)>log1 2 1 8+ log1 2 (x+1)=log1 2 18(x+1) ,所 以原不等式等价于 x-1>0, x-1< 1 8 (x+1), x+1>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得1<x< 9 7. 12.[-1,0]∪ [1,+∞) 解析:当x>0时,f(x)=lg x≥0, 解得x≥1,当x=0时,f(0)=0,当 x < 0 时,f(x)= -f(-x)= -lg(-x)≥0,得0<-x ≤ 1, -1≤x <0,故x 取值范围是[-1, 0]∪ [1,+∞). 13.解:(1)因为f(x)的定义域为 R,所 以x2-2ax+3>0恒成立, 所以Δ =4a2-4×3<0, 解得- 3<a< 3, 即a的取值范围为(- 3,3). (2)因为f(-1)=log1 2 (1+2a+ 3)= -3,即1+2a+3= 1 2 -3 ,解 得a=2, 所以f(x)=log1 2 (x2-4x+3), 令x2-4x+3>0,即(x-3)(x- 1)>0,解得x >3或x <1, 所以 函 数 的 定 义 域 为(- ∞,1)∪ (3,+∞), 令y=x2-4x+3,x∈(-∞,1)∪ (3,+∞),函数在(3,+∞)上单调递 增,在(-∞,1)上单调递减, 又y =log1 2 x 在定义域上单调递减, 所以f(x)=log1 2 (x2-4x+3)的单 调递增区间为(-∞,1),单调递减区 间为(3,+∞). 14.解:(1)F(x)= f(x)+g(x)= log3(x+1)+log3(1-x), 定义域满足 x+1>0 , 1-x >0, 解得 -1< x <1, 故函数F(x)的定义域为{x|-1< x <1}. (2)F(x)是偶函数,证明如下: 由(1)得F(x)的定义域关于原点对 称,F(x)=log3(x+1)+log3(1-x), 又 F(-x)=log3(-x +1)+ log3(1+x)=F(x), 所以F(x)是偶函数. (3)由F(x)<0,得log3(x+1)+ log3(1-x)<0, 即log3(x +1)<-log3(1-x)= log3 1 1-x , 可得 x+1< 1 1-x , -1<x <1, 解 得 -1< x <1且x ≠0, 故使F(x)<0成立的x 的集合为 {x|-1<x <1且x ≠0}. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -576- 参 考 答 案 课时作业13 函数的图象 1.D 由y=2|x|sin 2x知函数的定义域 为R,令f(x)=2|x|sin 2x,则f(-x)= 2|-x|sin(-2x)= -2|x|sin 2x. ∴f(x)= -f(-x),∴f(x)为奇函 数.∴f(x)的图 象 关 于 原 点 对 称,故 排除A,B;令f(x)=2|x|sin 2x =0, 解得x = kπ 2 (k∈Z),∴ 当k=1时, x = π 2 ,故排除C.故选D. 2.B 当0<a<1时,函数y=ax,y= logax 为定义域上的减函数,函数y = xa 为定义域上的增函数且上凸,所以 A,C,D不符合,B符合;当a>1时,函 数y=ax,y=logax 为定义域上的增 函数,函数y =xa 为定义域上的增函 数且下凸,所以 A,B,C,D不 符 合.故 选B. 3.D 因为g(x)= -f(x),所以g(x) 的图象与f(x)的图象关于x 轴对称, 由f(x)解 析 式,作 出 f(x)的 图 象 如图, 从而可得g(x)图象为D.故选D. 4.A 由函数f(x)= (x-a)2 x-b = [(x-b)+(b-a)]2 x-b = (x -b)+ (b-a)2 x-b + 2(b-a),因此结合选项知 函 数 的 图 象 可 由 函 数 y = x + (b-a)2 x 的图象向右平移b 个单位长 度,再向上平移2(b-a)个单位长度得 到,且函数f(x)= (x-a)2 x-b 的图象与 x 轴的交点的横坐标是a,且当x >b 时,f(x)>0,所 以 只 有 A 符 合.故 选A. 5.D 易知函数f(x)=x2+ 1 4 是偶函 数,g(x)=sin x 是奇函数,给出的图 象对应的函数是奇函数.对于 A,y = f(x)+g(x)- 1 4 =x 2+sin x 为非 奇非偶函数,不符合题意,排除A;对于 B,y=f(x)-g(x)- 1 4 =x 2-sin x 也为非奇非偶函数,不符合题意,排除 B;对于C,因为当x ∈ (0,+∞)时, f(x)单调递增,且f(x)>0,当x ∈ 0,π2 时,g(x) 单 调 递 增, 且 g(x)>0,所 以 y = f(x)g(x)在 0,π2 上单调递增,由图象可知所求 函数在 0,π4 上 不 单 调,排 除 C.故 选D. 6.D 由题意知y= 1 1-x = -1 x-1 的图 象是双曲线,且关于点(1,0)成中心对 称,又y=2sin πx的周期为T= 2π π = 2,且图象也关于点(1,0)成中心对称, 因此两图 象 的 交 点 也 一 定 关 于 点(1, 0)成 中 心 对 称,再 结 合 图 象(如 图 所 示)可知两图象在[-2,4]上有8个交 点,因此8个交点的横坐标之和x1+ x2+…+x8 =4×2=8.故选D. 7.ABD 当 x ∈ [0,2]时,f(x)= x,0≤x ≤1, 2-x,1<x ≤2, 2f(x -2)的 图 象是把f(x)的图象向右平移2个单 位长度变成f(x-2)的图象后,再把 纵坐标变为原来的2倍,得到2f(x- 2)的图象,如图. 因为f 9 2 =2f 52 =4f 12 = 2,故A正确;由图知B正确;当k=1 时有无数个实数根,故C错误;当a= 1- 2时,函数f(x)的图象与y = 2 x 2+a的图象交于(1,1)点,结合图象 2 1 2 +a≥1,即a≥1- 2,故D正确. 8.ABD 作出函数f(x)的图象如图,函 数f(x)为偶函数,故A正确;将f(x) 的 图 象 向 右 平 移 2 个 单 位 长 度 知 f(x-2)的图象在[1,+∞)上的部分 位于f(x)的图象的下方,则有f(x- 2)≤f(x),故B正确;令f(x)=u≥ 0,则由图象知f(u)≤u,故D正确;取 x=4,则|f(4)-2|=0<f(4),C错 误.故选ABD. 9.ABC 函数图象如图所示, 由图可知,若y=a与f(x)的图象有两 个交点,则a∈(1,+∞),故A正确;若 y=a与f(x)的图象有三个交点,则 a∈(0,1],故B正确;若0≤f(x)≤1, 则x∈[-2,0]∪[4,+∞),故C正确; 若0≤f(f(x))≤1,则f(x)∈[-2, 0]∪ [4,+∞),则x ∈ (-∞,-3]∪ {-1}∪(0,1],故D错误.故选ABC. 10.(-2,4) 解析:由 题 意 得 f(2)=3,又y = f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴 对称,∴y =f(-x)过点(-2,3), ∴y=f(-x)+1的图象过点(-2,4). 11.[-1,+∞) 解析:如图,作出函数f(x)=|x + a|与g(x)=x-1的图象,观察图象 可知,当且仅当 -a≤1,即a≥-1 时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因 此a 的取值范围是[-1,+∞). 12.- π 2 ,-1 ∪ 1,π2 解析:当x∈ 0, π 2 时,y=cos x> 0.当x∈ π 2 ,4 时,y=cos x<0. 结合y=f(x),x∈[0,4]上的图象 知,当1<x< π 2 时,f (x) cos x<0. 又函 数y=f (x) cos x 为偶函数,∴在[-4,0] 上,f (x) cos x <0 的解集为 - π 2 ,-1 , 所以f (x) cos x <0 的解集为 - π 2 ,-1 ∪ 1,π2 . 13.解:(1)由题意,函数y = -x(|x- 2|-2)= -x2+4x,2≤x ≤5, x2,-1≤x <2, 作出其图象如图. (2)由图象可知函数的单调递减区间 为[-1,0],[2,5],单调递增区间为 [0,2]. 函数最大值为4,最小值为-5. 14.解:由 f(x)-a|x -1|=0得 f(x)=a|x-1|,作出函数y = f(x),y =g(x)=a|x-1|的图 象,如图所示, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -577-