2.6 指数与指数函数-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

@第二章 函数的概念与基本初等函数 【对点训练4】 (1)已 知 函 数 f(x)=2x - a 2x (a>0). ① 判断f(x)在其定义域上的单调性,并用 函数单调性的定义加以证明; ② 讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由. (2)已知a>0且a≠1,f(x)=ax - 1 ax . ① 判断函数f(x)的奇偶性; ② 讨论f(x)的单调性并用单调性定义证明. 学习至此,请完成课时作业10 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.6 指数与指数函数 5A>! 1.通过对有理数指数幂a m n(a>0,m,n为正整数,且n>1)、实数指数幂ax(a>0,x∈R)含义的认识,了 解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.探索并理解指数函数的单调性与特殊点. AMc
-  -@) 1.根式 (1)如果xn =a,那么x 叫做a的n次方根. (2)式子 n a 叫做 ,其中n 叫做根指 数,a叫做被开方数. (3)( n a)n=a.当n为奇数时, n an =a;当n为 偶数时,nan =|a|= a,a≥0, -a,a<0. 2.有理数指数幂 概念 正分数指数幂:a m n = n am 负分数指数幂:a - m n = 1 a m n = 1 n am 0的正分数指数幂等于0,0的负分 数指数幂没有意义 a>0,m,n ∈ N*,n>1 续表 运算 性质 ar·as =ar+s (ar)s =ars (ab)r =arbr a >0,b>0, r,s∈Q 3.指数函数的概念、图象与性质 项目 y=ax(a>0,且a≠1) 图象 0<a<1 a>1 图象特征 在x 轴上方,过定点(0,1) 当x逐渐增大时,图 象逐渐下降 当x逐渐增大时,图 象逐渐上升 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 043 hhh 续表 项目 y=ax(a>0,且a≠1) 性 质 定义域 R 值域 单调性 递减 递增 函数变 化规律 当x=0时, 当x<0时,y>1; 当 x > 0 时,0 < y<1 当 x < 0 时,0 < y<1;当x>0时, y>1 常用结论与知识拓展 1.指数函数图象的画法 画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓 住三个关键点:(1,a),(0,1),-1, 1 a . 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y=mx,(2)y=bx,(3)y=cx, (4)y=dx 的图象,底数m,b,c,d与1之间的大小关系 为c>d>1>m >b>0.在第一象限内,指数函数 y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1) n an =( n a)n =a. ( ) (2)(-1) 2 4 =(-1) 1 2 = -1. ( ) (3)函数y=ax 2+1(a>1)的值域是(0,+∞). ( ) (4)若am <an(a>0,且a≠1),则m <n. ( ) (5)函数f(x)=ax-1+1(a>0,且a≠1)的 图象必过定点(1,2). ( ) 2.(教材改编题)函数f(x)=ax(a>0,且a≠ 1)的 图 象 经 过 点 P(3,27),则 f(2)= . 3.(教材改编题)若函数y=(k+2)ax +2- b(a >0,且a ≠1)是指数函数,则k = ,b= . 4.(教材改编题)0.064 1 3- - 1 8 0 +16 3 4+0.25 1 2 的值为 . 5.(多选题)已知3a-b ≤1,则下列不等式成立 的有 ( ) A.a≤b B.ac2≤bc2 C.a2≥b2 D.a|a|≥b|b| 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 指数幂的运算 【例1】 (1)化简:a· - 1 a = . (2)已知a 1 2 +a- 1 2 = 5,求下列各式的值: ①a+a-1;②a2+a-2. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.根式的化简问题要注意指数幂中当指数为负 数时,可把底数变为其倒数,从而指数化为正数. 2.指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数 运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的 倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化 成分数;底数是带分数,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂 的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 044 @第二章 函数的概念与基本初等函数 【对点训练1】 (1)已知a>0且a≠1,若am = 6,an =3,则am+n = . (2)计算:14 - 1 2 · (4ab-1)3 0.1-1·(a3·b-3) 1 2 = (a>0,b>0). 考点2 指数函数的图象及应用 【例2】 (1)(多选题)若函数y=ax+b-1(a> 0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则 下列选项中正确的有 ( ) A.a>1 B.0<a<1 C.b>0 D.b<0 (2)若函数y=|2x -1|的图象与直线y=b有 两个公共点,则b的取值范围为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊 点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则 排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从 最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对 称变换而得到.特别地,当底数a 与1的大小关系不 确定时应注意分类讨论. (3)有关指数型方程、不等式问题的求解,往往 是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可 以通过直线x=1与图象的交点进行判断. 【对点训练2】 (1)已知实数a,b 满足等式 2 023a=2 024b,下列5个关系式:①0<b< a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0; ⑤a=b=0.其中不可能成立的关系式有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)若函数y=|3x -1|+m 的图象不经过第二 象限,则实数m 的取值范围是 . 考点3 指数函数的性质及应用 命题角度1 比较指数式的大小 【例3】 若2x -2y <3-x -3-y,则 ( ) A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用指数函数的函数性质比较大小,最重要的 是“同底”原则,利用单调性比较大小,比较大小还可 以借助中间量,常用0,1. 【对点训练3】 (1)(2023·天津卷改编)若a= 1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大 小关系为 . (2)(2023·重庆联考)设a=0.60.4,b=0.40.6, c=0.40.4,则a,b,c的大小关系为 . 命题角度2 解简单的指数型方程或不等式 【例4】 (1)若2x 2+1≤ 1 4 x-2 ,则函数y=2x 的 值域是 . (2)已知实数a≠1,函数f(x)= 4x,x ≥0, 2a-x,x <0, 若f(1-a)=f(a -1),则 a 的 值 为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 045 hhh 指数型不等式的常见类型及求解方法 (1)af(x)>ag(x) 或af(x)<ag(x) 型 解法:af(x)>ag(x)⇔ a>1, f(x)>g(x) 或 0<a<1, f(x)<g(x). af(x)<ag(x)⇔ a>1 , f(x)<g(x) 或 0<a<1, f(x)>g(x). (2)形如ax >b的不等式,注意将b转化为以a 为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax 的单 调性求解. 【对点训练4】 已知函数f(x)=2x-2-x,则不 等 式 f(2x)+f(-8)< 0 的 解 集 为 . 命题角度3 指数函数性质的综合应用 【例5】 (1)不等式4x-2x+1+a>0对任意x∈ R都成立,则实数a的取值范围是 . (2)已知定义域为R的函数f(x)= - 1 2+ 1 2x +1 , 则关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)< 0的解集为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.比较指数式的大小的方法: (1)能化成同底数的,先化成同底数幂,再利用 单调性比较大小. (2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量 比较大小. 2.指数型方程(不等式)的求解主要利用指数函 数的单调性进行转化. 3.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数 函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值 域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减” 这一性质分析判断. 【对点训练5】 (1)设函数f(x)=2x -2-x + x3,则使得不等式f(2x-1)+f(3)<0成 立的实数x 的取值范围是 . (2)已知函数f(x)=4x +m·2x,m ∈R. ①若m=-3,解关于x的不等式f(x)>4; ② 若函数y=f(x)+f(-x)的最小值为 -4,求m 的值. 学习至此,请完成课时作业11 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.7 对数与对数函数 5A>! 1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解 对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=logax 与指数函数y=ax 互为反函数(a>0,且a≠1). 046 参 考 答 案 当- a 2 ≤2 ,即a≥-4时, 当x∈(0,1)时,t∈(2,+∞),t关于 x 单 调 递 减,h(t)单 调 递 增,所 以 g(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,t∈(2,+∞),t关 于x 单调递增,h(t)单调递增,所以 g(x)单调递增; 当 - a 2 >2 ,即a <-4时,令x + 1 x = - a 2 , 解 得 x1 = - a 4 - a2-16 4 ,x2 = - a 4 + a2-16 4 , 当 x ∈ 0,- a 4 - a2-16 4 时, t∈ - a 2 ,+∞ ,t关于x单调递减, h(t)单调递增,所以g(x)单调递减; 当 x ∈ - a 4 - a2-16 4 ,1 时, t∈ 2,- a 2 ,t 关于x 单 调 递 减, h(t)单调递减,所以g(x)单调递增; 当 x ∈ 1,- a 4 + a2-16 4 时, t∈ 2,- a 2 ,t 关于x 单 调 递 增, h(t)单调递减,所以g(x)单调递减; 当x ∈ - a 4+ a2-16 4 ,+∞ 时, t∈ - a 2 ,+∞ ,t关于x单调递增, h(t)单调递增,所以g(x)单调递增. 综上可知,当a≥-4时,g(x)在(0,1) 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 当a<-4时, g(x) 在 0,- a 4 - a2-16 4 和 1,- a 4 + a2-16 4 上单调递减, 在 - a 4 - a2-16 4 ,1 和 - a4 + a2-16 4 ,+∞ 上单调递增. (3)证明:根据(2)的结论,当 -4≤ a<0时,g(x)的最小值为g(1)= h(2)=2+2a≥2+2×(-4)= -6, 此时,0<a2 ≤16,得 -6≤- 3 8a 2, M = -6,所以g(x)≥M, 当a<-4时,g(x)的最小值可能是 g(x1)或g(x2),而x1+ 1 x1 =x2+ 1 x2 = - a 2 ,所以g(x1)=g(x2)= h - a 2 = -a 2 4 -2 , 此时,a2 >16,-6>- 3 8a 2,M = - 3 8a 2,又因为- a2 4-2>- 3 8a 2,所 以g(x)>M, 综上可知,当a<0时,g(x)≥M. 对点训练3:解:(1)函数f(x)=x2+ 1 x2 定义域为{x|x≠0},f(-x)=x2+ 1 x2 =f(x),∴f(x)为偶函数. (2)设任意的x1,x2 满足0<x1<x2, f(x1)-f(x2)=x21 + 1 x21 -x22 - 1 x22 = (x21-x22)+ 1 x21 - 1 x22 = (x21-x22)(x21x22-1) x21x22 = (x1-x2)(x1+x2)(x1x2-1)(x1x2+1) x21x22 , ∵0<x1 <x2,∴x21x22 >0,x1 - x2 <0,x1+x2 >0,x1x2+1>0, 当0<x1<x2≤1时,x1x2-1<0, 则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)> f(x2),∴f(x)在(0,1]上单调递减, 当1<x1 <x2 时,x1x2-1>0,则 f(x1)-f(x2)< 0,即 f(x1)< f(x2),∴f(x)在(1,+∞)上单调递增, ∵f(x)为偶函数,∴ 函数f(x)单调 性如下: 当x∈(-∞,-1)时,函数f(x)单调 递减;当x∈[-1,0)时,函数f(x)单 调递增; 当x∈(0,1]时,函数f(x)单调递减; 当x ∈ (1,+∞)时,函数f(x)单调 递增. 例4:解:定义域为{x|x≠0},值域为R. ∀x1,x2 ∈ (-∞,0),且x1 <x2,则 y1-y2 =x1- 1 x1 - x2- 1 x2 = (x1-x2)(x1x2+1) x1x2 . ∵x1,x2 ∈ (-∞,0),且x1 <x2, ∴x1x2 >0, x1-x2 <0,x1x2+1>0, ∴y1-y2 <0,即y1 <y2. ∴y=x- 1 x 在(-∞,0)上为增函数. ∀x1,x2 ∈ (0,+∞),且x1 <x2,则 y1-y2 = (x1-x2)(x1x2+1) x1x2 . ∵x1,x2 ∈ (0,+∞),且x1 <x2, ∴x1x2>0,x1x2+1>0,x1-x2<0. ∴y1-y2 <0,即y1 <y2. ∴y =x - 1 x 在(0,+ ∞)上 为 增 函数. 设f(x)=y=x- 1 x ,∵f(-x)= -x- 1 -x = - x- 1 x = -f(x). ∴f(x)=y =x- 1 x 是奇函数. y =x- 1 x 的图象如图. 对点训练4:(1)解:① 函数f(x)的定义 域为R,f(x)在其定义域上单调递增. 证明如下: 任取x1,x2 ∈R,设x1 <x2, 则 f(x2)-f(x1)= 2 x2- a 2 x2 - 2 x1- a 2 x1 =(2x2-2x1)1+ a2x1+x2 , 易知2 x2 -2 x1 >0,1+ a 2 x1+x2 >0,故 f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1),所 以函数f(x)在其定义域上单调递增. ②f(x)= 2x - a 2x ,f(- x) = 2-x - a 2-x , 当a=1时,f(-x)=2-x - 1 2-x = -f(x),函数为奇函数; 当a≠1时,f(0)=1-a≠0,函数不 是奇函数, f(1)=2- a 2 ,f(-1)= 1 2 -2a , f(1)不恒等于f(-1),函数不是偶函 数,故为非奇非偶函数. 综上所述,当a=1时,函数f(x)是奇 函数,当a≠1时,函数f(x)既不是奇 函数也不是偶函数. (2)解:①易知函数f(x)的定义域是R, f(-x)=a-x - 1 a-x = 1 ax -ax = -f(x),∴ 函数f(x)为奇函数. ②当a>1时,f(x)在R上是增函数, 当0<a<1时,f(x)在R上是减函 数.证明如下: 设任意的x1,x2 ∈R,且x1 <x2, f(x1)-f(x2)=a x1 - 1 a x1 -a x2 + 1 a x2 = (a x1 -a x2)- a x2 -a x1 a x1+x2 = (a x1 -a x2)(a x1+x2 +1) a x1+x2 , 当a>1时,由x1<x2 得0<a x1 < a x2,a x1 - a x2 < 0,∴f(x1) - f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),f(x) 在R上是增函数, 当0<a<1时,由x1<x2 得a x1 > a x2 >0,a x1 -a x2 >0,∴f(x1)- f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),f(x) 在R上是减函数. 2.6 指数与指数函数 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(2)根式 3.(0,+∞) y =1 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.9 解析:由题意可知,a3 =27,a>0,且 a≠1,得a =3,所 以 f(x)=3x, f(2)=32 =9. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -455- hhh 3.-1 2 解析:根据指数函数的定义,得 k+2=1, 2-b=0, 解得 k= -1,b=2. 4.7.9 解析:0.064 1 3 - - 1 8 0 +16 3 4 + 0.25 1 2 =0.4 3×13-1+2 4×34+0.5 2×12 = 0.4-1+8+0.5=7.9. 5.AB 由3a-b ≤1,即3a-b ≤30,所以 a-b≤0,则a≤b,故 A正确;因为 c2 ≥0,所以ac2 ≤bc2,故B正确;当 a=1,b=2时a2<b2,故C错误;因 为f(x)=x|x|= -x2,x <0, x2,x ≥0, 则 f(x)在 R 上 为 增 函 数,由a ≤b 得 a|a|≤b|b|,故D错误.故选AB. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)- -a 解析:因为 - 1 a 有意义,所以a < 0,所 以 a = - a2, 所 以 a · - 1 a = - a 2 × - 1 a = - a2× - 1 a = - -a. (2)解:① 将a 1 2 +a -12 = 5 两边平 方,得a+a-1+2=5,即a+a-1=3. ② 将a+a-1 =3两边平方,得a2+ a-2+2=9,即a2+a-2 =7. 对点训练1:(1)18 解析:因为a>0且a≠1,若am =6, an =3,则am+n =aman =6×3=18. (2)85 解析:原式 = 2×4 3 2a 3 2b -32 10a 3 2b -32 = 8 5. 例2:(1)AD 因 为 函 数 y=ax +b-1(a>0, 且a≠1)的图象经过 第一、三、四象限,所以 其大致图象如图所示. 由 图 象 可 知 函 数 为 增 函数,所以a>1,当x=0时,y=1+ b-1=b<0,故选AD. (2)(0,1) 解析:作出曲线y = |2x -1| 与 直 线 y =b 如图所示.由 图象可得b的取值范 围是(0,1). 对点训练2:(1)B 如图,观察易知a,b 的关系式 ①0<b<a;②a<b<0; ⑤a=b=0可能成立;③0<a<b, ④b<a<0不可能成立. (2)(-∞,-1] 解析:在同一平面直角坐标 系 中 画 出 y=|3x -1|与y= -m 的图象,如图 所示.由函数y=|3x -1|+m 的图象 不经过第二象限,则y =|3x -1|与 y= -m 在第二象限没有交点,由图象 知 -m ≥1,即m ≤-1. 例3:A 由2x -2y <3-x -3-y,得2x - 3-x <2y-3-y,即2x - 1 3 x <2y- 1 3 y .设f(x)=2x - 1 3 x ,则 f(x)<f(y).因为函数y =2x 在 R 上为增函数,y = - 1 3 x 在 R上为 增函数,所以f(x)=2x- 1 3 x 在R 上为增 函 数,则 由f(x)<f(y),得 x <y,所以y-x >0,所以y-x+ 1>1,所以ln(y-x+1)>0,故选A. 对点训练3:(1)b>a>c 解析:由y=1.01x 在R上递增,则a= 1.010.5 <b=1.010.6,由y =x0.5 在 [0,+∞)上递增,则a=1.010.5>c= 0.60.5.所以b>a>c. (2)b<c<a 解析:根据a=0.60.4,c=0.40.4,由幂 函数的性质可得a>c,又b=0.40.6, c=0.40.4,由函数y =0.4x 的性质可 得b<c,所以b<c<a. 例4:(1) 18 ,2 解析:1 4 x-2 = (2-2)x-2 =2-2x+4, ∴2x 2+1≤2-2x+4,即x2+1≤-2x+4,即 x2+2x-3≤0,∴-3≤x≤1,此时 y=2x 的值域为[2-3,21],即为 1 8 ,2 . (2)12 解析:当a<1时,41-a =21,解得a = 1 2 ;当a>1时,22a-1=4a-1,即-1=-2 不成立.故a的值为12. 对点训练4:(-∞,3) 解析:因为f(x)=2x -2-x,x ∈ R, f(-x)=2-x -2x = -f(x),所 以 f(x)=2x -2-x 为奇函数.y=2x 是增 函数,y=2-x 是减函数,故f(x)=2x - 2-x 为 R 上 的 增 函 数,所 以f(2x)+ f(-8)<0等价于f(2x)<f(8),因 此2x <8,解得x <3. 例5:(1)(1,+∞) 解析:原不等式可化为a>-4x +2x+1 对x ∈R恒成立,令t=2x,则t>0, ∴y = -4x +2x+1 = -t2 +2t = -(t-1)2+1≤1,当t=1时,ymax= 1,∴a>1. (2)-∞,- 1 3 ∪ (1,+∞) 解析:由题意知f(x)是奇函数,且在R 上为减函数,则f(t2-2t)+f(2t2- 1)<0,即f(t2-2t)<-f(2t2-1)= f(1-2t2).所以t2-2t>1-2t2,解 得t>1或t<- 1 3. 对点训练5:(1)(-∞,-1) 解析:函 数 的 定 义 域 为 R,f(-x)= 2-x -2x -x3 = -f(x),∴ 函数是奇 函数,并由解析式可知函数是增函数. 原不等式可化为f(2x-1)<f(-3), ∴2x-1<-3,解得x<-1,∴x的取 值范围是(-∞,-1). (2)解:①m = -3时,由f(x)=4x - 3×2x >4得,4x -3×2x -4>0, (2x +1)(2x -4)>0, 因为2x +1>0,所以2x -4>0,解得 x >2, 所以原不等式的解集为(2,+∞). ② 因为y=f(x)+f(-x)= (4x + 4-x)+m·(2x +2-x)=(2x +2-x)2+ m·(2x +2-x)-2, 令t=2x +2-x,因为2x >0, 所以t=2x +2-x ≥2 2x·2-x = 2(当且仅当x =0时取得等号). 则y = g(t)=t2 + m ·t-2 = t+ m 2 2 - m2 4 -2 ,t≥2, 当- m 2 ≤2 ,即 m ≥-4时,g(t)在 [2,+∞)上单调递增, 当t=2,即x =0时,ymin =2m+2, 所以2m+2= -4,解得m= -3,符合 题意; 当- m 2 >2 ,即m <-4时, g(t)在 2,- m 2 上 单 调 递 减,在 - m 2 ,+∞ 上单调递增, 当t= - m 2 时,ymin = - m2 4 -2 , 所以- m2 4-2= -4 ,解得m= ±22, 不符合题意,舍去. 综上,m 的值为-3. 2.7 对数与对数函数 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.以a为底N 的对数 x =logaN 对 数的底数 真数 2.(1)0 1 N (2)①logaM +logaN ②logaM -logaN ③nlogaM 4.logax(a>0,且a≠1) x (0,+∞) 5.(0,+∞) (1,0) 1 0 减函数 增函数 6.互换 y =x 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.[2,+∞) 解析:要使函数f(x)= ln(x-1) 有意义,只需 ln (x-1)≥0, x-1>0, 即 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -456-