1.2 常用逻辑用语-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

@第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 【素养解读】 解决以集合为背景的新定义 问题,要抓住两点: ① 准确转化.解决新定义问题时,一定要读 懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合 题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或 定义相混淆. ② 方法选取.对于新定义问题,可恰当选用 特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合 集合的相关性质求解. 2" 1.给 定 集 合 S = {1,2,3,4,5,6,7,8},对 于 x ∈S,如果x+1∉S且x-1∉S,那么x 是S 的一个“好元素”,由S 的3个元素构成 的所有集合中,不含“好元素”的集合共有 个. 2.(2023·湖南长沙模拟)若一个集合是另一个 集合的子集,称两个集合构成“全食”;若两个 集合有公共元素,但互不为对方子集,则称两 个集合构成“偏食”.对于集合A = -1,12, 1 ,B={x|ax2=1,a≥0},若两个集合构成 “全食”或“偏食”,则a的值为 . 学习至此,请完成课时作业1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.2 常用逻辑用语 5A>! 1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件、充分条件、充要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关 系、判定定理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词与存在量词的意义.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词 对存在量词命题进行否定. AMc
-  -@) 1.充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q,则 p 是q 的 条件,q 是p 的 条件 p 是q的 条件 p⇒q且q ⇒p p 是q的 条件 p ⇒q且q⇒p p 是q的 条件 p⇔q p 是q的 条件 p ⇒q且q ⇒p 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词有:所有的、任意一个、任给一 个、每一个、一切等,用符号“ ”表示;存在 量词有:存在一个、至少有一个、有些、有一 个、 有的、某一个等,用符号“ ”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称量词命 题.“对M 中任意一个x,p(x)成立”用符号 简记为 . (3)含有存在量词的命题,叫做存在量词命 题.“存在M 中的元素x,p(x)成立”用符号 简记为 . 3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x ∈M,p(x) ∃x ∈M,p(x) " 含有一个量词的命题的否定规律是“改量 词,否结论”. 全称量词命题的否定是存在量词命 题,存在量词命题的否定是全称量词命题;对省略了 全称量词的命题否定时,要对原命题先加上全称量 词再对其进行否定. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 005 hhh 常用结论与知识拓展 1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要 条件.若p 是q的充分不必要条件,则q是p 的必要不 充分条件. (2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的 充分(必要)条件,则p 是r 的充分(必要)条件,即 “p⇒q,且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q,且q⇐r”⇒“p⇐r”). 若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件, 则p 是r的充分不必要条件. 2.区别A 是B 的充分不必要条件(A⇒B 且B ⇒ A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A ⇒B)两者 的不同. 3.从集合的角度理解充分条件与必要条件 若p 以集合A 的形式出现,q 以集合B 的形式出 现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条 件、必要条件又可以叙述为 (1)若A ⊆B,则p 是q的充分条件; (2)若A ⊇B,则p 是q的必要条件; (3)若A=B,则p 是q的充要条件; (4)若A ⫋B,则p 是q的充分不必要条件; (5)若A ⫌B,则p 是q的必要不充分条件; (6)若A ⊈B 且A ⊉B,则p 是q的既不充分也 不必要条件. 4.等价转化法判断充分条件、必要条件:p 是q 的 充分不必要条件,等价于􀱑q是􀱑p 的充分不必要条件. 5.命题p和􀱑p的真假性相反,若判断一个命题的 真假有困难时,可判断此命题的否定的真假. 6.常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(=) 大于(>) 小于(<) 是 否定词语 不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)当p不是q的充分条件时,q不是p的必要 条件. ( ) (2)“x >1”是“x >0”的充分不必要条件. ( ) (3)“三角形的内角和为180°”是存在量词 命题. ( ) (4)已知集合A,B,则A∪B=A∩B的充要 条件是A=B. ( ) (5)命题“∃x∈R,sin2 x 2+cos 2x 2= 1 2 ”是真 命题. ( ) 2.(教材改编题)设a,b∈R且ab≠0,则“ab> 1”是“a> 1 b ”的 条件.(填 “充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不 充分也不必要”) 3.(教材改编题)方程x2-ax+a-1=0有一 正一负根的充要条件是 . 4.(教材改编题)“等边三角形都是等腰三角形” 的否定是 . 5.(多选题)下列命题是全称量词命题且为真命 题的是 ( ) A.∀x ∈R,-x2-1<0 B.∃m ∈Z,nm=m C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D.存在实数x,使得 1 x2-2x+3 = 3 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 充分、必要条件的判定 【例1】 (1)(2023·天津卷)“a2=b2”是“a2+ b2=2ab”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2023·北京卷)若xy≠0,则“x+y=0”是 “x y + y x =-2 ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 006 @第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 判断充分条件、必要条件的三个法宝 (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p 进行判断,适用于 定义、定理判断性问题.判断条件p,q之间的关系时 要注意条件之间关系的方向;要注意“p 是q 的充分 不必要条件含义是p⇒q但q ⇒p”,“q是p的充分不 必要条件含义是q⇒p 但p ⇒q”,同时,还要正确理 解“p 的一个充分不必要条件是q”的含义. (2)集合法:根据p,q 成立的对象的集合之间 的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母取 值范围的推断问题.利用集合中包含思想判定时,抓 住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,简记为 “小充分,大必要”,即可解决充分必要性的问题. (3)等价转化法:适用于条件和结论中带有否定 性词语的命题的判断问题. 【对点训练1】 (1)(2023· 全 国 甲 卷)设甲: sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则 ( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 (2)(多选题)p是q的充分不必要条件,q是r的 必要不充分条件,r是s的充要条件,p 是r 的既不充分也不必要条件,则 ( ) A.s是q的必要不充分条件 B.r是q的充分不必要条件 C.q是s的充要条件 D.p 是s的既不充分也不必要条件 考点2 充分、必要条件的应用 【例2】 (1)写出“实数x,y满足条件x+y≥0” 的一个充分不必要条件: . (2)已知集合A={x|x2-3x-10<0},B= {x|2-m ≤x≤2+m,m >0}.若“x∈ A”是“x ∈B”成立的 ,求实数m 的取值范围. 从 ① 充分不必要条件,② 必要不充分条件 中任选一个,填在上面横线上并进行作答. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.选择题中求充分不必要条件问题,是由选项 推出题干,但是题干不能推出选项,而选择题中求必 要不充分条件问题,是由题干推出选项,但是选项不 能推出题干.对于充分、必要条件的探求,一般化为 集合问题. 2.充分条件、必要条件求参数的两个注意点: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集 合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于 参数的不等式(或不等式组)求解.若直接解决较为 困难时,可用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转 化为简单、熟悉的问题来解决. (2)要注意区间端点值的取舍,处理不当容易出 现漏解或增解的现象. 【对点训练2】 (1)若“1<x <2”是“|x - 2m|<1”的充分不必要条件,则实数m 的取 值范围为 . (2)(2023· 辽 宁 沈 阳 育 才 学 校 模 拟)设 p: ln(2x-1)≤0,q:(x-a)[x-(a+1)]≤ 0,若q是p 的必要不充分条件,则实数a的 取值范围是 . 考点3 全称量词命题与存在量词命题 命题角度1 全称量词命题与存在量词命题的 真假判断 【例3】 已知全集U 和它的两 个非空子集A,B 的关系如 图所示,则下列命题正确 的是 ( ) A.∃x ∉A,x ∈B B.∀x ∉A,x ∉B C.∃x ∈B,x ∉A D.∀x ∉B,x ∈A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 007 hhh 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.判断全称量词命题真假的方法 (1)定义法:对给定的集合中的每一个元素x, p(x)都为真,则全称量词命题为真. (2)特值法:在给定的集合内找到一个x,使 p(x)为假,则全称量词命题为假. 2.判断存在量词命题真假的方法 特值法:在给定的集合中找到一个x,使p(x) 为真,则存在量词命题为真,否则命题为假. 【对点训练3】 已知集合M,N 满足M ∩N ≠ ⌀,则下列命题一定正确的是 ( ) A.∀x ∈M,x ∈N B.∀x ∈M,x ∉N C.∃x ∈M,x ∈N D.∃x ∈M,x ∉N 命题角度2 全称量词命题、存在量词命题的否定 【例4】 (1)命题“∀x<0,x+ 1 x<-2 ”的否定 是 . (2)命题p:“∃x ∈ R,x +2≤0”的否定 是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.否定全称(存在)量词命题,一是改变量词,二 是否定结论,对于省略量词的命题,应先挖掘命题中 的隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命 题的否定. 2.否定全称量词命题,常举一反例即可,但否定 存在量词命题,往往要进行严格证明,因为其否定是 全称量词命题. 【对点训练4】 (1)已知命题p:∃x≤3,|x- 2|≤1,则􀱑p 为 . (2)命题p:∀a∈R,一元二次方程x2-ax- 1=0 有 实 根, 则 命 题 p 的 否 定 为 ,且为 命 题(填“真”或“假”). 命题角度3 根据命题的真假求参数的取值范围 【例5】 (1)命题“∃x∈R,使mx2-mx- 3 4≥ 0”是假命题,则实数m的取值范围是 . (2)已知命题p:对∀x∈R,3x2-22x+a≥ 0,若 p 为 真 命 题,则 实 数a 的 最 小 值 是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 根据全称(存在)量词命题的真假求参数的 思路 (1)已知命题的真假,可根据每个命题的真假利 用集合的运算求解参数的取值范围.若直接求不易 求得,则利用p与􀱑p的关系,转化成􀱑p的真假求参 数的范围. (2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的 问题,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解 决.对于恒成立问题或有解问题,一般先利用等价转 化思想将条件合理转化,得到关于参数的方程或不 等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的 值或范围. 【对点训练5】 (1)已知命题p:∃x ∈ [1,4], a x+x>4 是假命题,则实数a的取值范围是 . (2)已知命题p:∀x ∈R,a<3x2 024+1,若p 为 真 命 题,则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 008 @第一章 集合、常用逻辑用语与不等式  >Fe2 数学应用背景下的逻辑推理问题 【题目呈现】 (1)关于x 的方程x2+ax+ b=0,有下列四个命题: 甲:x=1是该方程的根; 乙:x=3是该方程的根; 丙:该方程两根之和为2; 丁:该方程两根异号. 若只有一个假命题,则该命题是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 (2)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四 名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下:甲说:“罪犯 在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是 丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是罪犯”; 丁说:“乙说的是事实”,经过调查核实,四人中 有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这 四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 【素养解读】 此类题是基于数学知识背景 下的逻辑推理问题,实际考查中,也可能基于数 学文化、生产生活等,体现对逻辑推理素养及批 判性思维能力的考查.逻辑推理是指从一些事 实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养. 主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推 理形式主要有归纳、类比推理,一类是从一般到 特殊的推理,推理形式主要有演绎推理. 2" 1.关于区间I=(a,+∞),有下列四个命题: 甲:小于1的数都不在区间I内; 乙:区间I内不存在两个数互为倒数; 丙:区间I内存在小于1的数; 丁:区间I内每个数的平方都大于它本身. 若只有一个假命题,则该命题是 . 2.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛,四人在成绩 公布前作出如下预测: 甲预测说:我不会获奖,丙获奖; 乙预测说:甲和丁中有一人获奖; 丙预测说:甲的预测是对的; 丁预测说:获奖者在甲、乙、丙三人中. 成绩公布后表明,四人的预测中有两人的预 测与结果相符,另外两人的预测与结果不符, 已知有两人获奖,则获奖者可能是 . 学习至此,请完成课时作业2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.3 等式性质与不等式性质 5A>! 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据,会比较两个实数的大小. 2.掌握等式性质. 3.理解不等式的概念及不等式的性质,掌握不等式性质的简单应用. 009 hhh A ⊆ B ⊆ C.对 于 A,∵A ⊆ B ⊆ C,∴A ⊆C,A正确;对于B,当且仅当 A =B=C时,C⊆A,B错误;对于C, 当A =B =C 时,满足A⊆B⊆C,C 错误;对于D,当A = ⌀ 时,满足A ⊆ B ⊆C,D错误.故选A. (2)13 解析:某班共48人,其中25人喜爱篮 球运动,20人喜爱乒乓球运动,16人对 这两项运动 都 不 喜 爱,设 两 项 运 动 都 喜爱的人数为x,作出Venn图, 可得25-x+x+20-x+16=48, 解得x =13,则既喜爱篮球运动又喜 爱乒乓球运动的人数为13. 对点训练5:(1){x|-2<x≤0或x=4} 解析:因为A = {x|x≥4或x≤0}, B = {x|x>4或x≤-2},所以A∪ B = {x|x≥4或x≤0}∪{x|x> 4或x≤-2}= {x|x≥4或x≤0}, A∩B= {x|x≥4或x≤0}∩{x| x >4或x ≤-2}= {x|x >4或 x ≤-2}.由题意可知阴影部分表示的 集合为(∁U(A ∩B))∩ (A ∪B),所 以∁U(A ∩B)= {x|-2<x ≤4}, (∁U(A ∩B))∩ (A ∪B)= {x| -2<x ≤0或x =4}. (2)0.1 解析:如 图,阅 读 过《大 学》且 阅 读 过 《论语》的人数是160+60-180=40, 阅读过《大 学》及《论 语》但 未 阅 读 过 《中庸》的学生人数是40-20=20,故 由样 本 估 计 总 体,可 得 所 求 比 值 为 20 200=0.1. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)14 解析:由题设知 A +B = {2,3,4,5}, ∴ 所有元素之和为2+3+4+5=14. (2)B 由已知,A* 为不小于集合A 中 最大值的所有实数构成的集合.① 因 为 M ⊆P,设集合 M 和P 中最大值分 别为m1和p1,则p1≥m1,故有P* ⊆ M*,正确;② 设 M =P = {x|0< x <1},则 M* = {x|x ≥1},故 M* ∩P = ⌀,错误;③ 设 M =P = {x|0<x ≤1},则P* = {x|x ≥ 1},故 M ∩P* ≠ ⌀,错误;④ 设集合 M* 与集合P* 中最小值分别为m2 和 p2,令a=p2-m2,则对任意的b∈ M*,a+b=p2-m2+b≥p2,故恒 有a+b∈P*,正确.故选B. 素养检测:1.6 解析:由题意知这3个元素一定是连续 的3个整数,故不含“好元素”的集合有 {1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6}, {5,6,7},{6,7,8},共6个. 2.0或1或4 解析:因为B = {x|ax2 =1,a≥0}, 若a=0,则B = ⌀,满足B 为A 的真 子集,此时A 与B构成“全食”;若a>0, 则B= x x2 = 1 a = -1a,1a . 若A 与B 构 成“全 食”或“偏 食”,则 1 a =1或 1 a = 1 2 ,解得a=1或a= 4.综上,a 的值为0或1或4. 1.2 常用逻辑用语 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.充分 必要 充分不必要 必要不 充分 充要 既不充分也不必要 2.(1)∀ ∃ (2)∀x ∈M,p(x) (3)∃x ∈M,p(x) 3.∃x∈M,􀱑p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 基础检测 1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 2.既不充分也不必要 解析:若ab>1,当a = -2,b= -1 时,不能得到a > 1 b ,若a > 1 b ,当 a=1,b= -1时,不能得到ab>1,故 “ab>1”是“a> 1 b ”的既不充分也不 必要条件. 3.a∈ (-∞,1) 解析:依题意得a-1<0,∴a<1. 4.存在一个等边三角形,它不是等腰三 角形 解析:含有一个量词的命 题 的 否 定 规 律是“改量词,否结论”. 5.AC 对于A,∀x ∈R,-x2 ≤0,所 以-x2-1<0,故A是全称量词命题 且为真 命 题;对 于 B,当 m =0时, nm =m 恒成立,故B是存在量词命题 且为真命题;对于C,任何一个圆的圆 心到切线的距离都等于半径,故C是全 称量词命题且为真命题;对于D,因为 x2-2x+3= (x-1)2+2≥2,所以 1 x2-2x+3 ≤ 1 2 < 3 4 ,故D是存在 量词命题且为假命题.故选AC. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)B 由a2 =b2,则a = ±b,当 a= -b≠0时,a2+b2=2ab不成立, 充分性不成 立;由a2 +b2 =2ab,则 (a-b)2=0,即a=b,显然a2=b2成 立,必 要 性 成 立.所 以 “a2 =b2”是 “a2+b2=2ab”的必要不充分条件,故 选B. (2)C 解法1:充分性:因为xy ≠0, 且x+y =0,所以x = -y, 所以 x y + y x = -y y + y -y = - 1- 1= -2,所以充分性成立; 必要性:因 为xy ≠0,且 x y + y x = -2, 所以x2+y2 = -2xy,即x2+y2+ 2xy =0,即(x +y)2 =0,所以x + y =0,所以必要性成立. 所以“x+y=0”是“ x y + y x = -2 ”的 充要条件. 解法2:充分性: 因为xy≠0,且x+ y =0, 所以 x y + y x = x2+y2 xy = x2+y2+2xy-2xy xy = -2xy xy = -2,所以充分性成立; 必要性:因 为xy ≠0,且 x y + y x = -2, 所以 x y + y x = x2+y2 xy = x2+y2+2xy-2xy xy = (x+y)2-2xy xy = (x+y)2 xy - 2= -2, 所以 (x+y)2 xy = 0,所以(x+y)2=0, 所以x+y =0,所以必要性成立. 所以“x+y=0”是“ x y + y x = -2 ”的 充要条件.故选C. 对点训练1:(1)B 当sin2α+sin2β=1 时,例 如α = π 2 ,β =0,但sin α + cos β≠0,即sin2α+sin2β=1推不出 sin α+cos β=0;当sin α+cos β=0 时,sin2α +sin2β = (-cos β)2 + sin2β =1,即sin α+cos β=0能推出 sin2α+sin2β=1.综上可知,甲是乙的 必要条件但不是充分条件.故选B. (2)BD 由 题 意 知 p⇒q⇐r⇔s,p ⇒ r,r ⇒p,所以s是q 的充分不必要条 件,r是q的充分不必要条件,q 是s的 必要不充分条件,p 是s的既不充分也 不必要条件,故B,D正确.故选BD. 例2:(1)x =0,y =2(答案不唯一) 解析:根据充分不必要条件的定义,只 需找出一组满足不等式 的 值 即 可,不 妨令x =0,y=2,而x+y≥0不能 推 出 该 组 值,故 符 合 要 求.(答 案 不 唯一) (2)解:由题意,得集合A = {x|-2< x <5}. 若选择条件①:“x∈A”是“x∈B”成 立的充分不必要条件,则A 是B 的真 子集. 所以 m >0, 2-m ≤-2, 2+m ≥5. 解得m ≥4, 所以实数m 的取值范围是[4,+∞). 若选择条件 ②:因为“x ∈A”是“x ∈ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -440- 参 考 答 案 B”成立的必要不充分条件,所以B 是 A 的真子集. 所以 m >0, 2-m >-2, 2+m <5, 解得0<m <3, 所以实数m 的取值范围是(0,3). 对点训练2:(1) 12 ,1 解析:由|x-2m|<1,即-1<x- 2m <1,解得2m-1<x<1+2m,因 为“1<x <2”是“|x-2m|<1”的 充分不必要条件,所以(1,2)真包含于 (2m-1,1+2m),所以 1+2m ≥2, 2m-1≤1 (等号不能同时取得),解得1 2 ≤m ≤ 1,所以实数m 的取值范围为 12 ,1 . (2)0,12 解析:p 对 应 的 集 合 A = {x|y = ln(2x-1)≤0}= x 1 2 <x≤1 ,q 对应的集 合 B = {x|(x -a)[x - (a+1)]≤0}= {x|a≤x≤a+1}. 由q是p 的必要不充分条件,知 A ⫋ B,所以a≤ 1 2 且a+1≥1,因此0≤ a≤ 1 2. 例3:B 由题图可知B ⫋A,且A,B 非 空,则根 据 子 集 的 定 义 可 得,对 于 A, ∃x ∉ A,x ∈ B 不 正 确;对 于 B, ∀x ∉A,x ∉B 正确;对于C,∃x ∈ B,x ∉A 不正确;对于D,∀x ∉B, x ∈A 不正确.故选B. 对点训练3:C 对于A,取 M = {1,2}, N = {1},满足 M ∩N ≠ ⌀,而2∈ M,2∉N,A错误;对于B,取M = {1, 2},N ={1},满足M ∩N≠⌀,而1∈ M,1∈N,B错误;对于C,根据集合交 集的定义可知 ∃x ∈M,x ∈N,故C 正确;对于D,取M ={1},N ={1,2}, 满足 M ∩N ≠ ⌀,但 ∃x ∈M,x ∉ N 不成立,D错误.故选C. 例4:(1)∃x <0,x+ 1 x ≥-2 解析:命题“∀x<0,x+ 1 x <-2 ”为 全称量词命题,该命题的否定为“∃x < 0,x+ 1 x ≥-2 ”. (2)∀x ∈R,x+2>0 解析:命题p:“∃x∈R,x+2≤0”为 存在 量 词 命 题,其 否 定 为“∀x ∈ R, x+2>0”. 对点训练4:(1)∀x ≤3,|x-2|>1 (2)∃a∈R,一元二次方程x2-ax- 1=0无实根 假 解析:由题意得命题p的否定是∃a∈ R,一元二次方程x2-ax-1=0无实 根,由于Δ =a2+4>0恒成立,故对 任意实数a,方程都有实根,故命题p 的否定为假命题. 例5:(1)-3<m ≤0 解析:由 题 意 得 命 题 “∃x ∈ R,使 mx2-mx - 3 4 ≥0 ”是 假 命 题,故 “∀x∈R,使mx2-mx- 3 4 <0 ”是 真命题,当m=0时,- 3 4 <0 成立,若 m ≠0,则 m <0且Δ =m2-4m × - 34 <0,解得-3<m <0,综上 得 -3<m ≤0. (2)23 解析:因 为 ∀x ∈ R,3x2 -2 2x + a≥0,于是Δ= (22)2-12a≤0,解 得a≥ 2 3 ,所以实数a的最小值是23. 对点训练5:(1)(-∞,0] 解析:命题p:∃x∈[1,4], a x +x>4 是假命题,即命题 ∀x ∈ [1,4], a x + x≤4是真命题,也即a≤-x2+4x在 [1,4]上 恒 成 立,令f(x)= -x2 + 4x = -(x-2)2+4,因为x∈[1,4], 所以 当 x =4时 函 数 取 最 小 值,即 f(x)min =f(4)=0,所以a≤0,故a 的取值范围是(-∞,0]. (2)(-∞,1) 解析:若∀x∈R,a<3x2 024+1为真 命题,等价于a< (3x2 024+1)min, ∵x2 024 ≥0,当且仅当x =0时, 等号 成立,∴3x2 024 +1≥1,即(3x2 024 + 1)min =1,可得a<1,故实数a的取值 范围是(-∞,1). 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)A 因为1×3>0,1+3≠ 2,又四个命题三真一假,故甲、乙必有 一个是假,由 甲 为 假 易 知,符 合 题 意, 由乙为假推出矛盾.故选A. (2)乙 解析:四人供词中,乙、丁意见一致,或 同真或同假,若 同 真,即 丙 偷 的,而 四 人有两人说的是真话,甲、丙说的是假 话,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中” 是假话,即乙、丙、丁没偷,相互矛盾; 若同假,即 不 是 丙 偷 的,则 甲、丙 说 的 是真话,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人 之中”,丙说:“甲、乙两 人 中 有 一 人 是 罪犯”是真话,可知罪犯是乙. 素养检测:1.丙 解析:由题意可知甲和丙互相矛盾,故 两个命题必然一真一假;又 因 为 只 有 一个假命题,所以乙和丁都为真命题; 根据 乙 和 丁 可 知I = (a,+ ∞)⊆ (1,+∞),故丙为假命题. 2.甲、丙或甲、乙 解析:∵“甲预测说:我不会获奖,丙获 奖”,而 “丙 预 测 说:甲 的 预 测 是 对 的”,∴ 甲和丙的预测要么同时与结果 相符,要么同时与结果不符,若甲和丙 的预测同时与结果相符,则 获 奖 者 为 乙、丙或丙、丁,丁 或 乙 预 测 也 与 结 果 相符,这与“四人的预测中有两人的预 测与结果相符,另外两 人 的 预 测 与 结 果不符”相矛盾,故错误;若甲和丙的 说法同时与结果不符,则乙、丁的预测 成立,所以甲获奖,丁不获奖;丙获奖, 乙不获奖或乙获奖,丙不获奖.即获奖 的两人为甲、丙或甲、乙. 1.3 等式性质与不等式性质 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)① > ② = ③ < (2)① > ② = ③ < 2.(1)b=a (2)a=c (3)a±c=b±c (4)ac=bc (5) a c = b c 3.b<a b>a a>c a<c ac> bc ac<bc a+c>b+d ac>bd 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 2.M >N 解析:∵M -N = (2x2+7x +6)- (x+1)(x+4)= (2x2+7x+6)- (x2+5x+4) =x2+2x+2= (x+ 1)2+1>0,∴M >N. 3.(答案不唯一)1 2 解析:因为命题“若a,b,m 均为正数, 则 b+m a+m < b a ”是真命题,所以b a - b+m a+m = (b-a)m a(a+m)> 0,因为a,b,m 均为正数,所以可得0<a<b,不妨取 a=1,b=2.(答案不唯一) 4.(-7,12) 解析:∵-3<b<5, ∴-6<2b<10,又 -1<a<2, ∴-7<a+2b<12. 5.ABD 对于A,∵a>b>0,c<0, ∴b-a <0,ab >0,∴ c a - c b = bc-ac ab = c(b-a) ab >0 ,即c a > c b , 故A正确;对于B,∵a >b>0,c< 0,∴ac<bc,故B正确;对于C,取a= 2,b=1,c= -3,则a=2<b-c= 4,故C错误;对于D,∵a>b>0,c< 0,∴b-a <0,∴a(b-c)-b(a- c)=ab-ac-ab+bc=c(b-a)> 0,即a(b-c)>b(a-c),故D正确. 故选ABD. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:12 解析:根据题意,设多的3群狗中每群 有x 条狗,则少的1群狗有(300-3x) 条,则 有 300-3x >0 , 300-3x <x, 解 得 75< x<100,因为x为奇数,所以x可取的 值有77,79,81,…,99,共12个,则有12 种分法. 对点训练1:A >B 解析:设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格 分别为x 元、y 元,则 2x+y>8, 4x+5y<22, 又2x=A,3y=B,所以x= A 2 ,y= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -441-