4.1 任意角与弧度制、三角函数的概念-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角与弧度制、三角函数的概念 5A>! 1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性. 2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. AMc
-  -@) 1.角的概念 (1)正角、负角、零角:我们规定,一条射线绕 其端点按 方向旋转形成的角叫做正 角,按 方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成 了一个 .任意角包括 . (2)象限角:我们通常在直角坐标系内讨论 角.使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴 的非负半轴重合,那么, 在第几象 限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边 在 上,那么就认为这个角不属于任 何一个象限(常称为轴线角). (3)终边相同的角:所有与角α 终边相同的 角,连同角α 在内,可构成一个集合S= . 2.弧度制 (1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心 角叫做 的角,弧度单位用符号rad表 示,读作弧度.一般地,正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零 角的弧度数是 . (2)角度和弧度的换算 180°= rad → 1°= π 180 rad≈0.017 45 rad 1 rad= 180 π °≈57.30° 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (3)半径为r的圆中,圆心角为α rad的角所对 的弧长公 式:l= ,扇 形 的 面 积 公 式:S= 1 2lr= . 3.三角函数的概念 (1)定义:设α 是一个任意角,α∈R,它的终 边OP 与单位圆相交于点P(x,y),则sin α= ,cos α= ,tan α=yx (x ≠ 0).正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三 角函数. (2)三角函数的定义域和函数值在各象限的 符号 三角 函数 定义域 (弧度制下) 第一象 限符号 第二象 限符号 第三象 限符号 第四象 限符号 sin α R + + - - cos α R + - - + tan α α|α≠kπ+ π 2 ,k∈Z + - + - 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 078 @第四章 三角函数、解三角形 -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)锐角是第一象限角,第一象限角也都是 锐角. ( ) (2)“角α 是第一象限角”是“角α2 是第一象限 角”的充分不必要条件. ( ) (3)终边落在直线y=x上的角可以表示为k· 360°+45°,k∈Z. ( ) (4)若α 为第四象限角,则sin αtan α>0. ( ) (5)若sin α<0,则α的终边落在第三或第四 象限. ( ) 2.(教材改编题)若角β 满足条件sin βcos β< 0,且cos β-sin β<0,则β是第 象 限角. 3.(教材改编题)若角α 的顶点为坐标原点,始 边在x 轴的非负半轴上,终边在直线y = - 3x 上,则角α的取值集合是 . 4.(教材改编题)已知扇形的周长是6,面积是2, 则扇形的圆心角的弧度数α 是 . 5.(多选题)(教材改编题)下列结论正确的是 ( ) A.- 5π 3 是第一象限角 B.若圆心角为π3 的扇形的弧长为π,则该扇形 的面积为3π 2 C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α= - 3 5 D.若角α 为锐角,则角2α 为钝角 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 角的概念及其表示 命题角度1 角的表示及象限角的确定 【例1】 (1)(多选题)(2024·河北石家庄外国语 学校摸底)下列命题正确的是 ( ) A.终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合 为{α|α=2kπ,k∈Z} B.终边落在y 轴上的角的集合为{α|α= 90°+kπ,k∈Z} C.第三象限角的集合为 α π+2kπ≤α≤ 3π 2+2kπ ,k∈Z D.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相 同的角为-675°和-315° (2) (多选题)(2024·安徽阜阳摸底)若α是第二 象限角,则 ( ) A.π-α 是第一象限角 B.α2 是第一或第三象限角 C.32π+α 是第二象限角 D.2α 是第三或第四象限角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知角α所在的象限,确定kα,αk (k∈N*)的 终边所在位置的方法:先写出kα 或αk 的范围,然后 根据k的可能取值确定kα 或αk 的终边所在位置. 【对点训练1】 (多选题)下列说法错误的是( ) A.将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角 是π 6 B.若角α=2 rad,则角α 为第二象限角 C.若角α 为第一象限角,则角α2 也是第一象 限角 D.三角形的内角必是第一或第二象限角 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 079 hhh 命题角度2 终边相同的角 【例2】 (1)将90°角的终边按顺时针方向旋转 30°得角α,写出所有终边与α相同的角的集 合A= . (2)如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角α 的集合是 . (3)已知角α 的终边与角β 的终边关于y 轴对 称,则α,β 的关系是β= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件 的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角 的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来 求得所需的角. 【对点训练2】 (1)若角β与角α= π 3 的终边关 于x 轴对称,则与角β 终边相同的所有角构 成的集合为 . (2)在0°~360°范围内,与-1 000°终边相同的最 小正角是 ,是第 象限角. 考点2 扇形的弧长、面积公式 【例3】 (1)已知扇形的周长为42 cm,圆心角 为2 rad,则该扇形的弧长为 cm,面 积为 cm2. (2)(2024·广东惠州高三第一次调研考试)蚊 香(如图1)具有悠久的历史,我国蚊香的发 明可能与古人端午节的习俗有关.某校数学 社团用数学软件制作“蚊香”模型,画法如 下:如图2,在水平直线上取长度为1的线段 AB,作一个等边三角形ABC,然后以点B 为圆心,AB为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D,由此得到第1段圆弧AD ︵, 再以点C 为圆心,CD 为半径逆时针画圆弧 交线段AC 的延长线于点E,再以点A 为圆 心,AE 为半径逆时针画圆弧 …… 以此类 推,当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时,则 该“蚊香”的长度为 ( ) A.14π B.18π C.30π D.44π (3)(2024·四川内江摸底测试)已知扇形的圆 心角为α,所在圆的半径为r.若α=60°,r= 3,扇形的弧长为 ;若扇形的周长为 16,该扇形面积的最大值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 有关扇形的弧长、面积问题的解题策略 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意 角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次 函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理 地利用圆心角所在的三角形. 【对点训练3】 已知一扇形的圆心角为α,半径 为R,弧长为l. (1)若α=60°,R=6,求扇形的弧长l; (2)若扇形面积为16,求扇形周长的最小值, 及此时扇形的圆心角α. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 080 @第四章 三角函数、解三角形 考点3 三角函数的概念 【例4】 (1)(2023·江苏徐州模拟)已知角α 的 终边 过 点 A(-4,3),则sin α·tan α = . (2)已知角α 的终边上一点的坐标为 sin4π3, cos4π3 ,则角α 的最小正值为 . (3)已知角α 的终边上一点P(- 3,m)(m ≠ 0),且sin α= 2m 4 ,则cos α= , tan α= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 三角函数定义应用问题的解题思路 (1)直接利用三角函数的定义,找到或根据已知 给定角的终边上一个点的坐标及这点到原点的距 离,确定这个角的三角函数值. (2)已知角的某一个三角函数值,可以通过三角 函数的定义列出关于参数的方程,求参数的值. (3)牢记各象限三角函数值的符号,在计算或化 简三角函数关系时,要注意对角的范围以及三角函 数值的正负进行必要的讨论. 【对点训练4】 (1)已知角α 的终边在第二象 限,且与单位圆交于点P m,154 ,则m = . (2)角α 的顶点在直角坐标系的原点,始边与x 轴的正半轴重合,点M(x,1)是角α终边上 一点,若sin α= 1 3 ,则x= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋  >Fe2 数学文化背景下的三角函数 【题目呈现】 (1)古希腊地理学家埃拉托 色尼从书中得知,位于尼罗河第一瀑布的塞伊 尼(现在的阿斯旺,在北回归线上)记为A,夏至 那天正午,阳光直射,立杆无影;同样在夏至那 天,他所在的城市 ——— 埃及北部的亚历山大城 记为B,测得立杆与太阳光线所成的角约为 7.2°,他又派人测得 A,B 两地的距离lAB︵ = 800 km,平面示意图如图,则可估算地球的半径 为 (π≈3.14). (2)屏风文化在我国源 远流长,可追溯到汉代.某 屏风工艺厂设计了一款造 型优美的扇环 形 屏 风,如 图,扇环外环弧长为3.2 m,内环弧长为0.8 m, 径长(外环半径与内环半径之差)为1.2 m,若不 计外框,则扇环内需要进行工艺制作的面积的估 算值为 . (3)如图,《掷铁饼者》取材于希腊 的现实生活中的体育竞技活动,刻画的 是一名强健的男子在掷铁饼过程中最 具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张 开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”, 掷铁饼者的手臂长约为π 4 m,肩宽约为π8 m, “弓”所在圆的半径约为1.25 m,试估测掷铁饼者 双手之间的距离约为 (结果保留小数点 后三位,参考数据:2≈1.414,3≈1.732). 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 081 hhh 【素养解读】 数学文化广义上是指数学史、 数学美、数学与生活的交叉应用、数学与各种文 化的关系以及这些因素的交互作用所构成的庞 大体系,狭义上是指数学思想、数学精神、数学方 法以及数学观点、语言等的形成和拓展.在长期 的发展过程中,数学文化形成了注重思维、强调 实用、讲究算法、关注数学审美价值等重要特点. 2" 1.《九章算术》是中国古代数学名著,其对扇形 田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代 的算法一致,根据这一算法解决下列问题:现 有一扇形田,下周长(弧长)为10米,径长(两 段半径的和)为10米,则该扇形田的面积为 平方米. 2.(2024·湖北武汉高三期中)杭州第19届亚运 会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江 省杭州市举行,本届亚运会的会徽名为“潮 涌”,主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛 道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图 形六个元素组成(如图),其中扇面造型突出 反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环 的形状,内环和外环均为圆周的一部分,若内 环弧长是所在圆周长的1 3 ,内环所在圆的半径 为1,径长(内环和外环所在圆的半径之差)为 1,则该扇面的面积为 . 3.17世纪德国著名的天文学家 开普勒曾经这样说过:“几何学 里有两件宝,一个是勾股定理, 另一个是黄金分割.如果把勾 股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分 割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底 与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为 是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰 三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角 形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个 正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金三 角形ABC中,BCAC= 5-1 2 . 根据这些信息,可 得sin 18°= . 学习至此,请完成课时作业20 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 5A>! 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1, sin α cos α=tan α. 2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式,并会诱导公式的简单应用. AMc
-  -@) 1.同角三角函数的基本关系 sin2 α+cos2 α= . sin α cos α= . 2.诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 角 α+2kπ (k∈Z) π+α -α π-α π 2-α π 2+α 与α 终 边关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线 y=x 对称 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 082 hhh h(x0)=e x0 - 1 x0 =0,∴F(x)在区 间 (0,x0)上 单 调 递 减, 在 区 间 (x0,+∞)上单调递增,∴F(x)min = F(x0)=x0(e x0 -1)-ln x0+2= x0e x0 -(x0+ln x0)+2, 由e x0 - 1 x0 =0得x0e x0 =1,两边取 对数得x0+ln x0 =0,∴F(x)min = F(x0)=3. 综上,a的取值范围为(-∞,3]. 第四章 三角函数、 解三角形 4.1 任意角与弧度制、 三角函数的概念 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)逆时针 顺时针 零角 正角、 负角和零角 (2)角的终边 坐标轴 (3){β|β=α+k·360°,k∈Z} 2.(1)1弧度 正数 负数 0 (2)π (3)|α|·r 1 2|α| ·r2 3.(1)y x 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 2.二 解析:因为sin βcos β<0,所以sin β, cos β 异号,因为cos β-sin β<0,即 cos β<sin β,所以sin β>0,cos β< 0,所以β 是第二象限角. 3.α α =kπ- π 3 ,k∈Z 解析:直线y= - 3x 的倾斜角是 2π 3 , 所以终边落在直线y = - 3x 上的角 的 取 值 集 合 为 α α = kπ - π3, k∈Z . 4.1或4 解析:设扇形所在圆的半径为r,则扇 形的弧长l=rα,于是得 2r+rα =6, 1 2r 2α =2, 解得 r=2,α =1 或 r=1, α =4, 所以扇形的圆心角的弧度数α 是1或4. 5.ABC 对于A,- 5π 3 = -2π+ π 3 ,是 第一象限角,故A正确;对于B,设该扇 形的 半 径 为r,则π3 ·r =π,∴r = 3,∴S扇形 = 1 2× π 3×3 2= 3π 2 ,故B正 确;对 于 C,r = (-3)2+42 =5, cos α= x r =- 3 5 ,故C正确;对于D, 取α=30°,则α是锐角,但2α=60°不 是钝角,故D错误.故选ABC. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)AD 终边落在x 轴的非负半轴 上的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z}, 故A正确;终边落在y轴上的角的集合 为 α α = π 2 +kπ ,k∈Z ,原 命 题 属于角度制和弧度制的混用,故B错 误;第 三 象 限 角 的 集 合 为 α π+ 2kπ<α< 3π 2+2kπ ,k∈Z ,故C错 误;-720°~0°范围内所有与45°角终 边相同的角可以表示为{α|α =45°+ 360°·k,k= -1,-2},故α= -675° 或α = -315°,故D正确.故选AD. (2)AB 因为α与-α关于x 轴对称, 而α是第二象限角,所以-α是第三象 限角,所以π-α是第一象限角,故A正 确;因 为α 是 第 二 象 限 角,所 以 π2 + 2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以 π 4+ kπ< α 2 < π 2+kπ ,k∈Z,故 α 2 是第 一或第三象限角,故B正确;因为α 是 第二象限角,所以3 2π+α 是第一象限 角,故C错误;因为α是第二象限角,所 以 π 2 +2kπ<α<π+2kπ ,k∈Z,所 以π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所 以2α的终边可能在y轴负半轴上,故D 错误.故选AB. 对点训练1:ACD 对于 A,将表的分针 拨快5分钟,则分针转过的角为 - π 6 , 故A错误;对于B,因为角α=2 rad= 2× 180 π °≈114.6°,所以角α为第二 象限角,故B正确;对于C,若α 为第一 象限角,不妨取α =390°,则角 α 2 = 195°,为第 三 象 限 角,故C错 误;对 于 D,因为直角不是象限角,所以三角形 为直角三角形时不成立,故D错误.故 选ACD. 例2:(1)β β= π 3 +2kπ ,k∈Z 解析:因为按顺时针方向旋 转 所 得 的 角 为 负 角,所 以 所 求 的 角 为 90°+ (-30°)=60°,则α = π 3 ,故终边与α 相同的角的集合为A = β β= π3+ 2kπ,k∈Z . (2){α|90°+k·180°≤α≤120°+k· 180°,k∈Z} 解析:因 为 终 边 落 在 y 轴 上 的 角 为 90°+k·180°,k∈Z,终边落在题图中 直线上的角为120°+m·360°=120°+ 2m·180°,m ∈Z和300°+n·360°= 120°+180°+2n·180°=120°+(2n+ 1)·180°,n∈Z,即终边在直线上的角 为120°+k·180°,k∈Z,所以终边落 在阴影部分(包含边界)的角α 的集合 为{α|90°+k·180°≤α≤120°+k· 180°,k∈Z}. (3)β=π-α+2kπ,k∈Z 解析:因为角α 的终边与角β 的终边关 于y 轴 对 称,在 一 个 周 期[0,2π)中, α+β=π,即β=π-α,所以由周期性 知β=π-α+2kπ,k∈Z. 对点训练2:(1) ββ=-π3+2kπ,k∈Z 解析:∵ π3 与 - π 3 关 于x 轴 对 称, ∴ 与角β 终边相同的所有角构成的集 合为 β β= - π 3 +2kπ ,k∈Z . (2)80° 一 解析:因为-1 000°= -3×360°+80°, 所以与 -1 000°终边相同的最小正角 是80°,为第一象限角. 例3:(1)22 2 解析:设扇形的半径为r,弧长为l,则 由已知可得 l+2r=42, l=2r, 解得 r= 2, l=22, 所以扇形面积为S = 12 × 22× 2=2. (2)D 由 弧 长 公 式l =|α|·r,得 l1 = 2π 3 ·r,l2 = 2π 3 ·2r,l3 = 2π 3 · 3r,…,l11 = 2π 3 ·11r, 其 中 r = |AB|=1,∴ 蚊香的长度L =l1 + l2+l3+…+l11= 2π 3 (1+2+3+…+ 11)=44π,故选D. (3)π 16 解析:α =60°= π 3 ,扇 形 的 弧 长 = αr= π 3×3=π. 由扇形的周长为16, 可得2r+αr=16,∴r= 16 2+α ,扇形面 积 S = α 2π ·πr2 = 128α (2+α)2 = 128 α+ 4 α +4 ≤ 128 4+2· α· 4 α =16, 当且仅当α= 4 α ,即α=2 rad时等号 成立. 对点训练3:解:(1)因为α =60°= π 3 , R =6, 所以扇形的弧长l=αR =2π. (2)由扇形面积S= 1 2αR 2= 1 2lR= 16,得l= 32 R ,则扇形周长为l+2R = 32 R +2R ≥2 32 R ×2R =16 , 当且仅当32 R =2R ,即R =4时,取等 号,此时,1 2α×4 2 =16,所以α =2, 所以扇形周长的最小值为16,此时α=2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -470- 参 考 答 案 例4:(1)- 9 20 解 析: 由 题 意 可 得:sin α = 3 (-4)2+32 = 3 5 ,tan α = 3 -4= - 3 4 ,则sin α·tan α = - 9 20. (2)7π6 解析:由题意sin α =cos 4π 3 = - 1 2 , 又sin4π3 <0 ,所以点 sin4π3 ,cos4π3 在 第三象 限,即α 是 第 三 象 限 角,所 以 α = 7π 6 +2kπ ,k∈Z,最小正值为 7π 6. (3)- 6 4 ± 15 3 解析:由sin α= m 3+m2 = 2m 4 ,解 得m = ±5,∴r= 3+m2 =22, 当m = 5时,cos α= - 3 22 = - 6 4 , tan α = - 15 3 ;当 m = - 5 时, cos α= - 3 22 = - 6 4 ,tan α= 15 3 . 对点训练4:(1)- 1 4 解析:由点 P m, 154 在单位圆上, 则 m2 + 15 4 2 = 1,解 得 m = ± 1 4 ,由点P 在第二象限角α 的终边 上,则m = - 1 4. (2)±22 解析:由题意得点M(x,1)到原点O的 距 离 为 |OM |= x2+1,故 由 sin α = 1 3 得 1 x2+1 = 1 3 ,解 得 x = ±22. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)6 369 km 解析:设 地 心 为 O,依 题 意 可 得, ∠AOB =7.2°,lAB︵ =800,设地球的 周长为C,半径为R,则7.2360= 800 C = 800 2πR ,所以R = 800×360 2π×7.2≈ 6 369(km). (2)2.4 m2 解析:设扇形所在圆的圆心角为α(α> 0),内环的半径为r m,外环的半径为 R m,则R-r=1.2,因为扇环外环的 弧长为3.2 m,内环的弧长为0.8 m,可 得 αR =3.2, αr=0.8, 可得α(R+r)=4,所 以扇环需要进行工艺制作的面积的估 计值为S= 1 2α (R2-r2)= 1 2α (R+ r)(R-r)= 1 2×4×1.2=2.4 (m2). (3)1.768 m 解析:由题意,“弓”所在弧长l= π 4+ π 4 + π 8 = 5π 8 ,其所对的圆心角α = 5π 8 1.25= π 2 ,双手之间的距离d= 2× 1.25≈1.768(m). 素养检测:1.25 解析:如图所示,因 为径长为10米,下 周 长 为 10 米,即 OA+OB =10且 lAB︵ =10,所以扇形 所在圆的半径为R = 10 2 =5 (米),所 以该扇形田的面积为S = 1 2 ×10× 5=25(平方米). 2. π 解析:设内环圆弧所对的圆心角为α, 因为内环弧长是所在圆周长的 1 3 ,且 内环所在圆的半径为1,所以α×1= 1 3×2π×1 ,可得α= 2π 3 ,因为径长(内 环和外环所在圆的半径之差)为1,所 以,外环圆弧所在圆的半径为1+1= 2,因 此,该 扇 面 的 面 积 为 12 × 2π 3 × (22-12)=π. 3.5-14 解析:根据正五边形的性质,可得正五 边形的每个内角为 180°×3 5 =108° ,所 以 ∠ACB = 72°,又 cos∠ACB = cos 72°= 1 2BC AC = 5-1 4 ,所以sin 18°= cos 72°= 5-1 4 . 4.2 同角三角函数基本 关系式及诱导公式 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.1 tan α α≠kπ+ π 2 ,k∈Z 2.sin α cos α -cos α sin α tan α -tan α 奇变偶不变 3.(1)1-cos2α (1+sin α)(1-sin α) (3) tan 2α tan2α+1 (4) cos 2α sin2α+cos2α 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2.- 3 5 3 4 解析:∵cos α= - 4 5 ,且α为第三象限 角,∴sin α= - 1-cos2α = - 3 5. ∴tan α = sin α cos α = 3 4. 3.1 解析:2cos 2α-1 1-2sin2α = 2cos2α-(sin2α+cos2α) (sin2α+cos2α)-2sin2α = cos2α-sin2α cos2α-sin2α =1. 4.3-12 解析:∵tan α = 3,π<α< 3 2π , ∴α= 4π 3 ,∴cos α=- 1 2 ,sin α=- 3 2. ∴cos α-sin α = - 1 2 - - 3 2 = 3-1 2 . 5.CD sin(-x)= -sin x,故 A不 成 立;sin3π2 -x = -cos x,故B不成 立;cos π2 +x = -sin x,故 C 成 立;tan(x+π)=tan x,故D成立.故 选CD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)- 5 5 解析:因为θ∈ 0, π 2 ,则sin θ>0, cos θ>0,又因为tan θ= sin θ cos θ= 1 2 , 则cos θ=2sin θ,且cos2θ+sin2θ = 4sin2θ+sin2θ = 5sin2θ = 1,解 得 sin θ= 5 5 或sin θ= - 5 5 (舍去),所 以sin θ-cos θ =sin θ-2sin θ = -sin θ= - 5 5. (2)- 3 4 解析:因为sin α= 3 5 ,sin2α+cos2α= 1,所以cos α = ± 4 5 ,因为α∈ π2, π ,所以cos α = -45,所以tan α = sin α cos α = - 3 4. 对点训练1:(1)A 由sin x =1,得x = 2kπ+ π 2 (k∈Z),则cos2kπ+ π 2 = cosπ2 =0 ,故充分性成立;又cos3π2 =0 , sin3π2 = -1 ,故 必 要 性 不 成 立.所 以 “sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要 条件,故选A. (2)34 解析:因为sin α = - 3 5 ,且α∈ π2, 3π 2 ,所以α为第三象限角,所以cos α= - 4 5 ,故tan α = sin α cos α = 3 4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -471-