第14讲 导数（15类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（上海专版）

第14讲 导数（15类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考21题 基本不等式、极值、最值、导数的应用 2023春考21题 导数的综合应用 2022秋考18题 2022春考12题 抽象函数的性质应用 极限及其运算 2. 备考策略 1.根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：求解后验证根的合理性． 2.分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 (1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min； a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min； a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 一．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或. f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 二．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 三．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 四.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 五．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 六．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 七.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 八．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 知识讲解 考点一．平均变化率 1．（2024•奉贤区校级开学）函数从到的平均变化率是 　2　． 【分析】直接利用平均变化率的计算公式求解即可． 【解答】解：函数从到的平均变化率是． 故答案为：2． 【点评】本题考查了平均变化率的计算，解题的关键是掌握平均变化率的计算公式，属于基础题． 2．（2024春•黄浦区校级期末）函数在区间，上的平均变化率等于 　6　． 【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，在区间，上，△（4）（2）， △， 则其平均变化率， 故答案为：6． 【点评】本题考查平均变化率的计算，注意平均变化率的计算公式，属于基础题． 3．（2023春•浦东新区校级月考）函数在到之间的平均变化率为 　4　． 【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案． 【解答】解：在到之间的平均变化率为：． 故答案为：4． 【点评】本题考查函数的平均变化率的概念及的求法，注意平均变化率的计算，是基础题． 4．（2023•奉贤区校级三模）函数在区间，的平均变化率与在处的瞬时变化率相同，则正数　　． 【分析】根据已知条件，依次求出平均变化率、瞬时变化率，列出等式，即可求解． 【解答】解：函数在区间，的平均变化率为， ， 则， 故函数在处的瞬时变化率为， 由题意可知，，解得（负值舍去）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查导数的应用，属于基础题． 考点二．瞬时变化率 5．（2024•徐汇区校级模拟）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据瞬时变化率的定义求解即可． 【解答】解：气球体积在，△内平均变化率为△△， 所以当时，气球体积的瞬时变化率为△△． 故选：． 【点评】本题考查了瞬时变化率，属于基础题． 6．（2023秋•闵行区校级期末）烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为，加热后的温度函数是常数，表示加热的时间，单位：，加热到第时，水温的瞬时变化率是 　　． 【分析】根据公式和已知条件直接求解即可 【解答】解：因为水的初始温度为，所以，解得，所以， 则，所以加热到第时，水温的瞬时变化率是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查导数的应用，属于基础题． 7．（2024•浦东新区校级模拟）某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是 　　． 【分析】设时刻水面高为，水面圆半径为，用表示，求出圆锥中水的体积，根据杯中水的体积列方程求出关于的函数，利用导数求瞬时变化率即可． 【解答】解：由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为，则，即， 则此时水的体积为， 又以的匀速往杯中注水，则此时水的体积为，即， 则，所以， 当时，（3）． 故答案为：． 【点评】本题考查了导数的概念与应用问题，是基础题． 8．（2024•青浦区二模）如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率　　． 【分析】由导数物理意义，结合变化的快慢与变化率及求导公式求解即可． 【解答】解：由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为， 则， 即， 则此时水的体积为， 又以的匀速往杯中注水， 则此时水的体积为， 即， 即， 即， 又当水深为时， 即时，， 则， 即酒杯中水升高的瞬时变化率， 故答案为：． 【点评】本题考查了导数物理意义，重点考查了变化的快慢与变化率，属基础题． 考点三．变化率的极限与导数的概念 9．（2023春•上海月考）已知函数，则　　． 【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：（2）， ， 则， 故（2）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 10．（2023春•普陀区校级期末）若，则　3　． 【分析】先对求导，再结合导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：， 则， 故（1）． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题． 11．（2023春•闵行区期末）若函数，则　　． 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解． 【解答】解：因为，所以，则（1）， 所以（1）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查导数的定义，属基础题． 12．（2023春•浦东新区校级月考）已知函数是自然对数），则　　． 【分析】根据可求导得出导函数，然后即可求出（1）的值，根据导数的定义即求出的值． 【解答】解：， （1）． 故答案为：． 【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，导数的定义，考查了计算能力，属于基础题． 考点四．含Δx表达式的极限计算与导数的关系 13．（2023秋•青浦区期末）若函数在处的导数等于，则的值为　　 A．0 B． C． D． 【分析】根据导数的定义式化简求值． 【解答】解：由已知得 ． 故选：． 【点评】本题考查了导数的定义，是基础题． 14．（2023春•松江区校级月考）计算：　　 A．0 B． C． D． 【分析】根据导数的定义转化题设公式有，即可得答案． 【解答】解：由． 故选：． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 15．（2023春•浦东新区校级期末）若函数在处导数为，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 16．（2023春•嘉定区校级期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则　　． 【分析】利用导数的定义求解即可． 【解答】解：（2），（2）， 在处的切线斜率为， （2）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查导数的定义，属于基础题． 考点五．极限及其运算 17．（2024•闵行区校级三模）计算：　　 A．0 B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 18．（2023•徐汇区校级开学）法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数满足如下条件： （1）在闭区间，上是连续不断的； （2）在区间上都有导数． 则在区间上至少存在一个实数，使得（b）（a），其中称为“拉格朗日中值”．函数在区间，上的“拉格朗日中值” 　　． 【分析】．．由拉格朗日中值定理可得：在区间上至少存在一个实数，使得（1），代入即可得出． 【解答】解：，（1），． ． 由拉格朗日中值定理可得：在区间上至少存在一个实数，使得（1）， ，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了导数运算性质、拉格朗日中值定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．（2023春•长宁区校级期中）已知函数，则　　． 【分析】由导数的几何意义可得（2），再由导数的极限定义，可得所求值． 【解答】解：函数， 可得， 即为（2）， 则（2）． 故答案为：． 【点评】本题考查导数的几何意义，以及导数的极限定义，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 20．（2023•闵行区二模）　　． 【分析】表示函数在处的导数，求导计算即可． 【解答】解：，表示函数在处的导数， ，． 故答案为：． 【点评】本题考查导数的定义，属于基础题． 考点六．基本初等函数的导数 21．（2023春•长宁区校级期末）下列求导计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，由导数的计算公式依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，，错误； 对于，，正确； 对于，，错误； 对于，，错误． 故选：． 【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题． 22．（2024•浦东新区校级四模）下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】逐一求导验证可得结果． 【解答】解：，正确，错误； ，错误； ，错误． 故选：． 【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，是基础题． 23．（2023•黄浦区校级开学）已知函数，则（1）　　． 【分析】对求导，再代入，从而求得（3），进而得到，由此计算可得（1）． 【解答】解：因为，所以， 则，解得：（3）， 所以，则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题． 24．（2023•浦东新区二模）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么　　 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【分析】对于①，举例，设，，是偶函数，不是奇函数，①为假命题；对于②，举例，设，则，为常数），显然不是周期函数，②为假命题． 【解答】解：对于①，若为偶函数，则不一定为奇函数，如，是偶函数，不是奇函数，①是假命题； 对于②，令，则，为常数），显然不是周期函数，②是假命题． 故选：． 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，偶函数和奇函数的定义，周期函数的定义，考查了计算能力，属于中档题． 考点七．简单复合函数的导数 25．（2023春•宝山区校级月考）函数的导数是　　 A． B． C． D． 【分析】应用导数乘法法则及基本初等函数的导数公式求导数． 【解答】解：由题设 ． 故选：． 【点评】本题考查了简单复合函数的导数的相关知识，属于基础题． 26．（2024春•青浦区校级月考）函数的驻点为 　0　． 【分析】根据驻点的定义，即可判断． 【解答】解：，令，得， 所以函数的驻点为0． 故答案为：0． 【点评】本题考查驻点的概念，属于基础题． 27．（2023春•宝山区校级月考）的导数为 　　． 【分析】由求导公式，即可得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查复合函数的导数，属于基础题． 考点八．利用导数求解函数的单调性和单调区间 28．（2024春•松江区校级期末）如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是　　 A．在区间上是严格减函数 B．在区间上是严格增函数 C．是极小值点 D．是极小值点 【分析】根据图象分析在不同区间上取值的正负，然后判断相应的单调性，即可判断每个选项． 【解答】解：对于，由图象知在上取正值，所以在上递增，错误； 对于，由图象知在上取正值，所以在上递增，正确； 对于，由图象知在某个上取负值，这里， 所以在上递减，从而不可能是的极值点，错误； 对于，由图象知在上取正值，在某个上取负值，这里， 所以在上递增，在上递减，从而是的极大值点，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题． 29．（2024春•青浦区校级期中）已知函数，则函数的单调递增区间为　　． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可． 【解答】解：的定义域是， ， 令，即，解得：， 故在递增， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题． 30．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数． （1）当时，求在处的切线的斜率； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）记函数的图像为曲线，设点，、，是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，，满足：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由． 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解； （2）对求导，利用导数与单调性的关系即可得解； （3）假设函数的图象上存在两点，，，，使得存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线的斜率，利用导数的几何意义求出直线的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可得出结论． 【解答】解：（1）当时，，，（1）， 在处的切线的斜率为0． （2），， ， 的单调递增区间为和． （3）假设函数存在“中值相依切线”， ， ， 由题设条件，有， ， 不妨设，，可得， 构造函数，则， 函数在区间上为增函数，则（1），即方程在上无解， 函数不存在“中值相依切线”． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题． 31．（2024春•杨浦区校级期末）设，，函数的定义域为． （1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求证：函数的导函数的最小值为； （3）若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【分析】（1）利用奇函数的定义可判断； （2）利用换元将导函数转化为二次函数，利用二次函数的性质可得导函数的最小值为； （3）由猜测最大值在时取到，此时正数，先证时，的最大值为，再证当时，最大值大于，即可求解． 【解答】解：（1）函数为奇函数．理由如下； 当时，，定义域为， 故， ， 故为奇函数． （2）证明： ， 设，，则， 当时，，此时， 当时，，此时， 而对于时，此时也满足最小值为， 故函数的导函数的最小值为． （3）先证明：当时，的最大值为． 当时，， ， 由函数是周期为的周期函数得只需求，，的最大值即可． 考虑在，上的驻点： 令得或，于是驻点，，，列表如下： 0 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 非极值 单调递增 比较和，得，，的最大值为， 又函数是周期为的周期函数， 由上述过程得满足题意． 若，由不满足题意． 综上所述：的最大值为． 【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了函数思想及转化思想，属于难题． 考点九．由函数的单调性求解函数或参数 32．（2023春•黄浦区期末）若函数在单调递增，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】求出的导数，由题意可得恒成立，设，即有，对讨论，分，，，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：函数的导数为， 由题意可得恒成立， 即为， 即有， 设，即有， 当时，不等式显然成立； 当时，， 由在，递增，可得时，取得最大值， 可得，即； 当时，， 由在，递增，可得时，取得最小值1， 可得，即． 综上可得的范围是，． 另解：设，即有， 由题意可得，且， 解得的范围是，． 故选：． 【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题． 33．（2022春•松江区校级期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是　，　． 【分析】求函数的导数，利用即可求出的取值范围． 【解答】解：函数的导数为， 若函数数在上单调递增， 则等价为恒成立， 若，则，满足条件， 若，要使恒成立， 则， 即， 解得， 综上， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，求函数的导数，利用导数是解决本题的关键． 34．（2021•奉贤区二模）函数在内单调递增，则实数的取值范围是　，　． 【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，从而求出的取值范围即可． 【解答】解：，， ， 函数在内单调递增， 即在恒成立， 而，故， 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题． 35．（2021•黄浦区校级三模）函数在，上单调递增，则实数的取值范围是　，　． 【分析】由复合函数的单调性可建立关于的不等式组，解出即可． 【解答】解：由复合函数的单调性可知，在上为减函数，且此时恒成立， ，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的单调性，利用复合函数的单调性法则便于计算，本题也可以采用求导后，导函数在给定区间内恒大于等于零求解，但计算量较大，考查运算求解能力，属于中档题． 考点十．利用导数求解函数的极值 36．（2024春•宝山区校级期末）设，则函数的极大值点为 　　． 【分析】根据已知条件，对函数求导，利用导数研究函数的单调性，即可求解． 【解答】解：， 则， 令，解得或，在，上单调递增， ，解得，在上单调递减， 故的极大值点为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于基础题． 37．（2023春•黄浦区校级期末）已知函数． （1）求函数的极值； （2）若，，求函数的最大值与最小值． 【分析】（1）求出原函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，根据在各区间段内导函数的符号判断原函数的单调性，从而确定出极值点，代入原函数解析式求得极值； （2）由（1）得出函数在，上的单调情况，求出端点值，从而得到函数的最大值与最小值． 【解答】解：（1）由，得，解得． 当，时，， 函数在，上为增函数； 当时，， 函数在上为减函数，所以 当时，函数有极大值为． 当时，函数有极小值为（2）； （2）由（1）得，在，上递减，在，上递增， 又，（3）． 所以，，时，函数的最大值为1，最小值为． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，关键是由导函数的符号判断原函数的单调性，是中档题． 38．（2023春•浦东新区校级月考）设函数，其中实数，，满足． （1）若，，求函数在处的切线方程； （2）若，求函数的极值； （3）若曲线与直线有三个互异的公共点，求的取值范围． 【分析】（1）由，求出，得到，求导，利用导函数的几何意义求出切线方程； （2）化简得到，求导，列出表格，求出极值； （3）令，，得到有3个不同的实数解，换元后得到有三个不同的实数解，令，求导，分和，由函数的单调性列出不等式组，求出的取值范围，进而得到的取值范围． 【解答】解：（1）因为，，， 所以，， 故，（1），又（1）， 所以切线方程为，即； （2）因为，，所以， 所以，， 令，解得，， 0 — 0 极大值 极小值 所以函数的极大值为，极小值为． （3）因为，所以，，成等差数列，因此不妨令，， 所以曲线与直线有三个互异的公共点， 等价于方程有三个不同的实数解， 即有三个不同的实数解， 则，令， 则原方程等价于， 即有三个不同的实数解， 令，则， 当时，恒成立，即在上严格单调递增，不合题意，舍去； 当时，令，解得，， 此时在和严格单调递增，在严格单调递减， 因此有三个不同的实数解等价于， 即， 解得或，此时，，． 【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，属难题． 39．（2023•徐汇区校级三模）设函数，其中为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”． （1）若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由； （2）若，求函数的极值点； （3）证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有． 【分析】（1）代入有，根据指数函数、幂函数性质可得，再将代入即可证明； （2）代入值有，直接求导，令导函数为0即可得到其极值点； （3）假设存在，使得，通过和谐数组定义转化得对任意，恒成立，设，再利用二次函数的性质即可证明假设不成立． 【解答】解：（1）是的“和谐数组”，理由如下： 当时，．根据幂函数、指数函数的性质，对任意，都有． 对任意、，代入，得：． 是的“和谐数组”． （2）当， 于是可列表如下： 0 0 极大值 极小值 为函数的一个极大值点，为的一个极小值点． （3）证明：反证法：假设存在，使得，则对任意，都有． 对任意，恒成立．令，则在上恒成立， 由二次函数性质可知，必存在使得当时，恒成立，且此时， 当时有， 其中， 由二次函数性质可知，必存在使得当时，． 这与在上恒成立矛盾． 对任意，都有． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数的新定义，考查运算求解能力，属于中档题． 考点十一．由函数的极值求解函数或参数 40．（2023春•宝山区校级期中）已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是　　 A． B．或 C． D．或 【分析】根据函数有极大值和极小值，可以判断导数有两个零点，然后求的取值范围即可． 【解答】解：函数， 则， 函数有极大值和极小值， 所以其导函数有两个不同的解，△， 所以或． 故选：． 【点评】本题考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程有两个不相等的实数根是解题的关键，属于基础题． 41．（2022•上海自主招生）在中有极大值，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】对求导，根据在中有极大值，可得方程在区间内有解，然后求出的取值范围即可． 【解答】解：由，得， 函数在区间内有极大值， 方程在区间内有解， 即方程在区间内有解， 在区间内有解， 故， 则的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了转化思想和方程思想，属中档题． 42．（2024春•浦东新区校级月考）设函数，若是的极大值点，则的取值范围为　　． 【分析】求出导函数，由（1），可得，从而可得，对分类讨论，由是的极大值点，即可求得的取值范围． 【解答】解：的定义域为，， 由（1），得． 所以． ①若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以是的极大值点，符合题意； ②若，由，得或，因为是的极大值点，所以，解得． 综合①②得的取值范围是， 即的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论思想的应用，属于中档题． 43．（2024春•宝山区校级月考）设函数，若存在的极大值点，满足，则的取值范围是　，　． 【分析】求出函数的导数，求出以及的值，得到关于的不等式，解出即可． 【解答】解：，， 令，解得：或， 令，解得：， 故在递增，在递减，在递增， 故是的极大值点，即， 而， 故， 即， 即， 解得：， 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题． 考点十二．利用导数求解函数的最值 44．（2024春•黄浦区校级期末）已知函数． （1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，（3），求实数的值； （2）设，若函数在区间为减函数时，求实数的取值范围； （3）对于函数，若函数有两个极值点为、，且不等式恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用导数求出函数在处的切线方程，将原点的坐标代入切线方程，即可求得实数的值； （2）分析可知对任意的，恒成立，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）分析可知，方程在上有两个不等的实根、，根据判别式以及韦达定理求出的取值范围，由参变量分离法可得，令，，利用导数求出函数的值域，即可得出实数的取值范围． 【解答】解：（1）因为，其中，则， 所以（3），， 所以函数的图象在点，（3）处的切线方程为， 将原点的坐标代入切线方程可得，解得． （2），则， 因为函数在区间上为减函数， 故对任意的，恒成立，可得， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 因为，，则，故． 故实数的取值范围是，． （3）因为， 由题意可知，方程在上有两个不等的实根， 即方程在上有两个不等的实根， 则，可得， 由可得， 又因为 ， 所以， 令，令，其中，， 所以函数在上为减函数， 故当时，（4），所以， 因此，实数的取值范围是，． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题． 45．（2024春•宝山区校级期中）已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）求的最小值； 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合，直接写出切线方程即可； （2）根据的正负，判断的单调性，即可求得的最小值． 【解答】解：（1），故可得， 所以，， 故在点处的切线方程为，即； （2）， 则， 令，解得， 故当，，单调递减；当，，单调递增， 又， 故的最小值为． 【点评】本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题． 46．（2024春•浦东新区校级月考）已知函数，． （1）证明：函数在上有且只有一个零点； （2）当时，求函数的最小值； （3）设，，2，若对任意的，，恒成立，且不等式两端等号均能取到，求的最大值． 【分析】（1）设，求导分析单调性，可得存在唯一，，使得，进而可得答案． （2）求导得，分析的符号，进而可得的单调性，即可得出答案． （3）分析当时，时，当时，时，的最大值，即可得出答案． 【解答】解：（1）证明：设， 则， 因为， 所以恒成立， 所以在上单调递减， 又因为，， 所以存在唯一，，使得， 所以在上有且只有一个零点， （2）， 设， ， ， 当上，，，单调递增， 又， 所以在上单调递增， 因为， 所以当时，，单调递减， 当，时，，单调递增， 所以在上有最小值． （3）由（1）可知，，时，， 由（2）可知为的极小值点，且，时，， 所以，时，在取到最小值， 时，，存在，使得与矛盾， 时，，存在，使得与矛盾， 当时，令，则，满足题意，此时取得最大值， 再过点作函数的切线，设切点为，，则，解得， 所以切线方程为， 当时，的最大值为， 又因为，时，， 设， ， 所以单调递减， 即， 所以时，取得最大值， 接下来证明当，时，， 先证：，，恒成立， ， ， ， 当，时，单调递增， ，，， 所以存在唯一的，使得，且，时，，单调递减， ，时，，单调递增， 因为，，， 所以存在唯一的，使得，且，时，，单调递增， ，时，，单调递减， 又因为，， 所以当，时，， 当，时，， 所以， 综上所述，，时，， 当，，， 所以当时，的最大值为， 即的最大值为． 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于难题． 47．（2023秋•松江区校级期中）已知函数，，． （1）求的最大值； （2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）证明不等式（其中是自然对数的底数）． 【分析】（1）求出的导函数，得到函数的单调区间，即可求得的最大值； （2）问题转化为存在，使得成立，进一步转化为存在，使得，求出的导函数，然后对分类分析得答案； （3）由（2）可知，当时，若，，，令，，，，，有，结合（1）可得，，再证明，即可得到． 【解答】（1）解：由，，得， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得最大值为（1）； （2）解：对，总存在，使得成立， 等价于存在，使得成立， 由（1）知，，问题转化为存在，使得， ，，当时，， ①当时，若，，单调递减，，不合题意； ②当时，，使得， 若，，若时，，即当， 则，使得，符合题意； ③当时，若，，单调递增，， 则，使得，符合题意． 综上可知，所求实数的范围是； （3）证明：由（2）可知，当时，若，，，令，，，，． 有，再由（1）可得，，则， 即，也即，，， ． 则． 【点评】本题考查利用导数求函数的最值，考查不等式的证明，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，综合性强，难度大． 考点十三．由函数的最值求解函数或参数 48．（2023春•松江区校级月考）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是　，　． 【分析】求导确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数的取值范围． 【解答】解：由题意，， 故在，上是增函数， 在上是减函数， 作其图象如右图， 令得， 或； 则结合图象可知， ； 解得，，； 故答案为：，． 【点评】本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题． 49．（2023•松江区二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】对函数求导，判断其单调性，进而可得其在处取得极大值，求得极大值，进一步令，可得或，由此可得到关于的不等式，解出即可． 【解答】解：， 易知当或时，，则函数在，上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 则函数在处取得极大值，且极大值为， 令，即，即，解得或， 又函数在区间上有最大值，则， 解得． 故选：． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查运算求解能力，属于中档题． 50．（2024春•静安区校级期中）若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是　　 A．， B． C．， D． 【分析】由题意，求导确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数的取值范围． 【解答】解：由题意，， 令，解得或，令，解得， 故在，上是减函数，在上是增函数， 作其图象如右图， 所以当时，取得最大值为（2）， 令，解得，或， 则结合图象可知， ， 解得，，． 故选：． 【点评】本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题． 51．（2020秋•杨浦区校级期中）若函数，，的最大值为0，则实数的取值范围是　　． 【分析】根据条件可知，时，恒成立，然后利用分离参数法求出的取值范围即可． 【解答】解：，，的最大值为0， ，时，恒成立， 显然当时，不等式恒成立， 当，时，恒成立，只需， 函数，在，上单调递减， ， 的取值范围为． 【点评】本题考查了不等式恒成立问题和函数的基本性质，考查了转化思想，属中档题． 考点十四．利用导数求解曲线在某点上的切线方程 52．（2023•闵行区校级二模）已知函数，则曲线在处的切线方程为　　． 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，则答案可求． 【解答】解：，， ， 则曲线在处的切线方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题． 53．（2024春•徐汇区校级期中）曲线在点处的切线方程为　　． 【分析】根据求导公式求出导数，再求出切线的斜率和切点的坐标，代入点斜式方程化为一般式即可． 【解答】解：由题意得，， 在处的切线的斜率是2，且切点坐标是， 则在处的切线方程是：， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了导数的几何意义，以及直线的点斜式方程和一般式方程，考查运算能力，属于基础题． 54．（2023秋•浦东新区校级期末）过函数图象上一点作切线，则切线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】求出函数在处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，从而可得切线方程． 【解答】解：因为函数，所以导函数， 时，， 所以所求切线方程为． 故选：． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查导数的求法，计算能力． 55．（2023春•黄浦区期末）设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线：在点，（2）处的切线方程为　　． 【分析】先由求导公式求出，根据偶函数的性质，可得，从而求出的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程． 【解答】解：， ， 是偶函数， ， 解得， ，，则（2），（2）， 即切点为，切线的斜率为9， 切线方程为，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于中档题． 考点十五．不等式恒成立的问题 56．（2024•闵行区校级二模）已知是上的单调递增函数，，不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】令在上是增函数，不等式恒成立等价于，所以，令，转化为． 【解答】解：依题意，在上是增函数， ，不等式恒成立， 即恒成立， 等价于恒成立， ， 令， 则， 易得（e）， ，． 故选：． 【点评】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题． 57．（2024春•青浦区期末）已知，，函数，其中． （1）若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； （2）若，，且满足，证明：； （3）若存在，使得函数有唯一零点，求实数的取值范围． 【分析】（1）令求出切点坐标，即可写出切线方程； （2）若，可得，再由基本不等式得，可得假设不成立，原结论正确； （3）当时，函数在上严格增，有唯一零点； 当时，根据零点存在性可得，不可能有唯一零点，故． 【解答】解：（1）当，时，，故， 令，即，解得，此时（1）， 所以所求水平切线的方程为； （2）证明：由题意可得，，即①， 此时若，则，从而由①得， 由基本不等式得，且由知等号不成立，矛盾， 故，得证； （3）由题意，， 故当时，，函数在上严格增， 从而，当时，有唯一零点； 当时，，其中， 因为时，而时， 所以函数在区间上严格减，在区间，上严格增， 当且时，，由单调性知， 又函数在趋于无穷大时值趋于无穷大，故可以取到使得， 故由零点存在定理，连续函数在区间，和，上各有一个零点，从而不可能有唯一零点， 综上，，所求． 【点评】本题考查导数与切线方程的综合应用，属于难题． 58．（2022春•青浦区校级期末）设函数，． （1）当时，求在点，处的切线方程； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时，． 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可， （2）首先将问题转化为恒成立，设，再利用导数求出其最大值即可得到答案， （3）首先将问题转化为，设，利用导数求出，即可得到答案． 【解答】解：（1），，即切点． ，，则切线方程为：． （2），恒成立等价于恒成立． 设， ，，为增函数， ，，为减函数， 所以，即． （3）证明：等价于 设， 设， 所以在为增函数，即， 所以， 即在为增函数，即， 即证：． 【点评】本题考查利用导数研究函数的切线方程及函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档 一．选择题（共3小题） 1．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数和在区间，上的图象如图所示，那么下列说法正确的是　　 A．在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率 B．在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率 C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【分析】由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项、错误； 由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项错误，正确． 【解答】解：对于、，在到之间的平均变化率是， 在到之间的平均变化率是， ，即二者相等； 选项、错误； 对于、，函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 同理函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在处的切线的斜率， 由图形知，选项错误，正确． 故选：． 【点评】本题考查了导数的概念及其应用问题，解题时应结合平均变化率与瞬时变化率以及导数的几何意义，判定每一个选项是否正确，是基础题． 2．（2024•闵行区校级三模）已知函数的图像在，，，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，再由、、，即可得到，最后由基本不等式求出的范围，即可判断． 【解答】解：由，得， 则，， 依题意可得，且、、， ，则， 经验证，当、分别取3、时，满足题意． 故选：． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是中档题． 3．（2024•闵行区校级模拟）已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为　　 A．存在无穷多个，满足（1） B．对任意有理数，，，均有（1） C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 【分析】根据极值的定义，结合选项，即可得出结果． 【解答】解：由极值的定义可知，当函数在处取得极小值时， 在左侧的函数图象存在点比处的函数值小， 在右侧的函数图象存在点比处的函数值小，故排除，； 对于，函数在区间上为严格减函数， 在区间上为严格增函数，则是函数的极小值点； 对于，函数在区间上为严格增函数， 在区间上为严格减函数，则不是函数的极小值点． 故选：． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题． 二．填空题（共11小题） 4．（2023•浦东新区校级三模）函数的导数为　　． 【分析】根据函数的导数公式以及运算法则进行计算即可． 【解答】解：函数的导数， 故答案为： 【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据导数公式以及导数的运算法则是解决本题的关键． 5．（2023•徐汇区校级一模）函数的单调增区间为 　　． 【分析】先对求导，再令导数大于0，从而求得函数的单调增区间． 【解答】解：因为， 所以， 令，解得， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题． 6．（2024•普陀区校级三模）曲线在点，处的切线方程是 　　． 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由斜截式求出切线方程． 【解答】解：因为，所以，， 则，即切点为，切线的斜率为， 所以切线方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题． 7．（2024•浦东新区校级三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 　2　． 【分析】根据两曲线在点处有相同的切线，可得，，的值，进而得解． 【解答】解：依题意，，， 则， 又，， 则，， 故函数在点处的切线方程为，即， 函数在点处的切线方程为， 依题意，，， 则． 故答案为：2． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题． 8．（2024•黄浦区校级三模）（文曲线在点处的切线倾斜角为　　． 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义即可得到结论． 【解答】解：函数的导数为， 则函数在点处的切线斜率（1）， ， 曲线在点处的切线倾斜角为， 故答案为： 【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用函数的导数和函数斜率之间的关系是解决本题的关键． 9．（2024•金山区二模）设，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 　　． 【分析】由函数奇偶性的定义求解值，可得函数解析式，再求其导函数，可得函数在处的导数值，求出的值，然后利用直线方程的斜截式得答案． 【解答】解：为奇函数， 恒成立， 则，， ，得， 又，曲线在点处的切线方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查函数奇偶性性质的应用，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题． 10．（2024•虹口区二模）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 　，　． 【分析】分两个情况：当时，当，分析方程左端是否符合题意，令，，分析单调性，极值，当在轴下方，在轴上方时， ，当与有相同的零点时，，可得的取值范围． 【解答】解：当时，时，，，左边必然大于0，不满足题意， 所以， 令，， ，对称轴为，开口向上，有最小值， 令，解得为极大值点， 情况一：在轴下方，在轴上方， 即，得不等式组的解集为， 情况二：与有相同的零点， 此时，得不等式组的解集为无解， 综上所述，，． 故答案为：，． 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 11．（2024•闵行区校级三模）中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为，与承载重力的方向平行的高度为，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽与高的最佳之比应为 　　． 【分析】根据已知条件，先求出的函数，再利用导数研究函数的单调性，即可求解． 【解答】解：设圆的直径为， 则，即， ， 令，解得， 令，解得，故在上单调递增， 令，解得，故在，上单调递减， 故当时，取得最大值， 此时， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题． 12．（2024•杨浦区校级三模）若函数在上存在最小值，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据的单调性特点可确定实数的取值范围． 【解答】解：由题，令，解得， 令，解得或， 由此得函数在上是减减数，在上是增函数， 在 上是减函数．故函数在处取极小值， 又时，，时，， 因为在上存在最小值， 所以极小值必是区间上的最小值， 故，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题． 13．（2024•浦东新区校级三模）已知函数在上无极值，则的取值范围是 　，　． 【分析】求导数，则，确定单调性，讨论的取值范围可得结果． 【解答】解：由题意得，，故， 因为函数在上无极值， 所以在上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而（1），故， 当时，．则． 综上，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题． 14．（2024•黄浦区校级三模）已知，，若（a）（b），且的最小值为3，则实数的值为 　　． 【分析】根据题意，可得，从而构造（b），利用导数求得（b）即可得到结果． 【解答】解：因为（a）（b）， 所以，所以， 设（b）， 所以（b），令（b），则， 所以当时，（b）时，即，（b）， 所以时，（b）取极小值，即有， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题． 三．解答题（共3小题） 15．（2024•宝山区三模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”． （1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由； （2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程； （3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，，若，4，5，，，证明：． 【分析】（1）根据题意，利用直线的斜率与导数的几何意义 求得切点，再分别求切线方程验证即可； （2）求出函数的导数，并设出切点，，，，求出，处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程； （3）利用“双重切线”的定义，分别设出，对应的切点，分别利用导数的几何意义得到对应切点之间的关系，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理确定判的零点所在区间，然后借助不等式性质推理即得． 【解答】解：（1）的定义域为，，， 求导得，直线的斜率为2， 令，解得， 不妨设切点，， 则点处的切线方程为，即， 点处的切线方程为，即， 所以直线是曲线 的“双重切线”． （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，，，，则存在，使得， 则在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 因此，消去可得， ， 求导得， 则函数在上单调递增，又， 函数的零点为，因此，， 所以曲线的“双重切线”的方程为； （3）设对应的切点为，，，，， 对应的切点为，，，，， 由，得，， 由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中，， 由及余弦函数在上递增知，， 则， ， 因此，又，， 则，同理， 令，求导得． 则在上单调递增，显然，且， 函数在上的值域为， 即函数在上存在零点，则有， 由，同理可得，而， 因此，于是，即有． 所以，即． 【点评】本题考查了利用导数求函数的切线，利用导数的性质求得方程的零点，是中档题． 16．（2024•奉贤区三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． （1）试问函数是否为函数的“导控函数”？ （2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； （3）若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【分析】（1）直接根据“导控函数”的定义判断即可； （2）根据“导控函数”的定义可得恒成立，再根据恒成立问题求解即可； （3）分别证明①充分性：由若存在常数，使得恒成立，推到；②必要性：由，推到存在常数使得恒成立即可． 【解答】解：（1）因为，所以函数是函数的“导控函数”； （2）由题意可知：恒成立， 令，则，所以，所以，即． 又因为恒成立，所以， 所以，．故“导控点”为2； （3）充分性：若存在常数，使得恒成立， 所以为偶函数，所以，即， 所以； 必要性：若，则，所以是偶函数． 又因为函数是函数的“导控函数”，所以， 又因为，，所以函数是函数的“导控函数”， 所以，即，所以， 综上可知：．记，则． 所以存在常数使得恒成立． 【点评】本题考查了新定义问题，导数的综合问题，是中档题． 17．（2024•浦东新区校级四模）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）求证：． 【分析】（1）求导，判定导数的符号可得单调区间； （2）分离参数，求解新函数的最值即可； （3）先证明，再求和可得证结论． 【解答】解：（1）当时，，定义域为， 则， 令可得；令可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由恒成立，可得恒成立， 令，则， 令得，的增区间为， 令得，的减区间为， 所以的最大值为，所以， 故的取值范围是； （3）证明：设，， ， 当时，，为减函数， 所以，即， 令，则， 所以，，，，， 以上各式相加可得． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式的放缩，属于中档题． 一．选择题（共1小题） 1．（2024春•松江区校级月考）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】函数，不等式化为：．分别令，．利用导数研究函数的单调性，画出图象．根据不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，可得正整数解为1，2，即可由，解出即可． 【解答】解：函数，不等式化为：． 分别令，． ． 可得：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． ，（2）．如图所示． 不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 正整数解为1，2， ，即． 解得：． 数的取值范围是，． 故选：． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 二．填空题（共1小题） 2．（2024春•金山区校级月考）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 　　． 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【解答】解：由题意得， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，函数的极大值为， 且当时，，当时，， 则函数得图象如下图所示： 所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于难题． 三．解答题（共9小题） 3．（2024春•嘉定区期末）设． （1）若，求函数的图像在处的切线方程； （2）若在，上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数存在两个极值点、，求证：． 【分析】（1）求出，从而可得（1），（1），利用点斜式即可求解切线方程； （2）讨论的单调性，设，讨论的单调性，进一步得到的单调性，讨论参数的取值情况； （3）由条件有，是 的两个根，代入相减，再用分析法去证明目标不等式； 【解答】解：（1）当时，，， 则（1），又（1）， 函数的图像在处的切线方程为，即； （2）设，即，即， 在，上单调递增， 当时，（1）， 若，，则， 在，上恒成立，在，上单调递增， （1）， 若，，则， 又（1），且在，上单调递增， 存在唯一，使得， 在上恒成立，在上单调递减， 此时（1）这与条件矛盾，不成立， ，即的取值范围是，； （3）证明：函数存在两个极值点，， 有两个实数根，， ， ， 将两式相减，得：， 即， 要证：， 只需证： ， 即证：， 设，，， 即证：， 设，则， 单调递减，（1）， 故原命题成立． 【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，恒成立求参数问题，利用导数证明不等式，考查了分类讨论思想，分析法证明不等式，构造函数的方法，属于难题． 4．（2024春•长宁区校级月考）已知函数． （Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程； （Ⅱ）判断函数极值点的个数，并说明理由； （Ⅲ）若函数在处取得极值，判断函数是否存在最值，如果存在请求出最值，如果不存在，请说明理由． 【分析】（Ⅰ）求出时的解析式，求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式求解切线方程即可； （Ⅱ）求出，令，由判别式确定有两个变号的零点，从而得到有两个变号零点，即可得到有两个极值点； （Ⅲ）利用极值点的定义可知，（1），求出的值，从而得到和，然后利用导数判断函数的单调性，确定函数的最值即可． 【解答】解：（Ⅰ）当时，， 所以（1），故切点坐标为， 又，则（1）， 所以切线的斜率为， 故函数在处的切线方程为，即； （Ⅱ）函数， 则， 令， 因为△， 由二次函数的图象可知，有两个变号的零点， 又，其中， 所以有两个变号零点， 故有两个极值点； （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，， 因为函数在处取得极值， 则（1），解得， 则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 又， 当时，，故函数无最大值， 又（1）， 当时，， 又在上单调递增， 所以当时，， 又在上单调递减，在上单调递增，且（1）， 故在处取得最小值（1），无最大值． 【点评】本题考查了导数的综合应用，导数几何意义的理解与应用，函数零点定义以及极值点定义的理解与应用，利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 5．（2024春•徐汇区校级月考）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （2）根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于的不等式组，解出即可． 【解答】解：（1）．， 时，，在递增， 时，令，解得：或， 令，解得：， 在递增，在，递减，在，递增， 综上，时，在递增， 时，在递增，在，递减，在，递增； （2）由（1）得：，，， 若有三个零点， 只需，解得：， 故． 【点评】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道常规题． 6．（2024春•普陀区校级期末）已知，，设函数的表达式为（其中 （1）设，，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）设，，集合，，记，若在上有两个不同的极值点，求的取值范围； （3）当，，时，记，其中为正整数．求证：． 【分析】（1）利用导数求函数在某点处的切线方程即可； （2）利用极值点等价于导数值为零的点，且导数零点的左右两侧有正负，通过对导函数是二次函数的零点进行分析即可得解； （3）利用换元思想，把，即知，再利用二项式展开式和均值不等式，即可证明不等式． 【解答】解：（1）由，，可知，则， 当时，， 所以在点，（1）处的切线方程为：，即为； （2）当时，由，则， 即， 由在，上有两个不同的极值点，则在内有两个解， 即由等价于，作出二次函数图象，， ， 因为当时，， 结合图像可知：当时，方程在内有两个解，即的取值范围； （3）证明：依题意，，，且，， 令，则， 所以， 而 ， 则， 又，且， 当且仅当时等号成立，所以， 同理，，，且均在时等号成立， 所以， ，即得证． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的切线方程和极值，属于中档题． 7．（2024春•闵行区期末）若函数的图像上有两个不同点、处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”． （1）试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； （2）若，求函数的图像的“自公切线”方程； （3）设，求证：函数的图像不存在“自公切线”． 【分析】（1）对于函数：结合其图象分析判断即可；对于函数：结合的单调性分析判断； （2）求出函数的导数，并设出切点，，，，求出，处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程； （3）假设存在，设切线方程，根据导数求切线方程，列方程组，结合题意分析该方程组解的个数即可判断． 【解答】解：（1）对于函数 由函数的图象可知：和为函数的“自公切线”， 所以函数的图像存在“自公切线”； 对于函数：则，可知在上单调递增， 可知，可知，即任意不同两点的切线斜率不相等， 所以函数的图像不存在“自公切线”． （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，，，，则存在，使得， 则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 因此，消去可得， 令，求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此，， 所以曲线的“双重切线”的方程为． （3）证明：假设函数的图像存在“自公切线”，设为， 因为，则， 则， 可知在处的切线方程为， 整理得， 则即， 可知方程有两个不相等的根，，则， 且，也为方程的根， 则， 整理得， 且，即， 可得，即， 可得，整理得， 则，整理得，解得， 即此时方程只有一个解， 这与题意相矛盾，即假设不成立， 所以函数的图像不存在“自公切线”． 【点评】本题主要考查利用导数研究切线方程，属于难题． 8．（2024春•徐汇区校级月考）对于定义在上的函数，若存在距离为的两条平行直线和，使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道，与分别叫做函数的通道下界与通道上界． （1）若，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程； （2）若，证明：存在宽度为2的通道； （3）探究是否存在宽度为的通道？并说明理由． 【分析】（1）求出函数的值域，再利用给定定义求解即得． （2）利用辅助角公式求出的值域，再利用不等式的性质可得，结合定义推理即得． （3）利用导数求出函数的值域，假定存在，设出通道下界与通道上界的直线方程，利用定义建立不等式，构造函数，，按，探讨函数值情况即可得解． 【解答】解：（1）函数的定义域为，在上单调递增， 而，则，即，因此， 取，，，得通道下界的直线方程：，通道上界的直线方程：， 显然直线与的距离为2，因此通道宽度不超过3， 所以通道下界与通道上界的直线方程分别为与． （2）证明：函数的定义域为，而， 即，则， 取，得通道下界的直线方程：，通道上界的直线方程：， 显然直线与的距离， 所以存在宽度为2的通道． （3）函数，求导得，函数在，上单调递减， 则（1），显然当时，恒有，即， 假设存在宽度为的通道，设通道下界与通道上界的直线方程分别为，， 则对任意，，恒成立，即， 令， 当时，则，而，不符合题意； 当时，对任意，，，函数在，上单调递减，值域为，， 因此不存在，使得对任意，，成立，即不存在宽度为的通道； 当时，对任意，，，函数在，上单调递增，值域为，， 因此不存在，使得对任意，，成立，即不存在宽度为的通道， 综上，不存在宽度为的通道． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于难题． 9．（2023秋•闵行区校级期末）已知函数． （1）当，时，求曲线在点，处的切线方程； （2）当时，既存在极大值，又存在极小值，求的取值范围； （3）当，时，，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围． 【分析】（1）由题意，将，代入的解析式，对进行求导，得到和的值，代入切线方程中即可求解； （2）将代入的解析式，对进行求导，将既存在极大值，又存在极小值转化成必有两个不等的实数根，利用导数得到的单调性和极值，进而即可求解； （3）将代入的解析式，对进行求导，利用导数分析的极值，将恒成立转化成，构造函数，利用导数分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）函数的定义域为， 当，时，， 则，故，又， 所以曲线在点，处的切线方程为，即． （2）当时，，定义域为， 所以， 因为既存在极大值，又存在极小值， 所以必有两个不等的实数根， 当时，不符合题意， 故，令，解得或且 所以且， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数分别在，时取到极大值和极小值，满足题意， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数分别在，时取到极大值和极小值，满足题意， 综上，的取值范围为，，． （3）由（2）知，或， 所以， ， 由题意，得对任意的恒成立， 因为当时，在，上单调递减， 所以，故， 所以，且，则． 令，其中， 所以， 令，则， 当△，即时，，在上单调递增， 所以（1），即，符合题意， 当△，即时，设方程的两根分别为，， 则，，不妨设， 当时，，在，上单调递减， 所以当时，（1），即，不合题意， 综上所述，的取值范围为，． 【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于难题． 10．（2024春•浦东新区校级期末）已知，， （Ⅰ）证明： （Ⅱ）若在恒成立，求的最小值． （Ⅲ）证明：图象恒在直线的上方． 【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，即可得出； （Ⅱ）令，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值、最小值，即可得出，，即可得出结论； （Ⅲ）由题意可得只需证，即证在，上恒成立．令，利用导数判断函数的单调性，得出最值，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ） 即在，上单调递增．（2分） 所以，即结论成立．（3分） （Ⅱ）令，则，（4分） 所以，当时，（1）， 要使，只需 （5分） 要使成立，只需在恒成立．（6分） 令 则，由，， 当时， 此时，有成立． 所以满足条件． 当时，，此时有， 不符合题意，舍去． 当时，令，得， 可得当时，．即时，， 不符合题意舍去． 综上， （9分） 又，所以的最小值为．（10分） （Ⅲ）由题意只需证，即证在，上恒成立． 令， （11分） ，即在，上单调递增． 又，（1），所以在，有唯一的解，记为， 且，即（12分） 可得当时，，当，时，， 所以只需最小值 （13分） 易得，，，所以． 所以结论得证．（14分） 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的有关性质，判断函数的单调性、求函数的极值、最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于难题． 11．（2024春•青浦区校级月考）已知，是实数，1和是函数的两个极值点． （1）求和的值； （2）设函数的导函数，求的极值点； （3）设，其中，，求函数的零点个数． 【分析】（1）求出 导函数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可． （2）由（1）得，求出，令，求解讨论即可． （3）先分和讨论关于的方程的情况；再考虑函数的零点． 【解答】解：（1）由， 得． 和是函数的两个极值点， ，， 解得，． （2）由（1）得，． ， 解得，． 当时，； 当时，， 是的极值点． 当或时，， 不是的极值点． 的极值点是． （3）令，则． 先讨论关于 的方程 根的情况：， 当时，由 可知，的两个不同的根为1和，注意到是奇函数， 的两个不同的根为1和2． 当时， （2），（1）， ，，1，2 都不是的根． 由（1）知． ①当时，，于是是单调增函数，从而（2）． 此时在无实根． ②当时．，于是是单调增函数． 又（1），（2），的图象不间断， 在，2 内有唯一实根． 同理，在， 内有唯一实根． ③当时，，于是是单调减两数． 又，（1），的图象不间断， 在，1 内有唯一实根． 因此，当时，有两个不同的根，满足，； 当 时，有三个不同的根，，，满足，，4，5． 现考虑函数的零点： 当时，有两个根，，满足，． 而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点． 当时，有三个不同的根，，，满足，，4，5． 而，4，有三个不同的根，故有9 个零点． 综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大． 一．填空题（共1小题） 1．（2022•上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则　2　． 【分析】是周期为4的周期函数，作出图像，的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果． 【解答】解：函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，， 是周期为4的周期函数，图像如图： 将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，， 则的几何意义是两条渐近线之间的距离2， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二．解答题（共2小题） 2．（2024•上海）对于一个函数和一个点，定义，若存在，，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，，点，，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性． 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性． 【解答】解：（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点， 使得该点是在的“最近点”； （2）由题设可得， 则，因为，均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，，故在点处的切线方程为， 而，故，故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”， 设，，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在，使得， 即，① ，② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则，， 即，③ ，④ ③④得， 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减． 【点评】本题考查基本不等式，极值、最值的求解，导数的应用等，属于难题． 3．（2023•上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由； （2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）． 【分析】（1）设，，当，时，易知，即单调减，求得最值即可判断； （2）根据题意得到，即为函数的“控制函数“，代入即可求解； （3），，在处的切线为，求导整理得到函数必是函数的“控制函数“，又此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，在之间的点不可能使得在切线下方，所以或，即可得证． 【解答】解：（1），设， ，当，时，易知，即单调减， ，即， 是的“控制函数“； （2）， ， ，即为函数的“控制函数“， 又，且，； 证明：（3），， 在处的切线为， ，，（1）（1）， ， ， ， ， 恒成立， 函数必是函数的“控制函数“， 是函数的“控制函数“， 此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点， 在之间的点不可能使得在切线的下方，所以或， 所以曲线在处的切线过点，且，， 当且仅当或时，． 【点评】本题考查了导数的综合运用，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 导数（15类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考21题 基本不等式、极值、最值、导数的应用 2023春考21题 导数的综合应用 2022秋考18题 2022春考12题 抽象函数的性质应用 极限及其运算 2. 备考策略 1.根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：求解后验证根的合理性． 2.分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 (1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min； a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min； a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 一．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或. f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 二．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 三．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 四.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 五．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 六．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 七.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 八．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 知识讲解 考点一．平均变化率 1．（2024•奉贤区校级开学）函数从到的平均变化率是 　　． 2．（2024春•黄浦区校级期末）函数在区间，上的平均变化率等于 　　． 3．（2023春•浦东新区校级月考）函数在到之间的平均变化率为 　　． 4．（2023•奉贤区校级三模）函数在区间，的平均变化率与在处的瞬时变化率相同，则正数　　． 考点二．瞬时变化率 5．（2024•徐汇区校级模拟）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•闵行区校级期末）烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为，加热后的温度函数是常数，表示加热的时间，单位：，加热到第时，水温的瞬时变化率是 　　． 7．（2024•浦东新区校级模拟）某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是 　　． 8．（2024•青浦区二模）如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率　　． 考点三．变化率的极限与导数的概念 9．（2023春•上海月考）已知函数，则　　． 10．（2023春•普陀区校级期末）若，则　　． 11．（2023春•闵行区期末）若函数，则　　． 12．（2023春•浦东新区校级月考）已知函数是自然对数），则　　． 考点四．含Δx表达式的极限计算与导数的关系 13．（2023秋•青浦区期末）若函数在处的导数等于，则的值为　　 A．0 B． C． D． 14．（2023春•松江区校级月考）计算：　　 A．0 B． C． D． 15．（2023春•浦东新区校级期末）若函数在处导数为，则等于　　 A． B． C． D． 16．（2023春•嘉定区校级期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则　　． 考点五．极限及其运算 17．（2024•闵行区校级三模）计算：　　 A．0 B． C． D． 18．（2023•徐汇区校级开学）法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数满足如下条件： （1）在闭区间，上是连续不断的； （2）在区间上都有导数． 则在区间上至少存在一个实数，使得（b）（a），其中称为“拉格朗日中值”．函数在区间，上的“拉格朗日中值” 　 　． 19．（2023春•长宁区校级期中）已知函数，则　　． 20．（2023•闵行区二模）　　． 考点六．基本初等函数的导数 21．（2023春•长宁区校级期末）下列求导计算正确的是　　 A． B． C． D． 22．（2024•浦东新区校级四模）下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 23．（2023•黄浦区校级开学）已知函数，则（1）　　． 24．（2023•浦东新区二模）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么　　 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 考点七．简单复合函数的导数 25．（2023春•宝山区校级月考）函数的导数是　　 A． B． C． D． 26．（2024春•青浦区校级月考）函数的驻点为 　　． 27．（2023春•宝山区校级月考）的导数为 　　． 考点八．利用导数求解函数的单调性和单调区间 28．（2024春•松江区校级期末）如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是　　 A．在区间上是严格减函数 B．在区间上是严格增函数 C．是极小值点 D．是极小值点 29．（2024春•青浦区校级期中）已知函数，则函数的单调递增区间为　　． 30．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数． （1）当时，求在处的切线的斜率； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）记函数的图像为曲线，设点，、，是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，，满足：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由． 31．（2024春•杨浦区校级期末）设，，函数的定义域为． （1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求证：函数的导函数的最小值为； （3）若对任意的恒成立，求实数的最大值． 考点九．由函数的单调性求解函数或参数 32．（2023春•黄浦区期末）若函数在单调递增，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 33．（2022春•松江区校级期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是　 　． 34．（2021•奉贤区二模）函数在内单调递增，则实数的取值范围是　 ． 35．（2021•黄浦区校级三模）函数在，上单调递增，则实数的取值范围是　 　． 考点十．利用导数求解函数的极值 36．（2024春•宝山区校级期末）设，则函数的极大值点为 　 　． 37．（2023春•黄浦区校级期末）已知函数． （1）求函数的极值； （2）若，，求函数的最大值与最小值． 38．（2023春•浦东新区校级月考）设函数，其中实数，，满足． （1）若，，求函数在处的切线方程； （2）若，求函数的极值； （3）若曲线与直线有三个互异的公共点，求的取值范围． 39．（2023•徐汇区校级三模）设函数，其中为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”． （1）若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由； （2）若，求函数的极值点； （3）证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有． 考点十一．由函数的极值求解函数或参数 40．（2023春•宝山区校级期中）已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是　　 A． B．或 C． D．或 41．（2022•上海自主招生）在中有极大值，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 42．（2024春•浦东新区校级月考）设函数，若是的极大值点，则的取值范围为　 　． 43．（2024春•宝山区校级月考）设函数，若存在的极大值点，满足，则的取值范围是　 　． 考点十二．利用导数求解函数的最值 44．（2024春•黄浦区校级期末）已知函数． （1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，（3），求实数的值； （2）设，若函数在区间为减函数时，求实数的取值范围； （3）对于函数，若函数有两个极值点为、，且不等式恒成立，求实数的取值范围． 45．（2024春•宝山区校级期中）已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）求的最小值； 46．（2024春•浦东新区校级月考）已知函数，． （1）证明：函数在上有且只有一个零点； （2）当时，求函数的最小值； （3）设，，2，若对任意的，，恒成立，且不等式两端等号均能取到，求的最大值． 47．（2023秋•松江区校级期中）已知函数，，． （1）求的最大值； （2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）证明不等式（其中是自然对数的底数）． 考点十三．由函数的最值求解函数或参数 48．（2023春•松江区校级月考）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是　 　． 49．（2023•松江区二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 50．（2024春•静安区校级期中）若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是　　 A．， B． C．， D． 51．（2020秋•杨浦区校级期中）若函数，，的最大值为0，则实数的取值范围是　 　． 考点十四．利用导数求解曲线在某点上的切线方程 52．（2023•闵行区校级二模）已知函数，则曲线在处的切线方程为　 　． 53．（2024春•徐汇区校级期中）曲线在点处的切线方程为　 　． 54．（2023秋•浦东新区校级期末）过函数图象上一点作切线，则切线方程为　　 A． B． C． D． 55．（2023春•黄浦区期末）设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线：在点，（2）处的切线方程为　　． 考点十五．不等式恒成立的问题 56．（2024•闵行区校级二模）已知是上的单调递增函数，，不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 57．（2024春•青浦区期末）已知，，函数，其中． （1）若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； （2）若，，且满足，证明：； （3）若存在，使得函数有唯一零点，求实数的取值范围． 58．（2022春•青浦区校级期末）设函数，． （1）当时，求在点，处的切线方程； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时，． 一．选择题（共3小题） 1．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数和在区间，上的图象如图所示，那么下列说法正确的是　　 A．在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率 B．在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率 C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 2．（2024•闵行区校级三模）已知函数的图像在，，，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是　　 A． B． C． D． 3．（2024•闵行区校级模拟）已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为　　 A．存在无穷多个，满足（1） B．对任意有理数，，，均有（1） C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 二．填空题（共11小题） 4．（2023•浦东新区校级三模）函数的导数为　　． 5．（2023•徐汇区校级一模）函数的单调增区间为 　　． 6．（2024•普陀区校级三模）曲线在点，处的切线方程是 　　． 7．（2024•浦东新区校级三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 　　． 8．（2024•黄浦区校级三模）（文曲线在点处的切线倾斜角为　 　． 9．（2024•金山区二模）设，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 　　． 10．（2024•虹口区二模）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 　　． 11．（2024•闵行区校级三模）中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为，与承载重力的方向平行的高度为，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽与高的最佳之比应为 　　． 12．（2024•杨浦区校级三模）若函数在上存在最小值，则实数的取值范围是 　　． 13．（2024•浦东新区校级三模）已知函数在上无极值，则的取值范围是 　　． 14．（2024•黄浦区校级三模）已知，，若（a）（b），且的最小值为3，则实数的值为 　　． 三．解答题（共3小题） 15．（2024•宝山区三模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”． （1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由； （2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程； （3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，，若，4，5，，，证明：． 16．（2024•奉贤区三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． （1）试问函数是否为函数的“导控函数”？ （2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； （3）若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 17．（2024•浦东新区校级四模）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）求证：． 一．选择题（共1小题） 1．（2024春•松江区校级月考）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围　　 A．， B．， C．， D．， 二．填空题（共1小题） 2．（2024春•金山区校级月考）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 　　． 三．解答题（共9小题） 3．（2024春•嘉定区期末）设． （1）若，求函数的图像在处的切线方程； （2）若在，上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数存在两个极值点、，求证：． 4．（2024春•长宁区校级月考）已知函数． （Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程； （Ⅱ）判断函数极值点的个数，并说明理由； （Ⅲ）若函数在处取得极值，判断函数是否存在最值，如果存在请求出最值，如果不存在，请说明理由． 5．（2024春•徐汇区校级月考）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 6．（2024春•普陀区校级期末）已知，，设函数的表达式为（其中 （1）设，，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）设，，集合，，记，若在上有两个不同的极值点，求的取值范围； （3）当，，时，记，其中为正整数．求证：． 7．（2024春•闵行区期末）若函数的图像上有两个不同点、处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”． （1）试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； （2）若，求函数的图像的“自公切线”方程； （3）设，求证：函数的图像不存在“自公切线”． 8．（2024春•徐汇区校级月考）对于定义在上的函数，若存在距离为的两条平行直线和，使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道，与分别叫做函数的通道下界与通道上界． （1）若，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程； （2）若，证明：存在宽度为2的通道； （3）探究是否存在宽度为的通道？并说明理由． 9．（2023秋•闵行区校级期末）已知函数． （1）当，时，求曲线在点，处的切线方程； （2）当时，既存在极大值，又存在极小值，求的取值范围； （3）当，时，，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围． 10．（2024春•浦东新区校级期末）已知，， （Ⅰ）证明： （Ⅱ）若在恒成立，求的最小值． （Ⅲ）证明：图象恒在直线的上方． 11．（2024春•青浦区校级月考）已知，是实数，1和是函数的两个极值点． （1）求和的值； （2）设函数的导函数，求的极值点； （3）设，其中，，求函数的零点个数． 一．填空题（共1小题） 1．（2022•上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则　　． 二．解答题（共2小题） 2．（2024•上海）对于一个函数和一个点，定义，若存在，，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，，点，，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性． 3．（2023•上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由； （2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$