2.4 二次函数-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

@第二章 函数的概念与基本初等函数 2.4 二次函数 5A>! 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系简单解决问题. AMc
-  -@) 二次函数 (1)二次函数解析式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+ bx+c(a>0) f(x)=ax2+ bx+c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在 -∞,- b 2a 􀭤􀭥 􀪁􀪁 上 单 调 递 减;在􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 - b 2a , +∞ 上单调递增 在 -∞,- b 2a 􀭤􀭥 􀪁􀪁 上单 调 递 增;在􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 - b 2a , +∞ 上单调递减 对称性 函数的图象关于直线 对称 -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)二次函数y=ax2+bx+c,不可能是偶 函数. ( ) (2)已知二次函数f(x)=x2+2x,x∈[-2, 3],则f(x)的值域是[-1,15]. ( ) (3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的 最值是4ac-b 2 4a . ( ) (4)根据二次函数的两个零点就可以确定函 数的解析式. ( ) (5)函数f(x)=x2-2ax +a 的定义域为 [-1,1],值域为[-2,2],则a的值为1.( ) 2.(教材改编题)已知函数f(x)=ax2+x+5的 图象在x 轴上方,则a的取值范围是 . 3.(教材改编题)已知2x2-3x ≤0,则函数 f(x)=x2+x+1的最小值为 ,最大 值为 . 4.(教材改编题)已知函数y=-x2 +3x - a(0≤x≤3)与y=x+1(x∈R)的图象上 不存在关于x 轴对称的点,则实数a 的取值 范围是 . 5.(多选题)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠ 0),对任意实数t都有f(4+t)=f(-t)成立, 则函数值f(-1),f(1),f(2),f(5)中,最小 的可能是 ( ) A.f(-1) B.f(1) C.f(2) D.f(5) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 035 hhh A /c5%1@ 考点1 二次函数的解析式 【例1】 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1, f(-1)=-1,且f(x)的最大值为8,试确定 该二次函数的解析式. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 求二次函数解析式的策略 已 知 三点坐标 宜选用一般式→ 与x 轴两交点坐标 宜选用零点式→ 顶点坐标 宜选用顶点式→ 最大(小)值 对称轴 【对点训练1】 (1)已知二次函数f(x)的两个 零点分别是0和5,图象开口向上,且f(x) 在区间[-1,4]上的最大值为12,则函数 f(x)的解析式为 . (2)(2023·广东深圳模拟)已知函数的图象关 于y轴对称,且与直线y=x 相切,则满足上 述条件的二次函数可以为f(x)= . 考点2 二次函数的图象 【例2】 二次函数y=x2+(m- 3)x+2m 的图象与x 轴的两 个交点的横坐标分别为x1, x2,且0<x1<2<x2,如图所示,则m 的取 值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 识别二次函数图象应学会“三看” 【对点训练2】 关于二次函数y=x2-kx+k- 1(k≠0),则下列正确的是 ( ) A.函数图象与x 轴总有两个不同的交点 B.若函数图象与x 轴正半轴交于不同的两 点,则k>0 C.不论k 为何值,若将函数图象向左平移 1个单位长度,则图象经过原点 D.当x≥1时,y随x的增大而增大,则k<2 考点3 二次函数的单调性 【例3】 (1)已知条件p:函数f(x)=x2+mx+ 1在区间 12 ,+∞ 上单调递增,条件q: m ≥- 4 3 ,则p 是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)若函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|在 区间[-3,0]上是单调函数,则实数a 的取 值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 036 @第二章 函数的概念与基本初等函数 二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象 的对称轴进行分类讨论求解. 【对点训练3】 已知函数f(x)=kx2-2x+4k 在区间[2,4]上单调递减,则实数k 的取值 范围是 . 考点4 二次函数的最值 命题角度1 不含参数的二次函数的最值 【例4】 若-1≤x≤4,则函数y=x2-4x+ 3的最大值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【对 点 训 练 4】 函 数 f(x)=-2cos2x - 2sin x+3(x ∈R)的最小值是 . 命题角度2 含有参数的二次函数的最值 【例5】 (1)已知函数f(x)=x2-2ax-3,a∈R. ①当a=- 3 2 ,x∈[-2,3]时,求函数f(x) 的值域; ② 是否存在实数a,使得函数f(x)在[-1, 3]上的最小值为1? 若存在,求实数a的值; 若不存在,说明理由. (2)试求函数f(x)=x2-4ax+3在[0,1]上的 最小值g(a)的解析式. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解决“二次函数在给定区间上的最值”问题,一 般先用配方法化为f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)的 形式,根据图象的对称轴方程x=h和所给区间并结 合图象求解. (1)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象 直接求解. (2)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点 横坐标是否在区间中;若对称轴固定,区间变动,这 时要讨论区间与对称轴的位置关系,再根据函数单 调性求最值. 【对点训练5】 (1)若函数f(x)=ax2+2ax+ 1在区间[1,2]上有最大值4,则a 的值 为 . (2)已 知 二 次 函 数 f(x)的 最 小 值 为1,且 f(0)=f(2)=3. ① 求f(x)的解析式; ② 若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 实数a的取值范围; ③ 若x ∈ [t,t+2],试求y=f(x)的最 小值. 命题角度3 二次函数中的恒成立与有解问题 【例6】 已知函数f(x)=mx2-mx-1. (1)若不等式f(x)<0对于 ∀x ∈R恒成 立,求实数m 的取值范围; (2)若不等式f(x)<-m+5在x∈[1,3] 上有解,求实数m 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 037 hhh 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是 不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值, 至于用哪种方法,关键是看参数是否易分离.这两个 思路的依据是a≥f(x)等价于a≥f(x)max,a≤ f(x)等价于a≤f(x)min. 【对点训练6】 对∀x∈R,不等式mx2+4x+ m-3>0恒成立,则 m 的取值范围是 ;若mx2+4x+m-3>0在(-1, 1)上有解,则m 的取值范围是 . 考点5 二次函数的模型应用 【例7】 民族要复兴,乡村要振兴,合作社助力乡 村产业振兴,农民专业合作社已成为新型农业 经营主体和现代农业建设的中坚力量,为实施 乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业 合作社为某品牌服装进行代加工,已知代加工 该品牌服装每年需投入固定成本30万元,每代 加工x 万件该品牌服装,需另投入f(x)万元, 且f(x)= 1 2x 2+2x,0<x≤10, 14x+ 450 x -115 ,10<x≤50. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 根 据市场行情,该农民专业合作社为这一品牌 服装每代加工一件服装,可获得12元的代加 工费. (1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代 加工费的年利润y(单位:万元)关于年代加 工量x(单位:万件)的函数解析式; (2)当年代加工量为多少万件时,该农民专 业合作社为这一品牌服装代加工费的年利 润最大? 并求出年利润的最大值. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 在解决二次函数模型的应用问题时,要注意所 建立的函数模型中自变量的范围,一定要符合实际 意义,确定好定义域,然后在该定义域内解决问题. 【对点训练7】 巴拿马运河起着连接美洲南北 陆路通道的作用,是世界上最繁忙的运河之 一,假设运河上的船只航行速度为v(单位: 海里/小时),船只的密集度为x(单位:艘/ 海里),当运河上的船只密集度为50艘/海里 时,河道拥堵,此时航行速度为0海里/小时; 当船只密集度不超过5艘/海里时,船只的 速度为45海里/小时,数据统计表明:当5≤ x≤50时,船只的速度是船只密集度x 的一 次函数. (1)当0≤x ≤50时,求函数v(x)的表 达式; (2)当船只密集度x 为多大时,单位时间内, 通过的船只数量f(x)=xv(x)可以达到最 大值? 求出最大值. 学习至此,请完成课时作业9 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 038 hhh 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现: 1 3 ,3 5 解析:根据题意,由“局部奇函数”的定 义可知,若函数f(x)= 1 x-3+ m 是 x∈(-2,2)上的“局部奇函数”,则方程 f(-x)= -f(x)有解,即 1 -x-3+ m = - 1 x-3- m 有 解,变 形 可 得 -6 x2-9 =2m,即 - 3 x2-9 = m 有解即 可.设g(x)= - 3 x2-9 ,x ∈ (-2,2), 易知g(x)为偶函数且在[0,2)上单调 递增,所以可得g(x)∈ 1 3 ,3 5 ,所以 -3 x2-9 =m 有解时,m∈ 1 3 ,3 5 . 素养检测:(1,2] 解析:根 据 题 意 得f(x)=log2(x + m),x∈[-1,1],必有x+m>0在区 间[-1,1]上 恒 成 立,故 m >1,若 f(x)=log2(x+m)是[-1,1]上的“1 阶局部奇函数”,则f(-x)=-f(x)在 区间[-1,1]有解,即log2(x +m)+ log2(-x+m)=0在区间[-1,1]上 有解,变形可得x2=m2-1,若其在区 间[-1,1]上有解,必有0≤m2-1≤ 1,则有1≤m2 ≤2,又由m >1,则有 1< m ≤ 2,即 m 的 取 值 范 围 为 (1,2]. 2.4 二次函数 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 (2)4ac-b 2 4a ,+∞ -∞, 4ac-b2 4a x = -b2a 基础检测 1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 2.a> 1 20 解析:由题意知 a>0, Δ<0, 即 a>0, 1-20a<0, 解得a> 120. 3.1 194 解析:∵2x2-3x≤0,∴0≤x≤ 3 2 , 由f(x)=x2+x+1= x+12 2 + 3 4 ,∴f(x)的 对 称 轴 为 直 线 x = - 1 2 ,∴f(x)在区间 0, 3 2 上单调 递增,∴ 当0≤x≤ 3 2 时,f(x)min= f(0)=1;f(x)max=f 3 2 = 32 2 + 3 2+1= 19 4. 4.(-∞,1)∪ (5,+∞) 解析:函 数y = -x2 +3x -a(0≤ x ≤3)与y=x+1(x∈R)的图象上 不存在关于x 轴对称的点,直线y = x+1(x∈R)关于x 轴对称的直线方 程为y = -x -1(x ∈ R),则 方 程 -x2+3x-a= -x-1在x ∈ [0, 3]上无解,即a = -x2 +4x +1= -(x-2)2+5在x∈[0,3]上无解,又 函数y= -(x-2)2+5在[0,2]上单 调递 增,在 (2,3]上 单 调 递 减,又 当 x=0时,y=1,当x=2时,y=5,当 x =3时,y =4, 所以y= -(x-2)2+5的值域为[1,5], 故实 数a 的 取 值 范 围 是(- ∞,1)∪ (5,+∞). 5.ACD 因为对任意实数t都有f(4+ t)=f(-t)成立,所以函数f(x)= ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线 x =2,当a >0时,函数值f(-1), f(1),f(2),f(5)中,最小的是f(2); 当a <0时,函 数 值 f(-1),f(1), f(2),f(5)中,最小的是f(-1)和f(5). 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由题意得 4a+2b+c= -1, a-b+c= -1, 4ac-b2 4a =8 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a= -4, b=4, c=7, 所以所求二次函数的解析 式为f(x)= -4x2+4x+7. 对点训练1:(1)f(x)=2x2-10x 解析:设f(x)=ax(x-5)(a>0), 其对称轴为直线x = 5 2 ,又f(x)在 区间[-1,4]上 的 最 大 值 为12,所 以 f(-1)=6a=12,a=2.所以f(x)= 2x(x-5)=2x2-10x. (2)x2+ 1 4 (答案不唯一) 解析:因为二次函数f(x)的图象关于 y 轴对称,所以可设f(x)=ax2+c, 由 y =ax 2+c, y =x 得ax2-x+c=0, 所以Δ =1-4ac=0,即ac= 1 4. 取 a=1,c= 1 4 ,则f(x)=x2+ 1 4. (答 案不唯一) 例2:0<m < 1 2 解析:由 题 图 可 得f(2)<0,即4+ (m-3)×2+2m <0,解得m < 1 2 , 又f(0)=2m >0,所以0<m < 1 2. 对点训练2:C ∵Δ = (-k)2-4(k- 1)=k2-4k+4= (k-2)2≥0,∴函 数图象与x 轴总有两个不同的交点或 相同的交点,故A错误;若函数图象与 x 轴正半轴交于不同的两点,则由根与 系数的关系知 k>0, k-1>0, Δ>0, 解得k>1 且k≠2,故B错误;若将函数图象向左 平移1个单位长度,可得到y = (x+ 1)2-k(x+1)+k-1,令x =0,则 y =0,即图象经过原点,故C正确;当 x≥1时,y随x 的增大而增大,即函数 图象的对称轴x = k 2 ≤1 ,解得k≤ 2,故D错误.故选C. 例3:(1)A 函数f(x)=x2+mx+1的 单调递增区间是 - m 2 ,+∞ ,依题 意, 1 2 ,+∞ ⊆ -m2,+∞ ,因 此- m 2 ≤ 1 2 ,解得m ≥-1,显然[-1, +∞)⫋ - 4 3 ,+∞ ,所以p是q的 充分不必要条件.故选A. (2)(-∞,-9]∪ {0}∪ [3,+∞). 解析:f(x)= 3x2-2ax+a2,x ≥a, x2+2ax-a2,x <a. 若a=0,当 x <0时,f(x)=x2 在[-3,0]上单 调递减,符合题意;若a>0,则f(x) 在(-∞,-a)上单调递减,在[-a,a) 上单调递增,若f(x)在[-3,0]上是 单调函数,则-a≤-3,则a ≥3;若 a<0,则f(x)在 a, a 3 上 单 调 递 减,在 a 3 ,+∞ 上 单 调 递 增,若 f(x)在 [-3,0]上 是 单 调 函 数,则 a 3 ≤-3 ,所以a≤-9.综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,-9]∪ {0}∪ [3,+∞). 对点训练3:-∞, 1 4 解析:当k=0时,f(x)= -2x 在区 间[2,4]上单调递减,符合题意;当k> 0时,函数图象 的 对 称 轴 为 直 线x = 1 k ,因为f(x)在区间[2,4]上单调递 减,所以1 k ≥4 ,得k≤ 1 4 ,所以0< k≤ 1 4 ;当k<0时,函数f(x)在区间 [2,4]上单调递减,符合题意.综上,实 数k 的取值范围为 -∞, 1 4 . 例4:8 解析:∵ 函数y=x2-4x+3开口向 上,对称轴为直线x=2,又-1≤x≤ 4,∴ 当x = -1时,函 数y =x2 - 4x+3有最大值,最大值为(-1)2 - 4×(-1)+3=8. 对点训练4:12 解析:f(x)= -2(1-sin2x)-2sin x+ 3=2sin2x-2sin x+1=2 sin x- 1 2 2 + 1 2 ,当sin x = 1 2 时,函 数 f(x)取得最小值 1 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -452- 参 考 答 案 例5:(1)解:① 当a = - 3 2 时,f(x)= x2+3x-3,x ∈ [-2,3], ∵ 函数f(x)的图象开口向上,对称轴 为直线x = - 3 2 , ∴f(x)min =f - 3 2 = 94 - 92 - 3= - 21 4 ,f(x)max =f(3)=15. ∴ 当a= - 3 2 ,x∈ [-2,3]时,函数 f(x)的值域为 - 21 4 ,15 . ② 函数f(x)的图象开口向上,对称轴 为直线x =a, 当a≤-1时,则f(x)min=f(-1)= 1,即2a-2=1,即a = 3 2 >-1 ,不 符合; 当a≥3时,则f(x)min=f(3)=1,即 6-6a=1,即a= 5 6 <3 ,不符合; 当-1<a<3时,则f(x)min=f(a)= 1,即-a2-3=1,无解. ∴ 不存在实数a,使得函数f(x)在 [-1,3]上的最小值为1. (2)解:∵f(x)= x2 - 4ax + 3, ∴f(x)= (x-2a)2+3-4a2, ∴ 函数 f(x)图象的对称轴方 程 为 x =2a,且函数图象开口向上. ① 当2a>1,即a> 1 2 时,f(x)在[0, 1]上单调递减, 故g(a)=f(x)min=f(1)=4-4a; ② 当0≤2a≤1,即0≤a≤ 1 2 时, f(x)在[0,2a]上单调递减,在[2a,1] 上单调递增, 故g(a)=f(x)min=f(2a)=3-4a2; ③ 当2a<0,即a<0时,f(x)在[0, 1]上单调递增, 故g(a)=f(x)min =f(0)=3. 综上可知f(x)在[0,1]上的最小值 g(a)= 4-4a,a> 1 2 , 3-4a2,0≤a≤ 1 2 , 3,a<0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 对点训练5:(1)38 解析:①当a=0时,函数f(x)在区间 [1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍 去;② 当a>0时,函数f(x)在区间 [1,2]上单调递增,最大值为f(2)= 8a+1=4,解得a= 3 8 ;③ 当a<0 时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递 减,最大值为f(1)=3a+1=4,解得 a=1,不符合题意,舍去.综上可知,a 的值为 3 8. (2)解:①由已知f(0)=f(2)=3,可 得对称轴为直线x =1, 则函数f(x)图象的顶点坐标为(1,1), 设f(x)=a(x-1)2+1,a>0,由 f(0)=3,得a=2, 故f(x)=2x2-4x+3. ② 因为函数f(x)图象的对称轴为直线 x=1,f(x)在区间[2a,a+1]上不单调, 所以对称轴在区间[2a,a+1]内,即 2a<1<a+1, 解得0<a< 1 2. ③ 当t≥1时,函数f(x)在[t,t+2] 上单调递增,f(x)min =f(t)=2t2- 4t+3, 当t<1<t+2,即 -1<t<1时, f(x)min =1, 当t+2≤1,即t≤-1时,函数f(x) 在[t,t+2]上单调递减, f(x)min =f(t+2)=2t2+4t+3, 综上所述, f(x)min = 2t2-4t+3,t≥1, 1,-1<t<1, 2t2+4t+3,t≤-1. 例6:解:(1)mx2 -mx -1<0对 于 ∀x ∈R恒成立, 若m =0,显然成立, 若m≠0,则 m<0, Δ<0, 解得-4<m<0. ∴m ∈ (-4,0]. (2)∵ 不等式f(x)<-m+5在x∈ [1,3]上有解, 整理为m(x2-x+1)<6在x∈[1, 3]上有解, ∵x2-x+1= x- 1 2 2 + 3 4 >0 , ∴m < 6 x2-x+1 在x∈[1,3]上有 解,即求g(x)= 6 x2-x+1 在[1,3] 上的最大值, ∵h(x)=x2-x+1的对称轴为直线 x = 1 2 , ∴h(x)在[1,3]上单调递增, ∴h(x)min = h(1)= 1,h(x)max = h(3)=7, ∴ 1 x2-x+1 ∈ 1 7 ,1 ⇒ 6 x2-x+1 ∈ 6 7 ,6 , 可得g(x)max =6,∴m <6. 对点训练6:(4,+∞) - 1 2 ,+∞ 解析:关 于x 的 不 等 式 mx2 +4x + m-3>0对于任意实数x 恒成立,则 m >0, Δ =42-4m(m-3)<0, 解得m 的 取值范围是(4,+∞). 若 mx2+4x+m-3>0在(-1,1)上 有解,则 m > 3-4x x2+1 在(-1,1)上有 解,易知当-1<x≤ 3 4 时,3-4x x2+1 ≥ 0,当34 <x<1 时,3-4x x2+1 <0,此时 记t=x- 3 4 ,则0<t< 1 4 ,g(t)= -4t t+ 3 4 2 +1 = - 4 t+ 25 16t+ 3 2 , 在 0,14 上单调递减,故g(t)>- 12, 综上可知,3-4x x2+1 >- 1 2 ,故m 的取值 范围是 - 1 2 ,+∞ . 例7:解:(1)当0<x≤10时,y=12x- 1 2x 2+2x -30= -12x2+10x- 30; 当 10 < x ≤ 50 时,y = 12x - 14x+ 450 x -115 -30 = -2x - 450 x +85. 故y = - 1 2x 2+10x-30,0<x ≤10, -2x- 450 x +85 ,10<x ≤50. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)当 0< x ≤ 10 时,函 数 y = - 1 2x 2+10x-30为开口向下的二次 函数,且对称轴为直线x =10, 所以y= - 1 2x 2+10x-30在(0,10] 上单调递增,故ymax = - 1 2 ×10 2 + 10×10-30=20(万元); 当10<x≤50时,y= -2x- 450 x + 85= - 2x+ 450 x +85≤ -2 2x· 450 x +85=25 ,当且仅当 2x = 450 x ,即x =15时,等号成立. 即当x =15时,ymax =25(万元). 因为20<25,所以当年代加工量为15 万件时,该农民专业合作社为这一品 牌服装代加工费的年利润最大,最大 值为25万元. 对点训练7:解:(1)由题意知0≤x ≤5 时,v=45海里/小时, 当5≤x ≤50时,设v(x)=ax + b(a≠0), 则 50a+b=0 , 5a+b=45, 解得 a= -1,b=50, 故v(x)= 45,0≤x ≤5, -x+50,5<x ≤50. (2)由 (1)可 得 f(x)= xv(x)= 45x,0≤x ≤5, -x2+50x,5<x ≤50, 当0≤x ≤5时,f(x)=45x,此时 f(x)max =45×5=225; 当5<x ≤50时,f(x)= -x2 + 50x = -(x-25)2+625, 当x=25时,f(x)取到最大值为625, 由于225<625,故当船只密集度为 25艘/海里 时, 通 过 的 船 只 数 量 f(x)=xv(x)可以达到最大值,最大 值为625. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -453-