2.1 函数的概念及其表示-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

第二章 函数的概念与基本初等函数 2.1 函数的概念及其表示 5A>! 1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象 的作用. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. AMc
-  -@) 1.函数的概念 (1)函数的定义 一般地,设A,B 是 ,如果对于 集合A 中的 ,按照某种确定的 对应关系f,在集合B 中都有 和它对应,那么就称f:A →B 为从集合A 到 集合B 的一个函数,记作y=f(x),x ∈A. F 直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的 图象有0个或1个交点. (2)函数的三要素 函数由 、 和对应关系三个 要素 构 成.在 函 数y =f(x),x ∈ A 中, 范围(即数集A)称为这个 函数的 , 组成的集合 {f(x)|x ∈A}称为函数的值域. 2.函数的表示法 解析法 图象法 列表法 用解析式表示两 个变量之间的对 应关系 用图象表示两个 变量之间的对应 关系 列出表格来表示 两个变量之间的 对应关系 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同 取值区间,有着不同的 ,这样的函数 叫做 . " 关于分段函数的3个注意点 (1)分段函数虽然由几个部分构成,但它表示同一 个函数. (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域 是各段值域的并集. (3)各段函数的定义域不可以相交. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)函数f(x)=x2-2x 与g(t)=t2-2t是 同一个函数. ( ) (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两 个函数是同一个函数. ( ) (3)函数f(x)的图象与直线x=1最多有一 个交点. ( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的. ( ) (5)函数y=|x|与函数y=(x)2表示同一 个函数. ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 022 @第二章 函数的概念与基本初等函数 2.(教材改编题)已知函数f(x)= f(x-1),x>0, -ln(x+e)+2,x≤0, 则f(2 024)= . 3.(教材改编题)已知函数f(x)的定义域是 (-1,3),则函数y=f(x+1)-lg(x-1)的 定义域是 . 4.(教材改编题)已知f 1 x = 1x+1,则f(x)的 解析式为 . 5.(多选题)下列各组函数不是同一个函数的是 ( ) A.f(x)= x2-4 与 g(x)= x-2· x+2 B.f(x)=| x| x 与g(x)= 1,x ≥0 -1,x <0 C.f(x)=x+2与g(t)= 3 t3 +2 D.f(x)= x2-1 x-1 与g(x)=x+1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 函数的定义域 【例1】 (1)(2023·山东济南联考)函数f(x)= 1-4x2+ln(3x-1)的定义域为 . (2)已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则 函数g(x)=f (2x+1) x+2 的定义域为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以 函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出 不等式或不等式组求解;对于实际问题,定义域应使 实际问题有意义. 几种常见函数的定义域: (1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不 为零的实数集合. (2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被 开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时,函数的定义域是使真数 为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x ≠0}. (5)f(x)为指数式时,函数的定义域是使底数 大于0且不等于1的实数集合. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函 数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为g(x)在x ∈ [a,b]上的值域. 3.定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若 用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符 号“∪”连接. 【对点训练1】 (1)函数y= lg x 4-x2 的定义域 为 . (2)已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1],则 f(2x+1) log2(x+1) 的定义域为 . 考点2 求函数的解析式 【例2】 (1)已知函数f(x)满足f(2x +1)= 4x2+3,则f(x)= . (2)设函数f(x)是单调递增的一次函数,满足 f(f(x))=16x+5,则f(x)= . (3)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x∈R 均满 足:2f(x)-f(-x)=3x +1,则 f(x)= . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 023 hhh 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定 系数法. (2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式, 可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可 将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x 替代 g(x),便得f(x)的解析式. (4)构 造 法:已 知 关 于 f(x)与 f 1 x 或 f(-x)的解析式,可根据已知条件再构造出另外一 个等式,通过解方程组求出f(x). 【对点训练2】 (1)(2023·湖南长沙模拟)已知 函 数 f 4 x+1 =2x2 -3x,则 f(2)= . (2)若f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,则 f(x)= . 考点3 分段函数 命题角度1 分段函数求值问题 【例3】 (1)已知函数f(x)= log2x,x >0, 3x,x ≤0, 则 ff 1 4 = . (2)已 知 函 数 f(x)= x2+6,x ≤0, 2x-1,x >0, 若 f(x)=15,则x 的值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关于分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值:先确定要求值的自变量属于哪一 段区间,然 后 代 入 该 段 的 解 析 式 求 值,当 出 现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数 定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记 要代入检验. 【对点训练3】 已知函数f(x)= x2+1,x <1, 2x,x ≥1, 若f(a)=10,则实数a的值 是 . 命题角度2 分段函数与方程、不等式问题 【例4】 (1)已 知 f(x)= 2x,x <0, a+3x,x ≥0, 若 f(f(1))= f(- 1), 则 实 数 a 的 值 为 . (2)设函数f(x)= 2-x,x ≤0, 1,x >0, 则满足f(x+ 1)<f(2x)的x 的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或 范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意 检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变 量的取值范围.尤其要注意,当分段函数的自变量范 围不确定时,应分类讨论. 【对点训练4】 (1)(2023·山东潍坊一中模拟) 设函数f(x)= x2-1,x≥2, log2x,0<x<2, 若f(m)= 3,则f 5 2-m = . (2)已知函数f(x)= x2+x,x ≥0, -3x,x <0, 若 a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范 围为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 024 @第二章 函数的概念与基本初等函数 考点4 求函数的值域 【例5】 求下列函数的值域. (1)y= 4x-2 2x+1 ; (2)y=x+ 2x-1; (3)y= x2+7x+10 x+1 (x >-1). 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 求值域的方法 (1)分离常数法或反解法,形如y= af(x)+b cf(x)+d (ac≠0)(f(x)为常见的基本初等函数)的函数常 用分离常数法或反解法(即用y 表示f(x),然后借 助f(x)的取值范围求y 的取值范围). (2)换元法,形如y=ax±b± cx±d,通过换 元将它们转化为有理函数,通过求有理函数的值域 间接求原函数的值域.若函数的解析式可以看作是 一个关于基本初等函数的二次式,可以考虑换元法, 但是要注意换元后新元的取值范围.对比较复杂的 函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方 法求值域. (3)基本不等式法,先对解析式变形,使之具备 “一正二定三相等”的条件后,用基本不等式求出 值域. (4)单调性法,先确定函数的单调性,再由单调 性求值域. 【对点训练5】 求下列函数的值域: (1)y= 2x -1 2x +1 ; (2)y=2x+ 1-x. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋   >Fe2 “同域函数”与“同族函数” 同域函数:若一个函数的定义域与值域均 为[m,n],则称该函数为[m,n]上的“同域函 数”,[m,n]称为同域区间. 同族函数:若一系列函数的解析式和值域相 同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”. 【题目呈现】 (1)对于函数f(x),若存在 区间A=[m,n]使得{y|y=f(x),x∈A}= A,则称函数f(x)为“同域函数”,区间A 为函 数f(x)的一个“同域区间”.给出下列四个 函数: ①f(x)=cos π 2x ;②f(x)=x2 -1; ③f(x)=|x2-1|;④f(x)=log2(x-1). 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③ D.①②④ (2)若一系列函数的解析式和值域相同,但 其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,请 写出一个与函数y=x2,x ∈ [0,2]为“同族函 数”的函数: . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 025 hhh 2" 1.(多选题)若一系列函数的解析式和值域相 同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函 数”,例如函数y=x2,x ∈ [1,2]与函数y= x2,x ∈ [-2,-1]就是“同族函数”.下列可 用来构造同族函数的有 ( ) A.y=|x|-2 024 B.y=x 1 2 C.y=x2-x D.y= x2-2 024 x 2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其 定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那 么函数解析式为f(x)=x2,值域为{0,1}的 “同族函数”共有 个. 3.(2024·山东德州高三期中)如果一个函数的 定义域与值域均为[m,n],则称该函数为[m, n]上的同域函数,[m,n]称为同域区间.已知 函数f(x)= ax2-2ax+b+1在区间[1, 3]上是同域函数. (1)函数f(x)的解析式是 ; (2)若函数g(x)=k- f(x)- 3 2 (k≥0) 在x≤0时存在同域区间,则实数k的取值范 围是 . 学习至此,请完成课时作业6 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.2 函数的单调性与最值 5A>! 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. AMc
-  -@) 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域 D 内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1 <x2 时,都有 ,那么就称函数f(x) 在区间I上 . 特别地,当函数f(x)在 它的定义域上 时,我们就称它是增函数 当x1 <x2 时,都有 ,那么就称函数f(x) 在区间I上 . 特别地,当函数f(x)在 它的定义域上 时,我们就称它是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性, 叫做y= f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数 M 满足 条件 (1)∀x∈D,都有 . (2)∃x0∈D,使得 (1)∀x∈D,都有 . (2)∃x0∈D,使得 结论 M 为最大值 M 为最小值 常用结论与知识拓展 函数单调性的等价定义 设任意x1,x2 ∈D(x1 ≠x2),则 (1)f (x1)-f(x2) x1-x2 >0(或(x1-x2)[f(x1)- f(x2)]>0)⇔f(x)在D 上单调递增. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 026 hhh 时,不等式x2-(2a+1)x+2a<0的 解集为{x|1<x<2a},则3<2a≤ 4,解得32 <a≤2 ;当2a=1,即a= 1 2 时,不等式x2-(2a+1)x+2a< 0无解,所以a = 1 2 不符 合 题 意;当 2a<1,即a< 1 2 时,不等式x2-(2a+ 1)x+2a<0的解集为{x|2a<x<1}, 则-2≤2a<-1,解得-1≤a<- 1 2. 综上,a的取值范围是 a -1≤a<-12 或 3 2 <a≤2 . 对点训练5:(1)[1,2) 解析:不等式化为2ax2-(a+4)x+ 2<0,即(2x-1)(ax-2)<0,a=0 时,不等式的解集为 x x> 1 2 ,有无 数个整数解,不合题意;a<0时,不等式 的解集为 x x> 12 或x< 2a ,有 无数个 整 数 解,不 合 题 意;a >0时, 2 a >0 ,a=4时,不等式无实数解,不 合题意;0< 2 a < 1 2 时,不等式的解 集为 x 2a <x < 1 2 ,无 整 数 解, 不合题意;2 a > 1 2 时,不等式的解集 为 x 12 <x < 2 a ,因 此 有1< 2 a ≤2 ,解得1≤a<2. (2)[-3,2) 解析:由 x2 -x -2>0,得 (x - 2)(x+1)>0,得x<-1或x>2,所 以x2-x -2>0的 解 集 为(- ∞, -1)∪ (2,+ ∞).由 2x2 + (5+ 2k)x+5k<0,得 x+52 (x+k)< 0,当-k<- 5 2 ,即k> 5 2 时,得-k< x <- 5 2 ,所 以2x2 + (5+2k)x + 5k<0的解集为 -k,-52 ,此解集 中不 含 -2,不 符 合 题 意;当 -k = - 5 2 ,即k = 5 2 时, x + 52 (x + k)<0化 为 x + 52 2 <0,所 以 2x2+(5+2k)x+5k<0的解集为空 集,不符合题意;当-k>- 5 2 ,即k< 5 2 时,得- 5 2 <x<-k ,所以2x2+ (5+2k)x+5k<0的解集为 - 52, -k ,因为不等式组 x2-x-2>0, 2x2+(5+2k)x+5k<0 的解集中 所含整数解只有-2,所以-2<-k≤ 3,得 -3≤k<2. 例6:(-∞,-1)∪ (3,+∞) 解析:不等式x2+px>4x+p-3可 化为(x-1)p+x2-4x+3>0, 由已知可 得[(x -1)p +x2 -4x + 3]min >0(0≤p≤4), 令f(p)= (x -1)p +x2 -4x + 3(0≤p≤4),可得 f(0)=x2-4x+3>0, f(4)=4(x-1)+x2-4x+3>0, ∴x <-1或x >3. 对点训练6:{x|x <-1或x >3} 解析:由t2-4≤0,得-2≤t≤2,所 以 -1≤1-t≤3.不等式x2+tx- t>2x-1对-2≤t≤2恒成立,即不 等式x2+(t-2)x+1-t>0对-2≤ t≤ 2恒 成 立,即 不 等 式 (x +t- 1)(x-1)>0对-2≤t≤2恒成立, 所以只需 x-1>0, x+t-1>0 或 x-1<0, x+t-1<0 对-2≤t≤2恒成立, 所以只需 x >1, x >1-t 或 x <1,x <1-t 对 -2≤t≤2恒成立. 因为 -1≤1-t≤3,所以x >3或 x <-1. 例7:-∞, 3 3 解析:当x ∈ (0,2]时,不等式可化为 ax+ 3a x <2. 当a =0时,不等式为 0<2,满足题意;当a>0时,不等式化 为x+ 3 x < 2 a ,则2 a >x + 3 x ≥ 2 x·3x =23 ,当且仅当x = 3 时取等号.要使x+ 3 x < 2 a 有解,只 需 2 a > x+ 3 x min 即 可,即 2a > 23,a< 3 3 ,故0<a< 3 3 ;当a<0 时,x+ 3 x > 2 a 在(0,2]上恒成立.综 上 所 述, 实 数 a 的 取 值 范 围 是 -∞, 3 3 . 对点训练7:(-∞,6) 解析:由题意,可转化为存在x ∈ [1, 3],使m< 6 x2-x+1 成立.因为函数 y = 6 x2-x+1 = 6 x- 1 2 2 + 3 4 在[1,3]上 的 最 大 值 为6,所 以 只 需 m < 6 即 可,故 m 的 取 值 范 围 是 (-∞,6). 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:解:令f(x)=x2+(m-3)x+m, (1)由题意得 Δ=(m-3)2-4m≥0, 3-m>0, m>0, 解得0<m ≤1. (2)若方程x2+(m-3)x+m =0的 一个 根 大 于 1,一 个 根 小 于 1,则 f(1)=2m-2<0,解得m <1. (3)若方程x2+(m-3)x+m =0的 一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4) 内,则 f(-2)= -m+10>0, f(0)=m <0, f(4)=5m+4>0, 解得- 4 5 <m <0. (4)若方程x2+(m-3)x+m =0的 一个 根 小 于 2,一 个 根 大 于 4,则 f(2)=3m-2<0, f(4)=5m+4<0, 解得m<-45. (5)若方程x2+(m-3)x+m =0的 两个根都在(0,2)内,则 f(2)=3m-2>0, f(0)=m >0, 0<- m-3 2 <2 , Δ = (m-3)2-4m ≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得2 3 <m ≤1. 素养检测:解:(1)设函数f(x)=x2+ 2mx+2m+1,与x轴的交点分别在区 间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图(如 图1),得 f(0)=2m+1<0, f(-1)=2>0, f(1)=4m+2<0, f(2)=6m+5>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ m <- 1 2 , m ∈R, m <- 1 2 , m >- 5 6. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 ∴- 5 6 <m <- 1 2. 图1 图2 (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0, 1)内(如图2),列不等式组 f(0)>0, f(1)>0, Δ≥0, 0<-m <1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ m >- 1 2 , m >- 1 2 , m ≥1+ 2或m ≤1- 2, -1<m <0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴- 1 2 <m ≤1- 2. 第二章 函数的概念与 基本初等函数 2.1 函数的概念及其表示 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -446- 参 考 答 案 (2)定义域 值域 自变量的取值 定义域 所有函数值 3.对应关系 分段函数 基础检测 1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× 2.1 解析:因为f(x)= f(x-1),x >0, -ln(x+e)+2,x ≤0, 所以f(2 024)=f(2 023)= f(2 022)= … =f(1), 又f(1)=f(1-1)=f(0)= -ln(0+e)+2= -1+2=1, 所以f(2 024)=1. 3.(1,2) 解析:因 为 函 数 f(x)的 定 义 域 是 (-1,3),所以由题意可得 -1<x+1<3, x-1>0, 解得1<x <2. 4.f(x)= x x+1 (x ≠0) 解析:因为f 1 x = 1x+1,令t= 1x , 则t ≠ 0,x = 1 t , 所 以 f(t)= 1 1 t +1 = t t+1 (t≠0),所以f(x)= x x+1 (x ≠0). 5.ABD 对于A,由x2-4≥0,得x ≤ -2或x ≥2,所以f(x)的定义域为 (- ∞,- 2] ∪ [2,+ ∞), 由 x-2≥0, x+2≥0, 得x≥2,所以g(x)的定 义域为[2,+∞),所以两函数的定义 域不相同,所以两函数不 是 同 一 个 函 数,故A符合题意;对于B,f(x)的定 义域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的 定义域为 R,所以两函数的定义域不相 同,所 以 两 函 数 不 是 同 一 个 函 数,故 B符合题意;对于C,f(x)的定义域为 R,g(t)的定义域为 R,g(t)= 3 t3 + 2=t+2,所以两函数的定义域相同, 对应关系也相同,所以这 两 个 函 数 是 同一个函数,故C不符合题意;对于D, f(x) 的 定 义 域 为 (- ∞,1) ∪ (1,+∞),g(x)的定义域为R,所以两 函数的定义域不相同,所以两函数不是 同一个函数,故D符合题意.故选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)13 ,1 2 解析:要使函数f(x)= 1-4x2 + ln(3x-1)有意义, 则 1-4x 2 ≥0, 3x-1>0 ⇒ 13 <x ≤ 12. ∴ 函数f(x)的定义域为 1 3 ,1 2 . (2)- 9 2 ,-2 ∪ (-2,0] 解析:∵f(x)的定义域为[-8,1], ∴ -8≤2x+1≤1 , x+2≠0, 解 得 - 92 ≤ x≤0,且x≠-2.∴g(x)的定义域为 - 9 2 ,-2 ∪ (-2,0]. 对点训练1:(1)(0,2) 解析:由题意得 x >0 , 4-x2 >0, 解得0< x <2,故定义域为(0,2). (2)(-1,0) 解析:由题意知0≤x ≤1,∴-1≤ 2x-1≤1,∴ -1≤2x+1≤1, x+1>0, x+1≠1, 解 得-1<x <0. 例2:(1)x2-2x+4 解析:令t=2x+1,则x = t-1 2 , 所 以f(t)=4 t-1 2 2 +3=t2-2t+ 4,故f(x)=x2-2x+4. (2)4x+1 解析:∵f(x)为 单 调 递 增 的 一 次 函 数,∴ 设f(x)=ax+b(a >0),故 f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ ab+b=16x+5,∴a2=16,ab+b= 5,解得a=4,b=1或a = -4,b= - 5 3 (不合题意,舍去).因此f(x)= 4x+1. (3)x+1 解析:由2f(x)-f(-x)=3x+1,可 得2f(-x)-f(x)= -3x+1①, 又4f(x)-2f(-x)=6x+2②,①+ ② 得3f(x)=3x+3,解得f(x)= x+1. 对点训练2:(1)-1 解析:令 4 x+1= 2,则 x =1,所 以 f(2)=f 4 1+1 =2-3= -1. (2)3x 解析:因为2f(x)+f(-x)=3x①, 将 x 用 -x 替 换,得 2f(-x)+ f(x)= -3x②,由①②得f(x)=3x. 例3:(1)19 解析:∵ 函数f(x)= log2x,x>0, 3x,x≤0, ∴f 1 4 =log2 14 = -2, f f 1 4 =f(-2)=3-2 = 19. (2)8或-3 解析:当x ≤0时,由f(x)=15,得 x2+6=15,解得x = -3或x =3 (舍去).当x>0时,由f(x)=15,得 2x-1=15,解得x=8,综上x=8或 x = -3. 对点训练3:5或-3 解析:若a <1,则f(a)=a2+1= 10,∴a= -3(a=3舍去),若a≥1, 则f(a)=2a=10,∴a =5,综上可 得,a=5或a= -3. 例4:(1)- 17 8 或-4 解析:由题意,f(1)=a+3,f(-1)= 1 2 ,即f(a+3)= 1 2. 当a+3≥0,即 a≥-3时,f(a+3)=a+3(a+3)= 4a+9= 1 2 ,解得a = - 17 8 ,满足题 意;当a+3<0,即a<-3时,f(a+ 3)=2a+3 = 1 2 ,解得a= -4,满足题 意.所以a= - 17 8 或a= -4. (2)(-∞,0) 解析:因为f(x)= 2-x,x ≤0, 1,x >0, 所以函数f(x)的图象如图所示. 由图可知,当x+1≤0且2x ≤0时, 函数f(x)为减函数,故f(x+1)< f(2x)转化为x+1>2x.此时x ≤ -1.当 2x < 0 且 x +1 > 0 时, f(2x)>1,f(x+1)=1,满足f(x+ 1)<f(2x).此时-1<x <0.综上, 不等 式f(x +1)<f(2x)的 解 集 为 (-∞,-1]∪(-1,0)= (-∞,0). 对点训练4:(1)-1 解析:当 m ≥2时,m2-1=3,所以 m =2或m = -2(舍去);当0<m < 2时,log2m =3,所以m =8(舍去).所 以m=2.所以f 5 2-m =f 12 = log2 1 2 = -1. (2)(-∞,-2)∪ (2,+∞) 解析:由题意知,a≠0,当a>0时,不 等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为 a2+a-3a>0,解得a>2.当a<0 时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可 化为-a2-2a<0,解得a<-2.综上 所述,a 的取值范围为(- ∞,-2)∪ (2,+∞). 例5:解:(1)函数y= 4x-2 2x+1 的定义域为 x x ≠- 1 2 .因为y =4x-22x+1= 4x+2-4 2x+1 = 2- 4 2x+1 ,所以值域为 {y|y≠2}. (2)解法1:函数y=x+ 2x-1的 定义域为 1 2 ,+∞ ,令t= 2x-1, 则x = t2+1 2 ,所以y= t2+1 2 +t= 1 2 (t+1)2(t ≥0).因 为 函 数 y = 1 2 (t+1)2 在区间[0,+∞)上单调递 增,所以y∈ 1 2 ,+∞ . 解法2:函数y=x+ 2x-1的定义 域为 1 2 ,+∞ ,因为函数y =x + 2x-1 在区间 1 2 ,+∞ 上 单 调 递增,所以函数y =x+ 2x-1的 值域为 1 2 ,+∞ . (3)设t=x+1,因为x >-1,可得 t>0,且x =t-1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -447- hhh 故y = x2+7x+10 x+1 = (t-1)2+7(t-1)+10 t =t+ 4 t +5 , 因为t+ 4 t ≥4 ,可得t+ 4 t +5≥9 , 当且仅当t =2,即x =1时,等号 成立. 所以函数y= x2+7x+10 x+1 (x>-1) 的值域为[9,+∞). 对点训练5:解:(1)因为y = 2x -1 2x +1 = 1- 2 2x +1 ,定义域为R. 当x∈R时,2x +1>1, 1 2x +1 ∈(0, 1),- 2 2x +1 ∈(-2,0),所以y=1- 2 2x +1 ∈ (-1,1).故值域为(-1,1). (2)函数定义域为(- ∞,1].令t = 1-x,则t≥0且x =1-t2.此时 y=2(1-t2)+t= -2t- 1 4 2 + 17 8 ,当t= 1 4 时,y取到最大值 17 8 ,故函 数值域为 -∞, 17 8 . 􀪋􀪋􀪋􀪋   􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)B ① 当x ∈ [0,1]时, f(x)∈ [0,1],故 ① 满足题意;② 当 x ∈ [-1,0]时,f(x)∈ [-1,0],故 ② 满 足 题 意;③ 当 x ∈ [0,1]时, f(x)∈ [0,1], 故 ③ 满 足 题 意; ④∵f(x)=log2(x-1)单调递增,且 函数f(x)的定义域为(1,+∞),若存 在同域区间[m,n],则满足 log2(m-1)=m, log2(n-1)=n, 即 m-1=2 m , n-1=2n, ∴m,n是方程2x -x+1=0的2个实 数根. 设g(x)=2x -x +1(x >1),则 g'(x)=2xln 2-1>0,则g(x)在 (1,+∞)上单调递增,∴2x -x+1= 0不可能有2个实数根,故④不满足题 意.故选B. (2)y=x2,x∈[-2,1](答案不唯一) 解析:函数y =x2,x ∈ [0,2]的值域 为[0,4],因此其“同族函数”的函数解 析式可以是y=x2,x∈[-2,t](0≤ t≤2),也可以是y =x2,x ∈ [m,2] (-2≤m ≤0)中的任意一个. 素养检测:1.ACD 函 数 y =|x |- 2 024与y= x2-2 024 x 是偶函数, 所以可构造“同族函数”,函数y =x 1 2 在定义域[0,+∞)上为增函数,所以 不能构造“同族函数”,函数y =x2- x,x ∈ 0, 1 2 与函数y =x2-x, x ∈ 1 2 ,1 的值域相同,所以是“同 族函数”.故选ACD. 2.3 解析:已知函数解析式为f(x)=x2, 值域为{0,1}的“同族函数”的定义域 可以为:{0,1},{0,-1},{0,-1,1},所 以“同族函数”共有3个. 3.(1)f(x)= 1 2x 2-x+ 3 2 (2)0≤k<1- 2 2 解析:(1)易 知 a ≠0,由 f(x)= ax2-2ax+b+1= a(x-1)2- a +b+1,所以函数f(x)= ax2- 2ax+b+1在[1,3]上单调递增,又 函数是同域函数,得 f (1)=1, f(3)=3, 即 f(1)= a -2a +b+1=1, f(3)=9a -6a +b+1=3, 解 得 a= 1 4 , b= 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以f(x)= 1 2x 2-x+ 3 2. (2)由(1)得g(x)=k- 1 2x 2-x =k- 1 2 (x-1)2- 1 2 (k≥0),所以g(x)在(-∞,0]上单调 递增,设[c,d]是函数g(x)的同域区 间,得 g (c)=c, g(d)=d, 即 k- 1 2c 2-c =c, k- 1 2d 2-d =d, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 得x 2-2(2k- 1)x+2k2 =0在(-∞,0]上的根为c 和d,则满足 Δ = [-2(2k-1)]2-4×2k2 >0, c+d =2(2k-1)<0, c·d =2k2 ≥0, k≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 k>1+ 2 2 或k<1- 2 2 , k< 1 2 , k≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得0≤k<1- 2 2. 2.2 函数的单调性与最值 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)f(x1)<f(x2) 单调递增 单调 递增 f(x1)>f(x2) 单调递减 单调递减 上升的 下降的 (2)单调递增 单调递减 区间I 2.f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)= M 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.(3,+∞) 解析:∵函数y=f(x)在R上是增函 数,且f(2m)>f(-m+9),∴由函数 单调性的定义可知2m>-m+9,解得 m > 3,∴ 实 数 m 的 取 值 范 围 是 (3,+∞). 3.单调递增区间为(-1,2),(5,+∞),单 调递减区间为(-∞,-1),(2,5) 解析:y =|-x2+4x+5|= -x2+4x+5,x ∈ [-1,5], x2-4x-5,x ∈ (-∞,-1)∪ (5,+∞), 画出函数图象如下: 可 得 单 调 递 增 区 间 为 (- 1,2), (5,+ ∞),单 调 递 减 区 间 为 (- ∞, -1),(2,5). 4.B 因为y= 1 x-1 在区间[2,3]上单 调递 减,所 以ymin = 1 3-1= 1 2. 故 选B. 5.ABD 函数f(x)= -x 1 2 = - x 在 (0,+∞)上单调递减;f(x)=2-x = 1 2 x 在 (0,+ ∞)上 单 调 递 减; f(x)=ln |x|,当x>0时,f(x)= ln x 在(0,+∞)上单调递增;f(x)= 1 x2 在 (0,+ ∞)上 单 调 递 减. 故 选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)D 解法1(排除法):取x1 = - 1,x2 = 0, 对 于 A,f(x1) = 1, f(x2)=0,所以 A不符合题意;对于 B,f(x1)= 3 2 ,f(x2)=1,所以B不 符合题意;对于C,f(x1)=1,f(x2)= 0,所以C不符合题意.故选D. 解法2(图象法):如图,在坐标系中分 别画出A,B,C,D四个选项中函数的大 致图象,即可快速直观判断D符合题 意.故选D. (2)[1,2] 解析:f(x)= x2-2x,x ≥2, -x2+2x,x <2. 画 出f(x)的大致图象(如图所示),由图 知f(x)的单调递减区间是[1,2]. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -448-