2.2 函数的单调性与最值-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

hhh 2" 1.(多选题)若一系列函数的解析式和值域相 同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函 数”,例如函数y=x2,x ∈ [1,2]与函数y= x2,x ∈ [-2,-1]就是“同族函数”.下列可 用来构造同族函数的有 ( ) A.y=|x|-2 024 B.y=x 1 2 C.y=x2-x D.y= x2-2 024 x 2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其 定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那 么函数解析式为f(x)=x2,值域为{0,1}的 “同族函数”共有 个. 3.(2024·山东德州高三期中)如果一个函数的 定义域与值域均为[m,n],则称该函数为[m, n]上的同域函数,[m,n]称为同域区间.已知 函数f(x)= ax2-2ax+b+1在区间[1, 3]上是同域函数. (1)函数f(x)的解析式是 ; (2)若函数g(x)=k- f(x)- 3 2 (k≥0) 在x≤0时存在同域区间,则实数k的取值范 围是 . 学习至此,请完成课时作业6 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.2 函数的单调性与最值 5A>! 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. AMc
-  -@) 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域 D 内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1 <x2 时,都有 ,那么就称函数f(x) 在区间I上 . 特别地,当函数f(x)在 它的定义域上 时,我们就称它是增函数 当x1 <x2 时,都有 ,那么就称函数f(x) 在区间I上 . 特别地,当函数f(x)在 它的定义域上 时,我们就称它是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性, 叫做y= f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数 M 满足 条件 (1)∀x∈D,都有 . (2)∃x0∈D,使得 (1)∀x∈D,都有 . (2)∃x0∈D,使得 结论 M 为最大值 M 为最小值 常用结论与知识拓展 函数单调性的等价定义 设任意x1,x2 ∈D(x1 ≠x2),则 (1)f (x1)-f(x2) x1-x2 >0(或(x1-x2)[f(x1)- f(x2)]>0)⇔f(x)在D 上单调递增. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 026 @第二章 函数的概念与基本初等函数 (2)f (x1)-f(x2) x1-x2 <0(或(x1-x2)[f(x1)- f(x2)]<0)⇔f(x)在D 上单调递减. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)函数y= 1 x 的单调递减区间是(-∞,0)∪ (0,+∞). ( ) (2)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则 f(x)为增函数. ( ) (3)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数, 则函数的单调递增区间是[1,+∞).( ) (4)函数f(x)<1恒成立,则f(x)的最大值 为1. ( ) (5)若y=f(x)在区间D 上单调递增,则函 数y=kf(x)(k<0)在区间D 上单调递减. ( ) 2.(教材改编题)若函数y=f(x)在R上是增函 数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值 范围是 . 3.(教材改编题)函数y=|-x2+4x+5|的单 调区间是 . 4.(教材改编题)函数y= 1 x-1 在区间[2,3]上 的最小值为 ( ) A.2 B.12 C.13 D.- 1 2 5.(多选题)下列函数在(0,+∞)上单调递减 的是 ( ) A.f(x)=-x 1 2 B.f(x)=2-x C.f(x)=ln |x| D.f(x)= 1 x2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 确定函数的单调性(区间) 命题角度1 利用图象判断函数的单调性(区间) 【例1】 (1)(2021·全国甲卷)下列函数中是增 函数的为 ( ) A.f(x)=-x B.f(x)= 2 3 x C.f(x)=x2 D.f(x)= 3 x (2)函数f(x)=|x-2|x 的单调递减区间是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.图象法:对于熟悉的基本初等函数(或由基本初 等函数构成的分段函数),可以利用图象来判断单调性. 2.函数的单调区间是其定义域内的某一个区间, 故讨论函数的单调性时,必须先确定函数的定义域. 3.若函数在两个区间上都是单调递增(或递减) 的,这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接. 【对点训练1】 函数f(x)=-x2+2|x|+1 的单调递增区间为 . 命题角度2 利用定义或导数判断或证明函数 的单调性 【例2】 证明:函数f(x)=2x - 1 x 在区间 (-∞,0)上是增函数. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 027 hhh 1.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 取值 设x1,x2 是定义域内的任意两个 值,且x1 <x2 作差、 变形 ↓ 作差f(x2)-f(x1),并通过因式分 解、配方、有理化等方法,向有利于 判断差的符号的方向变形 定号 ↓ 确定差的符号,当符号不确定时,可 以进行分类讨论 结论 ↓ 根据定义得出结论 2.导数法:利用求导的方法判断函数的单调性. 【对点训练2】 用 单 调 性 的 定 义 证 明 函 数 f(x)=2x2+4x 在[-1,+∞)上是增 函数. 命题角度3 复合函数的单调性 【例3】 (1)函数y= 1 -x2+2x+3 的单调递 减区间是 . (2)已知函数f(x)=ax2-x-a+2,若y= ln(f(x))在 1 2 ,+∞ 上单调递增,则实数 a的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 复合函数的单调性 (1)复合函数的单调性的判断方法 y=f(g(x))的单调性判断可用口诀:同增异减. y=f(t)和t=g(x)在单调性相同时,复合后 的y=f(g(x))是单调递增的, y=f(t)和t=g(x)在单调性不同时,复合后 的y=f(g(x))是单调递减的. (2)利用函数的单调性求参数的范围(或值)的 注意点:①视参数为已知数,依据函数的图象或单调 性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比 较求参数;②若分段函数是单调函数,则不仅要保证 在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内 是单调的. 【对点训练3】 设函数f(x)=2x(x-a)在区间 (0,1)上 单 调 递 减,则a 的 取 值 范 围 是 . 考点2 函数单调性的应用 【例4】 (1)已知函数f(x)为R上的偶函数,对 任意x1,x2 ∈ (-∞,0),均有(x1-x2)· [f(x1)-f(x2)]<0成立,若a=f(ln 2), b=f(3 1 3),c=f(e 1 3),则a,b,c的大小关系 是 . (2)已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)< 2,则实数x 的取值范围是 . (3)已知f(x)= (3a-2)x+3a,x <1, logax,x ≥1 在R 上 单 调 递 减,则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 028 @第二章 函数的概念与基本初等函数 函数单调性的应用及解题策略 (1)比较大小:转化到同一个单调区间内,再利 用函数的单调性解决. (2)解函数不等式:利用函数的单调性将“f”脱 掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数的取值(或范围) ① 依据函数的图象或单调性定义,确定函数的 单调区间,与已知单调区间比较; ② 若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数 在此区间的任意子集上也是单调的; ③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外, 还要注意衔接点的取值. 【对点训练4】 (1)已知函数f(x)=2x-sin x, 则 f(e),f(2.7),f(π) 的 大 小 关 系 为 . (2)已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的 函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x- 1)<f 1 3 的x 的取值范围是 . (3)若函数f(x)= a2x-1 x-1 在区间(a,+∞)上 单 调 递 减,则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 . 考点3 求函数的最值 【例5】 (1)已知函数f(x)=3x+2,则f(x)在 [-3,-2]上的最大值为 ,最小值 为 . (2)对 于 任 意 实 数 a,b,定 义 min{a,b}= a,a≤b, b,a>b. 设函数f(x)=-x+3,g(x)= log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的 最大值是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 求函数最值的三种常用方法 单调性法 → 先确定函数的单调性, 再由单调性求值 图象法 → 先作出函数的图象,再观察其 最高点、最低点,求出最值 基本不 等式法 → 先对解析式变形,使之具备 “一正二定三相等”的条件后 用基本不等式求出最值 【对点训练5】 (1)已知a,b∈R,记max{a,b}= a,a≥b, b,a<b, 函数f(x)= max{|x+1|,|x- 2|}(x∈R),则f(x)的解析式为 , 最小值为 . (2)已知函数f(x)= 1 a- 1 x (a>0,x>0),若 f(x)在区间 1 2 ,4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上取得的最大值为19 4 , 求实数a的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋   >Fe2 函数的有界性 若存在m,使得f(x)≥m 对任意x∈D 恒 成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函 数f(x)的一个下界;若存在 M,使得f(x)≤ M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上 有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一 个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 029 hhh 【题目呈现】 (多选题)下列说法正确的是 ( ) A.1是函数f(x)=x+ 1 x (x>0)的一个下界 B.函数f(x)=xln x 有下界,无上界 C.函数f(x)= ex x2 有上界,无下界 D.函数f(x)= sin x x2+1 有界 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 2" (多选题)定义在D 上的函数f(x),若满足 对任意 x ∈ D,存 在 常 数 M >0,都 有 |f(x)|≤M 成立,则称f(x)是D 上的有 界函数,下列函数中,是在其定义域上的有界 函数的有 ( ) A.y= x x2+1 B.y=2x C.y=16-2x D.y=x -[x]([x]表示不大于x 的最大 整数) 学习至此,请完成课时作业7 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性 5A>! 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义. 2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,会判断、应用函数的周期性. AMc
-  -@) 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一 般 地, 设 函 数 f(x)的 定 义 域 为 D,如果 ∀x ∈D, 都 有 - x ∈ D, 且 一 般 地, 设 函 数 f(x)的定义域为 D,如果 ∀x ∈D, 都 有 - x ∈ D, 且 图象特征 关于 对称 关于 对称 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域 为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一 个x∈D 都有x+T∈D,且 ,那 么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫 做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所 有周期中存在一个最小的 ,那么这个 最小 就叫做f(x)的 . 常用结论与知识拓展 1.若f(x)≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式 如下: (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔ f(-x) f(x) = 1⇔f(x)为偶函数. (2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔ f(-x) f(x) =- 1⇔f(x)为奇函数. 2.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义, 那么一定有f(0)=0.如果函数f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(|x|). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 030 hhh 故y = x2+7x+10 x+1 = (t-1)2+7(t-1)+10 t =t+ 4 t +5 , 因为t+ 4 t ≥4 ,可得t+ 4 t +5≥9 , 当且仅当t =2,即x =1时,等号 成立. 所以函数y= x2+7x+10 x+1 (x>-1) 的值域为[9,+∞). 对点训练5:解:(1)因为y = 2x -1 2x +1 = 1- 2 2x +1 ,定义域为R. 当x∈R时,2x +1>1, 1 2x +1 ∈(0, 1),- 2 2x +1 ∈(-2,0),所以y=1- 2 2x +1 ∈ (-1,1).故值域为(-1,1). (2)函数定义域为(- ∞,1].令t = 1-x,则t≥0且x =1-t2.此时 y=2(1-t2)+t= -2t- 1 4 2 + 17 8 ,当t= 1 4 时,y取到最大值 17 8 ,故函 数值域为 -∞, 17 8 . 􀪋􀪋􀪋􀪋   􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)B ① 当x ∈ [0,1]时, f(x)∈ [0,1],故 ① 满足题意;② 当 x ∈ [-1,0]时,f(x)∈ [-1,0],故 ② 满 足 题 意;③ 当 x ∈ [0,1]时, f(x)∈ [0,1], 故 ③ 满 足 题 意; ④∵f(x)=log2(x-1)单调递增,且 函数f(x)的定义域为(1,+∞),若存 在同域区间[m,n],则满足 log2(m-1)=m, log2(n-1)=n, 即 m-1=2 m , n-1=2n, ∴m,n是方程2x -x+1=0的2个实 数根. 设g(x)=2x -x +1(x >1),则 g'(x)=2xln 2-1>0,则g(x)在 (1,+∞)上单调递增,∴2x -x+1= 0不可能有2个实数根,故④不满足题 意.故选B. (2)y=x2,x∈[-2,1](答案不唯一) 解析:函数y =x2,x ∈ [0,2]的值域 为[0,4],因此其“同族函数”的函数解 析式可以是y=x2,x∈[-2,t](0≤ t≤2),也可以是y =x2,x ∈ [m,2] (-2≤m ≤0)中的任意一个. 素养检测:1.ACD 函 数 y =|x |- 2 024与y= x2-2 024 x 是偶函数, 所以可构造“同族函数”,函数y =x 1 2 在定义域[0,+∞)上为增函数,所以 不能构造“同族函数”,函数y =x2- x,x ∈ 0, 1 2 与函数y =x2-x, x ∈ 1 2 ,1 的值域相同,所以是“同 族函数”.故选ACD. 2.3 解析:已知函数解析式为f(x)=x2, 值域为{0,1}的“同族函数”的定义域 可以为:{0,1},{0,-1},{0,-1,1},所 以“同族函数”共有3个. 3.(1)f(x)= 1 2x 2-x+ 3 2 (2)0≤k<1- 2 2 解析:(1)易 知 a ≠0,由 f(x)= ax2-2ax+b+1= a(x-1)2- a +b+1,所以函数f(x)= ax2- 2ax+b+1在[1,3]上单调递增,又 函数是同域函数,得 f (1)=1, f(3)=3, 即 f(1)= a -2a +b+1=1, f(3)=9a -6a +b+1=3, 解 得 a= 1 4 , b= 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以f(x)= 1 2x 2-x+ 3 2. (2)由(1)得g(x)=k- 1 2x 2-x =k- 1 2 (x-1)2- 1 2 (k≥0),所以g(x)在(-∞,0]上单调 递增,设[c,d]是函数g(x)的同域区 间,得 g (c)=c, g(d)=d, 即 k- 1 2c 2-c =c, k- 1 2d 2-d =d, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 得x 2-2(2k- 1)x+2k2 =0在(-∞,0]上的根为c 和d,则满足 Δ = [-2(2k-1)]2-4×2k2 >0, c+d =2(2k-1)<0, c·d =2k2 ≥0, k≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 k>1+ 2 2 或k<1- 2 2 , k< 1 2 , k≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得0≤k<1- 2 2. 2.2 函数的单调性与最值 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)f(x1)<f(x2) 单调递增 单调 递增 f(x1)>f(x2) 单调递减 单调递减 上升的 下降的 (2)单调递增 单调递减 区间I 2.f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)= M 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.(3,+∞) 解析:∵函数y=f(x)在R上是增函 数,且f(2m)>f(-m+9),∴由函数 单调性的定义可知2m>-m+9,解得 m > 3,∴ 实 数 m 的 取 值 范 围 是 (3,+∞). 3.单调递增区间为(-1,2),(5,+∞),单 调递减区间为(-∞,-1),(2,5) 解析:y =|-x2+4x+5|= -x2+4x+5,x ∈ [-1,5], x2-4x-5,x ∈ (-∞,-1)∪ (5,+∞), 画出函数图象如下: 可 得 单 调 递 增 区 间 为 (- 1,2), (5,+ ∞),单 调 递 减 区 间 为 (- ∞, -1),(2,5). 4.B 因为y= 1 x-1 在区间[2,3]上单 调递 减,所 以ymin = 1 3-1= 1 2. 故 选B. 5.ABD 函数f(x)= -x 1 2 = - x 在 (0,+∞)上单调递减;f(x)=2-x = 1 2 x 在 (0,+ ∞)上 单 调 递 减; f(x)=ln |x|,当x>0时,f(x)= ln x 在(0,+∞)上单调递增;f(x)= 1 x2 在 (0,+ ∞)上 单 调 递 减. 故 选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)D 解法1(排除法):取x1 = - 1,x2 = 0, 对 于 A,f(x1) = 1, f(x2)=0,所以 A不符合题意;对于 B,f(x1)= 3 2 ,f(x2)=1,所以B不 符合题意;对于C,f(x1)=1,f(x2)= 0,所以C不符合题意.故选D. 解法2(图象法):如图,在坐标系中分 别画出A,B,C,D四个选项中函数的大 致图象,即可快速直观判断D符合题 意.故选D. (2)[1,2] 解析:f(x)= x2-2x,x ≥2, -x2+2x,x <2. 画 出f(x)的大致图象(如图所示),由图 知f(x)的单调递减区间是[1,2]. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -448- 参 考 答 案 对点训练1:(-∞,-1]和(0,1] 解析:f(x)= -x2+2x+1,x≥0, -x2-2x+1,x<0 ⇒ -(x-1)2+2,x ≥0, -(x+1)2+2,x <0. 画出 函 数 图 象 如 图 所 示,可 知 函 数 f(x)的单调递增区间为(- ∞,-1] 和(0,1]. 例2:证明:证法1:设x1,x2是区间(-∞,0) 上的任意两 个 实 数,且 x1 <x2.则 f(x1)-f(x2)= 2x1- 1 x1 - 2x2- 1 x2 =2(x1 -x2)+ 1x2 - 1x1 = (x1-x2) 2+ 1x1x2 .由于x1<x2< 0,所以x1-x2<0,2+ 1 x1x2 >0,因此 f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故f(x)在(-∞,0)上是增函数. 证法2:因为f(x)=2x - 1 x ,所以 f'(x)=2+ 1 x2 .因为x∈(-∞,0),所以 f'(x)>0,即f(x)在(-∞,0)上是增 函数. 对点 训 练 2:证 明:设 x1,x2 是 区 间 [-1,+∞)上的任意两个实数,且x1< x2,则f(x1)-f(x2)=2x21+4x1- (2x22+4x2)=2(x1+x2)(x1-x2)+ 4(x1-x2)=2(x1-x2)(x1+x2+2), 因为-1≤x1<x2,所以x1-x2<0, x1+x2+2>0, 所以f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), 所 以 函 数 f(x)= 2x2 + 4x 在 [-1,+∞)上是增函数. 例3:(1)(-1,1) 解析:由 函 数 有 意 义 得 -x2 +2x + 3>0,解 得 -1<x <3.∵ 函 数 y = -x2+2x+3图象的对称轴为直 线x=1,∴y= -x2+2x+3在(-1, 1)上单调递增,在[1,3)上单调递减, ∴y = 1 -x2+2x+3 的 单 调 递 减 区间是(-1,1). (2)1≤a≤2 解析:∵y =ln(f(x))在 12,+∞ 上 单 调 递 增,且 函 数 y =ln x 在 (0,+ ∞)上 单 调 递 增,∴f(x)= ax2-x-a+2在 1 2 ,+∞ 上单调 递增,且f(x)>0在 1 2 ,+∞ 上恒 成 立.当a=0时,f(x)= -x+2在 1 2 ,+∞ 上 单 调 递 减,不 符 合 题 意,故 a ≠ 0.当 a ≠ 0 时,可 得 a>0, -- 1 2a ≤ 1 2 , f 1 2 ≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得1≤a≤2. 对点训练3:[2,+∞) 解析:函数y=2x 在R上单调递增,而 函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单 调递减,则 有 函 数y =x(x -a)= x- a 2 2 - a2 4 在区间(0,1)上单调 递减,因此a 2 ≥1 ,解得a≥2,所以a 的取值范围是[2,+∞). 例4:(1)a<c<b 解析:∵对任意x1,x2∈(-∞,0),均 有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成 立,∴函数f(x)在区间(-∞,0)上单 调递减, ∵f(x)是偶函数,∴当x∈(0,+∞) 时,f(x)单调递增, 又f(x)=x 1 3 在(0,+∞)上单调递 增,∴1<e 1 3 <3 1 3, 又 0<ln 2<1,∴ln 2<e 1 3 <3 1 3, ∴f(3 1 3)>f(e 1 3)>f(ln 2), 即a<c<b. (2)(- 5,-2)∪ (2,5) 解析:因为函数f(x)=ln x+2x 在定 义域(0,+∞)上单调递增,且f(1)= ln 1+2=2,所以由f(x2-4)<2得 f(x2-4)<f(1),所以0<x2-4< 1,解得- 5<x<-2或2<x< 5. (3) 13 ,2 3 解析:函数f(x)= (3a-2)x+3a,x <1, logax,x ≥1 在 R上单调 递 减, 则 3a-2<0, 0<a<1, (3a-2)+3a≥0, 解 得 1 3 ≤a< 2 3 ,即a∈ 1 3 ,2 3 . 对点训练4:(1)f(2.7)<f(e)<f(π) 解析:f(x)=2x-sin x,因为cos x∈ [-1,1],故f'(x)=2-cos x >0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为2.7<e< π,所 以 f(2.7)< f(e)<f(π). (2)12 ≤x < 2 3 解析:由题意得0≤2x-1< 1 3 ,解得 1 2 ≤x < 2 3. (3)a>1 解 析:由 题 设 可 得 f(x)= a2 + a2-1 x-1 , 因 为 函 数 f(x) 在 区 间 (a,+∞)上单调递减,所以 1≤a, a2-1>0, 故a>1. 例5:(1)-4 -7 解析:因为函数在[-3,-2]上单调递 增,所 以 函 数 的 最 大 值 为 f(-2)= -4,函数的最小值为f(-3)= -7. (2)1 解析:在同一直角坐标系中,作出函数 f(x),g(x)的图象,依题意,h(x)的 图象如图所示.易知点A(2,1)为图象 的 最 高 点,因 此 h(x)的 最 大 值 为 h(2)=1. 对点训练5:(1)f(x)= 2-x,x< 1 2 , x+1,x≥ 1 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 3 2 解析:因为|x+1|2-|x-2|2=6x-3, 当x≥ 1 2 时,|x+1|2-|x-2|2= 6x-3≥0,则f(x)= max{|x + 1|,|x-2|}=|x+1|=x+1; 当x< 1 2 时,|x+1|2-|x-2|2= 6x-3<0,则f(x)=max{|x+1|, |x-2|}=|x-2|=2-x. 所以f(x)= 2-x,x < 1 2 , x+1,x ≥ 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故函数 f(x)在 -∞, 1 2 上 单 调 递 减,在 1 2 ,+∞ 上单调递增,所以,函数f(x) 的最小值为f 1 2 = 12+1= 32. (2)解:∵f(x)在 1 2 ,4 上 是 增 函数, ∴f(x)max=f(4)= 1 a - 1 4 = 19 4 ,解 得a= 1 5. 􀪋􀪋􀪋􀪋   􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:ABD 对于 A,当x >0时, x+ 1 x ≥2 (当且仅当x =1时取等 号),∴f(x)>1恒成立,∴1是f(x) 的一 个 下 界,故 A 正 确;对 于 B, ∵f'(x)=ln x+1(x>0),∴当x∈ 0,1e 时,f'(x)<0;当x∈ 1e,+∞ 时,f'(x)>0,∴f(x)在 0, 1 e 上 单 调递 减,在 1 e ,+∞ 上 单 调 递 增, ∴f(x)≥f 1 e = -1e,∴f(x)有 下界,又当x 越来越大时,f(x)趋向 于 + ∞,∴f(x)无 上 界,综 上 所 述, f(x)=xln x 有下界,无上界,故B正 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -449- hhh 确;对于C,∵x2>0,ex >0,∴ ex x2 > 0,∴f(x)有 下 界,故 C 错 误;对 于 D,∵sin x ∈ [-1,1],∴ - 1 x2+1 ≤ sin x x2+1 ≤ 1 x2+1 ,又 -1 x2+1 ≥-1, 1 x2+1 ≤1,∴ -1< sin x x2+1 < 1, ∴f(x)既有上界又有下界,故D正确. 故选ABD. 素养检测:AD 对 于 A, x x2+1 = |x| x2+1 ,当x =0时,| x| x2+1 =0,当 x ≠0时,| x| x2+1 = 1 |x|+ 1 |x| ≤ 1 2 |x|· 1 |x| = 1 2 ,当且仅当|x|= 1 |x| ,即x = ±1时等号成立,即对于 任意x∈R,0≤ x x2+1 ≤ 1 2 ,所以 存在常数M >0,使得|f(x)|≤M 成 立,故y= x x2+1 为有界函数;对于B, 当x ∈R时,由指数函数的性质可知 y =2x 可 以 无 穷 大,所 以 对 于 任 意 x ∈ R,不 存 在 常 数 M >0,使 得 |f(x)|≤M 成立,故y=2x 不为有 界函数;对于C,当x∈R时,由指数函 数的性质可知y =2x 可以无穷大,所 以y =16-2x 可以无穷小,所以不存 在常数 M >0,使得|f(x)|≤M 成 立,故y=16-2x 不为有界函数;对于 D,当x ∈R时,0≤x-[x]<1,则 0≤|x - [x]|<1,所 以 存 在 常 数 M >0,使得|f(x)|≤ M 成立,故 y =x-[x]为有界函数.故选AD. 2.3 函数的奇偶性、 周期性、对称性 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.f(-x)=f(x) f(-x)= -f(x) y 轴 原点 2.(1)f(x+T)=f(x) (2)正数 正数 最小正周期 基础检测 1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2.0 解析:因为f(x)是偶函数,函数的定 义域关于原点对称,所以a+2b=0. 3.-2 解析:f(1)=1×2=2,又f(x)为奇 函数,所以f(-1)= -f(1)= -2. 4.0 14 解析:f(5)=f(1+2×2)=f(1)= 0,f 9 2 =f 12+2×2 =f 12 = 1 4. 5.ABD 依题意知∀x∈R,f(x)+g(x)= g(2-x),即有f(2-x)+g(2-x)= g(x),两式相加整理得f(x)+f(2- x)=0,因此f(x)的图象关于点(1, 0)对称,B正确;由f(x +2)为偶函 数,得f(-x+2)=f(x+2),于是 f(x+2)= -f(x),有f(x+4)= -f(x+2)=f(x),因此函数f(x) 的周期为4,8是函数f(x)的一个周 期,D正确;由f(x)+f(2-x)=0, 得f(-x)+f(2+x)=0,而f(x+ 2)= -f(x),因此f(-x)=f(x), f(x)为偶函数,A正确;由当x∈[0, 1)时,f(x)=x,得f(4)=f(0)=0, 而 f(1)= 0,f(2)= -f(0)= 0, f(3)=-f(1)=0,即有f(1)+f(2)+ f(3)+f(4)=0,∑ 2 023 k=1 f(k)=505[f(1)+ f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+ f(3)=0,C错误.故选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:解:(1)原函数的定义域为{x|x ≠ 0},关于原点对称,并且对于定义域内 的任意一个x都有f(-x)=(-x)3- 1 -x = - x3- 1 x = -f(x),从而 函数f(x)为奇函数. (2)由 4-x 2 >0, |x-2|+|x+4|≠0, 得-2<x<2,即函数f(x)的定义域 是{x|-2<x <2},关于原点对称. 因 此 f(x)= lg(4-x2) (2-x)+(x+4)= 1 6lg (4-x2),所以f(-x)=f(x), 因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点 对称.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)= -f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又 是偶函数. (4)如图,作出函数f(x)的图象,由奇 函数的图象关于原点对称的特征知函 数f(x)为奇函数. 对点训练1:B 因为f(x)= 1-x 1+x ,所 以f(x-1)= 1-(x-1) 1+(x-1)= 2-x x , f(x+1)= 1-(x+1) 1+(x+1)= -x x+2 . 对 于 A,F(x)= f(x -1)-1 = 2-x x -1= 2-2x x ,定义域关于原点 对称,但不满足F(x)= -F(-x);对 于B,G(x)=f(x-1)+1= 2-x x + 1= 2 x ,定义域关于原点对称,且满足 G(x)= -G(-x);对于C,f(x+1)- 1= - x x+2- 1= - x-x-2 x+2 = - 2x+2 x+2 ,定义域不关于原点对称;对 于D,f(x +1)+1= - x x+2+ 1= -x+x+2 x+2 = 2 x+2 ,定义域不关于 原点对称.故选B. 例2:(1)C 根 据 题 意 得 f(-6)= -f(6)=1-log2(6+2)=1-3= -2.故选C. (2)1 解析:因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定 义域为R,且是偶函数,所以f(-x)= f(x)对任 意 的x ∈ R 恒 成 立,所 以 (-x)3(a·2-x -2x)=x3(a·2x - 2-x)对 任 意 的 x ∈ R 恒 成 立,所 以 x3(a-1)(2x +2-x)=0对 任 意 的 x ∈R恒成立,所以a=1. 对点训练2:(1)0 解析:因为f(x)为偶函数,则f(1)= f(-1),∴(1+a)ln 1 3 = (-1+a)ln 3, 解得a=0,当a=0时,f(x)= xln2x-12x+1 ,(2x-1)(2x+1)>0,解 得x> 1 2 或x<- 1 2 ,则其定义域为 x x<- 1 2 或x> 1 2 ,关 于 原 点 对称.f(-x)= (-x)ln 2(-x)-1 2(-x)+1= (-x)ln 2x+1 2x-1= (-x)ln 2x-1 2x+1 -1 = xln2x-12x+1=f (x),故此时f(x)为 偶函数. (2)2 解析:因为f(x)= xex eax -1 为偶函数, 则 f(x)- f(- x) = xex eax -1 - (-x)e-x e-ax -1 = x[ex -e(a-1)x] eax -1 =0,又因 为x≠0,可得ex-e(a-1)x =0,即ex = e(a-1)x,则x= (a-1)x,即1=a-1, 解得a=2. 例3: (1)B 因 为 函 数 f(x) 满 足 f(x) = -f(x+4), 即 f(x + 4)= -f(x),则f(x+8)= -f(x+ 4)=f(x),所以函数f(x)是周期函 数,周期为8,所以f(2 023)=f(252× 8+7)=f(7)= -f(3)= -3. (2)BCD 因为f(x)= -f x+ 3 2 , 所 以 f x+ 3 2 =-f x + 32 + 3 2 = -f(x +3),所 以 f(x)= f(x+3),所以f(x)是周期为3的周 期函数,所以C正确;因为f(-1)= 1,f(0)=-2,所以f(2)=f(-1)= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -450-