2.7 对数与对数函数-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

hhh 指数型不等式的常见类型及求解方法 (1)af(x)>ag(x) 或af(x)<ag(x) 型 解法:af(x)>ag(x)⇔ a>1, f(x)>g(x) 或 0<a<1, f(x)<g(x). af(x)<ag(x)⇔ a>1 , f(x)<g(x) 或 0<a<1, f(x)>g(x). (2)形如ax >b的不等式,注意将b转化为以a 为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax 的单 调性求解. 【对点训练4】 已知函数f(x)=2x-2-x,则不 等 式 f(2x)+f(-8)< 0 的 解 集 为 . 命题角度3 指数函数性质的综合应用 【例5】 (1)不等式4x-2x+1+a>0对任意x∈ R都成立,则实数a的取值范围是 . (2)已知定义域为R的函数f(x)= - 1 2+ 1 2x +1 , 则关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)< 0的解集为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.比较指数式的大小的方法: (1)能化成同底数的,先化成同底数幂,再利用 单调性比较大小. (2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量 比较大小. 2.指数型方程(不等式)的求解主要利用指数函 数的单调性进行转化. 3.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数 函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值 域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减” 这一性质分析判断. 【对点训练5】 (1)设函数f(x)=2x -2-x + x3,则使得不等式f(2x-1)+f(3)<0成 立的实数x 的取值范围是 . (2)已知函数f(x)=4x +m·2x,m ∈R. ①若m=-3,解关于x的不等式f(x)>4; ② 若函数y=f(x)+f(-x)的最小值为 -4,求m 的值. 学习至此,请完成课时作业11 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.7 对数与对数函数 5A>! 1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解 对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=logax 与指数函数y=ax 互为反函数(a>0,且a≠1). 046 @第二章 函数的概念与基本初等函数 AMc
-  -@) 1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数 x 叫做 ,记作 ,其 中a叫做 ,N 叫做 . 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质:loga1= ,loga = ,alogaN = (a>0,且a≠1, N >0). (2)对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M >0,N >0,那么: ①loga(MN)= ; ②loga M N = ; ③logaMn = (n∈R). 3.换底公式 logab= logcb logca (a>0,且a≠1;c>0,且c≠ 1;b>0). 4.对数函数的概念 一般地,函数y= 叫做对数 函数,其中 是自变量,函数的定义域 是 . 5.对数函数的图象及性质 a 的范围 0<a<1 a>1 图象 性 质 定义域 值域 R 定点 过定点 ,即x= 时, y= 单调性 在(0,+ ∞)上 是 在(0,+∞)上是 6.指数函数与对数函数的关系 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反 函数,它们的定义域与值域正好 ,图 象关于直线 对称. 常用结论与知识拓展 1.换底公式及其推论 (1)logab·logba=1,即logab= 1 logba (a,b均大于 0且不等于1). (2)logamb n = n mlogab. (3)logab·logbc·logcd=logad. 2.对数函数的图象与底数大小的关系 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点 的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到此规律:在第一象限内与y=1相 交的对数函数从左到右底数逐渐增大. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)若 MN >0,则loga(MN)=logaM + logaN. ( ) (2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在 (0,+∞)上是增函数. ( ) (3)函数y=logax2与函数y=2logax 是同一 个函数. ( ) (4)若M >N >0,则logaM >logaN. ( ) (5)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图 象过定点(1,0),且过点(a,1),1a ,-1 .( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 047 hhh 2.(教材改编题)函数f(x)= ln(x-1)的定 义域是 . 3.(教材改编题)化简2lg 5+lg 4-5 log52的结果 为 . 4.(教材改编题)已知函数f(x)=2x 的图象与 函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则 g 1 2 的值为 . 5.(多选题)已知0<loga2 024<logb2 024,则 下列说法正确的是 ( ) A.b>a>1 B.a-2<b-2 C.b 2 a + a2 b >2 D.若m >0,则 b a < b+m a+m 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 对数式的化简与求值 【例1】 (1)设a=log36,b=log520,则log215 等于 . (2)计 算:(lg 2)2 +lg 2·lg 50+lg 25= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.利用对数的运算性质化简对数式主要有以下 两种方法: 一是“正向”利用对数的运算性质,把各对数分 成更为基本的一系列对数的代数和;二是“逆向”运 用对数运算性质,把同底的各对数合并成一个对数. 2.利用已知对数式表示不同底数的对数式时, 可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数 式的底数表示. 【对点训练1】 (1)(2022·天津卷改编)化简 (2log43+log83)(log32+log92)的 值 为 . (2)(2023· 北 京 卷)已知函数f(x)=4x + log2x,则f 1 2 = . 考点2 对数函数的图象及应用 【例2】 (2023· 河 北 唐 山 模 拟)函 数 y = 1 ln(x+1) 的大致图象为 ( ) A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.求解形如y=loga(x±b)对数型函数的图象 问题,首先应明确基本的对数函数的图象(即明确当 a>1与0<a<1时两种对数函数y=logax 的图 象),在此基础上研究由其复合而成的函数的图象. 2.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的 性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高 点、最低点等)排除不符合要求的选项. 3.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应 的函数图象问题,利用数形结合法求解. 【对点训练2】 (1)函数g(x)=|loga(x+1)| (a>0且a≠1)的图象大致为 ( ) A B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 048 @第二章 函数的概念与基本初等函数 C D (2)函数y=ln(2-|x|)的大致图象为 ( ) A B C D 考点3 对数函数的性质及应用 命题角度1 利用对数函数的单调性比较大小 【例3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设a=log32,b= log53,c= 2 3 ,则 ( ) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b (2)若a=20.2,b=log0.2 ,c=log32,则a,b,c的 大小关系正确的是 ( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b (3)设a=log0.26,b=log0.36,c=log0.46,则 ( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 比较对数式大小的类型及相应的方法 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调 性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进 行分类讨论. (2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公 式化为同底后,再进行比较,或利用图象数形结合求解. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间 量进行比较. (4)若不能够使用以上三种方法比较大小,则需 要将已知的对数式变形或利用对数的运算性质确定 对数值的取值范围,或利用作差(或作商)比较法以 及利用结论log(n+1)(n+2)<logn(n+1)(n>1, n∈N*)比较大小等. 【对点训练3】 (1)(2022·天津卷改编)已知 a=20.7,b= 1 3 0.7 ,c=log2 1 3 ,则 ( ) A.a>c>b B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b (2)已知a=log2e,b=ln 2,c=log1 2 1 3 ,则a,b, c的大小关系为 ( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 命题角度2 解对数型不等式 【例4】 不等式log2(2x+3)>log2(5x-6)的 解集为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.解决简单的对数型不等式,应先利用对数的 运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的 单调性转化为一般不等式求解.求解时不要忘记对 数函数的定义域. 2.对数函数的单调性和底数a 的值有关,在研 究对数函数的单调性时,要按0<a<1和a>1进 行分类讨论. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 049 hhh 【对点训练4】 已知函数f(x)=log2(2-x)- log2(2+x),则不等式f(x)>1的解集为 . 命题角度3 和对数函数有关的复合函数 【例5】 (1)(2023·辽宁葫芦岛检测)已知函数 f(x)=lg(x2-2x-3)在(a,+∞)上单调 递增,则a的取值范围是 . (2)若f(x)=lna+ 1 1-x + b是奇函数,则 a= ,b= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用对数函数的性质,必须弄清三方面的问题: 一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是 底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是 由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注 意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【对点训练5】 (1)设函数f(x)=a·ex-1(a为 常数),且f(-1)= 2 e2 且g(x)= f(x),x <2, log3(x-1),x ≥2, 则不等式g(x)<2的 解集为 . (2)函数f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递 增,则a的取值范围是 . 学习至此,请完成课时作业12 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.8 函数的图象 5A>! 1.根据函数的性质判断函数的图象. 2.根据实际问题判断函数的图象. 3.结合几何图形中的动点问题判断函数的图象. 4.分析函数图象判断结论的正误. AMc
-  -@) 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析 式;③ 讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期 性、对称性等). 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值 点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点, 连线. 2.函数图象的变换 (1)平移变换 y =f(x) 左移 h 个单位长度 (h>0) ← y = f(x+h) 右移 h 个单位长度 (h>0) → y = f(x-h) 上 移 k(k>0) 个单位长度 ↑ y =f(x)+k 下 移 k(k>0) 个单位长度↓ y =f(x)-k 左右平移仅仅对x 而言,利用“左加右减”进 行操作,若x 的系数不是1,需要先把x 提出 来,再进行操作. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 050 hhh 3.-1 2 解析:根据指数函数的定义,得 k+2=1, 2-b=0, 解得 k= -1,b=2. 4.7.9 解析:0.064 1 3 - - 1 8 0 +16 3 4 + 0.25 1 2 =0.4 3×13-1+2 4×34+0.5 2×12 = 0.4-1+8+0.5=7.9. 5.AB 由3a-b ≤1,即3a-b ≤30,所以 a-b≤0,则a≤b,故 A正确;因为 c2 ≥0,所以ac2 ≤bc2,故B正确;当 a=1,b=2时a2<b2,故C错误;因 为f(x)=x|x|= -x2,x <0, x2,x ≥0, 则 f(x)在 R 上 为 增 函 数,由a ≤b 得 a|a|≤b|b|,故D错误.故选AB. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)- -a 解析:因为 - 1 a 有意义,所以a < 0,所 以 a = - a2, 所 以 a · - 1 a = - a 2 × - 1 a = - a2× - 1 a = - -a. (2)解:① 将a 1 2 +a -12 = 5 两边平 方,得a+a-1+2=5,即a+a-1=3. ② 将a+a-1 =3两边平方,得a2+ a-2+2=9,即a2+a-2 =7. 对点训练1:(1)18 解析:因为a>0且a≠1,若am =6, an =3,则am+n =aman =6×3=18. (2)85 解析:原式 = 2×4 3 2a 3 2b -32 10a 3 2b -32 = 8 5. 例2:(1)AD 因 为 函 数 y=ax +b-1(a>0, 且a≠1)的图象经过 第一、三、四象限,所以 其大致图象如图所示. 由 图 象 可 知 函 数 为 增 函数,所以a>1,当x=0时,y=1+ b-1=b<0,故选AD. (2)(0,1) 解析:作出曲线y = |2x -1| 与 直 线 y =b 如图所示.由 图象可得b的取值范 围是(0,1). 对点训练2:(1)B 如图,观察易知a,b 的关系式 ①0<b<a;②a<b<0; ⑤a=b=0可能成立;③0<a<b, ④b<a<0不可能成立. (2)(-∞,-1] 解析:在同一平面直角坐标 系 中 画 出 y=|3x -1|与y= -m 的图象,如图 所示.由函数y=|3x -1|+m 的图象 不经过第二象限,则y =|3x -1|与 y= -m 在第二象限没有交点,由图象 知 -m ≥1,即m ≤-1. 例3:A 由2x -2y <3-x -3-y,得2x - 3-x <2y-3-y,即2x - 1 3 x <2y- 1 3 y .设f(x)=2x - 1 3 x ,则 f(x)<f(y).因为函数y =2x 在 R 上为增函数,y = - 1 3 x 在 R上为 增函数,所以f(x)=2x- 1 3 x 在R 上为增 函 数,则 由f(x)<f(y),得 x <y,所以y-x >0,所以y-x+ 1>1,所以ln(y-x+1)>0,故选A. 对点训练3:(1)b>a>c 解析:由y=1.01x 在R上递增,则a= 1.010.5 <b=1.010.6,由y =x0.5 在 [0,+∞)上递增,则a=1.010.5>c= 0.60.5.所以b>a>c. (2)b<c<a 解析:根据a=0.60.4,c=0.40.4,由幂 函数的性质可得a>c,又b=0.40.6, c=0.40.4,由函数y =0.4x 的性质可 得b<c,所以b<c<a. 例4:(1) 18 ,2 解析:1 4 x-2 = (2-2)x-2 =2-2x+4, ∴2x 2+1≤2-2x+4,即x2+1≤-2x+4,即 x2+2x-3≤0,∴-3≤x≤1,此时 y=2x 的值域为[2-3,21],即为 1 8 ,2 . (2)12 解析:当a<1时,41-a =21,解得a = 1 2 ;当a>1时,22a-1=4a-1,即-1=-2 不成立.故a的值为12. 对点训练4:(-∞,3) 解析:因为f(x)=2x -2-x,x ∈ R, f(-x)=2-x -2x = -f(x),所 以 f(x)=2x -2-x 为奇函数.y=2x 是增 函数,y=2-x 是减函数,故f(x)=2x - 2-x 为 R 上 的 增 函 数,所 以f(2x)+ f(-8)<0等价于f(2x)<f(8),因 此2x <8,解得x <3. 例5:(1)(1,+∞) 解析:原不等式可化为a>-4x +2x+1 对x ∈R恒成立,令t=2x,则t>0, ∴y = -4x +2x+1 = -t2 +2t = -(t-1)2+1≤1,当t=1时,ymax= 1,∴a>1. (2)-∞,- 1 3 ∪ (1,+∞) 解析:由题意知f(x)是奇函数,且在R 上为减函数,则f(t2-2t)+f(2t2- 1)<0,即f(t2-2t)<-f(2t2-1)= f(1-2t2).所以t2-2t>1-2t2,解 得t>1或t<- 1 3. 对点训练5:(1)(-∞,-1) 解析:函 数 的 定 义 域 为 R,f(-x)= 2-x -2x -x3 = -f(x),∴ 函数是奇 函数,并由解析式可知函数是增函数. 原不等式可化为f(2x-1)<f(-3), ∴2x-1<-3,解得x<-1,∴x的取 值范围是(-∞,-1). (2)解:①m = -3时,由f(x)=4x - 3×2x >4得,4x -3×2x -4>0, (2x +1)(2x -4)>0, 因为2x +1>0,所以2x -4>0,解得 x >2, 所以原不等式的解集为(2,+∞). ② 因为y=f(x)+f(-x)= (4x + 4-x)+m·(2x +2-x)=(2x +2-x)2+ m·(2x +2-x)-2, 令t=2x +2-x,因为2x >0, 所以t=2x +2-x ≥2 2x·2-x = 2(当且仅当x =0时取得等号). 则y = g(t)=t2 + m ·t-2 = t+ m 2 2 - m2 4 -2 ,t≥2, 当- m 2 ≤2 ,即 m ≥-4时,g(t)在 [2,+∞)上单调递增, 当t=2,即x =0时,ymin =2m+2, 所以2m+2= -4,解得m= -3,符合 题意; 当- m 2 >2 ,即m <-4时, g(t)在 2,- m 2 上 单 调 递 减,在 - m 2 ,+∞ 上单调递增, 当t= - m 2 时,ymin = - m2 4 -2 , 所以- m2 4-2= -4 ,解得m= ±22, 不符合题意,舍去. 综上,m 的值为-3. 2.7 对数与对数函数 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.以a为底N 的对数 x =logaN 对 数的底数 真数 2.(1)0 1 N (2)①logaM +logaN ②logaM -logaN ③nlogaM 4.logax(a>0,且a≠1) x (0,+∞) 5.(0,+∞) (1,0) 1 0 减函数 增函数 6.互换 y =x 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.[2,+∞) 解析:要使函数f(x)= ln(x-1) 有意义,只需 ln (x-1)≥0, x-1>0, 即 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -456- 参 考 答 案 x-1≥1, x-1>0, 解 得 x ≥2,所 以 函 数 f(x)的定义域为[2,+∞). 3.0 解析:因为2lg 5+lg 4=2lg 5+2lg 2= 2(lg 5+lg 2)=2.又5 log52 =2,所以 2lg 5+lg 4-5 log52 =2-2=0. 4.-1 解析:由 y = f(x)=2x,得 x = log2y,所 以 函 数 f(x)的 反 函 数 为 g(x)=log2x,则g 1 2 =log2 12 = -1. 5.BCD 因为0<loga2 024<logb2 024, 所以a>1,b>1,不妨令0<loga2 024< logb2 024=m,则am >2 024,bm = 2 024,故a>b>1,故 A错误;因为 y =x-2 在(0,+∞)上单调递减,故 a-2 <b-2,B正 确;因 为 b2 a + a2 b > 2 b 2 a ·a 2 b =2 ab >2 ,故C正确; 若m >0,因为 b a - b+m a+m = b(a+m)-a(b+m) a(a+m) = (b-a)m a(a+m)< 0,故ba < b+m a+m ,D正确.故选BCD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1) 2a+b-3(a-1)(b-1) 解析:因为a=log36=1+log32,b= log520= 1+2log52,所 以log23 = 1 a-1 ,log25 = 2 b-1 , 则 log215 = log23+log25 = 1 a-1 + 2 b-1 = 2a+b-3 (a-1)(b-1) . (2)2 解析:原式 =lg 2(lg 2+lg 50)+lg 25= 2lg 2+lg 25=lg 4+lg 25=2. 对点训练1:(1)2 解析:原式= 2×12log23+13log23 × log32+ 1 2log32 = 43log23×32log32= 2. (2)1 解析:函数f(x)=4x +log2x,所以 f 1 2 =4 1 2 +log2 1 2 =2-1=1. 例2:A 当x =1时,y= 1 ln 2>0 ,排除 C,D;当 x = - 1 2 时,y = 1 ln12 = 1 -ln 2<0 ,排除B.故选A. 对点训练2:(1)C g(x)=|loga(x + 1)|,函 数 定 义 域 为(-1,+ ∞),有 g(0)=0,函数图象过原点,A,D不符 合,g(x)=|loga(x+1)|≥0,B不符 合.故选C. (2)A 令f(x)=ln(2-|x|),易知 函数f(x)的定义域为{x|-2<x< 2},且f(-x)=ln(2-|-x|)= ln(2-|x|)=f(x),所以函数f(x) 为偶函 数,排 除C,D;当x = 3 2 时, f 3 2 =ln12 <0,排除B.故选A. 例3:(1)A 因 为 a = 1 3log32 3 < 1 3log39= 2 3 =c ,b = 1 3log53 3 > 1 3log525= 2 3 =c ,所以a<c<b. (2)D 20.2 >20 =1,即a>1; log0.22<log0.21=0,即b<0; log31<log32<log33,即0<c<1. 所以a>c>b.故选D. (3)D 作 出 函 数 y =log0.2x,y = log0.3x,y =log0.4x 的 图 象 如 下 图 所示: 因 为 a =log0.26,b =log0.36,c = log0.46,由 图 象 可 得a >b >c.故 选D. 对点训练3:(1)C 因为20.7> 1 3 0.7 > 0=log21>log2 1 3 ,故a>b>c.故 选C. (2)D 因为a=log2e>1,b=ln 2∈ (0,1),c=log1 2 1 3 =log23>log2e= a>1,所以c>a>b.故选D. 例4:x 65 <x <3 解析:由 2x+3>0, 5x-6>0, 2x+3>5x-6, 解得65 < x <3,故不等式的解集为 x 65 <x <3 . 对点训练4:-2,- 2 3 解析:函数的定义域满足 2-x>0 , 2+x>0 ⇒ -2<x <2,由f(x)>1⇒log2(2- x)-log2(2+x)>1⇒log2 2-x 2+x > log2 ,所以 2-x 2+x > 2, -2<x<2 ⇒-2<x < - 2 3 ,故不等式的解集为 -2,- 2 3 . 例5:(1)[3,+∞) 解析:由 题 意,得 f(x)的 定 义 域 为 (-∞,-1)∪ (3,+∞),设g(x)= x2-2x-3,根据二次函数的性质,可 得函数g(x)在(3,+∞)上单调递增, 根据复 合 函 数 的 单 调 性 的 判 定 方 法, 可得 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (3,+∞),又由函数f(x)=lg(x2- 2x-3)在(a,+∞)上单调递增,可得 a ≥ 3,即 实 数 a 的 取 值 范 围 是 [3,+∞). (2)- 1 2 ln 2 解析:解法1:若a=0,则f(x)的定义 域为 {x |x ≠ 1},不 关 于 原 点 对 称,∴a ≠ 0. 若 奇 函 数 f(x)= lna+ 1 1-x + b有意义,则x≠1且 a+ 1 1-x ≠ 0,∴x ≠1且x ≠1+ 1 a ,∵ 函数f(x)为奇函数,定义域关 于原 点 对 称,∴1+ 1 a = -1 ,解 得 a= - 1 2 ,由f(0)=0得,ln 1 2+b= 0,∴b=ln 2. 解法2:f(x)=lna+ 1 1-x + b= lna-ax+11-x + b= lnax-a-11-x + b,∴f(- x) = lnax+a+11+x + b,∵ 函数f(x)为 奇函数,∴f(x)+f(-x)= lnax-a-11-x + lnax+a+11+x + 2b = 0,∴ln a2x2-(a+1)2 x2-1 + 2b=0,∴ a2 1 = (a+1)2 1 ⇒2a+1= 0⇒a=- 1 2 ,-2b=ln 1 4 =-2ln 2⇒ b=ln 2,∴a= - 1 2 ,b=ln 2. 对点训练5:(1)(-∞,1)∪ [2,10) 解析:因为f(-1)=ae-2= a e2 = 2 e2 , 所以a =2,则 f(x)=2ex-1,所 以 g(x)= 2ex-1,x <2, log3(x-1),x ≥2. 当x<2时,2ex-1<2,即ex-1<1,解 得x <1;当x ≥2时,log3(x-1)< 2,即log3(x-1)<log39,所以0<x- 1<9,解得1<x<10,所以2≤x<10. 综上所述,g(x)<2的解集为(-∞, 1)∪ [2,10). (2)(3,+∞) 解析:由于a>0,且a≠1,所以u = ax-3为增函数,所以若函数f(x)为 增函数,则y=logau必为增函数,所以 a>1.又u=ax-3在[1,3]上恒为 正,所以a-3>0,即a>3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -457-