课时作业9 二次函数-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

第二章 函数的概念与基本初等函数 3 课时作业9 二次函数 一、单项选择题 1.函数y= x -x(x >0)的最大值为 ( ) A.14 B.0 C.13 D.1 2.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c, 且a+b+c=0,则函数f(x)的图象可能是 ( ) A B C D 3.(2023·山东潍坊模拟)已知a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则 ( ) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 4.函数f(x)=-x2+2(1-m)x +3在区间 (-∞,4]上单调递增,则实数m 的取值范围是 ( ) A.[-3,+∞) B.[3,+∞) C.(-∞,5] D.(-∞,-3] 5.已知函数f(x)=x2+(3m+5)|x|+1的定 义域为R,且函数有四个单调区间,则实数m 的取值范围为 ( ) A.m <- 5 3 B.m <- 7 3 或m >-1 C.m <- 7 3 D.m <- 5 3 或m >-1 6.(2023· 湖 北 宜 昌 质 检)已知函数f(x)= -2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为 (-1,3).若对任意的x ∈ [-1,0],f(x)+ m ≥4恒成立,则m 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2] B.[4,+∞) C.[2,+∞) D.(-∞,4] 二、多项选择题 7.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文 字:“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过 点(1,0)…… 求证:这个二次函数的图象关于 直线x=2对称.”根据现有信息,题中的二次 函数可能具有的性质是 ( ) A.在x 轴上截得的线段的长度是2 B.与y 轴交于点(0,3) C.顶点是(-2,-2) D.过点(3,0) 8.(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)是定义 在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2, 则下列说法正确的是 ( ) A.f(x)的最大值为 1 4 B.f(x)在(-1,0)上是增函数 C.f(x)>0的解集为(-1,1) D.f(x)+2x ≥0的解集为[0,3] 9.(2023·河北邯郸模拟)若函数f(x)=x|x- a|在[0,2]上的最大值为2,则a 的取值可 以为 ( ) A.1 B.3 C.22 D.42-4 三、填空题 10.二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值 如下表: x -3 -2 3 4 y -12 m 0 m 则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -305- hhh 11.(2023·山东烟台模拟)若二次函数y=8x2- (m-1)x+m-7的值域为[0,+∞),则m= . 12.若函数f(x)=ax2+(a-3)x +1在区间 [-1,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范 围是 . 四、解答题 13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,如图 所示,现已画出函数f(x)在y 轴左侧的 图象: (1)请画出y 轴右侧的图象,并写出函数 f(x)(x ∈R)的解析式和单调递减区间; (2)若函数g(x)=f(x)-2ax+1(x∈[1, 2]),求函数g(x)的最大值. 14.某公司消费者业务产品全面覆盖手机、移动 宽带终端、终端云等,凭借自身的全球化网络 优势、全球化运营能力,致力于将最新的科技 带给消费者,让世界各地享受到技术进步的 喜悦,以行践言,实现梦想.已知该公司生产 的某系列的某款手机的年固定成本为200万 元,每生产1个还需另投入80元.设该公司一 年内共生产该款手机x 万个并全部销售完, 每 万 个 的 销 售 收 入 为 R(x)万 元,且 R(x)= 2 000-30x,0<x ≤40, 37 000 x - 200 000 x2 ,x >40, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万 个)的函数解析式; (2)当年产量为多少万个时,该公司在该款手 机的生产中所获得的利润最大? 并求出最大 利润. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -306- hhh 则ax1x2 -1 > 0 恒 成 立,显 然 ax1x2 >ax21 ≥a,因此a≥1,则有 a=1, 当x ∈ [1,+∞)时,函数f(x)= x+ 1 x +4 在[1,+∞)上单调递增, f(x)min =f(1)=6, 所以a=1,x∈[1,+∞)时f(x)的 最小值为6. 课时作业8 函数的奇偶性、 周期性、对称性 1.B y= 1 x 为奇函数;y=lg x 的定义 域为(0,+ ∞),不 具 备 奇 偶 性;y = 1 2 |x| 在 (0,+ ∞)上 为 减 函 数; y=|x|-1在(0,+∞)上为增函数, 且在定义域上为偶函数. 2.B 设g(x)=x5+ax3+bx,则g(x) 为奇函数.由题设可得f(-3)=g(-3)- 8=5,得g(-3)=13.又因为g(x)为 奇函 数,所 以 g(3)= -g(-3)= -13,于是f(3)=g(3)-8= -13- 8= -21. 3.C 因为函数f(x)=(x-a)3为奇函 数 ⇔f(x)定义域为 R,关于(0,0)对 称.当 a = 0 时,f(x)= x3,则 f(-x)= (-x)3=-x3= -f(x), 故 函 数 f(x)为 奇 函 数; 当 函 数 f(x)= (x - a)3 为 奇 函 数 时, f(-x)= -f(x),即(-x-a)3 = -(x-a)3,解得a=0.所以“a=0” 是“函数f(x)= (x-a)3(x∈R)为 奇函数”的充要条件.故选C. 4.A 根据奇函数的性质,得f(x)在 R 上单调递减,且f(2)=-1.由|f(2x)|≤ 1,得 -1≤f(2x)≤1,即 f(2)≤ f(2x)≤f(-2),所以2≥2x≥-2, 解得 -1≤x ≤1.故选A. 5.A 因为f(x)是定义在 R上的奇函 数, 所 以 f(1) = - f(- 1) = - (-1)2- 1 2 × (-1) = - 32, 故选A. 6.B 已知定义在R上的奇函数f(x),所 以f(x)= -f(-x)①,且f(0)=0,又 f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)= f(-x+1),即f(x)=f(2-x)②,所 以f(2)= f(0)=0,由 ①② 可 得 -f(-x)=f(2-x),所以 -f(2- x)=f(4-x),则f(-x)=f(4- x),则函数f(x)的周期为4,当x ∈ (0,1]时,f(x)=x2,则f(1)=1,所 以f(-1)= -f(1)= -1=f(3), 所以 f(0)+f(1)+f(2)+ … + f(2 023) = 506[f(0) + f(1) + f(2)+f(3)]=0.故选B. 7.BD 因为f(x+1)是偶函数,所以函 数f(x)的图象关于直线x =1对称, 即f(-x)=f(2+x),又函数f(x)是 定义在R上的奇函数,所以f(-x)= -f(x),f(0)=0,于是f(2+x)= -f(x),即 有f(4+x)= -f(x + 2)=f(x),所以函数f(x)的一个周 期为4,故A错误,B正确;设g(x)= f(x+3),则g(-x)=f(-x+3)= f(-1+x)=f(x+3),即g(x)= g(-x),所以f(x+3)为偶函数,故 C错 误;设 h(x)= f(x +5),则 h(-x)=f(-x+5)=f(x-3)= f(x+5),即h(x)=h(-x),所 以 f(x+5)为偶函数,D正确.故选BD. 8.ABD 令x= 1 2 ,y=0,则有f 1 2 + f 1 2 ×f(0)=f 12 [1+f(0)]= 0,又f 1 2 ≠0,故1+f(0)=0,即 f(0)= -1,令x = 1 2 ,y= - 1 2 ,则 有f 1 2 - 1 2 +f 12 f - 12 = 4 × 1 2 × - 1 2 , 即 f(0)+ f 1 2 f - 12 = -1,由 f(0)= -1,可 得 f 1 2 f - 12 =0,又 f 1 2 ≠0,故f - 12 =0,故A正 确;令y = - 1 2 ,则 有f x- 1 2 + f(x)f - 1 2 = 4x × - 12 ,即 f x- 1 2 = -2x,故 函 数 f x - 1 2 是奇函数,有f x+1- 12 = -2(x + 1) = - 2x - 2, 即 f x+ 1 2 = -2x - 2, 即 函 数 f x+ 1 2 是 减 函 数,令 x =1,有 f 1 2 = -2×1= -2,故B正确, C错误,D正确.故选ABD. 9.ACD 因为f(x)满足f(x -3)= -f(x),所以f(x -6)= -f(x - 3)=f(x),故函数f(x)是周期为6 的周 期 函 数,故 A 正 确;由 题 意 得 f(x-3)= -f(x)=f(-x),所以 根据周期性得f(x+3)=f(-x),所 以 f x+ 3 2 = f 32 -x ,所 以 f(x)的图象关于直线x = 3 2 对称, 故B错误,D正确;对于C,结合周期性 得f(2 023)= f(337×6+1)= f(1)=1-3= -2,故C正确. 10.2 -2,- 1 2 解析:由题意,可得a-4+a =0,即 a=2,则函数f(x)=2x+b,其定义 域为[-2,2],所 以f(0)=0,所 以 b=0,所以g(x)= 2 x ,易知g(x)在 区间[-4,-1]上单调递减,其值域为 -2,- 1 2 . 11.-e-x +1 解析:当x <0时,-x >0,因为当 x ≥ 0 时,f(x)= ex -1,所 以 f(-x)=e-x -1.又因为f(x)为奇 函数,所 以 f(x)= -f(-x)= -e-x +1. 12.(-1,2) 解析:设函数f(x)=x3+3x2 图象 的对 称 中 心 为 (a,b),则 函 数 y = f(x+a)-b为奇函数, 由f(-x+a)-b= -[f(x+a)- b],得(-x +a)3 +3(-x +a)2 - b= -[(x+a)3+3(x+a)2-b], 整理得(3a+3)x2+a3+3a2-b=0, 所以 3a+3=0, a3+3a2-b=0, 解得 a= -1, b=2, 所以函数f(x)=x3+3x2 图象的对 称中心是(-1,2). 13.解:(1)由f(x +2)= -f(x),得 f(x+4)=f((x+2)+2)= -f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函 数,又f(x)为奇函数,所以f(π)= f(-1×4+π)= f(π-4)= -f(4-π)= -(4-π)=π-4. (2)由f(x)是奇函数且f(x+2)= -f(x),得f((x-1)+2)= -f(x-1)=f(-(x-1)), 即f(1+x)=f(1-x).故函数y= f(x)的图象关于直线x=1对称.又 当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x) 的图象关于原点对称,则f(x)的图 象如图所示. 当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为S,则 S = 4S△OAB =4× 1 2 ×2×1 =4. 14.解:(1)证明:∵f(x+2)= -f(x), ∴f(x+4)= -f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)∵x ∈ [2,4],∴ -x ∈ [-4, -2],∴4-x ∈ [0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2 = -x2+6x-8. ∵f(4-x)=f(-x)= -f(x), ∴-f(x)= -x2+6x-8, 即当 x ∈ [2,4]时,f(x)= x2 - 6x+8. 课时作业9 二次函数 1.A 因为y = x -x = -(x)2+ x = - x - 1 2 2 + 1 4 (x >0), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -572- 参 考 答 案 当 x = 1 2 ,即x = 1 4 时,y= x - x(x >0)取得最大值,即ymax = 1 4. 故选A. 2.D 由a>b>c且a+b+c=0,得 a>0,c<0,所以函数图象开口向上, 排除A,C;又f(0)=c<0,排除B,故 选D. 3.A 由f(0)=f(4),得f(x)=ax2+ bx+c图象的对称轴为直线x= - b 2a= 2,所以4a+b=0,又f(0)>f(1), f(4)>f(1),所以f(x)先减后增,于 是a>0. 4.D 函数f(x)= -x2+2(1-m)x+ 3的 图 象 的 对 称 轴 为 直 线 x = - 2(1-m) -2 = 1- m, 因 为 函 数 f(x)= -x2+2(1-m)x+3在区间 (-∞,4]上单调递增,所以1-m≥4, 解得m ≤-3,所以实数m 的取值范围 为(-∞,-3].故选D. 5.A f(x)=x2+(3m+5)|x|+1, f(-x)= (-x)2+(3m+5)|-x|+ 1=x2+(3m+5)|x|+1=f(x), 所 以 f(x)为 偶 函 数.因 为 f(x)= x2+(3m+5)|x|+1有四个单调区 间,所以f(x)在y 轴右侧有两个单调 区间,所以 - 3m+5 2 >0 ,解得 m < - 5 3. 故选A. 6.B 因为f(x)>0的解集为(-1,3), 故 -2x2+bx+c=0的两个根分别 为 -1,3,所以 b 2 = -1+3 , - c 2 = -1×3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 b=4, c=6, 令g(x)=f(x)+m, 则g(x)= -2x2+4x+6+m = -2(x-1)2+8+m,由x ∈ [-1,0] 可得 g(x)min = m,又 g(x)≥4在 [-1,0]上恒成立,故m ≥4. 7.ABD 因为二次函数的图象过点(1, 0),且对称轴为直线x =2,所以图象 与x 轴的另一个交点为(3,0),且x 轴 上截得的线段的长度是2,故 A,D正 确.由已知得 a+b+c=0, - b 2a =2 , 解得b= -4a,c=3a,所 以 二 次 函 数 为y = a(x2-4x+3),其顶点的横坐标为2, 所以顶点一定不是(-2,-2),当a=1 时,与y 轴 交 于 点(0,3),故 B正 确, C错误.故选ABD. 8.AD 由题意得,当x ≥0时,f(x)= x-x2 = - x- 1 2 2 + 1 4 ;当x < 0时,f(x)= -x2 -x = - x + 1 2 2 + 1 4 ,f(x)的最大值为 1 4 ,A正 确;f(x)在 - 1 2 ,0 上 是 减 函 数, B错误;f(x)>0的解集为(-1,0)∪ (0,1),C错 误;当 x ≥0时,f(x)+ 2x =3x-x2 ≥0的解集为[0,3],当 x <0时,f(x)+2x =x-x2≥0无 解,故D正确. 9.AC 当a≤0时,f(x)在[0,2]上单 调递增,f(x)max =f(2)=2|2-a|= 2,解得a=1(舍去)或a=3(舍去). 当a>0时, f(x)= -x(x-a),x ≤a, x(x-a),x >a, 当 a 2 >2 ,即a>4时,f(x)max=f(2)= -2(2-a)=2,解得a=3(舍去). 当x>a时,令f(x)=f a 2 ,解得 x = (2+1)a 2 (负 值 舍 去).当a2 ≤ 2≤ (2+1)a 2 ,即4(2-1)≤a≤4 时,f(x)max =f a 2 =a 2 4 =2 ,解得 a=2 2.当2> (2+1)a 2 即a < 4(2-1)时,f(x)max=f(2)=2(2- a)=2,解得a=1. 10.(-1,3) 解析:对于二次函数f(x)=ax2 + bx+c,由表格可得f(-2)=f(4),则 二次函数图象的对称轴为 直 线x = - b 2a = -2+4 2 =1 ,则b= -2a, 又 f (-3)=9a-3b+c= -12, f(3)=9a+3b+c=0, 结合b= -2a,解得a= -1,b=2, c=3,所以不等式ax2+bx+c>0 即为不等式-x2+2x+3>0⇒(x- 3)(x+1)<0,解得-1<x<3,则 不等式的解集为(-1,3). 11.9或25 解析:y=8x- m-1 16 2 +m-7- 8 m-116 2 ,因为值域为[0,+∞),所 以m-7-8 m-1 16 2 =0,解得m = 9或m =25. 12.[-3,0] 解析:当a=0时,f(x)= -3x+1 在[-1,+ ∞)上 单 调 递 减,满 足 题意; 当a ≠0时,f(x)的对称 轴 为 直 线 x = 3-a 2a ,由f(x)在[-1,+∞)上 单 调 递 减, 知 a<0, 3-a 2a ≤-1 , 解 得 -3≤a<0.综上,a 的取值范围为 [-3,0]. 13.解:(1)如图所示,根据偶函数的图象 关于y 轴对称,可作出f(x)的图象, 当x ≤0时,设函数f(x)=ax2+ bx+c,由图象可得 f(0)=c=0, f(-1)=a-b+c= -1, f(-2)=4a-2b+c=0, 解得 a=1, b=2, c=0. 所以f(x)=x2+2x, 当x>0时,则-x<0,因为函数f(x) 为偶函数,所以f(x)=f(-x)= x2-2x, 所以函数f(x)的解析式为f(x)= x2+2x,x ≤0, x2-2x,x >0, 可得f(x)的单调递减区间为[0,1] 和(-∞,-1]. (2)当x∈[1,2]时,g(x)=f(x)- 2ax+1=x2-2(a+1)x+1, 可得其对称轴方程为x =a+1且开 口向上, ① 当a+1≤ 3 2 时,即a≤ 1 2 时, g(x)max =g(2)=1-4a; ② 当a+1> 3 2 时,即a> 1 2 时, g(x)max =g(1)= -2a, 综上可得, g(x)max = 1-4a,a≤ 1 2 , -2a,a> 1 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 14.解:(1)依题意,利用利润等于收入减 去成本,可得 当0<x≤40时,W(x)=xR(x)- (80x+200)= x(2 000-30x)- 80x-200= -30x2+1 920x-200; 当x>40时,W(x)=xR(x)-(80x+ 200)=x 37 000 x - 200 000 x2 -80x - 200= - 200 000 x -80x+36 800. 所以W(x)= -30x2+1 920x-200,0<x≤40, - 200 000 x -80x+36 800,x>40. (2)当 0 < x ≤ 40 时,W(x)= -30x2+1 920x-200= -30(x- 32)2+30 520, 所以当x =32时,W(x)max =30 520; 当x >40时,W(x)= - 200 000 x - 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -573- hhh 80x+36 800= -80 2 500 x +x + 36 800 ≤-80×2 2 500 x ·x + 36 800=28 800, 当且仅当2 500 x =x ,即x =50时,等 号成立,此时W(x)max =28 800. 因为30 520>28 800, 所以当年产量为32万个时,利润最 大,最大利润为30 520万元. 课时作业10 幂函数 1.D 设f(x)=xα,则2α = 1 4 ,α= -2, 即f(x)=x-2,它是偶函数,单调递增 区间是(-∞,0). 2.B 由题意得m2-4m+4=1,m2- 6m+8>0,解得m =1. 3.B 根据题意,得 n2+2n-2=1, n2-3n<0, n∈Z, 解得 n= -3或n=1, 0<n<3, n∈Z, 符合条件的n 的值为1.故选B. 4.D 因 为 函 数y =x 1 2 的 定 义 域 为 [0,+∞),且在定义域内为增函数,所 以不等式等价于 2m+1≥0, m2+m-1≥0, 2m+1>m2+m-1, 解得 m ≥- 1 2 , m ≤- 5-1 2 或m ≥ 5-1 2 , -1<m <2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即 5-1 2 ≤m <2. 故选D. 5.B w = 1 300 · v 2 v-40= 1 300 · (v-40)2+80(v-40)+1 600 v-40 = 1 300 (v-40)+ 1 600 v-40+ 80 ,因 为 60≤v≤120,所以20≤v-40≤80, 则 1 300 (v-40)+ 1 600 v-40+ 80 ≥ 1 300 2 (v-40)· 1 600 v-40+ 80 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 = 8 15 ,当且仅当v-40= 1 600 v-40 ,即v= 80时取等号,所以当每千米油费最低 时,v=80 km/h.故选B. 6.A 由f(x)=x+ 4 x 得,f'(x)= x2-4 x2 ,当x∈ 1 2 ,1 时,f'(x)<0, ∴f(x)在 1 2 ,1 上单调递减,∴f(1)= 5是函数f(x)的最小值,当x∈[2,3] 时,g(x)=2x+a 为增函数, ∴g(2)=a+4是函数g(x)的最小 值,又 ∵∀x1∈ 1 2 ,1 ,∃x2∈[2, 3],使得f(x1)≥g(x2),可得f(x) 在x1 ∈ 1 2 ,1 的 最 小 值 不 小 于 g(x)在x2∈[2,3]的最小值,即5≥ a+4,解得a≤1.故选A. 7.BC 由幂函数的定义可知m-2=1, 所以m =3,所以f(x)=x3,故A错 误;由f(x)=x3 可知其定义域为R, 故B正确;f(x)=x3 为奇函数,所以 f(-x)= -f(x),故 C 正 确;将 f(x)=x3 的图象向左平移1个单位 长度得到函数y=(x+1)3的图象,故 D错误.故选BC. 8.BCD f(x)= x2+1 |x| =| x|+ 1 |x| , 对于 A,定 义 域 为 {x|x ≠0},且 f(-x)=|x|+ 1 |x| =f (x),故 f(x)是偶函数,故A错误;对于B,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x+ 1 x ≥2 , 当x =1时,取得最小值,故B正确;对 于C,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x+ 1 x ,f'(x)=1- 1 x2 = x2-1 x2 ,当x∈ (0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1) 上为减函数,而f(x-1)可以由f(x) 向右平移1个单位长度得到,故f(x- 1)在区间(1,2)上单调 递 减,故C正 确;对 于 D,当 x ∈ (0,+ ∞)时, f'(x)= x2-1 x2 ,当 x ∈ (0,1)时, f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函 数,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故 f(x)在(1,+∞)上为增函数,故x= 1为极小值点,且当x∈(0,+∞)时只 有一 个 极 小 值 点,因 为f(x)是 偶 函 数,所以f(x)有两个极值点,故D正 确.故选BCD. 9.AD 由 双 勾 函 数 的 性 质 可 得,f(x) 在(0,a)上单调递减,在(a,+∞) 上单调递增.① 当0< a ≤2,即0< a≤4时,f(x)在[2,4]上单调递增, f(x)max-f(x)min =f(4)-f(2)= 4+ a 4-2- a 2 =2- a 4 =1 ,解得a= 4,满足题意;② 当 a ≥4,即a≥16 时,f(x)在[2,4]上单调递减,f(x)max- f(x)min =f(2)-f(4)=2+ a 2-4- a 4 = a 4-2=1 ,解得a=12,不满足 题意,舍去;③ 当2< a <4,即4< a<16时,f(x)在[2,a]上单调递 减,在(a,4]上单调递增,f(x)min = f(a)=2a,a.当f(4)=4+ a 4 ≥ f(2)=2+ a 2 时,即4<a≤8时, f(x)max =f(4)=4+ a 4 ,故f(x)max- f(x)min =f(4)-f(a)=4+ a 4- 2a =1,解得a=4或a=36,均不满 足题意,舍去,b.当f(4)=4+ a 4 < f(2)=2+ a 2 ,即8<a <16时, f(x)max = f(2)= 2+ a 2 ,从 而 f(x)max-f(x)min =f(2)-f(a)= 2+ a 2-2a =1 ,解得a=6-42(舍 去),a=6+42,满足题意.综上所述, a的值所组成的集合为{4,6+42}.故 选AD. 10.[4,5] 解析:f(x)= x2+4 x =x+ 4 x ,x∈ [1,2],设1≤x1 <x2 ≤2, 则f(x1)-f(x2)= x1+ 4 x1 - x2+ 4 x2 =(x1-x2)+ 4x1-4x2 = (x1-x2)1- 4 x1x2 .∵1≤x1 < x2≤2,∴x1-x2<0, 4 x1x2 >1,即 1- 4 x1x2 <0,∴f(x1)-f(x2)> 0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)= x+ 4 x 在区间[1,2]上单调递减.又 f(1)=5,f(2)=4,∴f(x)∈ [4, 5],即函 数 在 区 间[1,2]上 的 值 域 是 [4,5]. 11.(-∞,3] 解析:由题意可得 ∀x ∈ (2,4),x+ 2 x >a 是真命题,因为f(x)=x+ 2 x 在(2,4)上单调递增,则f(x)>f(2)= 3,可得a≤3,所以实数a 的取值范围 是(-∞,3]. 12.3 解析:依 题 意 得 Q a3 ,a ,P a, 1 a ,则 |AQ|+|CP|= a3 + 1 a = a 3 + 1 a ,记 a =t(t>1), f(t)=|AQ|+|CP|,则f(t)= t 3 + 1 t ,所以f(t)= t 3 + 1 t ≥2 1 3 , 当且仅当 t 3 = 1 t ,即t2 = 3时取等 号,此时a= 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -574-