1.3 等式性质与不等式性质-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

@第一章 集合、常用逻辑用语与不等式  >Fe2 数学应用背景下的逻辑推理问题 【题目呈现】 (1)关于x 的方程x2+ax+ b=0,有下列四个命题: 甲:x=1是该方程的根; 乙:x=3是该方程的根; 丙:该方程两根之和为2; 丁:该方程两根异号. 若只有一个假命题,则该命题是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 (2)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四 名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下:甲说:“罪犯 在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是 丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是罪犯”; 丁说:“乙说的是事实”,经过调查核实,四人中 有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这 四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【素养解读】 此类题是基于数学知识背景 下的逻辑推理问题,实际考查中,也可能基于数 学文化、生产生活等,体现对逻辑推理素养及批 判性思维能力的考查.逻辑推理是指从一些事 实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养. 主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推 理形式主要有归纳、类比推理,一类是从一般到 特殊的推理,推理形式主要有演绎推理. 2" 1.关于区间I=(a,+∞),有下列四个命题: 甲:小于1的数都不在区间I内; 乙:区间I内不存在两个数互为倒数; 丙:区间I内存在小于1的数; 丁:区间I内每个数的平方都大于它本身. 若只有一个假命题,则该命题是 . 2.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛,四人在成绩 公布前作出如下预测: 甲预测说:我不会获奖,丙获奖; 乙预测说:甲和丁中有一人获奖; 丙预测说:甲的预测是对的; 丁预测说:获奖者在甲、乙、丙三人中. 成绩公布后表明,四人的预测中有两人的预 测与结果相符,另外两人的预测与结果不符, 已知有两人获奖,则获奖者可能是 . 学习至此,请完成课时作业2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.3 等式性质与不等式性质 5A>! 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据,会比较两个实数的大小. 2.掌握等式性质. 3.理解不等式的概念及不等式的性质,掌握不等式性质的简单应用. 009 hhh AMc
-  -@) 1.比较实数a,b大小的基本事实 (1)作差法 ①a-b>0⇔a b; ②a-b=0⇔a b; ③a-b<0⇔a b. (2)作商法 ①ab >1 (a∈R,b>0)⇔a b(a∈R, b>0); ②ab =1 (a∈R,b≠0)⇔a b(a∈R, b≠0); ③ab <1 (a∈R,b>0)⇔a b(a∈R, b>0). 2.等式的基本性质 (1)对称性:a=b⇔ ; (2)传递性:a=b,b=c⇒ ; (3)可加性:a=b⇔ ; (4)可乘性:a=b⇒ ; (5)可除性:a=b,c≠0⇒ . 3.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔ ;a<b⇔ 可逆 传递性 a>b,b >c⇒ ; a<b,b<c⇒ 同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a >b,c>0⇒ ; a>b,c<0⇒ c的符号 同向可加性 a>b,c>d⇒ 同向 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ 同向,同正 可乘方性 a >b >0,n ∈ N,n ≥ 2⇒an >bn 同正 可开方性 a>b>0,n∈N,n≥2⇒ n a > n b 同正 常用结论与知识拓展 1.不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b,ab>0⇒ 1 a < 1 b ; ②a<0<b⇒ 1 a < 1 b ; ③a>b>0,d>c>0⇒ a c > b d ; ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒ 1 b < 1 x < 1 a. (2)有关分数的性质 若a>b>0,m >0,则 ①真分数性质:b-ma-m< b a < b+m a+m (b-m>0), 即真分数越加越大,越减越小; ② 假分数性质:a+mb+m < a b < a-m b-m (b-m > 0),即假分数越加越小,越减越大. 2.若a<x<b,c<y<d,则a-d<x-y< b-c. -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)a>b⇔ac2>bc2. ( ) (2)a=b⇔ac=bc. ( ) (3)若a<b<0,则 1 a < 1 b. ( ) (4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( ) (5)若a>b,c>d,则ac>bd. ( ) 2.(教材改编题)若M=2x2+7x+6,N=(x+ 1)(x+4),则M 与N 的大小关系是 . 3.(教材改编题)能够说明“若a,b,m 均为正数, 则b+m a+m< b a ”是真命题的一组数a,b可以为 a= ,b= .(写出一组即可) 4.(教材改编题)已知-1<a<2,-3<b< 5,则a+2b的取值范围是 . 5.(多选题)已知a>b>0,c<0,则下列四个 不等式中,一定成立的是 ( ) A.ca > c b B.ac<bc C.a>b-c D.a(b-c)>b(a-c) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 010 @第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 A /c5%1@ 考点1 实际问题情境下不等关系的建立 【例1】 电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的 片段.其中,罗秀才唱道:三百条狗送给你, 一少三多四下分,不要双数要单数,看你怎 样分得均? 舟妹唱道:九十九条集上卖,九 十九条腊起来,九十九条赶羊走,剩下三条, 财主请来当奴才(讽刺财主请来对歌的三个 奴才).事实上,电影中罗秀才提出了一个数 学问题:把300条狗分成4群,每群都是单 数,1群少,3群多,数量多的3群必须都是一 样的,否则就不是一少三多,问你怎样分? 舟妹 已 唱 出 其 中 一 种 分 法,即{3,99,99, 99},那么所有分法的种数为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解决有关不等关系的实际问题时,应抓住关键 字(词),例如“要”“必须”“不少于”“大于”等,从而建 立相应的方程或不等式模型. 【对点训练1】 元旦将近,调查鲜花市场价格得 知:购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用大 于8元,而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费 用小于22元.设购买2枝玫瑰所需费用为A 元,购买3枝康乃馨所需费用为B 元,则A, B 的大小关系是 . 考点2 不等式的性质 【例2】 (1)(多选题)下列命题为真命题的是 ( ) A.若ac2≥bc2,则a≥b B.若a<b<0,则a2>ab>b2 C.若a>b,c>d,则a-d>b-c D.若a>b,则 1 a < 1 b (2)(多选题)(2024·江苏无锡四校高三上学期 调研)若a<b且ab≠0,则下列结论成立 的是 ( ) A.1a > 1 b B.a 3<b3 C.a|a|<b|b| D.2a <3b 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 判断不等式正误的常用方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等 式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提 条件. (2)利用特殊值法排除错误答案. (3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性 质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、 幂函数等函数的单调性来比较. 【对点训练2】 (1)(2023·重庆第十八中模拟) 若a<b<0,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.1a-b> 1 b B.a2<ab C.|b| |a|< |b|+1 |a|+1 D.an >bn (2)(多选题)(2023·江西南昌高三月考)已知 a>b≥2,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.b2<3b-a B.a3+b3>a2b+ab2 C.ab>a+b D.12+ 2 ab> 1 a+ 1 b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 011 hhh 考点3 求代数式的取值范围 【例3】 (1)(多选题)已知3<a<6,1<b<5, 则 ( ) A.ab ∈ 6 5 ,3 B.ab ∈ 3 5 ,6 C.a-2b∈ (-4,1) D.a-2b∈ (-7,4) (2)已知-1<x+y<4且2<x-y<3,则 2x-3y 的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 利用待定系数法求代数式的取值范围的步骤 已知 M1 <f1(a,b)<N1,M2 <f2(a,b)< N2,求g(a,b)的取值范围. (1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b). (2)根据恒等变形求得待定系数p,q. (3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a, b)的取值范围.同向不等式的两边可以相加,但这 种转化不是等价变形,如果多次使用这种转化,就有 可能扩大代数式的取值范围. 【对点训练3】 (1)已知2≤x≤3,6≤y≤9, 则3x 2y 的取值范围是 . (2)已知-3<m+n<3,1<m-n<5,则n- 3m 的取值范围是 . 考点4 作差法与作商法比较大小 【例4】 (1)设p=1+2x4,q=2x3+x2,则p, q的大小关系是 . (2)若a= ln 3 3 ,b= ln 4 4 ,c= ln 5 5 ,则a,b,c的大 小关系是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 比较大小的常用方法 (1)作差法:① 作差;② 变形;③ 定号;④ 得出 结论. (2)作商法:① 作商;② 变形;③ 判断商与1的 大小关系;④ 得出结论. (3)单调性法:构造函数,利用函数的单调性比 较大小. 【对点训练4】 (1)若a<0,b<0,则p= b2 a+ a2 b 与q=a+b的大小关系为 . (2)(2023·皖中名校第一次联考)已知a>b> c,且a+b+c=0,求证: a c-a> a b-a . 学习至此,请完成课时作业3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 012 参 考 答 案 B”成立的必要不充分条件,所以B 是 A 的真子集. 所以 m >0, 2-m >-2, 2+m <5, 解得0<m <3, 所以实数m 的取值范围是(0,3). 对点训练2:(1) 12 ,1 解析:由|x-2m|<1,即-1<x- 2m <1,解得2m-1<x<1+2m,因 为“1<x <2”是“|x-2m|<1”的 充分不必要条件,所以(1,2)真包含于 (2m-1,1+2m),所以 1+2m ≥2, 2m-1≤1 (等号不能同时取得),解得1 2 ≤m ≤ 1,所以实数m 的取值范围为 12 ,1 . (2)0,12 解析:p 对 应 的 集 合 A = {x|y = ln(2x-1)≤0}= x 1 2 <x≤1 ,q 对应的集 合 B = {x|(x -a)[x - (a+1)]≤0}= {x|a≤x≤a+1}. 由q是p 的必要不充分条件,知 A ⫋ B,所以a≤ 1 2 且a+1≥1,因此0≤ a≤ 1 2. 例3:B 由题图可知B ⫋A,且A,B 非 空,则根 据 子 集 的 定 义 可 得,对 于 A, ∃x ∉ A,x ∈ B 不 正 确;对 于 B, ∀x ∉A,x ∉B 正确;对于C,∃x ∈ B,x ∉A 不正确;对于D,∀x ∉B, x ∈A 不正确.故选B. 对点训练3:C 对于A,取 M = {1,2}, N = {1},满足 M ∩N ≠ ⌀,而2∈ M,2∉N,A错误;对于B,取M = {1, 2},N ={1},满足M ∩N≠⌀,而1∈ M,1∈N,B错误;对于C,根据集合交 集的定义可知 ∃x ∈M,x ∈N,故C 正确;对于D,取M ={1},N ={1,2}, 满足 M ∩N ≠ ⌀,但 ∃x ∈M,x ∉ N 不成立,D错误.故选C. 例4:(1)∃x <0,x+ 1 x ≥-2 解析:命题“∀x<0,x+ 1 x <-2 ”为 全称量词命题,该命题的否定为“∃x < 0,x+ 1 x ≥-2 ”. (2)∀x ∈R,x+2>0 解析:命题p:“∃x∈R,x+2≤0”为 存在 量 词 命 题,其 否 定 为“∀x ∈ R, x+2>0”. 对点训练4:(1)∀x ≤3,|x-2|>1 (2)∃a∈R,一元二次方程x2-ax- 1=0无实根 假 解析:由题意得命题p的否定是∃a∈ R,一元二次方程x2-ax-1=0无实 根,由于Δ =a2+4>0恒成立,故对 任意实数a,方程都有实根,故命题p 的否定为假命题. 例5:(1)-3<m ≤0 解析:由 题 意 得 命 题 “∃x ∈ R,使 mx2-mx - 3 4 ≥0 ”是 假 命 题,故 “∀x∈R,使mx2-mx- 3 4 <0 ”是 真命题,当m=0时,- 3 4 <0 成立,若 m ≠0,则 m <0且Δ =m2-4m × - 34 <0,解得-3<m <0,综上 得 -3<m ≤0. (2)23 解析:因 为 ∀x ∈ R,3x2 -2 2x + a≥0,于是Δ= (22)2-12a≤0,解 得a≥ 2 3 ,所以实数a的最小值是23. 对点训练5:(1)(-∞,0] 解析:命题p:∃x∈[1,4], a x +x>4 是假命题,即命题 ∀x ∈ [1,4], a x + x≤4是真命题,也即a≤-x2+4x在 [1,4]上 恒 成 立,令f(x)= -x2 + 4x = -(x-2)2+4,因为x∈[1,4], 所以 当 x =4时 函 数 取 最 小 值,即 f(x)min =f(4)=0,所以a≤0,故a 的取值范围是(-∞,0]. (2)(-∞,1) 解析:若∀x∈R,a<3x2 024+1为真 命题,等价于a< (3x2 024+1)min, ∵x2 024 ≥0,当且仅当x =0时, 等号 成立,∴3x2 024 +1≥1,即(3x2 024 + 1)min =1,可得a<1,故实数a的取值 范围是(-∞,1). 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)A 因为1×3>0,1+3≠ 2,又四个命题三真一假,故甲、乙必有 一个是假,由 甲 为 假 易 知,符 合 题 意, 由乙为假推出矛盾.故选A. (2)乙 解析:四人供词中,乙、丁意见一致,或 同真或同假,若 同 真,即 丙 偷 的,而 四 人有两人说的是真话,甲、丙说的是假 话,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中” 是假话,即乙、丙、丁没偷,相互矛盾; 若同假,即 不 是 丙 偷 的,则 甲、丙 说 的 是真话,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人 之中”,丙说:“甲、乙两 人 中 有 一 人 是 罪犯”是真话,可知罪犯是乙. 素养检测:1.丙 解析:由题意可知甲和丙互相矛盾,故 两个命题必然一真一假;又 因 为 只 有 一个假命题,所以乙和丁都为真命题; 根据 乙 和 丁 可 知I = (a,+ ∞)⊆ (1,+∞),故丙为假命题. 2.甲、丙或甲、乙 解析:∵“甲预测说:我不会获奖,丙获 奖”,而 “丙 预 测 说:甲 的 预 测 是 对 的”,∴ 甲和丙的预测要么同时与结果 相符,要么同时与结果不符,若甲和丙 的预测同时与结果相符,则 获 奖 者 为 乙、丙或丙、丁,丁 或 乙 预 测 也 与 结 果 相符,这与“四人的预测中有两人的预 测与结果相符,另外两 人 的 预 测 与 结 果不符”相矛盾,故错误;若甲和丙的 说法同时与结果不符,则乙、丁的预测 成立,所以甲获奖,丁不获奖;丙获奖, 乙不获奖或乙获奖,丙不获奖.即获奖 的两人为甲、丙或甲、乙. 1.3 等式性质与不等式性质 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)① > ② = ③ < (2)① > ② = ③ < 2.(1)b=a (2)a=c (3)a±c=b±c (4)ac=bc (5) a c = b c 3.b<a b>a a>c a<c ac> bc ac<bc a+c>b+d ac>bd 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 2.M >N 解析:∵M -N = (2x2+7x +6)- (x+1)(x+4)= (2x2+7x+6)- (x2+5x+4) =x2+2x+2= (x+ 1)2+1>0,∴M >N. 3.(答案不唯一)1 2 解析:因为命题“若a,b,m 均为正数, 则 b+m a+m < b a ”是真命题,所以b a - b+m a+m = (b-a)m a(a+m)> 0,因为a,b,m 均为正数,所以可得0<a<b,不妨取 a=1,b=2.(答案不唯一) 4.(-7,12) 解析:∵-3<b<5, ∴-6<2b<10,又 -1<a<2, ∴-7<a+2b<12. 5.ABD 对于A,∵a>b>0,c<0, ∴b-a <0,ab >0,∴ c a - c b = bc-ac ab = c(b-a) ab >0 ,即c a > c b , 故A正确;对于B,∵a >b>0,c< 0,∴ac<bc,故B正确;对于C,取a= 2,b=1,c= -3,则a=2<b-c= 4,故C错误;对于D,∵a>b>0,c< 0,∴b-a <0,∴a(b-c)-b(a- c)=ab-ac-ab+bc=c(b-a)> 0,即a(b-c)>b(a-c),故D正确. 故选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:12 解析:根据题意,设多的3群狗中每群 有x 条狗,则少的1群狗有(300-3x) 条,则 有 300-3x >0 , 300-3x <x, 解 得 75< x<100,因为x为奇数,所以x可取的 值有77,79,81,…,99,共12个,则有12 种分法. 对点训练1:A >B 解析:设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格 分别为x 元、y 元,则 2x+y>8, 4x+5y<22, 又2x=A,3y=B,所以x= A 2 ,y= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -441- hhh B 3 ,所 以 A+ B 3 >8① , 2A+ 5B 3 <22②. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 由 ① × 5+ ② × (-1)可 得 A >6,由 ① × (-2)+② 可得B <6,所以A >B. 例2:(1)BC 对于 A,由ac2 ≥bc2,若 c=0,不一定有a≥b,故A错误;对于 B,若a<b<0,所以a-b<0,故a2- ab=a(a-b)>0,ab-b2 =b(a- b)>0,所以a2>ab>b2,故B正确; 对于C,由c>d 得-d>-c,又a> b,所以a-d>b-c,故C正确;对于 D,由于a>b,无法确定ab的正负,所 以 1 a - 1 b = b-a ab 的正负无法确定, 故 1 a 与 1 b 的 大 小 无 法 确 定,故 D错 误.故选BC. (2)BC 对于A,取a= -1,b=1,满 足a<b,此时 1 a = -1<1= 1 b ,A错 误;对于B,a <b,由 不 等 式 性 质 知, a3 <b3 成立,B正确;对于C,当a< 0<b时,a|a|<0<b|b|,当0< a<b,0<|a|<|b|,则a|a|<b|b|, 当a <b <0时,-a >-b >0, |a|>|b|>0,则-a|a|>-b|b|> 0,于是a|a|<b|b|,因此若a<b 且ab≠0,则a|a|<b|b|成立,C正 确;对于D,取a = -3,b= -2,满足 a<b,而2a = 1 8 > 1 9 =3 b,D错误. 故选BC. 对点训练2:(1)C 取a= -2,b= -1, n=0,逐个检验,可知 A,B,D均不正 确;对于C,|b| |a|< |b|+1 |a|+1 ⇔ |b|(|a|+1)<|a|(|b|+1)⇔ |a||b|+|b|<|a||b|+|a|⇔ |b|<|a|,∵a<b<0,∴|b|< |a|成立.故选C. (2)BC a>b≥2,取a=3,b=2,则 b2 <3b-a不成立,故A不成立;a3+ b3-(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a- b)= (a-b)2(a+b)>0,故B成立; ab-a-b =a(b-1)-b = (b- 1)a- b b-1 = (b-1) a- 1+ 1 b-1 >0,故C成立;取a=3,b= 2,12+ 2 ab= 1 a + 1 b ,故D不成立.故 选BC. 例3:(1)BD ∵1<b <5,∴ -10< -2b<-2, 1 5 < 1 b <1 ,又3<a<6, ∴-7<a-2b<4, 3 5 < a b <6 ,即 a b ∈ 3 5 ,6 ,a-2b∈(-7,4),∴B, D正确. (2)(3,8) 解析:设2x-3y=λ(x+y)+μ(x- y)= (λ+μ)x+(λ-μ)y, 则 λ+μ =2, λ-μ = -3 ⇒ λ = - 1 2 , μ = 5 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 2x -3y = - 1 2 (x +y)+ 5 2 (x-y),而 -2<- 1 2 (x+y)< 1 2 ,5< 5 2 (x -y)< 15 2 ,所 以3< 2x-3y<8,即2x-3y∈ (3,8). 对点训练3:(1) 13 ,3 4 解析:∵2≤x ≤3,∴6≤3x ≤9, 又 ∵6≤y≤9,∴12≤2y≤18, ∴ 118≤ 1 2y≤ 1 12.∴ 1 3 ≤ 3x 2y ≤ 3 4. (2)(-13,1) 解析:设n-3m =x(m+n)+y(m- n),则 x+y = -3 , x-y =1, 所以 x = -1,y = -2, 因为 -3<m +n <3,所以 -3< -(m+n)<3.因为1<m-n<5, 所以 -10<-2(m -n)<-2,故 -13<n-3m <1. 例4:(1)p≥q 解析:p-q=2x4+1-2x3-x2 = 2x3(x-1)-(x+1)(x-1)= (x- 1)(2x3-x-1)= (x-1)(x3-x+ x3-1)=(x-1)[x(x-1)(x+1)+ (x - 1)(x2 + x + 1)]= (x - 1)2(x2+x +x2 +x +1)= (x - 1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2[2(x2+ x)+1]= (x -1)2 2 x2 +x + 1 4 -2×14+1 = (x-1)2 2 x+ 1 2 2 + 1 2 ≥0,故p≥q. (2)c<b<a 解析:a-b= ln 3 3 - ln 4 4 = 4ln 3-3ln 4 12 = ln 81-ln 64 12 >0 ,b - c = ln 4 4 - ln 5 5 = 5ln 4-4ln 5 20 = ln 1 024-ln 625 20 >0 ,所以c<b<a. 对点训练4:(1)p≤q 解析:解法1(作差法):p-q = b2 a + a2 b -a-b = b2-a2 a + a2-b2 b = (b2-a2)· 1 a - 1 b = (b2-a2)(b-a) ab = (b-a)2(b+a) ab ,∵a<0,b<0, ∴a+b <0,ab >0,又(b-a)2 ≥ 0,∴p≤q. 解法2(作商法):∵p = a3+b3 ab = (a+b)(a2-ab+b2) ab ,∴ p q = a2-ab+b2 ab ≥ 2ab-ab ab =1 ,当且仅 当a=b时等号成立.∵q<0,∴p≤q. (2)证明:因为a>b>c,且a+b+ c=0,所以a>0,c<0, 所以c<b<a⇒c-a<b-a<0, 所以(c-a)(b-a)>0⇒ 1 (c-a)(b-a)> 0, 所以 - (c-a)>- (b-a)>0⇒ -(c-a)· 1 (c-a)(b-a)>- (b- a)· 1(c-a)(b-a)> 0, 所以 1 a-b> 1 a-c> 0, 所以 1 b-a < 1 c-a < 0⇒ ab-a < a c-a ,故 a c-a> a b-a . 1.4 基本不等式 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)a>0,b>0 (2)a=b 2.(1)2ab (2)2 3.a+b2 4.(1)2 P (2)S 2 4 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2.④ 解析:因为a,b∈ (0,1),所以a2<a, b2 <b,a < a,b < b,所 以a2 + b2 <a+b,ab< ab,当a≠b时,由 基本不 等 式 可 知 a+b 2 > ab ,所 以 a+b >2 ab,由 上 可 知,a+b > 2 ab >2ab,a+b>a2+b2,所以四 个式子中a+b最大.故填 ④. 3.25 m2 解析:设矩形的长为x m,宽为y m,则 x+y=10,所以S=xy≤ x+y 2 2 = 25,当且仅当x =y =5时取等号. 4.85 解析:因为a,b 为正实数,且a+b= 10ab,所以110 1 a + 1 b =1,所以a+ 9b= 1 10 (a+9b) 1 a + 1 b = 110 10+ 9b a + a b ≥ 110 10+2 9ba ·ab = 8 5 ,当且仅当9b a = a b ,即a2 =9b2,即 a= 2 5 ,b= 2 15 时等号成立.所以a+ 9b的最小值为85. 5.AD 对于A,C,因为a>0,b>0,所 以a+b=4≥2 ab,即 ab≤2,当 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -442-