2.5 幂函数-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

@第二章 函数的概念与基本初等函数 2.5 幂函数 5A>! 1.了解幂函数的概念. 2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x 1 2,y=x-1 的图象,了解它们的变化情况. 3.了解几种特殊函数的图象与性质. AMc
-  -@) 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 叫做幂函数,其中x 是 自变量,α 是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y=x y=x2 y=x3 y=x 1 2 y=x-1 图象 性 质 定 义 域 R R R 值 域 R R 奇 偶 性 函数 函数 函数 函数 函数 单 调 性 在 R 上 单 调递增 在 上 单 调 递 减;在 上 单 调递增 在 R 上 单 调递增 在 上 单 调 递增 在 上 单 调 递减 公 共 点 (3)幂函数y=xα 的性质 ① 幂函数在(0,+∞)上都有定义; ② 当α>0时,幂函数的图象都过点 和 ,且在(0,+∞)上单调递增; ③ 当α<0时,幂函数的图象都过点 ,且在(0,+∞)上单调递减. 2.双勾函数y=f(x)=ax+ b x (ab>0) (1)函数y=f(x)=ax+ b x (a>0,b>0)的 图象与性质 图象如图: 性质: ① 定义域:(-∞,0)∪ (0,+∞); ② 值域:(-∞,-2 ab]∪ [2 ab,+∞); ③ 奇偶性:奇函数,函数图象整体呈两个“对 勾”的形状,且函数图象关于原点对称,即 f(x)+f(-x)=0; ④ 图象在第一、三象限,当x>0时,f(x)在 x= b a 时,取最小值2 ab, 当x <0时,f(x)在x=- b a 时,取最大 值-2 ab; ⑤ 单调性:增区间为 b a ,+∞ , - ∞, - b a ,减区间为0, b a ,- ba ,0 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 039 hhh (2)函数y=f(x)=ax+ b x (a<0,b<0)的 图象与性质 图象如图: 性质: ① 定义域:(-∞,0)∪ (0,+∞); ② 值域:(-∞,-2 ab]∪ [2 ab,+∞); ③ 奇偶性:奇函数,函数图象整体呈两个“对 勾”的形状,且函数图象关于原点对称,即 f(x)+f(-x)=0; ④ 图象在第二、四象限,当x<0时,f(x)在 x=- b a 时,取最小值2 ab;当x >0时, f(x)在x= b a 时,取最大值-2 ab; ⑤单调性:增区间为0,ba ,- ba ,0 ,减 区间为 b a ,+∞ ,-∞,- ba . 3.双刀函数y=ax+ b x (ab<0) (1)a>0,b<0,作图如下: ① 定义域:(-∞,0)∪ (0,+∞); ② 值域:R; ③ 奇偶性:奇函数; ④ 无最大值也无最小值; ⑤ 单调性:增区间为(-∞,0),(0,+∞). (2)a<0,b>0,作图如下: ① 定义域:(-∞,0)∪ (0,+∞); ② 值域:R; ③ 奇偶性:奇函数; ④ 无最大值也无最小值; ⑤ 单调性:减区间为(-∞,0),(0,+∞). 常用结论与知识拓展 1.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一 定不会出现在第四象限. (2)幂函数的图象过定点(1,1),若幂函数的图象 与坐标轴相交,则交点一定是原点. (3)若幂函数y=xα 在(0,+∞)上单调递增,则 α>0;若在(0,+∞)上单调递减,则α<0. 2.双勾函数y=ax+ b x (ab>0)的极值与图象的 拐点可利用基本不等式求得. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)y=2x 1 2 是幂函数. ( ) (2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1). ( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限. ( ) (4)当n>0时,幂函数y=xn 在(0,+∞)上 是增函数. ( ) (5)若幂函数y=xα 的图象关于原点对称,则 y=xα 在定义域内y 随x 的增大而增大. ( ) (6)函数y=x+ m x 的单调增区间是(-∞, - m),(m,+∞). ( ) 2.(教材改编题)写出一个为奇函数的幂函数 f(x)= . 3.(教材改编题)已知幂函数f(x)=kxα 的图象 过点 1 2 ,2 2 ,则k+α= . 4.(教材改编题)已知幂函数f(x)=xα(α∈R) 的图象过点(16,2),若f(m)=3,则实数m 的 值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 040 @第二章 函数的概念与基本初等函数 5.(多选题)已知函数f(x)=x+ 4 x ,x ∈ [1, 3],下列叙述正确的是 ( ) A.f(x)在区间[1,2]上递减,在区间[2,3] 上递增 B.f(x)的最大值为4 C.f(x)的最小值为 13 3 D.f(x)> 13 3 的解集是 1,43 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 幂函数的图象及性质 【例1】 (1)已知函数f(x)=(m2-m -1)· xm 2-2m-3 是幂函数,且在(0,+∞)上单调递 减,则实数m= . (2)已知幂函数f(x)=x(m 2+m)-1(m∈N*)的图 象经过点(2,2),则m = ,满足条 件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范 围为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一 个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式. 2.判断幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性时,当α 是分数时,一般将其先化为根式,再判断. 【对点训练1】 (1)已知函数f(x)=(m-1)2· xm 2-4m+2 是在(0,+∞)上单调递增的幂函 数,则实数m= . (2)(多选题)下列函数中,值域是R的幂函数有 ( ) A.y=x 1 3 B.y=x C.y=x 2 3 D.y= 2 3 x (3)(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点 3,33 ,则下列说法正确的是 ( ) A.f(x)的定义域为R B.f(x)存在最值 C.f(x)是减函数 D.f(x)不具有奇偶性 考点2 双勾函数 命题角度1 双勾函数的图象及性质 【例2】 已知f(x)=x+ a x (a>0). (1)判断f(x)的奇偶性; (2)讨论f(x)的单调性,并证明; (3)若a=9,对任意的x ∈ [1,5],不等式 f(x)<2m2-m 恒成立,求实数m 的取值 范围. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 当ab>0时,函数f(x)=ax+ b x 为双勾函数. 若a>0,b>0,则函数在区间 - b a ,0 , 0, b a 上单调递减,在区间 -∞,- ba , ba , +∞ 上单调递增. 若a <0,b<0,则函数在区间 - b a ,0 , 0, ba 上 单 调 递 增,在 区 间 -∞,- ba , b a ,+∞ 上单调递减. 双勾函数f(x)=x+ a x (a>0)的单调递增区 间为(-∞,- a),(a,+∞);单调递减区间是 (- a,0),(0,a). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 041 hhh 【对点训练2】 已知函数f(x)=x+ 4 x. 若对任 意x1,x2 ∈ 1 2 ,4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,|f(x1)-f(x2)|≤ m+ 2 m 恒成立,求实数m 的取值范围. 命题角度2 变形及延伸 【例3】 已知函数f(x)=x + 1 x (x >0), g(x)=x2+ 1 x2+ af(x)(a∈R,x >0). (1)求f(x)的值域; (2)讨论g(x)在(0,+∞)上的单调性; (3)设a<0,M =min-6,- 3 8a 2 ,证明: g(x)≥M. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 在同时含有x+ 1 x ,x2+ 1 x2 的函数中,要注意 应用关系式 x+ 1 x 2 =x2+ 1 x2+ 2进行相互转化, 为了简捷,必要时可以用换元法进行整体代换,但是 要注意换元后变量的范围不能发生改变. 【对点训练3】 已知函数f(x)=x2+ 1 x2 . (1)求f(x)的定义域并判断f(x)的奇 偶性; (2)讨论f(x)的单调性. 考点3 双刀函数 【例4】 试讨论函数y=x- 1 x 的定义域、值域、 单调性、奇偶性,并画出函数图象. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 当ab<0时,函数f(x)=ax+ b x 为双刀函数. 若a>0,b<0,则函数在区间(-∞,0),(0,+∞) 上是增函数,若a<0,b>0,则函数在区间(-∞, 0),(0,+∞)上是减函数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 042 @第二章 函数的概念与基本初等函数 【对点训练4】 (1)已 知 函 数 f(x)=2x - a 2x (a>0). ① 判断f(x)在其定义域上的单调性,并用 函数单调性的定义加以证明; ② 讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由. (2)已知a>0且a≠1,f(x)=ax - 1 ax . ① 判断函数f(x)的奇偶性; ② 讨论f(x)的单调性并用单调性定义证明. 学习至此,请完成课时作业10 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.6 指数与指数函数 5A>! 1.通过对有理数指数幂a m n(a>0,m,n为正整数,且n>1)、实数指数幂ax(a>0,x∈R)含义的认识,了 解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.探索并理解指数函数的单调性与特殊点. AMc
-  -@) 1.根式 (1)如果xn =a,那么x 叫做a的n次方根. (2)式子 n a 叫做 ,其中n 叫做根指 数,a叫做被开方数. (3)( n a)n=a.当n为奇数时, n an =a;当n为 偶数时,nan =|a|= a,a≥0, -a,a<0. 2.有理数指数幂 概念 正分数指数幂:a m n = n am 负分数指数幂:a - m n = 1 a m n = 1 n am 0的正分数指数幂等于0,0的负分 数指数幂没有意义 a>0,m,n ∈ N*,n>1 续表 运算 性质 ar·as =ar+s (ar)s =ars (ab)r =arbr a >0,b>0, r,s∈Q 3.指数函数的概念、图象与性质 项目 y=ax(a>0,且a≠1) 图象 0<a<1 a>1 图象特征 在x 轴上方,过定点(0,1) 当x逐渐增大时,图 象逐渐下降 当x逐渐增大时,图 象逐渐上升 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 043 hhh 2.5 幂函数 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)y =xα (2){x|x ≥0} {x| x ≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (-∞,0] (0,+∞) [0,+∞) (-∞,0)和(0,+∞) (1,1) (3)②(1,1) (0,0) ③(1,1) 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× 2.x(答案不唯一) 解析:对于定义域内任意x,-x 也在 其定义域内,且f(-x)= -f(x),则 函数f(x)为 奇 函 数.如f(x)=x. (答案不唯一) 3.32 解析:因 为 函 数f(x)=kxα 是 幂 函 数,所以k=1,又函数f(x)的图象过 点 1 2 ,2 2 ,所以 12 α = 2 2 ,解得 α = 1 2 ,则k+α = 3 2. 4.81 解析:因为幂函数f(x)=xα(α∈R) 的图象过点(16,2),所以16α =2,解得 α= 1 4 ,即f(x)=x 1 4.因为f(m)= 3,所以m 1 4 =3,解得m =81,所以实 数m 的值为81. 5.AD 设x1,x2 是区间[1,3]上的两个 任意 实 数,且 x1 <x2,则 f(x1)- f(x2)=x1-x2+ 4 x1 - 4 x2 = (x1- x2)1- 4 x1x2 .因为x1 <x2,所以 x1-x2<0,当1≤x1<x2≤2时, 1<x1x2<4,所以 4 x1x2 >1,所以1- 4 x1x2 <0,所以f(x1)>f(x2),所以 f(x)在区间[1,2]上是减函数.当2≤ x1 <x2 ≤3时,4<x1x2 <9,所以 0< 4 x1x2 <1,所以1- 4 x1x2 >0,所以 f(x1)<f(x2),所 以 f(x)在 区 间 [2,3]上是增函数,故 A正确.由函数 的单调性知f(x)的最小值为f(2)= 2+ 4 2 =4. 又f(1)=5,f(3)=3+ 4 3 = 13 3 <f (1),所以f(x)的最大值 为f(1)=5,故B,C错误.由f(x)> 13 3 得x+ 4 x > 13 3 ,即3x2 -13x + 12>0,解得x>3或x< 4 3 ,又1≤ x≤3,所以1≤x< 4 3 ,所以f(x)> 13 3 的 解 集 是 1,43 ,故 D正 确.故 选AD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)2 解析:由题意知m2-m-1=1,解得 m = -1或m=2.当m= -1时,m2- 2m-3=0,则f(x)在(0,+∞)上为 常数,不符合题意.当 m =2时,m2- 2m -3= -3,则 f(x)= x-3 在 (0,+∞)上单调递减,符合题意.所以 m =2. (2)1 1≤a< 3 2 解析:因为f(x)的图象过点(2,2), 所以 2=2(m 2+m)-1,所以m2+m =2, 又m ∈N*,所以 m =1.即f(x)= x 1 2,其定义域为{x|x≥0},且在定义 域上函数为增函数,所以由f(2-a)> f(a-1)得0≤a-1<2-a,解得1≤ a< 3 2. 对点训练1:(1)0 解析:因为(m-1)2=1,所以m=0或 2.当m =0时,f(x)=x2,此时函数 f(x)=x2 在区间(0,+∞)上单调递 增,当m =2时,f(x)=x-2,不满足 题意. (2)AB 对于A,函数y=x 1 3 = 3x, 定义域为 R,值域为 R,满足条件;对于 B,函数y=x,定义域为R,值域为R, 满足条 件;对 于 C,函 数y =x 2 3 = 3 x2,定义域为 R,在第一象限内单调 递增,又 x2 ≥ 0,所 以 值 域 为 [0, +∞),不满足条件;对于D,函数y = 2 3 x 为 指 数 函 数,故 排 除 D.故 选AB. (3)CD 设f(x)=xα(α ∈ R),则 f(3)= 3α = 3 3 ,解 得 α = - 1 2 , ∴f(x)=x -12 = 1 x .对于 A,f(x) 的定 义 域 为(0,+ ∞),A 错 误;对 于 B,∵f(x) 的 值 域 为 (0,+ ∞), ∴f(x)无最值,B错误;对于C,∵α< 0,∴f(x)在(0,+ ∞)上 是 减 函 数, C正确;对于D,∵f(x)定义域不关于 原点对称,∴f(x)不具有奇偶性,D正 确.故选CD. 例2:解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}. ∵f(- x)= (- x)+ a (-x)= - x+ a x = -f(x), 即f(-x)= -f(x),∴f(x)为奇函数. (2)f(x)在(- a,0),(0,a)上单调 递减,在(-∞,- a),(a,+∞)上 单调递增. 证明如下, 对 ∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= x1+ a x1 - x2+ a x2 = (x1-x2)(x1x2-a) x1x2 , x1x2 >0,x1-x2 <0, 当x1,x2∈(0,a)时,则x1x2-a<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)> f(x2),故 f(x)在(0,a)上 单 调 递减; 当x1,x2∈(a,+∞)时,则x1x2- a > 0,∴f(x1)-f(x2)< 0,即 f(x1)<f(x2),故f(x)在(a,+∞) 上单调递增; ∴f(x)在(0,a)上 单 调 递 减,在 (a,+∞)上单调递增. 同理可证f(x)在(- a,0)上单调递 减,在(-∞,- a)上单调递增. 综上所述,f(x)在(- a,0),(0,a) 上 单 调 递 减, 在 (- ∞,- a), (a,+∞)上单调递增. (3)若a=9,则f(x)=x+ 9 x , 由(2)可得,f(x)在[1,3)上单调递 减,在[3,5]上单调递增, ∵f(1)=10,f(5)= 34 5 ,即f(1)> f(5),∴f(x)在[1,5]上的最大值为 f(1)=10. 又 ∵ 对 任 意 的 x ∈ [1,5],不 等 式 f(x)<2m2 -m 恒 成 立,则10< 2m2-m,解得m > 5 2 或m <-2, 故实数m 的取值范围为(-∞,-2)∪ 5 2 ,+∞ . 对点训练2:解:函数f(x)在 1 2 ,2 上 递减,在(2,4]上递增,f(2)=4,而 f 1 2 =172,f(4)=5,所以f(x)max= 17 2 ,f(x)min =4,故对任意x1,x2 ∈ 1 2 ,4 ,|f(x1)-f(x2)|≤m+2m 恒成立等价于|f(x1)-f(x2)|max≤ m+ 2 m ,而|f(x1)-f(x2)|max = 17 2 -4= 9 2 ,即m+ 2 m ≥ 9 2 ,显然当 m <0时不等式不成立,所以原不等式 可变形得2m2-9m+4≥0且m>0, 解得0<m ≤ 1 2 或m ≥4,即实数m 的取值范围为 0,12 ∪ [4,+∞). 例3:解:(1)由基本不等式,因为x >0, 所以f(x)≥2 x· 1 x =2 ,当且仅 当x=1时,等号成立,所以f(x)的值 域为[2,+∞). (2)g(x)=x2+ 1 x2 +a x+ 1 x = x+ 1 x 2 +a x+ 1 x -2,令t= x+ 1 x ,t≥2,设h(t)=t2 +at- 2(t≥2), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -454- 参 考 答 案 当- a 2 ≤2 ,即a≥-4时, 当x∈(0,1)时,t∈(2,+∞),t关于 x 单 调 递 减,h(t)单 调 递 增,所 以 g(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,t∈(2,+∞),t关 于x 单调递增,h(t)单调递增,所以 g(x)单调递增; 当 - a 2 >2 ,即a <-4时,令x + 1 x = - a 2 , 解 得 x1 = - a 4 - a2-16 4 ,x2 = - a 4 + a2-16 4 , 当 x ∈ 0,- a 4 - a2-16 4 时, t∈ - a 2 ,+∞ ,t关于x单调递减, h(t)单调递增,所以g(x)单调递减; 当 x ∈ - a 4 - a2-16 4 ,1 时, t∈ 2,- a 2 ,t 关于x 单 调 递 减, h(t)单调递减,所以g(x)单调递增; 当 x ∈ 1,- a 4 + a2-16 4 时, t∈ 2,- a 2 ,t 关于x 单 调 递 增, h(t)单调递减,所以g(x)单调递减; 当x ∈ - a 4+ a2-16 4 ,+∞ 时, t∈ - a 2 ,+∞ ,t关于x单调递增, h(t)单调递增,所以g(x)单调递增. 综上可知,当a≥-4时,g(x)在(0,1) 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 当a<-4时, g(x) 在 0,- a 4 - a2-16 4 和 1,- a 4 + a2-16 4 上单调递减, 在 - a 4 - a2-16 4 ,1 和 - a4 + a2-16 4 ,+∞ 上单调递增. (3)证明:根据(2)的结论,当 -4≤ a<0时,g(x)的最小值为g(1)= h(2)=2+2a≥2+2×(-4)= -6, 此时,0<a2 ≤16,得 -6≤- 3 8a 2, M = -6,所以g(x)≥M, 当a<-4时,g(x)的最小值可能是 g(x1)或g(x2),而x1+ 1 x1 =x2+ 1 x2 = - a 2 ,所以g(x1)=g(x2)= h - a 2 = -a 2 4 -2 , 此时,a2 >16,-6>- 3 8a 2,M = - 3 8a 2,又因为- a2 4-2>- 3 8a 2,所 以g(x)>M, 综上可知,当a<0时,g(x)≥M. 对点训练3:解:(1)函数f(x)=x2+ 1 x2 定义域为{x|x≠0},f(-x)=x2+ 1 x2 =f(x),∴f(x)为偶函数. (2)设任意的x1,x2 满足0<x1<x2, f(x1)-f(x2)=x21 + 1 x21 -x22 - 1 x22 = (x21-x22)+ 1 x21 - 1 x22 = (x21-x22)(x21x22-1) x21x22 = (x1-x2)(x1+x2)(x1x2-1)(x1x2+1) x21x22 , ∵0<x1 <x2,∴x21x22 >0,x1 - x2 <0,x1+x2 >0,x1x2+1>0, 当0<x1<x2≤1时,x1x2-1<0, 则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)> f(x2),∴f(x)在(0,1]上单调递减, 当1<x1 <x2 时,x1x2-1>0,则 f(x1)-f(x2)< 0,即 f(x1)< f(x2),∴f(x)在(1,+∞)上单调递增, ∵f(x)为偶函数,∴ 函数f(x)单调 性如下: 当x∈(-∞,-1)时,函数f(x)单调 递减;当x∈[-1,0)时,函数f(x)单 调递增; 当x∈(0,1]时,函数f(x)单调递减; 当x ∈ (1,+∞)时,函数f(x)单调 递增. 例4:解:定义域为{x|x≠0},值域为R. ∀x1,x2 ∈ (-∞,0),且x1 <x2,则 y1-y2 =x1- 1 x1 - x2- 1 x2 = (x1-x2)(x1x2+1) x1x2 . ∵x1,x2 ∈ (-∞,0),且x1 <x2, ∴x1x2 >0, x1-x2 <0,x1x2+1>0, ∴y1-y2 <0,即y1 <y2. ∴y=x- 1 x 在(-∞,0)上为增函数. ∀x1,x2 ∈ (0,+∞),且x1 <x2,则 y1-y2 = (x1-x2)(x1x2+1) x1x2 . ∵x1,x2 ∈ (0,+∞),且x1 <x2, ∴x1x2>0,x1x2+1>0,x1-x2<0. ∴y1-y2 <0,即y1 <y2. ∴y =x - 1 x 在(0,+ ∞)上 为 增 函数. 设f(x)=y=x- 1 x ,∵f(-x)= -x- 1 -x = - x- 1 x = -f(x). ∴f(x)=y =x- 1 x 是奇函数. y =x- 1 x 的图象如图. 对点训练4:(1)解:① 函数f(x)的定义 域为R,f(x)在其定义域上单调递增. 证明如下: 任取x1,x2 ∈R,设x1 <x2, 则 f(x2)-f(x1)= 2 x2- a 2 x2 - 2 x1- a 2 x1 =(2x2-2x1)1+ a2x1+x2 , 易知2 x2 -2 x1 >0,1+ a 2 x1+x2 >0,故 f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1),所 以函数f(x)在其定义域上单调递增. ②f(x)= 2x - a 2x ,f(- x) = 2-x - a 2-x , 当a=1时,f(-x)=2-x - 1 2-x = -f(x),函数为奇函数; 当a≠1时,f(0)=1-a≠0,函数不 是奇函数, f(1)=2- a 2 ,f(-1)= 1 2 -2a , f(1)不恒等于f(-1),函数不是偶函 数,故为非奇非偶函数. 综上所述,当a=1时,函数f(x)是奇 函数,当a≠1时,函数f(x)既不是奇 函数也不是偶函数. (2)解:①易知函数f(x)的定义域是R, f(-x)=a-x - 1 a-x = 1 ax -ax = -f(x),∴ 函数f(x)为奇函数. ②当a>1时,f(x)在R上是增函数, 当0<a<1时,f(x)在R上是减函 数.证明如下: 设任意的x1,x2 ∈R,且x1 <x2, f(x1)-f(x2)=a x1 - 1 a x1 -a x2 + 1 a x2 = (a x1 -a x2)- a x2 -a x1 a x1+x2 = (a x1 -a x2)(a x1+x2 +1) a x1+x2 , 当a>1时,由x1<x2 得0<a x1 < a x2,a x1 - a x2 < 0,∴f(x1) - f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),f(x) 在R上是增函数, 当0<a<1时,由x1<x2 得a x1 > a x2 >0,a x1 -a x2 >0,∴f(x1)- f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),f(x) 在R上是减函数. 2.6 指数与指数函数 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(2)根式 3.(0,+∞) y =1 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.9 解析:由题意可知,a3 =27,a>0,且 a≠1,得a =3,所 以 f(x)=3x, f(2)=32 =9. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -455-