课时作业4 基本不等式-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 3 课时作业4 基本不等式 一、单项选择题 1.下列不等式恒成立的是 ( ) A.ba + a b ≥2 B.ab≥ a+b 2 2 C.a+b≥2 |ab| D.a2+b2≥-2ab 2.若x ∈R,则“x >0”是“ x2+1 x ≥2 ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是 ( ) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ 4 |sin x| C.y=2x +22-x D.y=ln x+ 4 ln x 4.已知正实数m,n满足m+n=1,则 m + n 的最大值是 ( ) A.2 B.2 C.22 D. 1 2 5.已知实数a,b满足a+b=ab(a>1,b>1), 则(a-1)2+(b-1)2 的最小值为 ( ) A.2 B.1 C.4 D.5 6.已知不等式(x+y)· 1 x + a y ≥9对任意正实 数x,y 恒成立,则正实数a的最小值为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 二、多项选择题 7.下面四个命题中,真命题是 ( ) A.若a>b且 1 a < 1 b ,则ab>0 B.若a<b<0,则a2<ab<b2 C.若a>b>c>0,则 b a < b+c a+c D.若1x+ 4 y= 1(x>0,y>0),则(x+y)min=9 8.(2023·河北张家口三模)已知x,y∈R+,x+ y=m(m 是常数),则下列结论正确的是 ( ) A.若1x + 4 y+1 的最小值为m+1,则m=3 B.若x(y+1)的最大值为4,则m=3 C.若 x + y 的最大值为m,则m=2 D.若m=4,则y 2+9 x 的最小值为2 9.已知实数a,b∈R+,且2a+b=1,则下列结论 正确的是 ( ) A.ab的最小值为18 B.a2+b2 的最小值为 1 5 C.1a+ 1 b 的最小值为6 D.b-1a-1∈ (0,2) 三、填空题 10.已知a>0,b>0,若2a+b=4,则ab的最大 值为 . 11.已知a>0,b>0,ab=4a+b+12,ab的取值 范围为 . 12.当12 <x < 5 2 时,函数y = 2x-1+ 5-2x 的最大值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -295- hhh 四、解答题 13.(1)已知x >2,求f(x)= 9 x-2+ x 的最 小值. (2)已知x,y 是正实数,且x+y=9,求 1 x + 3 y 的最小值. 14.一艘轮船在航行中每小时的燃料费p 和它的 速度x 的立方成正比.已知当速度为每小时 10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速 度无关的费用是每小时96元,现轮船航行1 海里. (1)将该轮船所需的总费用y 元表示为轮船 的速度x 海里/小时的函数; (2)轮船的速度为多少时,所需的费用总和 最小? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -296- hhh 成立,不等式c a - d b >0 两边同乘 ab,可得bc-ad>0,即ab>0, c a - d b >0⇒bc-ad>0 ;若c a - d b >0 , bc-ad > 0成 立,则 c a - d b = bc-ad ab >0 ,又bc-ad>0,则ab> 0,即ca - d b >0 ,bc-ad>0⇒ab> 0.综上可知,以三个不等式中任意两 个为条 件 都 可 推 出 第 三 个 不 等 式 成 立,故可组成的正确命题有3个. 13.解:(1)由题意知公寓窗户面积与地 板面积分别为a m2,b m2,则 a b ≥10% , a+b=220, 所以b≤ a10% =10a, 所以a+b=220≤a+10a,所以a≥ 20,所以这所公寓的窗户面积至少为 20 m2. (2)变好了.理由:由题意得0<a< b,n>0,则 a+n b+n- a b = ab+bn-ab-an b(b+n) = n(b-a) b(b+n) , 因为b>0,n>0,所以b(b+n)>0, 又因为a<b,所以n(b-a)>0. 因此a+n b+n- a b >0 ,即a+n b+n > a b , 所以窗户和地板同时增加相等的面 积,公寓的采光效果变好了. 14.解:(1)∵a>b>0,∴ a2-b2 a2+b2 >0, a-b a+b> 0, ∴ a2-b2 a2+b2 a-b a+b = (a+b)2 a2+b2 = 1 + 2ab a2+b2 >1,∴ a2-b2 a2+b2 > a-b a+b . (2)证 明:∵c < d < 0,∴ -c > -d>0,又a>b>0, ∴a-c>b-d>0,b-a<0,c- d<0,又e<0, ∴ ea-c- e b-d = e(b-d)-e(a-c) (a-c)(b-d) = e(b-d-a+c) (a-c)(b-d)= e(b-a+c-d) (a-c)(b-d)> 0, ∴ ea-c> e b-d . 课时作业4 基本不等式 1.D 对于A,当a=1,b= -1时, b a + a b = -2 ,故A错误;对于B,因为(a- b)2 ≥0,所 以a2 +b2 ≥2ab,所 以 a2+b2+2ab 4 ≥ab ,即 a+b 2 2 ≥ ab,当且仅当a=b 时取等号,故B错 误;对于C,当a= -1,b= -1时,a+ b= -2<2 |ab|=2,故C错误;对 于D,因为(a+b)2≥0,所以a2+b2+ 2ab≥0,即a2+b2≥-2ab,当且仅当 a= -b时取等号,故D正确.故选D. 2.C 当x>0时由基本不等式可得x+ 1 x ≥2 ,当且仅当x= 1 x 时取“=”,当 x2+1 x ≥2 时,x 2+1 x -2≥0 ,可得 x2-2x+1 x ≥0 ,即 (x-1)2 x ≥0 ,解 得x>0,所以“x>0”是“ x2+1 x ≥2 ” 的充要条件.故选C. 3.C 对于A,y =x2+2x+4= (x+ 1)2+3≥3,当且仅当x = -1时取等 号,所以其最小值为3,A不符合题意; 对于B,因 为0<|sin x|≤1,y = |sin x|+ 4 |sin x|≥ 24=4,当且 仅当|sin x|=2时取等号,等号取不 到,所以其最小值不为4,B不 符 合 题 意;对于C,因为函数定义 域 为 R,而 2x >0,y =2x +22-x =2x + 4 2x ≥ 24=4,当且仅当2x =2,即x=1时 取等号,所以其最小值为4,C符合题 意;对于D,y=ln x+ 4 ln x ,函数定义 域 为(0,1)∪(1,+∞),而ln x∈R且 ln x ≠0,如ln x = -1,y= -5,D不 符合题意. 4.B 由于 a+b2 2 - a2+b2 2 = - (a-b)2 4 ≤0⇒ a+b 2 2 ≤ a2+b2 2 , 所以 m + n 2 2 ≤ m+n 2 = 1 2 ,即 m + n≤ 2,当且仅当m=n= 1 2 时等号成立.故选B. 5.A 由a+b=ab(a>1,b>1)得a+ b-ab-1= -1,因 式 分 解 得(a- 1)(b-1)=1,则(a-1)2+(b-1)2≥ 2(a-1)(b-1)=2,当且仅当a = b=2时取得最小值.故选A. 6.B (x+y) 1 x + a y = 1+a· x y + y x +a≥1+a+2a = (a +1)2,当且仅当a· x y = y x ,即 ax2 = y2 时 等 号 成 立.∵(x + y) 1 x + a y ≥9对任意正实数x,y 恒成立,∴(a +1)2 ≥9,∴a≥4,即 正实数a 的最小值为4.故选B. 7.ACD 对于A,因为a>b且 1 a < 1 b , 所以a-b>0, 1 b - 1 a >0 ,所以1 b - 1 a = a-b ab >0 ,所以ab>0,所以A 正确;对于B,若a= -2,b= -1,则满 足a<b<0,此 时a2 =4,ab =2, b2 =1,则a2>ab>b2,所以B错误; 对于C,因 为a >b >c >0,所 以 b+c a+c - b a = ab+ac-ab-bc a(a+c) = c(a-b) a(a+c)> 0,所以ba < b+c a+c ,所以C 正确;对于D,因为1x + 4 y = 1(x>0, y > 0), 所 以 x + y = (x + y) 1 x + 4 y =5+ yx +4xy ≥5+ 2 yx ·4x y = 9,当且仅当yx = 4x y , 即x =3,y =6时取等号,所以D正 确.故选ACD. 8.BC 由已知得x+ (y+1) m+1 = 1, ∴ 1x + 4 y+1= 1 x + 4 y+1 · x+(y+1) m+1 = 1 m+1 · 1+4+ y+1 x + 4x y+1 ≥ 9m+1=m+1,解 得m =2,当y+1=2x 时取等号,故 A错误;x(y+1)≤ x+y+1 2 2 = 4,∴m =3,当x =y+1时取等号,故 B正确;(x + y)2 ≤2(x +y)= 2m =m2,∴m =2,当x =y 时取等 号,故 C 正 确;对 于 D,y 2+9 x = (4-x)2+9 x =x+ 25 x -8≥2 25- 8=2,当x =5时取等号,又x+y= 4,且x,y ∈R+,∴ 等号取不到,故D 错误.故选BC. 9.BD 对于A,a,b∈R+,由2a+b= 1≥2 2ab,则ab ≤ 1 8 ,当 且 仅 当 2a=b= 1 2 时等号成立,故A错误;对 于B,因为a,b∈R+,2a+b=1,所以 0<a< 1 2 ,由a2+b2 =a2+ (1- 2a)2 =5a- 2 5 2 + 1 5 ,所以当a= 2 5 时,a2+b2 有最小值 1 5 ,故B正确; 对于C,由1a + 1 b = 1 a + 1 b (2a+ b)=3+ b a + 2a b ≥3+2 b a ·2a b = 3+2 2,当 且 仅 当 b a = 2a b 即a = 2- 2 2 ,b= 2-1时,等号成立,故C 错误;对 于 D,由b-1a-1 = -2a a-1 = -2- 2 a-1 ,因为0<a< 1 2 ,所以 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -568- 参 考 答 案 -1<a-1<- 1 2 ,-2< 1 a-1< -1,可得0<-2- 2 a-1< 2,所 以 b-1 a-1∈ (0,2),故D正确.故选BD. 10.2 解析:因为a,b>0,所以2a+b = 4≥2 2a·b,解得ab≤2,当且仅当 2a=b即a=1,b=2时,等号成立. 所以ab的最大值为2. 11.[36,+∞) 解析:因为a>0,b>0,由基本不等 式可得ab=4a+b+12≥2 4ab+ 12=4 ab +12,即ab-4 ab - 12≥0,解得 ab≥6,即ab≥36,当 且仅当 b=4a, ab=36 时,即当 a=3,b=12 时, 等号 成 立.故 ab 的 取 值 范 围 是 [36,+∞). 12.22 解析:由a+b 2 ≤ a2+b2 2 ,得a+ b≤2 a2+b2 2 ,则y= 2x-1+ 5-2x ≤2 2x-1+5-2x 2 = 22, 当 且 仅 当 2x-1 = 5-2x,即x = 3 2 时等号成立. 13.解:(1)因为x-2>0, 所以f(x)= 9 x-2+ (x-2)+2≥ 2 9x-2 ·(x-2)+2=8, 当且仅当x-2= 9 x-2 时,即当x= 5时等号成立, 因此,函数f(x)= 9 x-2+ x(x > 2)的最小值为8. (2)因为x,y是正实数,且x+y=9, 所以x+y 9 =1 , 则1 x + 3 y = 1 9 (x+y) 1x +3y = 1 9 y x + 3x y + 4 ≥ 1 9 · 2 yx ·3xy +4 =4+239 , 当且仅当y x = 3x y 且x+y=9时取 等号,此时1 x + 3 y 取得最小值,为 4+23 9 . 14.解:(1)设每小时的燃料费用 p = kx3,则6=k×103,k=6×10-3,由 题意得 航 行1海 里 的 时 间 为 1x 小 时,∴y =6×10-3x3· 1 x +96 · 1 x = 3x2 500+ 96 x (x >0). (2)由(1)得y= 3x2 500+ 96 x = 3x2 500+ 48 x + 48 x ≥ 3 3 3x2 500 ·48 x ·48 x = 3 3 3×482 500 = 36 5 ,当且仅当3x 2 500 = 48 x ,即x =20时等号成立,即当x = 20时,y 取得最小值.综上,当轮船的 速度为20海里/小时时,所需的费用 总和最小. 课时作业5 一元 二次方程、不等式 1.A 由 -x2+3x +10>0得x2 - 3x-10<0,解得 -2<x <5. 2.C 因为集合B 满足A∩B = {1,2}, 且B = {x|x2+ax+b=0},所以 a= -3,b=2,所以2x2-3x+1> 0⇒(2x-1)(x-1)>0,所以不等式 的解 集 为 x x >1或x < 1 2 .故 选C. 3.D 由关于x 的不等式f(x)=x2- ax+1<0有解,得Δ= (-a)2-4> 0,解得a<-2或a>2,|a|≥2即 a≥2或a≤-2,故只有D符合必要不 充分条件.故选D. 4.B 由|x-3|<4,得-1<x <7, 因为不等式|x-3|<4的解集为{x| a<x<b},所以a= -1,b=7,所以 由(x-2)(x2-ax-b+1)≤0,得 (x-2)(x2+x-6)≤0,所以(x- 2)2(x+3)≤0,则x≤-3或x =2, 所以不等 式 的 解 集 为(- ∞,-3]∪ {2}.故选B. 5.D ∵ 关于x 的不等式x2-ax+1≥ 0在区间[1,2]上有解,∴a≤x+ 1 x 在 x∈[1,2]上有解⇔a≤ x+ 1 x max, x∈[1,2],∵ 函数f(x)=x+ 1 x 在 [1,2]上 单 调 递 增,∴f(x)max = 5 2 , ∴a≤ 5 2. 6.A 当x >0时,f(x)=x+2,代入 不等式f(x)<x2 得x+2<x2,即 (x-2)(x+1)>0,解 得x >2或 x <-1,所以不等式f(x)<x2 的解 集为(2,+∞);当x ≤0时,f(x)= x-2,代入不等式f(x)<x2 得x- 2<x2,解 得 x ∈ R,所 以 不 等 式 f(x)<x2 的解集为(-∞,0].综上, 不等式f(x)<x2 的 解 集 为(- ∞, 0]∪ (2,+∞).故选A. 7.BC 因为不等式[x]2+[x]-12≤0, 所以([x]-3)([x]+4)≤0,即-4≤ [x]≤3,又因为[x]表示不小于实数 x 的 最 小 整 数,所 以 不 等 式 [x]2 + [x]-12≤0的解可以为3,-4.5.故 选BC. 8.ABC Δ =a2-4(a-1)=a2-4a+ 4= (a-2)2,当Δ=0,即a=2时,不 等式的解集为{-1};当Δ>0,即a≠ 2时,不等式为(x+a-1)(x+1)≤0, 由于1-a 和 -1的大小不确定,所以 当1-a >-1时,不 等 式 的 解 集 为 [-1,1-a],当1-a<-1时,不等式 的解集为[1-a,-1].故选ABC. 9.ACD 原不等式等价于 (ax+b)(x-c)≥0, x-c≠0, 因为其解集为 (-∞,-2]∪(1,+∞),所以a>0且 c=1,-2a+b=0,故A正确;因为 a>0,b=2a>0,则点(a,b)在第一 象限,故B错误;由b=2a>0可得, 2a+ 1 b =2a+ 1 2a≥2 2a ·1 2a =2 , 当且仅当 2a= 1 2a , a>0, 即a = 12 时,等 号成立,所以2a+ 1 b 的最小值为2,故 C正确;由b =2a >0可得,不 等 式 ax2+ax -b≥0即 为ax2 +ax - 2a ≥ 0,化 简 可 得 x2 +x -2 ≥ 0⇒(x+2)(x-1)≥0,则其解集为 (-∞,-2]∪[1,+∞),故D正确.故 选ACD. 10.(-2,2] 解析:当a-2=0,即a=2时,-4< 0恒成立,当a-2≠0时,因为不等式 (a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一 切x ∈R恒成立.所以 a-2<0, Δ =4(a-2)2+16(a-2)<0, 解得 -2<a<2, 综上,a 的取值范围是(-2,2]. 11.-3 解析:因为函数f(x)= -x2+ax+ b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],所以 Δ =0,即a2 +4b =0,所 以b = - 1 4a 2.又关于x 的不等式f(x)> c-1的解集为(m-4,m),所以方程 f(x)=c-1的两根分别为 m -4, m,即方程 -x2+ax- 1 4a 2 =c-1 的两根分别为m-4,m,又方程-x2+ ax- 1 4a 2 =c-1的根为x = a 2 ± 1-c,所以两根之差为2 1-c = m-(m-4)=4,解得c= -3. 12.0,13 解析:∵f(x)=x2-4x-4且f(x) <1,∴x2-4x-4<1,解得-1< x <5,即x ∈ (-1,5).∵f(x)<1 在区间(m-1,-2m)上恒成立, ∴(m-1,-2m)⊆ (-1,5). ∴ -1≤m-1, m-1<-2m, -2m ≤5, 解得0≤m< 13, 即m ∈ 0, 1 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -569-