课时作业8 函数的奇偶性、周期性、对称性-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

第二章 函数的概念与基本初等函数 3 课时作业8 函数的奇偶性、周期性、对称性 一、单项选择题 1.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上 单调递增的是 ( ) A.y= 1 x B.y=|x|-1 C.y=lg x D.y= 1 2 |x| 2.(2023·山 东 青 岛 模 拟)已知f(x)=x5 + ax3+bx-8(a,b是常数),且f(-3)=5,则 f(3)= ( ) A.21 B.-21 C.26 D.-26 3.“a=0”是“函数f(x)=(x-a)3(x∈R)为奇 函数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0]上 单调递减,若f(-2)=1,则满足|f(2x)|≤1 的x 的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.[-2,2] C.(-∞,-1]∪ [1,+∞) D.(-∞,-2]∪ [2,+∞) 5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x ≤0 时,f(x)=x2- 1 2x ,则f(1)= ( ) A.- 3 2 B.- 1 2 C.32 D. 1 2 6.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+ 1)是偶函数,且当x∈(0,1]时,f(x)=x2,则 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023)= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.1 012 二、多项选择题 7.函数f(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数, f(x+1)是偶函数,则 ( ) A.f(0)=1 B.f(x)是周期函数 C.f(x+3)为奇函数 D.f(x+5)为偶函数 8.(2024·九省联考)已知函数f(x)的定义域为 R,且f 1 2 ≠0,若f(x+y)+f(x)f(y)= 4xy,则 ( ) A.f - 1 2 =0 B.f 1 2 =-2 C.函数fx- 1 2 是偶函数 D.函数fx+ 1 2 是减函数 9.(2023·山东师大附中第二次月考)定义在R上 的奇函数f(x)满足f(x -3)=-f(x),当 x ∈ [0,3]时,f(x)=x2-3x,则以下关于 f(x)的结论正确的有 ( ) A.周期为6 B.图象关于 32 ,0 对称 C.f(2 023)=-2 D.图象关于直线x= 3 2 对称 三、填空题 10.若函数f(x)=ax+b,x∈[a-4,a]的图象 关于原点对称,则a= ,函数g(x)= bx+ a x ,x∈[-4,-1]的值域为 . 11.设f(x)为奇函数,且当x ≥0时,f(x)= ex -1,则当x <0时,f(x)= . 12.已知函数y=f(x)图象关于点P(a,b)成中 心对称图形的充要条件是函数y=f(x + a)-b为奇函数,则函数f(x)=x3+3x2图 象的对称中心是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -303- hhh 四、解答题 13.设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)= -f(x), 当0≤x ≤1时,f(x)=x. (1)求f(π)的值; (2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴 所围成图形的面积. 14.(2023·重庆八中模拟)设f(x)是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x + 2)= -f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x ∈ [2,4]时,求f(x)的解析式. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -304- hhh 则ax1x2 -1 > 0 恒 成 立,显 然 ax1x2 >ax21 ≥a,因此a≥1,则有 a=1, 当x ∈ [1,+∞)时,函数f(x)= x+ 1 x +4 在[1,+∞)上单调递增, f(x)min =f(1)=6, 所以a=1,x∈[1,+∞)时f(x)的 最小值为6. 课时作业8 函数的奇偶性、 周期性、对称性 1.B y= 1 x 为奇函数;y=lg x 的定义 域为(0,+ ∞),不 具 备 奇 偶 性;y = 1 2 |x| 在 (0,+ ∞)上 为 减 函 数; y=|x|-1在(0,+∞)上为增函数, 且在定义域上为偶函数. 2.B 设g(x)=x5+ax3+bx,则g(x) 为奇函数.由题设可得f(-3)=g(-3)- 8=5,得g(-3)=13.又因为g(x)为 奇函 数,所 以 g(3)= -g(-3)= -13,于是f(3)=g(3)-8= -13- 8= -21. 3.C 因为函数f(x)=(x-a)3为奇函 数 ⇔f(x)定义域为 R,关于(0,0)对 称.当 a = 0 时,f(x)= x3,则 f(-x)= (-x)3=-x3= -f(x), 故 函 数 f(x)为 奇 函 数; 当 函 数 f(x)= (x - a)3 为 奇 函 数 时, f(-x)= -f(x),即(-x-a)3 = -(x-a)3,解得a=0.所以“a=0” 是“函数f(x)= (x-a)3(x∈R)为 奇函数”的充要条件.故选C. 4.A 根据奇函数的性质,得f(x)在 R 上单调递减,且f(2)=-1.由|f(2x)|≤ 1,得 -1≤f(2x)≤1,即 f(2)≤ f(2x)≤f(-2),所以2≥2x≥-2, 解得 -1≤x ≤1.故选A. 5.A 因为f(x)是定义在 R上的奇函 数, 所 以 f(1) = - f(- 1) = - (-1)2- 1 2 × (-1) = - 32, 故选A. 6.B 已知定义在R上的奇函数f(x),所 以f(x)= -f(-x)①,且f(0)=0,又 f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)= f(-x+1),即f(x)=f(2-x)②,所 以f(2)= f(0)=0,由 ①② 可 得 -f(-x)=f(2-x),所以 -f(2- x)=f(4-x),则f(-x)=f(4- x),则函数f(x)的周期为4,当x ∈ (0,1]时,f(x)=x2,则f(1)=1,所 以f(-1)= -f(1)= -1=f(3), 所以 f(0)+f(1)+f(2)+ … + f(2 023) = 506[f(0) + f(1) + f(2)+f(3)]=0.故选B. 7.BD 因为f(x+1)是偶函数,所以函 数f(x)的图象关于直线x =1对称, 即f(-x)=f(2+x),又函数f(x)是 定义在R上的奇函数,所以f(-x)= -f(x),f(0)=0,于是f(2+x)= -f(x),即 有f(4+x)= -f(x + 2)=f(x),所以函数f(x)的一个周 期为4,故A错误,B正确;设g(x)= f(x+3),则g(-x)=f(-x+3)= f(-1+x)=f(x+3),即g(x)= g(-x),所以f(x+3)为偶函数,故 C错 误;设 h(x)= f(x +5),则 h(-x)=f(-x+5)=f(x-3)= f(x+5),即h(x)=h(-x),所 以 f(x+5)为偶函数,D正确.故选BD. 8.ABD 令x= 1 2 ,y=0,则有f 1 2 + f 1 2 ×f(0)=f 12 [1+f(0)]= 0,又f 1 2 ≠0,故1+f(0)=0,即 f(0)= -1,令x = 1 2 ,y= - 1 2 ,则 有f 1 2 - 1 2 +f 12 f - 12 = 4 × 1 2 × - 1 2 , 即 f(0)+ f 1 2 f - 12 = -1,由 f(0)= -1,可 得 f 1 2 f - 12 =0,又 f 1 2 ≠0,故f - 12 =0,故A正 确;令y = - 1 2 ,则 有f x- 1 2 + f(x)f - 1 2 = 4x × - 12 ,即 f x- 1 2 = -2x,故 函 数 f x - 1 2 是奇函数,有f x+1- 12 = -2(x + 1) = - 2x - 2, 即 f x+ 1 2 = -2x - 2, 即 函 数 f x+ 1 2 是 减 函 数,令 x =1,有 f 1 2 = -2×1= -2,故B正确, C错误,D正确.故选ABD. 9.ACD 因为f(x)满足f(x -3)= -f(x),所以f(x -6)= -f(x - 3)=f(x),故函数f(x)是周期为6 的周 期 函 数,故 A 正 确;由 题 意 得 f(x-3)= -f(x)=f(-x),所以 根据周期性得f(x+3)=f(-x),所 以 f x+ 3 2 = f 32 -x ,所 以 f(x)的图象关于直线x = 3 2 对称, 故B错误,D正确;对于C,结合周期性 得f(2 023)= f(337×6+1)= f(1)=1-3= -2,故C正确. 10.2 -2,- 1 2 解析:由题意,可得a-4+a =0,即 a=2,则函数f(x)=2x+b,其定义 域为[-2,2],所 以f(0)=0,所 以 b=0,所以g(x)= 2 x ,易知g(x)在 区间[-4,-1]上单调递减,其值域为 -2,- 1 2 . 11.-e-x +1 解析:当x <0时,-x >0,因为当 x ≥ 0 时,f(x)= ex -1,所 以 f(-x)=e-x -1.又因为f(x)为奇 函数,所 以 f(x)= -f(-x)= -e-x +1. 12.(-1,2) 解析:设函数f(x)=x3+3x2 图象 的对 称 中 心 为 (a,b),则 函 数 y = f(x+a)-b为奇函数, 由f(-x+a)-b= -[f(x+a)- b],得(-x +a)3 +3(-x +a)2 - b= -[(x+a)3+3(x+a)2-b], 整理得(3a+3)x2+a3+3a2-b=0, 所以 3a+3=0, a3+3a2-b=0, 解得 a= -1, b=2, 所以函数f(x)=x3+3x2 图象的对 称中心是(-1,2). 13.解:(1)由f(x +2)= -f(x),得 f(x+4)=f((x+2)+2)= -f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函 数,又f(x)为奇函数,所以f(π)= f(-1×4+π)= f(π-4)= -f(4-π)= -(4-π)=π-4. (2)由f(x)是奇函数且f(x+2)= -f(x),得f((x-1)+2)= -f(x-1)=f(-(x-1)), 即f(1+x)=f(1-x).故函数y= f(x)的图象关于直线x=1对称.又 当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x) 的图象关于原点对称,则f(x)的图 象如图所示. 当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为S,则 S = 4S△OAB =4× 1 2 ×2×1 =4. 14.解:(1)证明:∵f(x+2)= -f(x), ∴f(x+4)= -f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)∵x ∈ [2,4],∴ -x ∈ [-4, -2],∴4-x ∈ [0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2 = -x2+6x-8. ∵f(4-x)=f(-x)= -f(x), ∴-f(x)= -x2+6x-8, 即当 x ∈ [2,4]时,f(x)= x2 - 6x+8. 课时作业9 二次函数 1.A 因为y = x -x = -(x)2+ x = - x - 1 2 2 + 1 4 (x >0), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -572-