2.9 函数与方程-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

hhh 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用函数图象求解不等式的思路 不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图 象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合,体现 了数形结合思想的应用.一般地,涉及奇、偶函数或 指数函数、对数函数有关的不等式问题,常用数形结 合法求解. 【对点训练4】 已知y=f(x) 是奇函数,y=g(x)是偶 函数,它们的定义域均为 [-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所 示,则不等式f (x) g(x)< 0的解集是 . 命题角度3 利用函数的图象研究方程的根 【例5】 已知函数f(x)= -x2-2x+3,x≤1, ln x,x>1, 则关于x 的方程f(x)- 1 2x+ 1 2=0 解的个 数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求 解问题,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标. (1)注意函数图象特征与性质的对应关系. (2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交 点和上下关系问题. 【对点训练5】 (1)已知函数f(x)= -x2+1,x <1, log2x,x ≥1, 若关于x的方程f(x)=k 有三个不同的实根,则实数k 的取值范围是 . (2)若关于x 的方程|x|=a-x 只有一个解, 则实数a的取值范围是 . 学习至此,请完成课时作业13 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.9 函数与方程 5A>! 1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解的步骤. AMc
-  -@) 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:使 的实数x叫 做函数y=f(x)的零点. (2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔ 函数y=f(x) ⇔ 函数y=f(x)的 图象与x 轴 . 2.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 一条连续不断的曲线,且有 ,那 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 054 @第二章 函数的概念与基本初等函数 么,函数y=f(x)在区间 内至少有 一个零点,即存在c∈(a,b),使得 , 这个c也就是方程f(x)=0的解. 3.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零 点所在区间 ,使所得区间的两个端 点逐步逼近 ,进而得到零点近似值 的方法叫做二分法. 常用结论与知识拓展 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函 数,则f(x)至多有一个零点. 2.连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有 函数值保持同号. 3.连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能 变号,也可能不变号. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的 交点. ( ) (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函 数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0. ( ) (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求 出零点的近似值. ( ) (4)f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a, b]上有零点的充分不必要条件. ( ) (5)若函数y=ax2-2x+1只有一个零点,则 实数a的值为1. ( ) 2.(教材改编题)已知函数f(x)=logax+x- b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时, 函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*, 则n= . 3.(教材改编题)已知函数f(x)=x- x(x> 0),g(x)=x+ex,h(x)=x+ln x(x >0) 的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3 的大 小关系为 . 4.(教材改编题)函数f(x)=ex-1+4x-4的零 点个数是 . 5.(多选题)某同学用二分法求函数f(x)= 2x +3x -7的零点时,计算出如下结果: f(1.5)≈0.33,f(1.25)≈-0.87,f(1.375)≈ -0.28,f(1.437 5)≈0.02,f(1.406 25)≈ -0.13.下列说法正确的有 ( ) A.f(x)的零点在区间(1.375,1.406 25)内 B.f(x)的零点在区间(1.25,1.437 5)内 C.精确度为0.1的近似值可以为1.4 D.精确度为0.1的近似值可以为1.5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 函数零点的判断 命题角度1 函数零点所在区间的判断 【例1】 (2023·河北承德调研)函数f(x)= log8x- 1 3x 的一个零点所在的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理:首先看函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有 f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a, b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 2.函数零点存在定理只能判断函数在某个区间 上的变号零点,不满足条件时,一定要结合函数性质 进行分析判断. 【对点训练1】 函数f(x)=log3x+x-2的零 点所在的区间为 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 055 hhh A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 命题角度2 函数零点个数的判断 【例2】 (1)函数f(x)=2x +x3-2在区间(0, 1)内的零点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(2021·北京卷)已知函数f(x)=|lg x|- kx-2,给出下列四个结论: ① 若k=0时,f(x)恰有两个零点; ② 存在负数k,使得f(x)恰有一个零点; ③ 存在负数k,使得f(x)恰有三个零点; ④ 存在正数k,使得f(x)恰有三个零点. 其中所有正确结论的序号是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函数零点个数的判定方法 (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,那 么有几个解就有几个零点. (2)函数零点存在定理:利用该定理不仅要求函 数在[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)< 0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确 定函数有多少个零点. (3)合理转化为两个函数的图象的交点个数问 题,画出两个函数图象,看其交点的个数有几个,其 中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的 零点. 【对点训练2】 (1)函数f(x)= x2+x-2,x≤0, -1+ln x,x>0 的零点个数为 . (2)(2023·湖南长沙模拟)函数y=lg|x|- sin x 的零点个数为 . 考点2 函数零点的应用 命题角度1 已知函数零点或方程根的个数,求 参数取值范围 【例3】 已知函数f(x)= ex -a,x ≤0, 2x-a,x >0 (a∈ R),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数 a的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.形如g(x)=f(x)-m 的含参数函数零点问 题可转化为f(x)=m 求解. 2.根据含参数的指数、对数、抽象函数的零点个 数求参数的取值范围问题,若能够将参数分离,则常 分离参数后求解,若分离参数后的不含参数的函数 图象能够作出,则作出函数图象后利用数形结合思 想求解. 【对点训练3】 (2023·江苏苏州质检)函数 f(x)=x·2x -kx-2在区间(1,2)内有零 点,则实数k的取值范围是 . 命题角度2 求函数零点的和 【例4】 (1)函数f(x)= 1 1-x- 2sin πx(-1≤ x ≤3)的所有零点之和为 . (2)已 知 函 数 f(x)= (x+1)2,x ≤0, |log4x|,x >0, 若 f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4且 x1<x2<x3<x4,则x4(x1+x2)+ 3 x3x24 的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 056 @第二章 函数的概念与基本初等函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 求函数的多个零点(或方程的根或直线y=m 与函数图象的多个交点横坐标)的和时,常借助函数的 性质(如函数本身关于点的对称、直线的对称等)求和. 【对点训练4】 (1)已知M 是函数f(x)=|2x- 3|-8sin πx(x∈R)的所有零点之和,则 M 的值为 . (2)函数f(x)=1+cos 1 2-x π+xsin(1+ x)π在区间[-4,6]上的所有零点之和 为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋  >Fe2 嵌套函数的零点问题 函数的零点问题是高考命题的热点,主要 涉及判断函数零点的个数或范围,常考查二次 函数与复合函数相关零点,与函数的图象、性质 交汇.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解 套”,将复合函数拆解为两个相对简单的函数, 借助函数的图象、性质求解. 对于嵌套函数y=f(g(x))的零点个数问 题,求解思路如下: (1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y= f(u). (2)确定外层函数y=f(u)的零点u= ui(i=1,2,3,…,n). (3)确定直线u=ui(i=1,2,3,…,n)与内 层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1,a2, a3,…,an,则函数y=f(g(x))的零点个数为 a1+a2+a3+…+an. 【题目呈现】 (1)(2023·湖北襄阳模拟)设 定义域为R的函数f(x)= |lg x|,x>0, -x2-2x,x≤0, 则关于x 的函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的 零点的个数为 . (2)已知f(x)= a x-1 ,x ≤0, lg x,x >0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 若关于x 的方程f(f(x))=0仅有一解,则a的取值范围 是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 2" 1.已知函数f(x)是定义在 R上的偶函数,当 x ≥0时,f(x)= 3 2sin π 2x ,0≤x ≤1, 1 2 x +1,x >1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 则函数g(x)=f(f(x))- 3 4 的零点个数为 . 2.已知函数f(x)= e|x-1|,x >0, -x2-2x+1,x ≤0, 若 关于x 的方程[f(x)]2-3f(x)+a=0(a∈ R)有8个不等的实数根,则a 的取值范围是 . 学习至此,请完成课时作业14 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 057 参 考 答 案 对点训练5:(1)(0,1) 解析:画 出 函 数y =f(x) 与y=k的图 象,如图所示. 由图 可 知,当 0<k<1时, y =k和y= f(x)的 图 象 有 3 个 交 点,即 方 程 f(x)=k 有三个不同的实根. (2)(0,+∞) 解析:在 同 一 个 平面直角坐标系 中画出函数y= |x|与y=a- x 的 图 象,如 图 所示.由 图 象 知 当a>0时,方程|x|=a-x 只有一 个解. 2.9 函数与方程 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)f(x)=0 (2)有零点 有公共点 2.f(a)·f(b)<0 (a,b) f(c)=0 3.f(a)·f(b)<0 一分为二 零点 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 2.2 解析:对于函数y =logax,当x =2 时,可得y<1,当x =3时,可得y> 1,如图,在同一平面直 角 坐 标 系 中 画 出函数y =logax,y = -x+b 的图 象,判断两个函数图象的 交 点 的 横 坐 标在 (2,3)内,∴ 函 数 f(x)的 零 点 x0 ∈ (n,n+1)时,n=2. 3.x2 <x3 <x1 解析:作出y=x 与y= x(x>0), y= -ex,y= -ln x(x>0)的图象, 如图所示,则x2 <x3 <x1. 4.1 解析:因 为 函 数f(x)的 图 象 连 续 不 断,且f(x)为 增 函 数,f(0)= 1 e - 4<0,f(1)=e0>0,所以函数f(x) 有且只有1个零点. 5.BC 易 知 f(x)是 增 函 数,因 为 f(1.375)≈-0.28<0,f(1.437 5)≈ 0.02>0,所以零点在(1.375,1.437 5) 内,所以A错误,B正确;又|1.437 5- 1.375|=0.062 5<0.1,故精确度为 0.1的近似值可以为1.4,所以C正确, D错误.故选BC. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:B ∵f(1)= - 1 3 < 0 ,f(2)= log82- 1 6 = 1 6 >0 ,∴f(1)f(2)< 0,又f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴ 函数f(x)在(0,+∞)上只有一个 零点,且零点在(1,2)内. 对点训练1:B 函 数f(x)=log3x + x -2 的 定 义 域 为 (0,+ ∞),在 (0,+∞)上单调递增,图象是一条连 续 曲 线 且 f(1)= -1<0,f(2)= log32>0,根据函数零点存在定理可 知,函数f(x)=log3x+x-2有唯一 零点,且零点在区间(1,2)内. 例2:(1)B ∵f(0)f(1)= (-1)×1= -1<0,且函数在定义域上单调递增 且连续,∴ 函数f(x)在区间(0,1)内 有且只有1个零点. (2)①②④ 解析:对于 ①,当k=0时,由f(x)= |lg x|-2=0,可得x = 1 100 或x = 100,①正确;对于②,设直线y=kx+ 2与曲线y= -lg x(0<x<1)相切 于点P(t,-lg t),对函数y = -lg x 求导 得 y' = - 1 xln 10 ,由 题 意 可 得 kt+2=-lg t, k=- 1 tln 10 , 解得 t= e 100 , k=- 100 elg e, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以,存在k = - 100 elg e<0,使 得 f(x)只有一个零点,②正确;对于③, 如图,当直线y =kx +2过 点(1,0) 时,k+2=0,解得k= -2,所以,当 - 100 elg e<k<-2时,直线y=kx+ 2与曲线y= -lg x(0<x<1)有两 个交点,若函数f(x)有三个零点,则 直线y=kx+2与曲线y= -lg x(0< x <1)有两个交点,直线y =kx+2 与曲线y=lg x(x>1)有一个交点, 所 以, - 100 elg e<k<-2, k+2>0, 此 不 等 式无解,因此,不存在k<0,使得函数 f(x)有三个零点,③错误;对于④,如 图,设 直 线y =kx +2与 曲 线y = lg x(x>1)相切于点P(t,lg t),对函 数y=lg x 求导得y'= 1 xln 10 ,由题 意可得 kt+2=lg t, k= 1 tln 10 , 解得 t=100e k= lg e 100e , 所以,当0<k< lg e 100e 时,函数f(x) 有三个零点,④ 正确. 对点训练2:(1)2 解析:由f(x)=0得 x ≤0, x2+x-2=0 或 x >0,-1+ln x =0, 解得x= -2或x=e.因此函数f(x) 共有2个零点. (2)6 解析:在平面直角坐标系中,分别作出 y=lg|x|与y=sin x 的图象,如图 所示.由图可知,共有6个零点. 例3:(0,1] 解析:画出函数f(x) 的大致图象如图所示. 因 为 函 数 f(x)在 R 上有 两 个 零 点,所 以 f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上各有 一个零点.当x≤0时,f(x)有一个零 点,需a≤1;当x>0时,f(x)有一个 零点,需 -a<0,即a>0.综上,0< a≤1. 对点训练3:0<k<3 解析:令f(x)=0,∴x·2x -kx - 2=0,即k =2x - 2 x ,即y =k 与 φ(x)=2x - 2 x ,x∈ (1,2)的图象有 交点,又φ(x)=2x - 2 x 在(1,2)上单 调递增,且φ(1)=0,φ(2)=3,∴0< k<3. 例4:(1)4 解析:令f(x)= 1 1-x- 2sin πx=0, 即 1 1-x = 2sin πx.由 于 函 数 y = 1 1-x = - 1 x-1 的 图 象 是 由 函 数 y = - 1 x 的图象向右平移1个单位长 度而得到,因此函数图象关于点(1,0) 对称,由于点(1,0)是函数y=2sin πx 图象的对称点,在同一平 面 直 角 坐 标 系中作出两个函数的图象,如图所示, 两个函数的图象有四个交点,根据对称 性可知函数f(x)= 1 1-x - 2sin πx (-1≤x≤3)零点之和为2×2=4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -459- hhh (2)- 29 4 ,1 解析:当x ≤0时,f(x)= (x+1)2, 当0<x <1时,f(x)= -log4x,当 x ≥1时,f(x)=log4x,作 出 函 数 f(x)的图象如下, 则由图象可知,f(x)的图象与y=1有 4个 交 点,分 别 为 (-2,1),(0,1), 1 4 ,1 ,(4,1).因为f(x)=a有四个 不同的解x1,x2,x3,x4 且x1<x2< x3 <x4,所以0<a ≤1,且 -2≤ x1<-1<x2≤0,且x1+x2= -2, 1 4 ≤ x3 < 1 < x4 ≤ 4 ,又 因 为 f(x3)= -log4x3,f(x4)=log4x4, 所以 -log4x3 =log4x4,即log4x4+ log4x3 = 0,所 以 x3x4 = 1,所 以 x4(x1+x2)+ 3 x3x24 = -2x4+ 3 x4 , 且1<x4 ≤4,构 造 函 数 g(x)= -2x + 3 x ,x ∈ (1,4],因 为 函 数 y= -2x,y= 3 x 在x∈(1,4]上都是 减函数,所以函数g(x)= -2x+ 3 x 在x ∈ (1,4]上 单 调 递 减,所 以 g(4)≤g(x)<g(1),即 - 29 4 ≤ g(x)<1,所以x4(x1+x2)+ 3 x3x24 ∈ - 29 4 ,1 . 对点训练4:(1)12 解析:将函数f(x)=|2x-3|-8sin πx 的零点转化为函数h(x)=|2x-3| 与g(x)=8sin πx 图象交 点 的 横 坐 标.在同一平面直角坐标系中,画出函 数h(x)与g(x)的部分图象,如图,因 为函数h(x)与g(x)的图象都关于直 线x= 3 2 对称,由图可知,两个函数的 图象共有8个交点,所以函数f(x)的 所有零点之和 M =8× 3 2 =12. (2)8 解析:由已知得f(x)=1+cos π2- πx +xsin(π+πx)=1+sin πx- xsin πx,令f(x)=0,且f(1)=1,可 得sin πx = 1 x-1 (x ≠1),作出y = sin πx 与y= 1 x-1 的函数图象,如下 图所示, 设y=sin πx 与y= 1 x-1 的函数图 象的交 点 的 横 坐 标 从 左 到 右 依 次 为 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8, 由图形关于点(1,0)中心对称,则x1+ x8 =x2+x7 =x3+x6 =x4+x5 = 2,故f(x)在区间[-4,6]上的所有零 点之和为4×2=8. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)7 解析:根据题意,令2[f(x)]2-3f(x)+ 1=0,得f(x)=1或f(x)= 1 2. 作出f(x)的简图,如图所示. 由图象可得当f(x)=1或f(x)= 1 2 时,分别有3个和4个交点,故关于x 的函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的 零点的个数为7. (2)(-1,0)∪ (0,+∞) 解析:若a=0,则方程f(f(x))=0 有 无 数 个 解, 故 a ≠ 0, 因 为 f(f(x))=0,所 以lg f(x)=0或 a f(x)-1= 0(舍去),所以f(x)=1, 所以lg x =1或 a x-1= 1,所以x = 10或a=x -1,因为关于x 的方程 f(f(x))=0仅有一解,所以a=x- 1在x ≤0上无解,所以a>-1.综上 所 述,a 的 取 值 范 围 是 (-1,0)∪ (0,+∞). 素养检测:1.2 解析:画 出 函 数 f(x)的 图 象,如 图 所示. g(x)=f(f(x))- 3 4 的零点即为方 程f(f(x))- 3 4 =0 的 解,令t = f(x),则f(t)- 3 4 =0 ,当t>1时,无 解,当0≤t≤1时, 3 2sin π 2t= 3 4 ,解 得t= 1 3 ,结合图象可知函数g(x)有 2个零点. 2.2,94 解析:作出f(x)的图象如下图所示, 令f(x)=t,因 为 关 于 x 的 方 程 [f(x)]2-3f(x)+a=0(a∈R)有 8个不等的实数根,结合图象可知,关 于t的方程t2-3t+a=0有2个不等 的实数根,记为t1,t2,且t1,t2 ∈ (1, 2),因为t1+t2=3,t1t2=a,所以a= t1(3-t1)= - t1- 3 2 2 + 9 4 ,又因 为t1 ∈ (1,2),t1 ≠t2,即t1 ≠ 3 2 ,所 以 - t1- 3 2 2 + 9 4 的取值范围是 2,94 ,所以a的取值范围是 2,94 . 2.10 函数模型的应用 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 2.增函数 增函数 增函数 越来越 快 越来越慢 y 轴 x 轴 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.x =14.4F-0.2(答案不唯一) 解析:根据点的分布特征,可以考虑用 函数x=kF+b(k≠0)作为刻画弹簧 伸长长度与拉力关系的函数模型. 取两组数据(1,14.2),(4,57.5),则 k+b=14.2, 4k+b=57.5, 解得 k≈14.4,b≈-0.2, 所以x =14.4F-0.2. 将已知数据代入上述 解 析 式,或 作 出 函数图象,可以发现,这个函数模型与 已知数据拟合程度较好.(答案不唯一) 3.4 解析:设至少要洗x 次,则 1- 3 4 x ≤ 1 100 ,所以x≥ 1 lg 2≈3.322 ,因此至少 需洗4次. 4.13 解析:设该职工用水x m3 时,缴纳的 水费为y 元,由题意得 y= mx(0<x≤10), 10m+(x-10)·2m(x>10), 则10m+(x-10)·2m =16m,解得 x =13. 5.ABD 把(1,2)代入y=at,可得函数 解析式为y=2t,因为 2t+1-2t 2t =1,所 以每月增长率为1,A正确;当t=5时, y =32>30,B正 确;第2个 月 增 加 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -460-