课时作业10 幂函数-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

第二章 函数的概念与基本初等函数 3 课时作业10 幂函数 一、单项选择题 1.若幂函数的图象经过点 2,14 ,则它的单调递 增区间是 ( ) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,0) 2.若幂函数f(x)=(m2-4m+4)·xm 2-6m+8 在 (0,+∞)上为增函数,则m 的值为 ( ) A.1或3 B.1 C.3 D.2 3.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn 2-3n(n∈ Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减 函数,则n的值为 ( ) A.-3 B.1 C.2 D.1或2 4.若(2m+1) 1 2 >(m2+m-1) 1 2,则实数m 的取 值范围是 ( ) A.-∞,- 5-1 2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 B. 5-1 2 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 C.(-1,2) D. 5-1 2 ,2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 5.放假期间,小明一家准备去某地旅游,已知他 家汽 车 行 驶 速 度v(km/h)与 每 千 米 油 费 w(元)的关系式为w= 1 300 · v 2 v-40 (60≤v≤ 120),当每千米油费最低时,v= ( ) A.60 km/h B.80 km/h C.100 km/h D.120 km/h 6.已知函数f(x)=x+ 4 x ,g(x)=2x+a,若 ∀x1∈ 1 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,∃x2∈[2,3],使得f(x1)≥ g(x2),则实数a的取值范围是 ( ) A.a≤1 B.a≥1 C.a≤2 D.a≥2 二、多项选择题 7.已知幂函数f(x)=(m-2)xm 2-2m,则 ( ) A.m=1 B.f(x)的定义域为R C.f(-x)=-f(x) D.将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度 得到函数g(x)=(x-1)3 的图象 8.设函数f(x)= x2+1 |x| ,则 ( ) A.f(x)是奇函数 B.当x ∈ (0,+∞)时,f(x)有最小值2 C.f(x-1)在区间(1,2)上单调递减 D.f(x)有两个极值点 9.形如f(x)=x+ a x (a>0)的函数,我们称之 为双勾函数.双勾函数具有如下性质:该函数 在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调 递增.已知函数f(x)=x+ a x (a>0)在[2,4] 上的最大值比最小值大1,则a的值可以是 ( ) A.4 B.12 C.6-22 D.6+42 三、填空题 10.已知函数f(x)= x2+4 x ,则该函数在区间[1, 2]上的值域是 . 11.若p:∃x∈(2,4),x+ 2 x≤a 是假命题,则实 数a的取值范围是 . 12.如图,正方形OABC的边长为a(a>1),函数 y=3x2的图象交AB 于点Q,函数y=x- 1 2 的 图象交BC 于点P,则当|AQ|+|CP|最小 时,a的值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -307- hhh 四、解答题 13.已知f(x)=2x+ 4 2x-1- 5,x∈[1,3],求 函数f(x)的单调区间和值域. 14.已知函数f(x)= x2+1 ax+b 是定义域上的奇函 数,且f(-1)=-2. (1)求a,b的值; (2)若方程f(x)=m 在(0,+∞)上有两个不 同的根,求实数m 的取值范围; (3)令h(x)=x2+ 1 x2- 2tf(x)(t<0),若对 ∀x1,x2∈ 1 2 ,2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 都有|h(x1)-h(x2)|≤ 15 4 ,求实数t的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -308- hhh 80x+36 800= -80 2 500 x +x + 36 800 ≤-80×2 2 500 x ·x + 36 800=28 800, 当且仅当2 500 x =x ,即x =50时,等 号成立,此时W(x)max =28 800. 因为30 520>28 800, 所以当年产量为32万个时,利润最 大,最大利润为30 520万元. 课时作业10 幂函数 1.D 设f(x)=xα,则2α = 1 4 ,α= -2, 即f(x)=x-2,它是偶函数,单调递增 区间是(-∞,0). 2.B 由题意得m2-4m+4=1,m2- 6m+8>0,解得m =1. 3.B 根据题意,得 n2+2n-2=1, n2-3n<0, n∈Z, 解得 n= -3或n=1, 0<n<3, n∈Z, 符合条件的n 的值为1.故选B. 4.D 因 为 函 数y =x 1 2 的 定 义 域 为 [0,+∞),且在定义域内为增函数,所 以不等式等价于 2m+1≥0, m2+m-1≥0, 2m+1>m2+m-1, 解得 m ≥- 1 2 , m ≤- 5-1 2 或m ≥ 5-1 2 , -1<m <2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即 5-1 2 ≤m <2. 故选D. 5.B w = 1 300 · v 2 v-40= 1 300 · (v-40)2+80(v-40)+1 600 v-40 = 1 300 (v-40)+ 1 600 v-40+ 80 ,因 为 60≤v≤120,所以20≤v-40≤80, 则 1 300 (v-40)+ 1 600 v-40+ 80 ≥ 1 300 2 (v-40)· 1 600 v-40+ 80 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 = 8 15 ,当且仅当v-40= 1 600 v-40 ,即v= 80时取等号,所以当每千米油费最低 时,v=80 km/h.故选B. 6.A 由f(x)=x+ 4 x 得,f'(x)= x2-4 x2 ,当x∈ 1 2 ,1 时,f'(x)<0, ∴f(x)在 1 2 ,1 上单调递减,∴f(1)= 5是函数f(x)的最小值,当x∈[2,3] 时,g(x)=2x+a 为增函数, ∴g(2)=a+4是函数g(x)的最小 值,又 ∵∀x1∈ 1 2 ,1 ,∃x2∈[2, 3],使得f(x1)≥g(x2),可得f(x) 在x1 ∈ 1 2 ,1 的 最 小 值 不 小 于 g(x)在x2∈[2,3]的最小值,即5≥ a+4,解得a≤1.故选A. 7.BC 由幂函数的定义可知m-2=1, 所以m =3,所以f(x)=x3,故A错 误;由f(x)=x3 可知其定义域为R, 故B正确;f(x)=x3 为奇函数,所以 f(-x)= -f(x),故 C 正 确;将 f(x)=x3 的图象向左平移1个单位 长度得到函数y=(x+1)3的图象,故 D错误.故选BC. 8.BCD f(x)= x2+1 |x| =| x|+ 1 |x| , 对于 A,定 义 域 为 {x|x ≠0},且 f(-x)=|x|+ 1 |x| =f (x),故 f(x)是偶函数,故A错误;对于B,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x+ 1 x ≥2 , 当x =1时,取得最小值,故B正确;对 于C,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x+ 1 x ,f'(x)=1- 1 x2 = x2-1 x2 ,当x∈ (0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1) 上为减函数,而f(x-1)可以由f(x) 向右平移1个单位长度得到,故f(x- 1)在区间(1,2)上单调 递 减,故C正 确;对 于 D,当 x ∈ (0,+ ∞)时, f'(x)= x2-1 x2 ,当 x ∈ (0,1)时, f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函 数,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故 f(x)在(1,+∞)上为增函数,故x= 1为极小值点,且当x∈(0,+∞)时只 有一 个 极 小 值 点,因 为f(x)是 偶 函 数,所以f(x)有两个极值点,故D正 确.故选BCD. 9.AD 由 双 勾 函 数 的 性 质 可 得,f(x) 在(0,a)上单调递减,在(a,+∞) 上单调递增.① 当0< a ≤2,即0< a≤4时,f(x)在[2,4]上单调递增, f(x)max-f(x)min =f(4)-f(2)= 4+ a 4-2- a 2 =2- a 4 =1 ,解得a= 4,满足题意;② 当 a ≥4,即a≥16 时,f(x)在[2,4]上单调递减,f(x)max- f(x)min =f(2)-f(4)=2+ a 2-4- a 4 = a 4-2=1 ,解得a=12,不满足 题意,舍去;③ 当2< a <4,即4< a<16时,f(x)在[2,a]上单调递 减,在(a,4]上单调递增,f(x)min = f(a)=2a,a.当f(4)=4+ a 4 ≥ f(2)=2+ a 2 时,即4<a≤8时, f(x)max =f(4)=4+ a 4 ,故f(x)max- f(x)min =f(4)-f(a)=4+ a 4- 2a =1,解得a=4或a=36,均不满 足题意,舍去,b.当f(4)=4+ a 4 < f(2)=2+ a 2 ,即8<a <16时, f(x)max = f(2)= 2+ a 2 ,从 而 f(x)max-f(x)min =f(2)-f(a)= 2+ a 2-2a =1 ,解得a=6-42(舍 去),a=6+42,满足题意.综上所述, a的值所组成的集合为{4,6+42}.故 选AD. 10.[4,5] 解析:f(x)= x2+4 x =x+ 4 x ,x∈ [1,2],设1≤x1 <x2 ≤2, 则f(x1)-f(x2)= x1+ 4 x1 - x2+ 4 x2 =(x1-x2)+ 4x1-4x2 = (x1-x2)1- 4 x1x2 .∵1≤x1 < x2≤2,∴x1-x2<0, 4 x1x2 >1,即 1- 4 x1x2 <0,∴f(x1)-f(x2)> 0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)= x+ 4 x 在区间[1,2]上单调递减.又 f(1)=5,f(2)=4,∴f(x)∈ [4, 5],即函 数 在 区 间[1,2]上 的 值 域 是 [4,5]. 11.(-∞,3] 解析:由题意可得 ∀x ∈ (2,4),x+ 2 x >a 是真命题,因为f(x)=x+ 2 x 在(2,4)上单调递增,则f(x)>f(2)= 3,可得a≤3,所以实数a 的取值范围 是(-∞,3]. 12.3 解析:依 题 意 得 Q a3 ,a ,P a, 1 a ,则 |AQ|+|CP|= a3 + 1 a = a 3 + 1 a ,记 a =t(t>1), f(t)=|AQ|+|CP|,则f(t)= t 3 + 1 t ,所以f(t)= t 3 + 1 t ≥2 1 3 , 当且仅当 t 3 = 1 t ,即t2 = 3时取等 号,此时a= 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -574- 参 考 答 案 13.解:f(x)=2x-1+ 4 2x-1- 4, 令2x-1=m,∵1≤x ≤3,∴1≤ m ≤5. 则f(x)=h(m)=m+ 4 m -4. 由双勾函数的性质,可得h(m)在[1, 2]上单调递减,在(2,5]上单调递增, ∴f(x)在 1, 3 2 上 是 减 函 数,在 3 2 ,3 上是增函数. f(1)=1,f 3 2 =0,f(3)= 95, 综上可得,f(x)的单调递减区间为 1,32 ,单调递增区间为 32,3 , 值域为 0,95 . 14.解:(1)∵f(-1)= -2,又f(x)是奇 函数,∴f(1)=2, 2 -a+b= - 2, 2 a+b= 2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=1, b=0, ∴f(x)=x+ 1 x . 经验证,函数f(x)的定义域为{x|x≠ 0},f(-x)= -x+ - 1 x = -f(x) 成立,满足要求, ∴a=1,b=0. (2)由(1)知,f(x)=x+ 1 x . 方程f(x)=m 在(0,+∞)上有两个 不同的根, 即x2-mx+1=0在(0,+∞)上有 两个不相等的实数根, 需满足 Δ =m2-4>0, m >0, 解得m >2. (3)由 题 意 知 h(x)= x2 + 1 x2 - 2t x+ 1x , 令z=x+ 1 x ,y =z2-2tz-2, ∵ 函数z=x+ 1 x 在 1 2 ,1 上单调 递减,在[1,2]上单调递增, ∴z∈ 2, 5 2 , ∵ 函数y=z2-2tz-2的对称轴为 z=t<0, ∴ 函数y=z2-2tz-2在 2, 5 2 上 单调递增. 当z=2时,ymin = -4t+2;当z= 5 2 时,ymax = -5t+ 17 4. 即h(x)min = -4t+2,h(x)max = -5t+ 17 4. 又 ∵ 对 ∀x1,x2 ∈ 1 2 ,2 都 有 |h(x1)-h(x2)|≤ 15 4 恒成立, ∴h(x)max-h(x)min ≤ 15 4 , 即-5t+ 17 4 - (-4t+2)≤ 15 4 , 解得t≥- 3 2 ,又 ∵t<0, ∴t的取值范围是 - 3 2 ,0 . 课时作业11 指数与指数函数 1.B a 2 a 3 a2 = a2 a 1 2·a 2 3 =a 2-12- 2 3 = a 5 6.故选B. 2.A 因为f(x)= x -12 -1,x≥0, 2x,x<0, 所 以f(4)=4 -12 -1= 1 2-1= - 1 2 , 所以f(f(4))=f - 1 2 =2- 1 2 = 2 2. 故选A. 3.C 由指数函数y=0.6x 在(0,+∞) 上单调递减,可知0<0.61.5 <0.60.6 < 1,又1.50.6 >1,所以b<a<c. 4.C f(x)的定义域是R,由题意f(0)= 1+a=0,a= -1,f(x)=2x -2-x, 则f(-x)=2-x -2x = -f(x),是奇 函数.故选C. 5.A 当x =1时,y=a0+4=5,所以 P(1,5).故选A. 6.A 因为f(-x)= (-x)2 4x -4-x =-f(x), 又函 数 的 定 义 域 为 {x|x ≠0},故 f(x)为奇函数,排除C,D;根据指数函 数的性质,y =4x 在R上单调递增,当 x >0时,x >-x,故4-x <4x,则 f(x)<0,排除B.故选A. 7.AD 由指数幂的运算公式可得am · an =am+n,(an)m =amn,( na)n =a, 所以A,D正确,B错误;当n为奇数时, n an =a,当n为偶数时, n an =|a|, 所以C错误.故选AD. 8.BD 根 据 指 数 函 数 的 性 质 可 知, g(t)= 1 2 t 在(-∞,+∞)上单调 递减,而t(x)=x2+1在(-∞,0)上 单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故 f(x)= 1 2 x2+1 的单调递增区间为 (-∞,0).t(x)=x2 +1的 值 域 为[1, +∞),而g(t)= 1 2 t 在(-∞,+∞) 上单调递减,故f(x)= 1 2 x2+1 的 值域为 0,12 .故选BD. 9.AC 当x∈[-2,2]时,ax <2(a> 0,且a≠1),若a>1,y=ax 是增函 数,则有a2<2,可得a< 2,故有1< a< 2;若0<a<1,y=ax 是减函 数,则有a-2 <2,可得a > 2 2 ,故有 2 2 <a<1 ,综上所述,实数a 的取值 范围是(1,2)∪ 2 2 ,1 .故选AC. 10.102 解析:(32× 3)6-4× 16 49 -12 + (-2 024)0 = (2 1 3)6× (3 1 2)6-4× 4 7 2 -12 +1=22×33-4× 7 4+ 1=102. 11.32 或1 2 解析:当a>1时,函数f(x)在区间 [1,2]上 单 调 递 增,由 题 意 可 得, f(2)-f(1)=a2-a= a 2 ,解得a= 3 2 或a=0(舍去);当0<a<1时, 函数f(x)在区间[1,2]上单调递减, 由题意可得,f(1)-f(2)=a-a2= a 2 ,解得a= 1 2 或a=0(舍去).综上 所述,a= 3 2 或a= 1 2. 12.22 解析:∵x>0,y>0,且x+4y=1, ∴2x +16y =2x +24y ≥2 2x·24y = 2 2x+4y =22,当且仅当2x =24y, 即x = 1 2 ,y = 1 8 时,等号成立, 即2x +16y 的最小值是22. 13.解:(1)(-2x 1 4y -13)(3x -12y 2 3)· (-4x 1 4y 2 3)= (-2)×3×(-4)· x 1 4- 1 2+ 1 4y -13+ 2 3+ 2 3 =24y. (2)278 -23 - 49 9 0.5 +0.008 -23 × 2 25= 3 2 3 -23 - 49 9 + 1 5 3 -23 × 2 25= 4 9- 7 3+2= 1 9. 14.解:(1)f(x)= 1 4x - λ 2x-1 +4 = 1 2 2x -2λ· 1 2 x +4(-1≤x≤ 2).设t= 1 2 x ,得g(t)=t2 - 2λt+4 1 4 ≤t≤2 . 当λ = 3 2 时,g(t)=t2-3t+4= t- 3 2 2 + 7 4 1 4 ≤t≤2 .所以 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -575-