课时作业7 函数的单调性与最值-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

第二章 函数的概念与基本初等函数 3 课时作业7 函数的单调性与最值 一、单项选择题 1.(2023·河北邯郸模拟)下列函数中,在(0, +∞)上单调递增的是 ( ) A.y=-x2+1 B.y=|x-1| C.y=x3 D.y=2-x 2.若奇函数f(x)在区间[a,b](a>0)上是增函 数,则它在区间[-b,-a]上是 ( ) A.增函数且最大值是f(-a) B.增函数且最小值是f(-a) C.减函数且最大值是f(-b) D.减函数且最小值是f(-b) 3.设函数f(x)= 2x x-2 在区间[3,4]上的最大值 和最小值分别为M,m,则M +m= ( ) A.4 B.6 C.10 D.24 4.(2023·山东烟台模拟)若函数f(x)=x2- 2x+m 在[3,+∞)上的最小值为1,则实数m 的值是 ( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.1 5.已知f(x)是R上的单调函数,若f(f(x)- x)=2,则g(x)=f (x)-2 f(x) 的值域为 ( ) A.[-1,0) B.[-1,1) C.(-1,1) D.[-1,+∞) 6.(2023·湖南永州三模)若函数y=f(x)和y= f(-x)在区间[m,n]上的单调性相同,则把 区间[m,n]叫做y=f(x)的“稳定区间”.已知 区间[1,2 023]为函数y= 1 2 x +a 的“稳 定区间”,则实数a的可能取值是 ( ) A.- 9 4 B.- 5 4 C.12 D. 3 2 二、多项选择题 7.(2023·辽宁沈阳模拟)下列函数中,在(2,4) 上是减函数的是 ( ) A.y= 1 3 x B.y=log2(x2+3x) C.y= 1 x-2 D.y=cos x 8.已知函数f(x)= ax+2 x+2 (a∈R),则下列说法 正确的是 ( ) A.f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞) B.f(x)在[-1,0]上的值域为[2-a,1] C.若f(x)在(-∞,-2)上单调递减,则a<1 D.若a>1,则f(x)在定义域上单调递增 9.下列关于函数y=ax+1,x∈[0,1]的说法正 确的是 ( ) A.当a<0时,此函数的最大值为1,最小值为 a+1 B.当a<0时,此函数的最大值为a+1,最小 值为1 C.当a>0时,此函数的最大值为1,最小值为 a+1 D.当a>0时,此函数的最大值为a+1,最小 值为1 三、填空题 10.函数f(x)=log1 4 (6x-5x2)的单调递增区间 为 . 11.若函数y=x+ a-1 x (a>1)在区间(0,3)上 单调递减,则a的取值范围为 . 12.设函数f(x)= -x2+4x,x ≤4, log2x,x >4. 若函数 y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实 数a的取值范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -301- hhh 四、解答题 13.讨论函数f(x)= ax+1 x+2 a≠ 1 2 在(-2,+∞) 上的单调性. 14.已知函数f(x)= x2+4x+ 1 a x (a>0). (1)当a=2时,试判断f(x)在x∈[1,+∞) 上的单调性,并证明; (2)若x ∈ (0,1]时,f(x)是减函数,x ∈ [1,+∞)时,f(x)是增函数,试求a 的值及 x ∈ [1,+∞)时f(x)的最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -302- hhh 13.解:因为关于x 的方程x2 + (m - 2)x+5-m =0的两根都大于2, 令f(x)=x2+(m-2)x+5-m, 所以有 f(2)=4+2m-4+5-m >0, - m-2 2 >2 , Δ = (m-2)2-20+4m ≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 m >-5, m <-2, m ≥4或m ≤-4, 所以-5<m ≤-4. 14.解:(1)根据题意得 - 16-4a+b=0, -4+2a+b=0, 解得a= -2,b=8. (2)当b=a+1时,-x2+ax+b> 0⇔x2-ax-(a+1)<0, 即[x-(a+1)](x+1)<0. 当a+1= -1,即a= -2时,原不等 式的解集为 ⌀; 当a+1<-1,即a<-2时,原不等 式的解集为(a+1,-1); 当a+1>-1,即a>-2时,原不等 式的解集为(-1,a+1). 综上,当a<-2时,不等式的解集为 (a+1,-1); 当a= -2时,不等式的解集为 ⌀; 当a>-2时,不等式的解集为(-1, a+1). 第二章 函数的概念 与基本初等函数 课时作业6 函数的概念及其表示 1.D 由题意得 4-x2 ≥0, x ≠0, 所以 -2≤x ≤2, x ≠0, 所以f(x)的定义域为 [-2,0)∪ (0,2].故选D. 2.A 令2x -1=3,得 x =2,则 f(3)=22-3=1.故选A. 3.A 当x0 ≥1时,f(x0)=2x0-3, ∴2x0-3=1,∴x0=2;当x0<1时, f(x0)=x20-2x0-2,∴x20-2x0- 2=1,解得x0 =3(舍去),x0 = -1. 故选A. 4.B 若函数y =f(x)的定义域是[1, 2],则1≤ x ≤2,解得1≤x≤4,故 函数y =f(x)的定义域是[1,4]. 5.B 设t= x +1,t≥1,则 x =t- 1,x=(t-1)2,所以f(t)=(t-1)2+ 3,即f(x)= (x-1)2+3(x≥1),所 以f(x+1)=(x+1-1)2+3=x2+ 3,由x+1≥1,得x≥0,所以f(x+ 1)=x2+3(x ≥0).故选B. 6.C ∵f(2x)=2f(x),且当1≤x<2 时,f(x)=x2,∴f(3)=2f 3 2 = 2× 3 2 2 = 9 2. 7.CD 对 于 A,f(x)的 定 义 域 为{x| x≠0},g(x)的定义域为{x|x>0}, 两个函数的定义域不相同,不 是 同 一 个函数;对于B,f(x)的定义域为 R, g(x)的定义域为{x|x ≥0},两个函 数的定义域不相同,不是同一个函数; 对于C,g(x)= 3 x3 =x(x∈R),两 函数的定义域和对应关系 相 同,是 同 一个函数;对 于 D,g(x)=loga x = x,x∈R,两个函数的定义域和对应关 系相同,是同一个函数.故选CD. 8.BC 由函数f(x)= x+2,x ≤-1, x2+1,-1<x <2 知,定 义 域 为 (-∞,-1]∪(-1,2),即(-∞,2),故 A错误;当x≤-1时,f(x)=x+2∈ (-∞,1],当-1<x<2时,x2∈[0, 4),故f(x)=x2+1∈[1,5),故值域 为(- ∞,5),故 B正 确;由 B可 知 当 f(x)=3时,x∈(-1,2),即f(x)= x2+1=3,解 得 x = 2 或 x = - 2(舍去),故C正 确;由B可 知 当 f(x)=2时,x∈(-1,2),即f(x)= x2+1=2,解得x =1或x = -1(舍 去),故f(x)的图象与直线y=2有一 个交点,故D错误.故选BC. 9.AD 对于A,y=3-x 的定义域与值 域均为 R;对于B,y=2x-1(x>0)的 定义 域 为 (0,+ ∞),值 域 为 12, +∞ ;对于C,y=x2+2x-10的定 义域为 R,值域为[-11,+∞);对于 D,y = x,x ≤0, 1 x ,x >0 的定义域和值域均 为R.所以定义域与值域相同的函数是 A,D,故选AD. 10.f(x)=x2-x+1 解析:由题意,设f(x)=ax2+bx+ c(a≠0),因为f(0)=1,即c=1,所 以f(x)=ax2+bx+1,所以f(x+ 1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+ 1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b= 2x,从而有 2a=2 , a+b=0, 解得a =1, b= -1,所以f(x)=x2-x+1. 11.1 解析:当a≥0时,f(a)=a+1=2, 解得a =1,符合条件.当a<0时, f(a)=4a=2,解得a= 1 2 ,不符合 条件,所以实数a=1. 12.(-∞,2) 解析:当x<0时,f(x)= -f(-x) = -[-x(-x-1)]= -x(x+1), ①若x<0,则x-1<-1,由f(x)+ f(x-1)<2得-x(x+1)-(x- 1)x <2,即-2x2<2,即x2>-1, 此式恒成立,此时x <0. ② 若x≥1,则x-1≥0,由f(x)+ f(x-1)<2得x(x -1)+ (x - 1)(x-2)<2,即x2-2x<0,即0< x <2,此时1≤x <2. ③ 若0≤x <1,则x -1<0,由 f(x)+f(x-1)<2得x(x-1)- (x-1)x <2,即0<2,此时不等式 恒成立,此时0≤x<1.综上得x< 2,即不等式的解集为(-∞,2). 13.解:(1)因为A ={x|4-x2≥0}= [-2,2], B = {x |x2 +6x +8 > 0}= (-∞,-4)∪ (-2,+∞), 所以A ∩B = (-2,2], 又因为“x∈A∩B”是“x∈C”的充 分条件,可得(A ∩B)⊆C, 则 3-2m ≤2+m, 3-2m ≤-2, 2+m ≥2, 解得m ≥ 52, 所以m 的取值范围为 52 ,+∞ . (2)因为B ∪C =R, 则 3-2m ≤2+m, 3-2m ≤-4, 2+m ≥-2, 解得m ≥ 72, 可得2+m ≥ 11 2 ,3-2m ≤-4, 因为y = 6x-17 3-x , 可得x = 3y+17 y+6 , 由x>2且x≠3可得 3y+17 y+6 > 2, 解得y<-6或y>-5, 所以D =(-∞,-6)∪(-5,+∞), 又因为C⊆D,则3-2m >-5,解得 m <4, 综上可知m 的取值范围为 72 ,4 . 14.解:(1)因为f(x)= 1-x 1+x (x∈R且 x ≠-1),g(x)=x2-1(x ∈R), 所以f(2)= 1-2 1+2= - 1 3 ,g(3)= 32-1=8. (2)由 (1)得 f(g(3))= f(8)= 1-8 1+8= - 7 9 , f(g(x))=f(x2-1)= 1-x2+1 1+x2-1 = 2-x2 x2 = 2 x2 -1(x ∈R且x ≠0). (3)因为f(x)= 1-x 1+x = 2-(1+x) 1+x = 2 1+x- 1≠-1, 所以f(x)的值域为{y|y ∈ R 且 y≠-1}, 因为g(x)=x2-1≥-1, 所以g(x)的值域为[-1,+∞). 课时作业7 函数的单调性与最值 1.C 函数y= -x2+1在(0,+∞)上 单调 递 减,A 不 符 合 题 意;由 于 函 数 y=|x-1|的图象关于直线x=1对 称,在(1,+∞)上单调递增,B不符合 题 意;当x∈(0,+∞)时,函数y=x3 的导数为y'=3x2 >0,因此函数在 (0,+∞)上单调递增,故C满足题意; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -570- 参 考 答 案 函数y=2-x = 1 2 x 在区间(0,+∞) 上单调递减,D不符合题意.故选C. 2.A ∵f(x)为奇函数,且在区间[a,b] 上 是 增 函 数,∴f(x)在 区 间 [-b, -a]上 是 增 函 数,∴f(x)在 区 间 [-b,-a]的最小值为f(-b),最大值 为f(-a). 3.C 因为f(x)= 2(x-2)+4 x-2 = 2+ 4 x-2 ,所 以f(x)在[3,4]上 是 减 函 数.所以m =f(4)=4,M =f(3)= 6.所以 M +m =6+4=10.故选C. 4.B 因为f(x)= (x-1)2+m-1在 [3,+∞)上为单调增函数,且f(x)在 [3,+∞)上的最小值为1,所以f(3)=1, 即m = -2.故选B. 5.B 令t=f(x)- x,所以f(x)= t+ x,则令x =t,所以f(t)=t+ t,又因为f(f(x)- x)=2,所以 f(t)=2,所以t+t=2,解得t=1, 所以f(x)=1+ x,所以g(x)= 1+ x -2 1+ x =1- 2 1+ x ,因为x≥0, x +1≥1,0< 1 x +1 ≤1,-2≤ - 2 x +1 <0,-1≤1- 2 x +1 <1. 所以g(x)的值域为[-1,1).故选B. 6.B 因为y=f(x)= 1 2 x +a , 则f(-x)= 1 2 -x +a =|2x + a|,由题意得f(x)= 1 2 x +a 与 f(-x)=|2x +a|在区间[1,2 023] 上同 增 或 同 减.若 两 函 数 同 增,则 1 2 x +a≤0, 2x +a≥0 在区间[1,2 023]上 恒 成 立,即 a≤- 1 2 , a≥-2, 所 以 -2 ≤ a≤- 1 2. 若两函数同减,则 1 2 x +a≥0, 2x +a≤0 在区间[1,2 023]上 恒 成 立, 即 a≥- 1 2 2 023 , a≤-22 023, 无 解. 综上,实数a的取值范围是 -2,-12 , 对照选项中的a 值,所以只有B符合 题意. 7.AC 根 据 指 数 函 数 的 性 质 得 y = 1 3 x 在(2,4)上 是 减 函 数,符 合 题 意;根据复合函数的单调性可知y = log2(x2+3x)在(2,4)上是增函数, 不符合题意;根据反比例函数的性质 及函数图象的平移得y= 1 x-2 在(2, 4)上是减函数,符合题意;根据余弦函 数的性质得,y =cos x 在(2,4)上先 减后增,不符合题意.故选AC. 8.AC 对于A,由x+2≠0得x≠-2, 则f(x)的 定 义 域 为(- ∞,-2)∪ (-2,+ ∞),故 A 正 确;对 于 B, f(x)= ax+2 x+2 = a+ 2-2a x+2 ,由x∈ [-1,0],可 得 x +2 ∈ [1,2],则 1 x+2 ∈ 1 2 ,1 , 当 a = 1 时, f(x)=1,则f(x)在[-1,0]上的值 域为{1};当a<1时, 2-2a x+2∈ [1-a, 2-2a],a+ 2-2a x+2 ∈ [1,2-a],即 f(x)在[-1,0]上 的 值 域 为 [1,2- a];当a>1时, 2-2a x+2 ∈ [2-2a,1- a],a+ 2-2a x+2 ∈ [2-a,1],即f(x) 在[-1,0]上的值域为[2-a,1].综 上,当a=1时,f(x)在[-1,0]上的 值域为{1};当a<1时,f(x)在[-1, 0]上的值域为[1,2-a];当a>1时, f(x)在[-1,0]上的值域为[2-a, 1], 故 B 错 误; 对 于 C,f(x)= ax+2 x+2 = a + 2-2a x+2 ,若 f(x)在 (-∞,-2)上单调递减,则2-2a>0, 解得a<1,故C正确;对于D,f(x)= ax+2 x+2 = a+ 2-2a x+2 ,则a >1时, f(x)在(-∞,-2)和(-2,+∞)上单 调递增,故D错误.故选AC. 9.AD 当a<0时,函数y=ax+1为 减函数,所以当x =0时,ymax =1,当 x =1时,ymin=a+1,故A正确,B错 误;当a>0时,函数y=ax+1为增 函数,所 以 当x =0时,ymin =1,当 x =1时,ymax=a+1,故C错误,D正 确.故选AD. 10. 35 ,6 5 解析:令6x-5x2 >0,得0<x < 6 5 ;而此时y=6x-5x2 的单调递增 区 间 为 0,35 ,单 调 递 减 区 间 为 3 5 ,6 5 ,函数f(x)=log14x 是单 调减函数,故函数f(x)=log1 4 (6x- 5x2)的单调递增区间为 35 ,6 5 . 11.[10,+∞) 解析:由 双 勾 函 数 的 性 质 可 知 函 数 y=x+ a-1 x (a>1)在(0, a-1] 上单调递减,在( a-1,+∞)上单 调递增,因为函数y=x+ a-1 x (a> 1)在 区 间 (0,3)上 单 调 递 减,所 以 a-1≥3,解得a≥10. 12.(-∞,1]∪ [4,+∞) 解析:作出函数f(x)的图象如图所 示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上 单调递增,需满足a≥4或a+1≤2, 即a≤1或a≥4. 13.解:∵ 函数f(x)= ax+1 x+2 = a(x+2)-2a+1 x+2 = a+ 1-2a x+2 , ∴ 任 取 x1,x2 ∈ (-2,+ ∞),且 x1 <x2, 则f(x1)-f(x2)= a+ 1-2a x1+2 - a+ 1-2a x2+2 =1-2ax1+2-1-2ax2+2= (1-2a)(x2-x1) (x1+2)(x2+2) , ∵-2<x1 <x2,∴x2-x1 >0, (x1+2)(x2+2)>0, ∴ 当1-2a>0,即a< 1 2 时, f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)> f(x2),∴f(x)在(-2,+∞)上是减 函数; 当1-2a<0,即a> 1 2 时, f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)< f(x2),∴f(x)在(-2,+∞)上是增 函数. 14.解:(1)当a=2时,函数f(x)=x+ 1 2x+4 ,f(x)在区间[1,+∞)上单调 递增. 证明:设1≤x1 <x2 时,则x1 - x2 < 0,0 < 1 2x1x2 < 1 2 ,1 - 1 2x1x2 >0, 则f(x1)-f(x2)= (x1 -x2)+ 1 2x1 - 1 2x2 = (x1-x2)1- 1 2x1x2 <0, 所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在 区间[1,+∞)上单调递增. (2)由x ∈ (0,1]时,f(x)是减函数 知,0 < x1 < x2 ≤ 1,f(x1)- f(x2)= (x1-x2) ax1x2-1 ax1x2 > 0恒成立, 而a>0,则ax1x2-1<0恒成立,显 然ax1x2 <ax22 ≤a,因此a≤1, 由x ∈ [1,+∞)时,f(x)是增函数 知,1≤x1 <x2,f(x1)-f(x2)= (x1-x2) ax1x2-1 ax1x2 <0恒成立, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -571- hhh 则ax1x2 -1 > 0 恒 成 立,显 然 ax1x2 >ax21 ≥a,因此a≥1,则有 a=1, 当x ∈ [1,+∞)时,函数f(x)= x+ 1 x +4 在[1,+∞)上单调递增, f(x)min =f(1)=6, 所以a=1,x∈[1,+∞)时f(x)的 最小值为6. 课时作业8 函数的奇偶性、 周期性、对称性 1.B y= 1 x 为奇函数;y=lg x 的定义 域为(0,+ ∞),不 具 备 奇 偶 性;y = 1 2 |x| 在 (0,+ ∞)上 为 减 函 数; y=|x|-1在(0,+∞)上为增函数, 且在定义域上为偶函数. 2.B 设g(x)=x5+ax3+bx,则g(x) 为奇函数.由题设可得f(-3)=g(-3)- 8=5,得g(-3)=13.又因为g(x)为 奇函 数,所 以 g(3)= -g(-3)= -13,于是f(3)=g(3)-8= -13- 8= -21. 3.C 因为函数f(x)=(x-a)3为奇函 数 ⇔f(x)定义域为 R,关于(0,0)对 称.当 a = 0 时,f(x)= x3,则 f(-x)= (-x)3=-x3= -f(x), 故 函 数 f(x)为 奇 函 数; 当 函 数 f(x)= (x - a)3 为 奇 函 数 时, f(-x)= -f(x),即(-x-a)3 = -(x-a)3,解得a=0.所以“a=0” 是“函数f(x)= (x-a)3(x∈R)为 奇函数”的充要条件.故选C. 4.A 根据奇函数的性质,得f(x)在 R 上单调递减,且f(2)=-1.由|f(2x)|≤ 1,得 -1≤f(2x)≤1,即 f(2)≤ f(2x)≤f(-2),所以2≥2x≥-2, 解得 -1≤x ≤1.故选A. 5.A 因为f(x)是定义在 R上的奇函 数, 所 以 f(1) = - f(- 1) = - (-1)2- 1 2 × (-1) = - 32, 故选A. 6.B 已知定义在R上的奇函数f(x),所 以f(x)= -f(-x)①,且f(0)=0,又 f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)= f(-x+1),即f(x)=f(2-x)②,所 以f(2)= f(0)=0,由 ①② 可 得 -f(-x)=f(2-x),所以 -f(2- x)=f(4-x),则f(-x)=f(4- x),则函数f(x)的周期为4,当x ∈ (0,1]时,f(x)=x2,则f(1)=1,所 以f(-1)= -f(1)= -1=f(3), 所以 f(0)+f(1)+f(2)+ … + f(2 023) = 506[f(0) + f(1) + f(2)+f(3)]=0.故选B. 7.BD 因为f(x+1)是偶函数,所以函 数f(x)的图象关于直线x =1对称, 即f(-x)=f(2+x),又函数f(x)是 定义在R上的奇函数,所以f(-x)= -f(x),f(0)=0,于是f(2+x)= -f(x),即 有f(4+x)= -f(x + 2)=f(x),所以函数f(x)的一个周 期为4,故A错误,B正确;设g(x)= f(x+3),则g(-x)=f(-x+3)= f(-1+x)=f(x+3),即g(x)= g(-x),所以f(x+3)为偶函数,故 C错 误;设 h(x)= f(x +5),则 h(-x)=f(-x+5)=f(x-3)= f(x+5),即h(x)=h(-x),所 以 f(x+5)为偶函数,D正确.故选BD. 8.ABD 令x= 1 2 ,y=0,则有f 1 2 + f 1 2 ×f(0)=f 12 [1+f(0)]= 0,又f 1 2 ≠0,故1+f(0)=0,即 f(0)= -1,令x = 1 2 ,y= - 1 2 ,则 有f 1 2 - 1 2 +f 12 f - 12 = 4 × 1 2 × - 1 2 , 即 f(0)+ f 1 2 f - 12 = -1,由 f(0)= -1,可 得 f 1 2 f - 12 =0,又 f 1 2 ≠0,故f - 12 =0,故A正 确;令y = - 1 2 ,则 有f x- 1 2 + f(x)f - 1 2 = 4x × - 12 ,即 f x- 1 2 = -2x,故 函 数 f x - 1 2 是奇函数,有f x+1- 12 = -2(x + 1) = - 2x - 2, 即 f x+ 1 2 = -2x - 2, 即 函 数 f x+ 1 2 是 减 函 数,令 x =1,有 f 1 2 = -2×1= -2,故B正确, C错误,D正确.故选ABD. 9.ACD 因为f(x)满足f(x -3)= -f(x),所以f(x -6)= -f(x - 3)=f(x),故函数f(x)是周期为6 的周 期 函 数,故 A 正 确;由 题 意 得 f(x-3)= -f(x)=f(-x),所以 根据周期性得f(x+3)=f(-x),所 以 f x+ 3 2 = f 32 -x ,所 以 f(x)的图象关于直线x = 3 2 对称, 故B错误,D正确;对于C,结合周期性 得f(2 023)= f(337×6+1)= f(1)=1-3= -2,故C正确. 10.2 -2,- 1 2 解析:由题意,可得a-4+a =0,即 a=2,则函数f(x)=2x+b,其定义 域为[-2,2],所 以f(0)=0,所 以 b=0,所以g(x)= 2 x ,易知g(x)在 区间[-4,-1]上单调递减,其值域为 -2,- 1 2 . 11.-e-x +1 解析:当x <0时,-x >0,因为当 x ≥ 0 时,f(x)= ex -1,所 以 f(-x)=e-x -1.又因为f(x)为奇 函数,所 以 f(x)= -f(-x)= -e-x +1. 12.(-1,2) 解析:设函数f(x)=x3+3x2 图象 的对 称 中 心 为 (a,b),则 函 数 y = f(x+a)-b为奇函数, 由f(-x+a)-b= -[f(x+a)- b],得(-x +a)3 +3(-x +a)2 - b= -[(x+a)3+3(x+a)2-b], 整理得(3a+3)x2+a3+3a2-b=0, 所以 3a+3=0, a3+3a2-b=0, 解得 a= -1, b=2, 所以函数f(x)=x3+3x2 图象的对 称中心是(-1,2). 13.解:(1)由f(x +2)= -f(x),得 f(x+4)=f((x+2)+2)= -f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函 数,又f(x)为奇函数,所以f(π)= f(-1×4+π)= f(π-4)= -f(4-π)= -(4-π)=π-4. (2)由f(x)是奇函数且f(x+2)= -f(x),得f((x-1)+2)= -f(x-1)=f(-(x-1)), 即f(1+x)=f(1-x).故函数y= f(x)的图象关于直线x=1对称.又 当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x) 的图象关于原点对称,则f(x)的图 象如图所示. 当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为S,则 S = 4S△OAB =4× 1 2 ×2×1 =4. 14.解:(1)证明:∵f(x+2)= -f(x), ∴f(x+4)= -f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)∵x ∈ [2,4],∴ -x ∈ [-4, -2],∴4-x ∈ [0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2 = -x2+6x-8. ∵f(4-x)=f(-x)= -f(x), ∴-f(x)= -x2+6x-8, 即当 x ∈ [2,4]时,f(x)= x2 - 6x+8. 课时作业9 二次函数 1.A 因为y = x -x = -(x)2+ x = - x - 1 2 2 + 1 4 (x >0), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -572-