2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

hhh 【题目呈现】 (多选题)下列说法正确的是 ( ) A.1是函数f(x)=x+ 1 x (x>0)的一个下界 B.函数f(x)=xln x 有下界,无上界 C.函数f(x)= ex x2 有上界,无下界 D.函数f(x)= sin x x2+1 有界 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 2" (多选题)定义在D 上的函数f(x),若满足 对任意 x ∈ D,存 在 常 数 M >0,都 有 |f(x)|≤M 成立,则称f(x)是D 上的有 界函数,下列函数中,是在其定义域上的有界 函数的有 ( ) A.y= x x2+1 B.y=2x C.y=16-2x D.y=x -[x]([x]表示不大于x 的最大 整数) 学习至此,请完成课时作业7 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性 5A>! 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义. 2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,会判断、应用函数的周期性. AMc
-  -@) 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一 般 地, 设 函 数 f(x)的 定 义 域 为 D,如果 ∀x ∈D, 都 有 - x ∈ D, 且 一 般 地, 设 函 数 f(x)的定义域为 D,如果 ∀x ∈D, 都 有 - x ∈ D, 且 图象特征 关于 对称 关于 对称 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域 为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一 个x∈D 都有x+T∈D,且 ,那 么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫 做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所 有周期中存在一个最小的 ,那么这个 最小 就叫做f(x)的 . 常用结论与知识拓展 1.若f(x)≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式 如下: (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔ f(-x) f(x) = 1⇔f(x)为偶函数. (2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔ f(-x) f(x) =- 1⇔f(x)为奇函数. 2.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义, 那么一定有f(0)=0.如果函数f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(|x|). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 030 @第二章 函数的概念与基本初等函数 (2)在公共定义域内:奇±奇 =奇,偶 ±偶 =偶, 奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)= 1 f(x) ,则T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=- 1 f(x) ,则T=2a(a>0). 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)= f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x =a 对称. (2)若对于R上的任意x 都有f(2a-x)=f(x) 或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称. (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+ b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(b, 0)对称. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图 象一定过原点. ( ) (2)函数y=x2(x >0)是偶函数. ( ) (3)若函数y=f(x+2)为奇函数,则函数y= f(x)的图象关于点(2,0)对称. ( ) (4)函数f(x)满足f(x)=f(2-x),对称轴 为直线x=1. ( ) (5)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0. ( ) 2.(教材改编题)若函数f(x)=x2+(a+5)x+ b是偶函数,定义域为[a,2b],则a+2b = . 3.(教材改编题)已知函数f(x)是定义在R上 的奇函数,且当x >0时,f(x)=x(1+x), 则f(-1)= . 4.(教材改编题)设f(x)是以2为最小正周期 的周期函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=(x- 1)2,则f(5)= ,f 9 2 = . 5.(多选题)(教 材 改 编 题)已知函数f(x), g(x)的定义域均为R,f(x+2)为偶函数, f(x)+g(x)=g(2-x),且当x ∈ [0,1) 时,f(x)=x,则 ( ) A.f(x)为偶函数 B.f(x)的图象关于点(1,0)对称 C.∑ 2 023 k=1 f(k)=1 D.8是函数f(x)的一个周期 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 函数的奇偶性 命题角度1 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3- 1 x ; (2)f(x)= lg(4-x2) |x-2|+|x+4| ; (3)f(x)= x2-1+ 1-x2; (4)f(x)= -x2+2x+1,x >0, x2+2x-1,x <0. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 判断函数奇偶性的方法 (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性 的必要不充分条件,所以首先考虑定义域. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系, 在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的 等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 031 hhh 【对点训练1】 (2021·全国乙卷)设函数f(x)= 1-x 1+x ,则下列函数中为奇函数的是 ( ) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 命题角度2 函数奇偶性的应用 【例2】 (1)若函数f(x)是定义在R上的奇函 数,当x≥0时,f(x)=log2(x+2)-1,则 f(-6)= ( ) A.2 B.4 C.-2 D.-4 (2)(2021·新 高 考 Ⅰ 卷)已知函数f(x)= x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用函数的奇偶性求函数值的方法:将待求函 数值或不等式利用奇偶性转化为已知区间上的函数 值求解. 【对点训练2】 (1)(2023·新课标Ⅱ卷改编)若 f(x)=(x +a)ln 2x-1 2x+1 为 偶 函 数,则 a= . (2)(2023·全国乙卷改编)已知f(x)= xex eax -1 是偶函数,则a= . 考点2 函数的周期性 【例3】 (1)(2023·湖北恩施模拟)函数f(x) 满足f(x)= -f(x+4),若f(3)=3,则 f(2 023)= ( ) A.3 B.-3 C.6 D.2 023 (2)(多选题)(2023·重庆南开中学质检)已知 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= -fx+ 3 2 ,f(-1)=1,f(0)=-2,且 fx- 3 4 为奇函数,则 ( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)是周期为3的周期函数 D.f(0)+f(1)+…+f(2 024)=0 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.求解与函数的周期有关问题,应根据题目特 征及周期定义,求出函数的周期. 2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、 求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上, 进而解决问题. 【对点训练3】 已知f(x)是定义在R上的偶函 数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3, 0]时,f(x)=6-x,则f(919)= . 考点3 函数的对称性 【例4】 (1)已知函数f(x)=x3+ax2+x+b 的图象关于点(1,1)对称,则b= . (2)已知函数f(x)=(x+m)ln1+ 1 x .当m= 1 2 时,判断函数f(x)的图象是否关于直线 x=n对称,若对称,求n的值;若不对称,说 明理由. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表 明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系 f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期 性,在使用这两个关系时不要混淆. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 032 @第二章 函数的概念与基本初等函数 【对点训练4】 (1)已知函数f(x)=1+ a 4x +2 关于点 1 2 ,1 2 对称,则实数a的值为 . (2)已知直线x =1是定义在 R上的函数y= f(x)的对称轴,当x ≥1时,f(x)=x2- 4x,则f(x)的解析式是 . 考点4 函数性质的综合应用 命题角度1 函数的单调性、奇偶性的应用 【例5】 函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减, 且为奇函数,若f(1)=-1,则满足 -1≤ f(x-2)≤1的x 的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.求解与奇、偶函数有关的不等式问题要考虑 奇、偶函数关于原点对称的定义域两侧的单调性;利 用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间 上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相 反,转化到同一单调区间上求解. 2.求解与偶函数有关的不等式问题,为避免出 现错误以及分类讨论,可利用偶函数的性质f(x)= f(-x)=f(|x|)将问题转化为偶函数在[0,+∞) 上的单调性求解. 【对点训练5】 已知函数f(x)=x2+log2|x|, 则不等式f(x +1)-f(2)<0的解集 为 . 命题角度2 函数的奇偶性(对称性)与周期性 【例6】 (多选题)已知函数f(x),g(x)的定义 域均为R,函数f(2x+2)为奇函数,f(x- 1)为偶函数,g(x)为奇函数,g(x)的图象 关于直线x=2对称,则下列说法正确的是 ( ) A.函数f(x)的一个周期为6 B.函数g(x)的一个周期为8 C.若f(0)=2,则f(18)+g(68)=-2 D.若当0≤x≤2时,g(x)=ln(x+1),则 当10≤x ≤12时,g(x)=ln(13-x) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y= f(x)关于直线x=a对称,若y=f(x+a)是奇函 数,则函数y=f(x)关于点(a,0)对称. 2.函数图象的对称与周期关系常见结论 (1)若函数y=f(x)的两条对称轴方程分别为 x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|; (2)若函数y=f(x)的两个对称中心分别为 (a,0),(b,0),则函数的一个周期为T =2|a-b|; (3)若函数y=f(x)的一条对称轴方程为x= a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为 T=4|a-b|. 【对点训练6】 (1)(2021·全国甲卷改编)设 f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)= f(- x).若 f - 1 3 = 13,则 f 53 等 于 . (2)(2021·新高考 Ⅱ 卷)设函数f(x)的定义 域为R,且f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为 奇函数,则 ( ) A.f - 1 2 =0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 命题角度3 单调性、奇偶性与周期性的综合问题 【例7】 (多选题)定义在R上的偶函数f(x)满 足f(x-1)图象关于坐标原点对称,且x∈ [0,1]时,f(x)=-x2+1,则下列说法正确 的有 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 033 hhh A.f(-1)=0 B.f(x)的最小正周期为2 C.f(x)在(-4,-2)上单调递减 D.x ∈ [3,4]时,f(x)=-x2+8x-15 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单 调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对 称性. (2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求 值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函 数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内 求解. (3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类 问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然 后利用奇偶性和单调性求解. 【对点训练7】 (多选题)定义在R上的偶函数 f(x)满足f(x-2)=-f(x),且f(x)在 [0,1]上是增函数,则 ( ) A.f(x)的图象关于直线x=-1对称 B.f(x+4)=f(x) C.f - 1 2 >f154 D.∑ 2 023 n=1 f(n)=0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋  >Fe2 数学探索背景下的“局部奇(偶)函数” 若函数f(x)的定义域内存在实数x,满足 f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函 数”;满足f(-x)=f(x),则称函数f(x)为“局 部偶函数”. 【题目呈现】 定义:对于函数f(x),若定 义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则 称f(x)为“局部奇函数”,若f(x)= 1 x-3+ m,x ∈ (-2,2)是定义在区间上的“局部奇函 数”,则实数m 的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【素养解读】 有关局部奇(偶)函数的问题 的解题策略:根据函数的奇偶性的特征,将其转 化为相应方程在给定区间内有解的问题即可. 2" 已知函数y=f(x),若在定义域内存在实数 x,使得f(-x)=-kf(x),其中k 为正整 数,则称函数y=f(x)为定义域上的“k阶局 部奇函数”,若f(x)=log2(x+m)是[-1, 1]上的“1阶局部奇函数”,则实数m 的取值 范围是 . 学习至此,请完成课时作业8 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 034 hhh 确;对于C,∵x2>0,ex >0,∴ ex x2 > 0,∴f(x)有 下 界,故 C 错 误;对 于 D,∵sin x ∈ [-1,1],∴ - 1 x2+1 ≤ sin x x2+1 ≤ 1 x2+1 ,又 -1 x2+1 ≥-1, 1 x2+1 ≤1,∴ -1< sin x x2+1 < 1, ∴f(x)既有上界又有下界,故D正确. 故选ABD. 素养检测:AD 对 于 A, x x2+1 = |x| x2+1 ,当x =0时,| x| x2+1 =0,当 x ≠0时,| x| x2+1 = 1 |x|+ 1 |x| ≤ 1 2 |x|· 1 |x| = 1 2 ,当且仅当|x|= 1 |x| ,即x = ±1时等号成立,即对于 任意x∈R,0≤ x x2+1 ≤ 1 2 ,所以 存在常数M >0,使得|f(x)|≤M 成 立,故y= x x2+1 为有界函数;对于B, 当x ∈R时,由指数函数的性质可知 y =2x 可 以 无 穷 大,所 以 对 于 任 意 x ∈ R,不 存 在 常 数 M >0,使 得 |f(x)|≤M 成立,故y=2x 不为有 界函数;对于C,当x∈R时,由指数函 数的性质可知y =2x 可以无穷大,所 以y =16-2x 可以无穷小,所以不存 在常数 M >0,使得|f(x)|≤M 成 立,故y=16-2x 不为有界函数;对于 D,当x ∈R时,0≤x-[x]<1,则 0≤|x - [x]|<1,所 以 存 在 常 数 M >0,使得|f(x)|≤ M 成立,故 y =x-[x]为有界函数.故选AD. 2.3 函数的奇偶性、 周期性、对称性 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.f(-x)=f(x) f(-x)= -f(x) y 轴 原点 2.(1)f(x+T)=f(x) (2)正数 正数 最小正周期 基础检测 1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2.0 解析:因为f(x)是偶函数,函数的定 义域关于原点对称,所以a+2b=0. 3.-2 解析:f(1)=1×2=2,又f(x)为奇 函数,所以f(-1)= -f(1)= -2. 4.0 14 解析:f(5)=f(1+2×2)=f(1)= 0,f 9 2 =f 12+2×2 =f 12 = 1 4. 5.ABD 依题意知∀x∈R,f(x)+g(x)= g(2-x),即有f(2-x)+g(2-x)= g(x),两式相加整理得f(x)+f(2- x)=0,因此f(x)的图象关于点(1, 0)对称,B正确;由f(x +2)为偶函 数,得f(-x+2)=f(x+2),于是 f(x+2)= -f(x),有f(x+4)= -f(x+2)=f(x),因此函数f(x) 的周期为4,8是函数f(x)的一个周 期,D正确;由f(x)+f(2-x)=0, 得f(-x)+f(2+x)=0,而f(x+ 2)= -f(x),因此f(-x)=f(x), f(x)为偶函数,A正确;由当x∈[0, 1)时,f(x)=x,得f(4)=f(0)=0, 而 f(1)= 0,f(2)= -f(0)= 0, f(3)=-f(1)=0,即有f(1)+f(2)+ f(3)+f(4)=0,∑ 2 023 k=1 f(k)=505[f(1)+ f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+ f(3)=0,C错误.故选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:解:(1)原函数的定义域为{x|x ≠ 0},关于原点对称,并且对于定义域内 的任意一个x都有f(-x)=(-x)3- 1 -x = - x3- 1 x = -f(x),从而 函数f(x)为奇函数. (2)由 4-x 2 >0, |x-2|+|x+4|≠0, 得-2<x<2,即函数f(x)的定义域 是{x|-2<x <2},关于原点对称. 因 此 f(x)= lg(4-x2) (2-x)+(x+4)= 1 6lg (4-x2),所以f(-x)=f(x), 因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点 对称.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)= -f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又 是偶函数. (4)如图,作出函数f(x)的图象,由奇 函数的图象关于原点对称的特征知函 数f(x)为奇函数. 对点训练1:B 因为f(x)= 1-x 1+x ,所 以f(x-1)= 1-(x-1) 1+(x-1)= 2-x x , f(x+1)= 1-(x+1) 1+(x+1)= -x x+2 . 对 于 A,F(x)= f(x -1)-1 = 2-x x -1= 2-2x x ,定义域关于原点 对称,但不满足F(x)= -F(-x);对 于B,G(x)=f(x-1)+1= 2-x x + 1= 2 x ,定义域关于原点对称,且满足 G(x)= -G(-x);对于C,f(x+1)- 1= - x x+2- 1= - x-x-2 x+2 = - 2x+2 x+2 ,定义域不关于原点对称;对 于D,f(x +1)+1= - x x+2+ 1= -x+x+2 x+2 = 2 x+2 ,定义域不关于 原点对称.故选B. 例2:(1)C 根 据 题 意 得 f(-6)= -f(6)=1-log2(6+2)=1-3= -2.故选C. (2)1 解析:因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定 义域为R,且是偶函数,所以f(-x)= f(x)对任 意 的x ∈ R 恒 成 立,所 以 (-x)3(a·2-x -2x)=x3(a·2x - 2-x)对 任 意 的 x ∈ R 恒 成 立,所 以 x3(a-1)(2x +2-x)=0对 任 意 的 x ∈R恒成立,所以a=1. 对点训练2:(1)0 解析:因为f(x)为偶函数,则f(1)= f(-1),∴(1+a)ln 1 3 = (-1+a)ln 3, 解得a=0,当a=0时,f(x)= xln2x-12x+1 ,(2x-1)(2x+1)>0,解 得x> 1 2 或x<- 1 2 ,则其定义域为 x x<- 1 2 或x> 1 2 ,关 于 原 点 对称.f(-x)= (-x)ln 2(-x)-1 2(-x)+1= (-x)ln 2x+1 2x-1= (-x)ln 2x-1 2x+1 -1 = xln2x-12x+1=f (x),故此时f(x)为 偶函数. (2)2 解析:因为f(x)= xex eax -1 为偶函数, 则 f(x)- f(- x) = xex eax -1 - (-x)e-x e-ax -1 = x[ex -e(a-1)x] eax -1 =0,又因 为x≠0,可得ex-e(a-1)x =0,即ex = e(a-1)x,则x= (a-1)x,即1=a-1, 解得a=2. 例3: (1)B 因 为 函 数 f(x) 满 足 f(x) = -f(x+4), 即 f(x + 4)= -f(x),则f(x+8)= -f(x+ 4)=f(x),所以函数f(x)是周期函 数,周期为8,所以f(2 023)=f(252× 8+7)=f(7)= -f(3)= -3. (2)BCD 因为f(x)= -f x+ 3 2 , 所 以 f x+ 3 2 =-f x + 32 + 3 2 = -f(x +3),所 以 f(x)= f(x+3),所以f(x)是周期为3的周 期函数,所以C正确;因为f(-1)= 1,f(0)=-2,所以f(2)=f(-1)= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -450- 参 考 答 案 1,f(3)=f(0)= -2,因为f x-34 为 奇 函 数, 所 以 f -x- 3 4 = -f x-34 , 所 以 f(- x) = -f x- 3 2 , 所 以 f 12 = -f(-2)= -f(1),因 为 f 1 2 = -f(2)= -1,所以f(1)=1,所以 f(0)+f(1)+f(2)= -2+1+1= 0,所以f(0)+f(1)+…+f(2 024)= 0,所 以 D 正 确;因 为 f(1)= 1, f(-1)=1,所以f(x)不可能为奇函 数,所 以 A 错 误;因 为 f(-x)= -f x- 3 2 ,f(x)是周期为3的周 期函数,所以f(-x)= -f x-32+ 3 = -f x+32 =f(x),所以f(x) 为偶函数,所以B正确.故选BCD. 对点训练3:6 解析:因为f(x+4)=f(x-2),所以 f[(x+2)+4]=f[(x +2)-2], 即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周 期为6的 周 期 函 数,所 以 f(919)= f(153×6+1)=f(1).又f(x)是定义在 R上的偶函数,所以f(1)=f(-1)=6, 即f(919)=6. 例4:(1)2 解析:∵f(x)图 象 关 于 点 (1,1)对 称,∴f(x)+f(2-x)=2, 又f(2-x)= (2-x)3+a(2-x)2+ (2-x)+b = -x3 + (a+6)x2 - (4a+13)x+10+4a+b, ∴f(x)+f(2-x)= (2a+6)x2- (4a+12)x+10+4a+2b=2, ∴ 2a+6=0, 4a+12=0, 10+4a+2b=2, 解得 a= -3,b=2. (2)解:当 m = 1 2 时,f(x)= x + 1 2 ln1+ 1x ,定义域为{x|x < -1或x >0},若函数f(x)的图象关 于直线x =n对称,则n= - 1+0 2 = - 1 2 ,检验:f(2n-x)=f - 12 × 2-x =f(-1-x)= -1-x+ 1 2 ln1+ 1-1-x = -x- 1 2 ln1- 1x+1 = - x+ 1 2 ln xx+1= x+ 1 2 lnx+1x = x+ 1 2 ln1+ 1x =f(x), 所 以 函 数 f(x)的 图 象 关 于 直 线 x = - 1 2 对称. 对点训练4:(1)-2 解析:由题知f(x)+f(1-x)=1,即 1+ a 4x +2 +1+ a 41-x +2 =1,整理得 a 4x +2 + a·4x 4+2·4x = 2a+a·4x 4+2·4x = -1,解得a= -2. (2)f(x)= x2-4x,x ≥1, x2-4,x <1 解析:由直线x=1是定义在R上的函 数y =f(x)的 对 称 轴,则 f(x)= f(2-x),又当x≥1时,f(x)=x2- 4x,则当x <1时,即2-x >1,则 f(x)=f(2-x)= (2-x)2-4× (2-x)=x2-4,所以f(x)的解析式 是f(x)= x2-4x,x ≥1, x2-4,x <1. 例5:1≤x ≤3 解析:由 函 数 f(x)是 奇 函 数,可 知 f(-1)= -f(1)=1.-1≤f(x- 2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又 f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,则 有 -1≤x-2≤1,解得1≤x ≤3. 对点训练5:(-3,-1)∪ (-1,1) 解析:当x>0时,f(x)=x2+log2x, 故其在(0,+∞)上单调递增.又因为 函数的定义域为{x|x ≠0}, f(-x)=(-x)2+log2|-x|=x2+ log2|x|=f(x),故其为偶函数,综上 可得f(x)在(-∞,0)上单调递减,在 (0,+∞)上单调递增且图象关于y 轴 对称,f(x+1)-f(2)<0即f(x+ 1)< f(2)等 价 于 | x+1|<2, x+1≠0 ⇒ -3<x<1且x≠-1,即不等式的解 集为(-3,-1)∪ (-1,1). 例6:BCD 对于A,因为f(2x+2)为奇 函数,所以f(-2x+2)= -f(2x+ 2),令t=2x,得f(-t+2)= -f(t+ 2),则f(t)= -f(4-t).因为f(x- 1)为 偶 函 数,所 以 f(-x -1)= f(x-1),令 x = m -5,得 f(4- m)= f(m - 6), 所 以 f(x)= -f(x-6), 所 以 f(x - 6) = -f(x-12),故f(x)=f(x-12), 所以函数f(x)的周期为12,故A不正 确;对于B,因为g(x)的图象关于直线 x =2对称,所以g(2+x)=g(2- x),所以g(x)=g(4-x).又g(x)是 奇函 数,所 以 g(-x)= -g(x)= -g(4-x),所 以 g(x)= -g(4+ x)=g(x+8),所以函数g(x)的周 期为8,故 B正 确;对 于 C,由 A 得 f(x)= -f(x -6),得 f(x)= -f(x+6),令 x =0,则 f(0)= -f(6)=2,所以f(6)= -2.因为 g(x)为 R上的奇函数,所以g(0)= 0,则由g(x)=g(4-x),得g(4)= g(0)= 0,所 以 f(18)+g(68)= f(12+6)+g(8×8+4)=f(6)+ g(4)= -2,故C正确;对于D,因为当 0≤x≤2时,g(x)=ln(x+1),所以 当10≤x≤12时,0≤12-x≤2,所 以g(x)=g(x -8)=g(4- (x - 8))=g(12-x)=ln(13-x).所以当 10≤x ≤12时,g(x)=ln(13-x), 故D正确.故选BCD. 对点训练6:(1)13 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函 数,所以f(-x)= -f(x).又f(1+ x) =f(-x),所以f(2+x)=f(1+ (1+x))=f(-(1+x))= -f(1+ x)= -f(-x)=f(x),所以函数f(x) 是以2为 周 期 的 周 期 函 数,f 53 = f 5 3-2 =f -13 = 13. (2)B 因为函数f(x+2)为偶函数, 则f(2+x)=f(2-x),可得f(x+ 3)=f(1-x),因为函数f(2x+1)为 奇函数,则f(1-2x)= -f(2x+1), 所以f(1-x)= -f(x +1),所 以 f(x+3)= -f(x+1)=f(x-1), 即f(x)=f(x+4),故函数f(x)是 以4为 周 期 的 周 期 函 数,因 为 函 数 F(x)= f(2x +1)为 奇 函 数,则 F(0)= f(1)= 0,故 f(-1)= -f(1)=0,其 他 三 个 选 项 未 知.故 选B. 例7:ACD 对于A,因为函数f(x)为R 上的偶函数,所以f(-1)=f(1)= -12+1=0,故A正确;对于B,由题 意可得,f(x-1)= -f(-x-1), f(-x)=f(x),所 以f((x -1)- 1)= -f(-(x-1)-1)= -f(-x)= -f(x),即f(x-2)= -f(x),所以f((x-2)-2)= -f(x-2)= -[-f(x)]=f(x),所 以f(x-4)=f(x),即函数f(x)的 最小正周期为4,故B错误;对于C,根 据题意 作 出 该 函 数 的 图 象 如 下 图 所 示,由图可知,函数f(x)在(-4,-2) 上单调递减,故C正确; 对于D,因为函数f(x)为R上的偶函 数,x ∈ [0,1]时,f(x)= -x2+1, 所以x∈ [-1,0]时,f(x)= -x2+ 1,又因为函数f(x)的最小正周期为 4,设x∈[3,4],则(x-4)∈[-1,0], 所以f(x)=f(x-4)= -(x-4)2+ 1= -x2 +8x -15,故 D正 确.故 选ACD. 对点训练7:BC 因为f(x)为偶函数, f(x-2)= -f(x),所以f(x-2)+ f(x)=0,所以f(-2+x)+f(-x)= 0,所以f(x)的图象关于点(-1,0)对 称,A错 误;又f(x +4)= -f(x + 2)=f(x),所以f(x+4)=f(x), B正确;因为f(x)在[0,1]上是增函数, 所以f - 1 2 =f 12 >f 14 = f - 1 4 =f 154 ,C正确;因为f(x- 2)+f(x)=0⇒f(1)+f(3)=0,f(2)+ f(4)=0⇒f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= 0,所以∑ 2 023 n=1 f(n)=f(1)+f(2)+f(3)= f(2),而f(2)的值不确定,D错误.故 选BC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -451- hhh 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现: 1 3 ,3 5 解析:根据题意,由“局部奇函数”的定 义可知,若函数f(x)= 1 x-3+ m 是 x∈(-2,2)上的“局部奇函数”,则方程 f(-x)= -f(x)有解,即 1 -x-3+ m = - 1 x-3- m 有 解,变 形 可 得 -6 x2-9 =2m,即 - 3 x2-9 = m 有解即 可.设g(x)= - 3 x2-9 ,x ∈ (-2,2), 易知g(x)为偶函数且在[0,2)上单调 递增,所以可得g(x)∈ 1 3 ,3 5 ,所以 -3 x2-9 =m 有解时,m∈ 1 3 ,3 5 . 素养检测:(1,2] 解析:根 据 题 意 得f(x)=log2(x + m),x∈[-1,1],必有x+m>0在区 间[-1,1]上 恒 成 立,故 m >1,若 f(x)=log2(x+m)是[-1,1]上的“1 阶局部奇函数”,则f(-x)=-f(x)在 区间[-1,1]有解,即log2(x +m)+ log2(-x+m)=0在区间[-1,1]上 有解,变形可得x2=m2-1,若其在区 间[-1,1]上有解,必有0≤m2-1≤ 1,则有1≤m2 ≤2,又由m >1,则有 1< m ≤ 2,即 m 的 取 值 范 围 为 (1,2]. 2.4 二次函数 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 (2)4ac-b 2 4a ,+∞ -∞, 4ac-b2 4a x = -b2a 基础检测 1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 2.a> 1 20 解析:由题意知 a>0, Δ<0, 即 a>0, 1-20a<0, 解得a> 120. 3.1 194 解析:∵2x2-3x≤0,∴0≤x≤ 3 2 , 由f(x)=x2+x+1= x+12 2 + 3 4 ,∴f(x)的 对 称 轴 为 直 线 x = - 1 2 ,∴f(x)在区间 0, 3 2 上单调 递增,∴ 当0≤x≤ 3 2 时,f(x)min= f(0)=1;f(x)max=f 3 2 = 32 2 + 3 2+1= 19 4. 4.(-∞,1)∪ (5,+∞) 解析:函 数y = -x2 +3x -a(0≤ x ≤3)与y=x+1(x∈R)的图象上 不存在关于x 轴对称的点,直线y = x+1(x∈R)关于x 轴对称的直线方 程为y = -x -1(x ∈ R),则 方 程 -x2+3x-a= -x-1在x ∈ [0, 3]上无解,即a = -x2 +4x +1= -(x-2)2+5在x∈[0,3]上无解,又 函数y= -(x-2)2+5在[0,2]上单 调递 增,在 (2,3]上 单 调 递 减,又 当 x=0时,y=1,当x=2时,y=5,当 x =3时,y =4, 所以y= -(x-2)2+5的值域为[1,5], 故实 数a 的 取 值 范 围 是(- ∞,1)∪ (5,+∞). 5.ACD 因为对任意实数t都有f(4+ t)=f(-t)成立,所以函数f(x)= ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线 x =2,当a >0时,函数值f(-1), f(1),f(2),f(5)中,最小的是f(2); 当a <0时,函 数 值 f(-1),f(1), f(2),f(5)中,最小的是f(-1)和f(5). 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由题意得 4a+2b+c= -1, a-b+c= -1, 4ac-b2 4a =8 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a= -4, b=4, c=7, 所以所求二次函数的解析 式为f(x)= -4x2+4x+7. 对点训练1:(1)f(x)=2x2-10x 解析:设f(x)=ax(x-5)(a>0), 其对称轴为直线x = 5 2 ,又f(x)在 区间[-1,4]上 的 最 大 值 为12,所 以 f(-1)=6a=12,a=2.所以f(x)= 2x(x-5)=2x2-10x. (2)x2+ 1 4 (答案不唯一) 解析:因为二次函数f(x)的图象关于 y 轴对称,所以可设f(x)=ax2+c, 由 y =ax 2+c, y =x 得ax2-x+c=0, 所以Δ =1-4ac=0,即ac= 1 4. 取 a=1,c= 1 4 ,则f(x)=x2+ 1 4. (答 案不唯一) 例2:0<m < 1 2 解析:由 题 图 可 得f(2)<0,即4+ (m-3)×2+2m <0,解得m < 1 2 , 又f(0)=2m >0,所以0<m < 1 2. 对点训练2:C ∵Δ = (-k)2-4(k- 1)=k2-4k+4= (k-2)2≥0,∴函 数图象与x 轴总有两个不同的交点或 相同的交点,故A错误;若函数图象与 x 轴正半轴交于不同的两点,则由根与 系数的关系知 k>0, k-1>0, Δ>0, 解得k>1 且k≠2,故B错误;若将函数图象向左 平移1个单位长度,可得到y = (x+ 1)2-k(x+1)+k-1,令x =0,则 y =0,即图象经过原点,故C正确;当 x≥1时,y随x 的增大而增大,即函数 图象的对称轴x = k 2 ≤1 ,解得k≤ 2,故D错误.故选C. 例3:(1)A 函数f(x)=x2+mx+1的 单调递增区间是 - m 2 ,+∞ ,依题 意, 1 2 ,+∞ ⊆ -m2,+∞ ,因 此- m 2 ≤ 1 2 ,解得m ≥-1,显然[-1, +∞)⫋ - 4 3 ,+∞ ,所以p是q的 充分不必要条件.故选A. (2)(-∞,-9]∪ {0}∪ [3,+∞). 解析:f(x)= 3x2-2ax+a2,x ≥a, x2+2ax-a2,x <a. 若a=0,当 x <0时,f(x)=x2 在[-3,0]上单 调递减,符合题意;若a>0,则f(x) 在(-∞,-a)上单调递减,在[-a,a) 上单调递增,若f(x)在[-3,0]上是 单调函数,则-a≤-3,则a ≥3;若 a<0,则f(x)在 a, a 3 上 单 调 递 减,在 a 3 ,+∞ 上 单 调 递 增,若 f(x)在 [-3,0]上 是 单 调 函 数,则 a 3 ≤-3 ,所以a≤-9.综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,-9]∪ {0}∪ [3,+∞). 对点训练3:-∞, 1 4 解析:当k=0时,f(x)= -2x 在区 间[2,4]上单调递减,符合题意;当k> 0时,函数图象 的 对 称 轴 为 直 线x = 1 k ,因为f(x)在区间[2,4]上单调递 减,所以1 k ≥4 ,得k≤ 1 4 ,所以0< k≤ 1 4 ;当k<0时,函数f(x)在区间 [2,4]上单调递减,符合题意.综上,实 数k 的取值范围为 -∞, 1 4 . 例4:8 解析:∵ 函数y=x2-4x+3开口向 上,对称轴为直线x=2,又-1≤x≤ 4,∴ 当x = -1时,函 数y =x2 - 4x+3有最大值,最大值为(-1)2 - 4×(-1)+3=8. 对点训练4:12 解析:f(x)= -2(1-sin2x)-2sin x+ 3=2sin2x-2sin x+1=2 sin x- 1 2 2 + 1 2 ,当sin x = 1 2 时,函 数 f(x)取得最小值 1 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -452-