3.1 导数的概念及其意义、导数的运算-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

第三章 一元函数的导数及其应用 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 5A>! 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象,理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数的导数. AMc
-  -@) 1.导数的概念及其意义 (1)导数的概念:如果当Δx→0时,平均变化 率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值,即Δy Δx 有极 限,则称y=f(x)在x=x0处 ,并把 这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导 数(也称为 ),记作 或 y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0 Δy Δx= lim Δx→0 f(x0+Δx)-f(x0) Δx . (2)导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0 处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在 点P(x0,f(x0))处的 .也就是 说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切 线的斜率是 .相应的切线方程为 . (3)导函数的概念:当x=x0时,f'(x0)是一 个唯一确定的数,这样,当x 变化时,y = f'(x)就是x 的函数,我们称它为y=f(x) 的 (简称 ).y=f(x)的导 函数 有 时 也 记 作 y',即 f'(x)=y' = lim Δx→0 f(x+Δx)-f(x) Δx . 2.导数的运算 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)= f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)= f(x)=sin x f'(x)= f(x)=cos x f'(x)= f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=ex f'(x)= f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= (2)导数的四则运算法则 项目 运算法则 和差 [f(x)±g(x)]'= 积 [f(x)g(x)]'= , 特别地,[cf(x)]'= 商 f(x) g(x) 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 '= (g(x)≠0) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 062 @第三章 一元函数的导数及其应用 (3)简单复合函数的导数 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x) 的复合函数,记作y= .它的导数与 函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 .即y对x 的导数等于y对 u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 常用结论与知识拓展 1.区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线,该点一定是切点,切线有且仅 有一条. (2)过点处的切线,该点不一定是切点,切线至少 有一条. 2.几类重要的切线方程 (1)y=x-1是曲线y=ln x 的切线,y=x 是曲 线y=ln(x +1)的切线,…,y=x +n 是曲线y= ln(x+n+1)的切线,如图1. 图1 图2 (2)y=x+1与y=ex 是曲线y=ex 的切线,如图2. (3)y=x是曲线y=sin x与y=tan x的切线,如图3. 图3 图4 (4)y=x-1是曲线y=x2-x,y=xln x 及y=1- 1 x 的切线,如图4. 由以上切线方程可得重要不等式,如ln x ≤x-1, x+1≤ex 等. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)f'(x0)与[f(x0)]' 表示的意义是不相 同的. ( ) (2)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的 平均变化率. ( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公 共点. ( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲 线的切线. ( ) (5)函数f(x)=sin(-2x)的导数是f'(x)= cos(-2x). ( ) 2.(教材改编题)物体运动的方程为s= 1 4t 4-3, 则t=5时的瞬时速度为 . 3.(教材改编题)设f(x)=ln(3-2x)+cos 2x, 则f'(0)= . 4.(教材改编题)已知f(x)=x3-3x2+1,则曲 线y=f(x)在点(1,-1)处的切线方程为 . 5.(多选题)(教材改编题)曲线f(x)=x3-x+ 3在点P 处的切线平行于直线y=2x-1,则 点P 的坐标可能为 ( ) A.(1,3) B.(0,3) C.(2,9) D.(-1,3) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 导数的运算 【例1】 求下列函数的导数: (1)y=x1+ 2 x + 2 x3 ; (2)y= 1+cos x sin x ; (3)y=3x2+log2x; (4)y= ln x x+1- 2x. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 063 hhh 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一般对函数式先化简再求导,常用求导技巧有 ① 连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求 导;② 分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式 函数或较为简单的分式函数,再求导;③ 对数形式: 先化为和、差的形式,再求导;④根式形式:先化为分 数指数幂的形式,再求导;⑤ 三角形式:先利用公式 化简函数,再求导;⑥复合函数:确定复合关系,由外 向内,层层求导. 【对点训练1】 (1)函数f(x)=ln(1-x)+ ax-1,若f'(-2)=-2,则a= . (2)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)= x+ex,则f'(1)= . 考点2 导数的几何意义 命题角度1 曲线的切线的斜率和方程 【例2】 (1)(2021·全国甲卷)曲线y= 2x-1 x+2 在点(-1,-3)处的切线方程为 . (2)(2023·全国甲卷改编)曲线y= ex x+1 在点 1,e2 处的切线方程为 . (3)若点P是函数y= 2sin x sin x+cos x 图象上任意 一点,直线l为点P 处的切线,则直线l斜率 的取值范围是 . (4)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0, -1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l 的方程为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 曲线切线方程的求法:① 以曲线上的已知点 (x0,f(x0))为切点时,先求出函数f(x)的导数 f'(x)和切线的斜率f'(x0),进而写出切线方程 y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0),化简即得最终结 果;② 如果已知点(x1,y1)不在曲线上,则设出切点 (x0,y0),解 方 程 组 y0=f(x0), y1-y0 x1-x0 =f'(x0), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 切 点 (x0,y0),进而确定切线方程. 求切线方程时,要注意判断已知点是否满足曲 线方程,即是否在曲线上;与曲线只有一个公共点的 直线不一定是曲线的切线,曲线的切线与曲线的公 共点不一定只有一个. 【对点训练2】 (1)直线y =kx +1与曲线 f(x)=aln x+b相切于点P(1,2),则2a+ b= . (2)若曲线y= x 的一条切线经过点(8,3),则 此切线的斜率为 . 命题角度2 两条曲线的公切线 【例3】 (1)若直线l与曲线y= x 和x2+y2= 1 5 都相切,则l的方程为 . (2)(2023·贵州遵义高三开学摸底考试)若直 线y=kx+b是曲线y=ex+1 的切线,也是 y=ex +2的切线,则k= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 064 @第三章 一元函数的导数及其应用 处理与公切线有关的参数问题,通常根据曲 线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组) 并解出参数,建立方程(组)的依据主要是:① 切 点处 的 导 数 是 切 线 的 斜 率;② 切 点 在 切 线 上; ③ 切点在曲线上. 【对点训练3】 (1)已知函数f(x)=x2-2m, g(x)=3ln x-x,若y=f(x)与y=g(x) 在公共点处的切线相同,则m= . (2)函数f(x)=ln x 与函数g(x)=ax2-a的 图象在点(1,0)处的切线相同,则实数a 的 值为 . 命题角度3 已知曲线的切线条数求参数范围 【例4】 (1)(2021·新高考 Ⅰ 卷)若过点(a,b) 可以作曲线y=ex 的两条切线,则 ( ) A.eb <a B.ea <b C.0<a<eb D.0<b<ea (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex 有两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围 是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知曲线的切线条数求参数范围问题时,需要 明确的是,曲线存在几条切线,就会相应的有几个切 点,因此就可以将切线条数问题转化为切点个数问 题;也就是说抓住“切点”这个“牛鼻子”,将问题进一 步转化为关于相应函数零点个数的问题. 【对点训练4】 (1)已知函数f(x)= 1 x+ln x, 过点(0,m)有两条直线与曲线y=f(x)相 切,则实数m 的取值范围是 . (2)已知f(x)=x3-x,如果过点(2,m)可作曲 线y=f(x)的三条切线,则m 的取值范围 是 . 学习至此,请完成课时作业16 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3.2 导数与函数的单调性 5A>! 结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函 数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. AMc
-  -@) 1.函数的单调性与导数的关系 一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x) 的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a, b)内,如果 ,那么函数y= f(x)在 区间(a,b)内单调递增;如果 ,那么 函数y= f(x)在区间(a,b)内单调递减. 2.利用导数判断函数f(x)单调性的步骤 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数f'(x)的零点; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划 分为若干个区间,列表给出f'(x)在各个区 间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义 域内的单调性. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 065 参 考 答 案 2 m2,第3个月增加4 m2,C错误;由 2 t1 =2,2 t2 =3,2 t3 =6,所 以2 t1 · 2 t2 =2 t3,故t1+t2 =t3,D正确. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:B 水位由高变低,排除C,D;半缸 前下降速度先快后慢,半缸 后 下 降 速 度先慢后快,故选B. 对点训练1:(1)D y 为“小王从出发到 返回原地所经过的路程”而不是位移, 故排除A,C,又 因 为 小 王 在 乙 地 休 息 10分钟,故排除B,故选D. (2)AD 当 t = 1 时,y = 4, 即 1 2 1-a =4,k·1=4,解得a =3, k=4,所以y= 4t,0≤t<1, 1 2 t-3 ,t≥1, 故A 正 确;药 物 刚 好 起 效 的 时 间,4t = 0.125,即t= 1 32 ,药物刚好失效的时 间, 1 2 t-3 =0.125,解得t=6,故药 物有效时长为6- 1 32=5 31 32 (小时),药 物的有效时长不到6小时,故B错误, D正确;注射该药物18 小时后每毫升 血液含药量为4× 1 8 =0.5 (微克),故 C错误. 例2:(1)33 解析:由题意 k ·m20 =20%, k·m30 =40%, 两式相 除得 m10 =2,m =2 1 10,代 入 得k = 5%,所以y=5%·2 t 10,由50%=5%· 2 t 10 得2 t 10=10,取对数得 t 10lg 2=1,t= 10 lg 2≈ 10 0.3≈33 (小时). (2)①120 ②80 解析:由题意知,种植成本与上市时间 的变化关系应该用二次函数Q=at2+ bt+c,即Q =a(t-120)2+m 描述, 将表中数据代入可得 a(60-120)2+m =116, a(100-120)2+m =84, 解得 a=0.01, m =80, 所以Q=0.01(t-120)2+ 80,故当上市天数为120时,种植成本 取到最低值80元/100 kg. 对点训练2:B 由题意得G = 10 9G 1+e -0.67 vv0 +0.27 ,即1+e -0.67 vv0 +0.27 = 10 9 ,即e -0.67 vv0 +0.27 = 1 9 ,两边同取自 然对数得,-0.67 v v0 +0.27 =-2ln 3, 所以v≈ 2.2 0.67-0.27 v0 ≈3.0v0, 故选B. 例3:解:(1)因为每件商品售价为5元,则 x 万件商品销售收入为5x 万元, 依题意得,当0<x <8时,L(x)= 5x - 1 3x 2+x -3= - 13x2 + 4x-3; 当x ≥8时,L(x)=5x - 6x + 100 x -38 -3=35- x+100x . 所以L(x)= - 1 3x 2+4x-3,0<x <8, 35- x+ 100 x ,x ≥8. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)当0<x<8时,L(x)= - 1 3 (x- 6)2+9. 此时,当x =6时,L(x)取得最大值, 为9万元. 当x≥8时,L(x)=35- x+ 100 x ≤ 35-2 x· 100 x =35-20=15 ,当且 仅当x = 100 x 时等号成立,即x =10 时,L(x)取得最大值,为15万元. 因为9<15,所以当年产量为10万件 时,小王在这一产品的生产中所获利 润最大,最大利润为15万元. 对点训练3:解:(1)由题意知,当0≤ x ≤8时,y =0.6x+0.2(14-x)- 1 20x 2 = - 1 20x 2+ 2 5x+ 14 5 , 当8<x≤14时,y=0.6x+0.2(14- x)- 3x+8 10 = 1 10x+2 ,即y = - 1 20x 2+ 2 5x+ 14 5 ,0≤x ≤8, 1 10x+2 ,8<x ≤14. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)当0≤x ≤8时,y = - 1 20x 2 + 2 5x+ 14 5 = - 1 20 (x-4)2+ 18 5 , 所以当x =4时,ymax = 18 5. 当8<x ≤14时,y = 1 10x+2 , 所以当x =14时,ymax = 17 5. 因为18 5 > 17 5 ,所以当x=4时,ymax= 18 5. 所以当精加工蔬菜4吨时,总利润 最大,最大利润为18 5 万元. 例4:(1)199 解析:设 经 过 x 天 能 达 到 最 初 的 16 000倍,由已知可得,N0(1+0.05)x = 16 000N0,所以x= ln 16 000 ln 1.05 ≈198.4 , 又x∈N,故经过199天能达到最初的 16 000倍. (2)27 解析:依 题 意 得 5% =a ·b5, 10% =a·b10, 解 得 b=2 1 5, a=2.5%, 则v=2.5%·2 1 5t,这种 垃圾完全分解,即分解率为100%,即 v=2.5%·2 1 5t =1,所以2 1 5t =40,所 以 1 5t=log240 ,所以t=5log240= 5lg 40 lg 2 = 5(lg 4+1) lg 2 = 5(2lg 2+1) lg 2 = 10+ 5 lg 2≈10+ 5 0.3≈27. 对点训练4:0.585 解析:因 为lg Xn = nlg(1+p)+ lg X0,所以lg Xn X0 =nlg(1+p),由题 意得n=5时, Xn X0 =10,代入上式得 lg 10=5lg(1+p),所以lg(1+p)= 1 5 ,即1+p=10 1 5 =100.2,可得p= 100.2-1≈1.585-1=0.585. 第三章 一元函数的 导数及其应用 3.1 导数的概念及其 意义、导数的运算 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)可导 瞬时变化率 f'(x0) (2)切线的斜率 f'(x0) y-y0 = f'(x0)(x-x0) (3)导函数 导数 2.(1)0 αxα-1 cos x -sin x axln a ex 1xln a 1 x (2)f'(x)± g'(x) f'(x)g(x)+ f(x)g'(x) cf'(x) f'(x)g(x)-f(x)g'(x) [g(x)]2 (3)f(g(x)) y'x =y'u·u'x 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× 2.125 解析:物体运动的方程为s= 1 4t 4-3, 则s'=t3,代入t=5,得t=5时的瞬 时速度为53 =125. 3.- 2 3 解析:因为f'(x)= - 2 3-2x- 2sin 2x, 所以f'(0)= - 2 3. 4.3x+y-2=0 解析:因为f(x)=x3-3x2+1,所以 f'(x)= 3x2 -6x.当 x = 1 时, f'(1)=3-6= -3,所以曲线y = x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方 程为y+1= -3(x-1),即3x+y- 2=0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -461- hhh 5.AD 设切点P(x0,x30-x0+3).因为 曲线 f(x)在 点 P 处 的 切 线 的 斜 率 k= f'(x0)= 3x20 -1= 2,所 以 x0 = ±1,所以点P 的坐标为(1,3)或 (-1,3).故选AD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:解:(1)∵y =x 1+ 2 x + 2 x3 = x+2+ 2 x2 ,∴y'=1- 4 x3 . (2)y'= 1+cos x sin x '= -sin2x-(1+cos x)cos x sin2x = -sin2x-cos2x-cos x sin2x = -1-cos x sin2x = - 1+cos x sin2x . (3)y'=6x+ 1 xln 2. (4)y'= ln x x+1 '-(2x)'= 1 x (x+1)-ln x (x+1)2 -2xln 2= 1+x-xln x x(x+1)2 -2xln 2. 对点训练1:(1)- 5 3 解析:函数f(x)=ln(1-x)+ax- 1,求 导 得 f'(x)= - 1 1-x + a,而 f'(-2)= -2,即f'(-2)= - 1 3 + a= -2,解得a= - 5 3 ,所以a=- 5 3. (2)2 解析:令t =ex,故 x =ln t,所 以 f(t)=ln t+t,即f(x)=ln x+x, 所以f'(x)= 1 x +1 ,所以f'(1)=2. 例2:(1)5x-y+2=0 解析:当x = -1时,y = -3,故 点 (-1,-3)在 曲 线 上.因 为 y' = 2(x+2)-(2x-1) (x+2)2 = 5 (x+2)2 ,所 以y'|x= -1 =5.∴ 切 线 方 程 为y+ 3=5(x+1),即5x-y+2=0. (2)y = e 4x+ e 4 解析:设曲线y= ex x+1 在点 1,e2 处 的切线方程为y- e 2 =k (x-1),因为 y= ex x+1 ,所以y'= ex(x+1)-ex (x+1)2 = xex (x+1)2 ,所以k=y'|x=1= e 4 ,所以 y- e 2 = e 4 (x -1),所以曲线y = ex x+1 在 点 1,e2 处 的 切 线 方 程 为 y = e 4x+ e 4. (3)[1,+∞) 解析:因为y= 2sin x sin x+cos x ,所以y'= 2cos x(sin x+cos x)-2sin x(cos x-sin x) (sin x+cos x)2 = 2cos2x+2sin2x 1+2sin xcos x = 2 1+sin 2x. 因 为 -1< sin 2x ≤ 1,所 以 0 < 1+ sin 2x ≤2,所以 1 1+sin 2x ≥ 1 2 ,则 y'= 2 1+sin 2x ≥1 ,所以直线l斜率 的取值范围是[1,+∞). (4)x-y-1=0 解析:∵ 点(0,-1)不在曲线f(x)= xln x 上,∴ 设 切 点 为 (x0,y0).又 f'(x)=1+ln x,∴ 直线l的方程为 y+1= (1+ln x0)x. 由 y0 =x0ln x0, y0+1= (1+ln x0)x0, 解得 x0 =1, y0 =0. ∴ 直线l的方程为y =x-1,即x- y-1=0. 对点训练2:(1)4 解析:直线y=kx+1与曲线f(x)= aln x+b相切于点P(1,2),将P(1,2) 代入y=kx+1,可得k+1=2,解得 k = 1,∵f(x) = aln x + b, ∴f'(x)= a x ,由f'(1)= a 1 =1 ,解 得 a = 1, 可 得 f(x)= ln x + b,∵P(1,2)在曲线f(x)=ln x+b 上,∴f(1)=ln 1+b=2,解得b=2, 故2a+b=2+2=4. (2)14 或1 8 解析:由 题 意,设 切 点 坐 标 为 (x0, x0),由y = x =x 1 2,得y' = 1 2 x ,则切线斜率k= 1 2 x0 ,则曲线 在切点处的切线方程为y- x0 = 1 2 x0 (x-x0),又切线过点(8,3),所 以3- x0 = 1 2 x0 (8-x0),整理 得x0-6 x0+8=0,解得 x0 =4 或2,所以切线斜率k= 1 4 或 1 8. 例3:(1)x-2y+1=0 解析:设直线l在曲线y= x 上的切 点为(x0, x0),则x0 >0,函数y= x 的导数为y'= 1 2 x ,则直线l的 斜率k= 1 2 x0 ,直线l的方程为y- x0 = 1 2 x0 (x - x0), 即 x - 2 x0y+x0=0.由于直线l与圆x2+ y2 = 1 5 相切,则 x0 1+4x0 = 1 5 ,整 理得5x20-4x0-1=0,解得x0 =1, x0 = - 1 5 (舍去),则直线l的方程为 x-2y+1=0. (2)2 解析:设直线y=kx+b与y=ex +2 和y =ex+1 的切点分别为(x1,e x1 + 2),(x2,e x2+1),则切线方程分别为y- (e x1+2)=e x1(x-x1),y-e x2+1 = e x2+1(x-x2),化 简 得,y =e x1x + e x1+2-x1e x1,y=e x2+1x-x2e x2+1+ e x2+1.依题意上述两直线与y=kx+b 是同一条直线,所以 e x1 =e x2+1, e x1 +2-x1e x1 = -x2e x2+1+e x2+1, 解得x1=ln 2,所以k=e x1 =eln 2=2. 对点训练3:(1)1 解 析:f(x) = x2 - 2m,g(x) = 3ln x-x,则f'(x)=2x,g'(x)= 3 x -1. 设公共点为(x0,y0),且x0 > 0,由f'(x0)=g'(x0),即2x0= 3 x0 - 1,解得x0=1或x0= - 3 2 (舍去),所 以y0=3ln x0-x0= -1,所以-1= 12-2m,解得m =1. (2)12 解析:函数f(x)=ln x,有f'(x)= 1 x ,则 f'(1)= 1 1 =1 ,所 以 函 数 f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程 为y=x-1,又函数g(x)=ax2-a, 有g'(x)=2ax,则g'(1)=2a,所以 函数g(x)的图象在点(1,0)处的切线 方程 为 y = 2ax -2a,因 为 函 数 f(x)=ln x 与函数g(x)=ax2-a 的图象在点(1,0)处的切线相同,所以 2a=1,即a= 1 2. 例4:(1)D 在曲线y =ex 上任取一点 P(t,et),对函数y =ex 求导得y'= ex,所以,曲线y=ex 在点P 处的切线 方程为y-et =et(x -t),即y = etx+(1-t)et,由题意可知,点(a,b) 在直线y =etx + (1-t)et 上,可得 b=aet+(1-t)et = (a+1-t)et,令 f(t)= (a+1-t)et,则f'(t)= (a- t)et.当t<a时,f'(t)>0,此时函数 f(t)单调递增,当t>a时,f'(t)<0, 此时 函 数 f(t)单 调 递 减, 所 以, f(t)max =f(a)= ea,由题意可知,直 线y=b与曲线y= f(t)的图象有两个 交 点, 则 b < f(t)max =ea,当t< a+1时,f(t)>0, 当t >a +1时, f(t)<0,作出函数f(t)的图象如图所 示,由图可知,当0<b<ea 时,直线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -462- 参 考 答 案 y =b与曲线y=f(t)的图象有两个 交点.故选D. (2)(-∞,-4)∪ (0,+∞) 解析:∵y = (x+a)ex,∴y'= (x+ 1+a)ex,设切点为(x0,y0),则y0 = (x0+a)e x0,切线斜率k= (x0+1+ a)e x0,切线方程为y-(x0+a)e x0 = (x0+1+a)e x0(x-x0),∵切线过原 点,∴ - (x0 +a)e x0 = (x0 +1+ a)e x0(-x0),整理得x20+ax0-a= 0,∵ 切线有两条,∴Δ=a2+4a>0, 解得a<-4或a>0,∴a的取值范围 是(-∞,-4)∪ (0,+∞). 对点训练4:(1)(ln 2,+∞) 解析:由 f(x)= 1 x +ln x,得 f'(x) = x-1 x2 , 设 切 点 为 x0, 1 x0 +ln x0 ,则切线方程为y- 1 x0 +ln x0 =x0-1x20 (x -x0).因 为过点(0,m)有两条直线与曲线y = f(x)相切,所以m- 1 x0 +ln x0 = x0-1 x20 (0-x0)有两个不同实数根,即 m = 2 x0 -1+ln x0 有两个不同实数 根.令 g(x)= 2 x -1+ln x,则 g'(x)= x-2 x2 ,令 g'(x)> 0,即 x-2 x2 >0,解得x>2;令g'(x)<0, 即 x-2 x2 <0,解得0<x<2.g(x)在 (0,2)上递减,在(2,+∞)上递增,当 x =2时, g(x)取得极小值也为g(x) 的最 小 值,所 以 g(x)min = g(2)= 2 2 -1+ln 2=ln 2,故实数m 的取值 范围是(ln 2,+∞). (2)(-2,6) 解析:f'(x)=3x2-1,则过(t,f(t)) 的切线方程为y-f(t)=f'(t)(x- t),即y=(3t2-1)x-2t3,由过点(2, m)可作曲线y=f(x)的三条切线得 m = -2t3+6t2-2有3个不等实根. 令g(t)=2t3-6t2+2+m,g'(t)= 6t2-12t,由g'(t)=0得t=0或t= 2.当t<0或t>2时,g'(t)>0,g(t) 单调递增;当0<t<2时,g'(t)<0, g(t)单调 递 减;故 当t=0时,函 数 g(t)取得极大值2+m;当t=2时,函 数g(t)取 得 极 小 值 m -6,要 使 g(t)=0有3个不等实根,则 -2< m < 6,即 所 求 m 的 取 值 范 围 是 (-2,6). 3.2 导数与函数的单调性 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.f'(x)>0 f'(x)<0 基础检测 1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 2.0,14 解析:因为f(x)=4x-ln x(x>0), 所以f'(x)=4- 1 x ,由 x >0, f'(x)=4- 1 x <0 , 解得0<x < 1 4 ,所以函数f(x)=4x-ln x 的单 调递减区间为 0,14 . 3.B 由题图知,当-2<x<0或x> 2时,f'(x)<0,因此单调递减区间是 (-2,0),(2,+∞).故选B. 4.a≥ 25 8 解析:函数f(x)在 1 3 ,1 2 内单调递 增,则f'(x)= 1 x +2ax-5≥0 在 x ∈ 1 3 ,1 2 上 恒 成 立,即 2a ≥ - 1 x2 + 5 x 在x∈ 1 3 ,1 2 上恒成立, 又- 1 x2 + 5 x = - 1 x - 5 2 2 + 25 4 ∈ 6,254 ,所以2a≥254,即a≥258. 5.BC 由 x >0 , ln x ≠0, 得x>0且x≠1, 所以函数f(x)= ex ln x 的定义域为(0, 1)∪ (1,+∞),故 A不正确.当x ∈ (0,1)时,ln x < 0,ex > 0,所 以 f(x)<0,所以当x∈(0,1)时,f(x) 的图 象 位 于 x 轴 下 方,故 B 正 确. f'(x)= ex ln x- 1 x (ln x)2 ,令g(x)= ln x- 1 x ,则g'(x)= 1 x + 1 x2 >0,所 以函数g(x)单调递增,g(1)= -1< 0,g(e)=1- 1 e >0 ,故存在x0>1, 使得g(x0)=0,则函数f'(x)=0只 有一个根x0,当x∈(0,1)和x∈(1, x0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递 减,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0, 函数f(x)单调递增,所以函数有三个 单调 区 间,故 C 正 确,D 不 正 确.故 选BC. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1) e e ,+∞ 解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2xln x+x2· 1 x =2xln x+ x =x(2ln x+1),令f'(x)>0,得 2ln x+1>0,解得x > e e ,故函数 f(x)=x2ln x 的 单 调 递 增 区 间 为 e e ,+∞ . (2)解:f(x)= x - sin x cos2x ,x ∈ 0,π2 ,则f'(x)=1- cos xcos2x-2cos x(-sin x)sin x cos4x =1- cos2x+2sin2x cos3x = cos3x-cos2x-2(1-cos2x) cos3x = cos3x+cos2x-2 cos3x ,令t=cos x,由于 x∈ 0, π 2 ,所以t=cos x∈(0,1), 所以cos3x+cos2x-2=t3+t2-2= t3-t2+2t2-2=t2(t-1)+2(t+ 1)(t-1)=(t2+2t+2)(t-1),因为 t2+2t+2=(t+1)2+1>0,t-1< 0,cos3x =t3 > 0,所 以 f'(x)= cos3x+cos2x-2 cos3x <0在 0, π 2 上恒 成立,所 以 f(x)在 0, π 2 上 单 调 递减. 对点训练1:(1,+∞) 解析:f(x)的 定 义 域 为 (0,+ ∞), f'(x)= 1 x -ln x-1 ex ,令φ(x)= 1 x -ln x -1(x > 0),φ'(x)= - 1 x2 - 1 x <0 ,φ(x)在(0,+∞)上 单调递减,且φ(1)=0,∴ 当x ∈ (0, 1)时,φ(x)>0,当x∈(1,+∞)时, φ(x)<0,∴f(x)在(0,1)上单调递 增,在(1,+∞)上单调递减. 例2:解:由题意得a≠0,f'(x)=3ax2- 6x =3ax x- 2 a , 令f'(x)=0,得x =0或x = 2 a , ① 当a>0时,当x<0或x> 2 a 时, f'(x)> 0,当 0 < x < 2 a 时, f'(x)<0, 所 以 f(x) 在 (- ∞,0) 和 2 a ,+∞ 上 递 增, 在 0,2a 上 递减; ② 当a<0时,当x>0或x< 2 a 时, f'(x)<0,当 2 a <x<0 时,f'(x)> 0, 所 以 f(x) 在 (0, + ∞) 和 -∞, 2 a 上 递 减, 在 2a,0 上 递增. 综上,当a>0时, f(x)在(-∞,0)和 2 a ,+∞ 上 递 增,在 0,2a 上 递 减;当a<0时,f(x)在(0,+∞)和 -∞, 2 a 上 递 减, 在 2a,0 上 递增. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -463-