1.1 集合-(讲义)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(基础版)

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合 5A>! 1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,了 解全集与空集的含义. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 3.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的 含义,能求给定子集的补集. 4.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用. AMc
-  -@) 1.集合的概念 (1)集 合 中 元 素 的 三 个 特 征: 、 、 . (2)元素与集合的关系是 或 两种,用符号 或 表示. (3)集合的表示法: 、 、 . (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 " N为自然数集(即非负整数集),包含0,而 N* 和N+ 的含义是一样的,表示正整数集,不包含0. 2.集合的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集 合A 中 都是集合B 中的元素,就称 集合A 为集合B 的子集,记作 (或 B ⊇A). (2)真子集:如果集合A ⊆B,但存在元素 x∈B,且 ,就称集合A 是集合B 的 真子集,记作 (或B ⫌A). (3)相等:若A ⊆B,且 ,则A=B. (4)空集:不含任何元素的集合叫做空集,记 为 ⌀,空集是 的子集,是 的真子集. 3.集合的基本运算 并集 交集 补集 图形 表示 符号 表示 A ∪B= A ∩ B = {x|x∈A, 且x ∈B} ∁UA ={x|x ∈ U,且x ∉A} 性质 A∪⌀=A; A ∪A=A; A ∪B= B ∪A; A ∪B=A ⇔ A∩⌀=⌀; A ∩A=A; A ∩B= B ∩A; A ∩B=A ⇔ A ∪ (∁UA)=U; A ∩ (∁UA)= ; ∁U(∁UA)= ; ∁U(A ∩B)= (∁UA)∪(∁UB); ∁U(A ∪B)= (∁UA)∩ (∁UB) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 001 hhh 4.区分下列集合的表示含义 集 合 {x|f(x)=0}{x|f(x)>0} {x|y= f(x)} {y|y= f(x)} {(x,y)|y= f(x)} 含 义 方程f(x)= 0的解集 不等式f(x) >0的解集 函数 y = f(x) 的 定义域 函数 y = f(x) 的 值域 函 数 y = f(x)图 象 上的点 常用结论与知识拓展 1.若有限集A 中有n个元素,则A 的子集有2n 个, 真子集有2n -1个,非空子集有2n -1个,非空真子集 有2n -2个. 2.A ⊆B⇔A ∩B=A⇔A ∪B=B⇔(∁UA)⊇ (∁UB)⇔A ∩ (∁UB)=⌀. 3.用card(A)表示有限集合A 中元素的个数.对 任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+ card(B)-card(A ∩B). -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)任何一个集合都至少有两个子集.( ) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x, y)|y=x2+1}. ( ) (3)若{x2,1}={0,1},则x=0或x=1. ( ) (4)集合{(2,3)}与集合{(3,2)}表示同一 集合. ( ) (5)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组 成的集合是{(1,4)}. ( ) 2.(教材改编题)设全集为R,A={x|3≤x< 7},B={x|2<x <10},则∁R(A ∪B)= ,(∁RA)∩B= . 3.(教材改编题)已知集合A ={m +2,2m2+ m},若3∈A,则m 的值为 . 4.已知全集为R,集合M ={x|-3<x <3}, N ={x|x ≥a},并且M ⊆ ∁RN,则a的取 值范围是 . 5.(多选题)已知集合M ={x|x-a=0},N= {x|ax-1=0},若M ∩N=N,则实数a的 值可以为 ( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A /c5%1@ 考点1 集合的含义与表示 【例1】 (1)如果集合A={x|ax2+ax+1=0} 至多有 一 个 元 素,则 实 数a 的 取 值 范 围 是 . (2)(2023·山东滨州联考)已知集合A={a+ 2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则2 023a 的值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素 是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合; 然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么, 从而准确把握集合的含义;利用集合元素的限制条 件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意 检验集合中的元素是否满足互异性. 【对点训练1】 (1)设集合A={x|(x-a)2< 1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为 . (2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=0, b a ,b ,则 a2 023+b2 024= . 考点2 集合间的基本关系 【例2】 (1)已知集合A= x x= kπ 2 ,k∈Z , B= x x= π 2+nπ ,n∈Z . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 002 @第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 ① 分别判断元素-2π, 2 023π 2 与集合A,B 的关系; ②判断集合A 与集合B 的关系并说明理由. (2)已知集合A={1,m},B={0,m+1,m- 1},A ⊆B,则实数m 的值为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.判断两集合关系的常用方法:一是元素特征 法:即先化简集合,再从表达式中寻找两集合的关 系;二是列举法:表示各集合,一一列举元素观察关 系;三是利用Venn图或数轴法表示集合间的关系. 2.已知两个集合间的关系求参数时,对子集是 否为空集要进行分类讨论,若集合元素是一一列举 的,根据集合间的关系,转化为方程(组)求解,此时 注意集合中元素的互异性.若集合表示的是不等式 的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需 注意端点值能否取到.若不等式或方程最高次系数 含参数,则需讨论参数是否为零. 【对点训练2】 (1)(2023·新课标Ⅱ卷改编)设 集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若 A ⊆B,则a= . (2)已知集合A={1,3,a},B={1,a},若B⊆ A,则a= . 考点3 集合的运算 命题角度1 集合的运算 【例3】 (1)(2023·全国乙卷)设全集U={0,1, 2,4,6,8},集合M ={0,4,6},N ={0,1,6}, 则M ∪ (∁UN)= ( ) A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U (2)(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M = {x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x| x ≥2}= ( ) A.∁U(M ∪N) B.N ∪ (∁UM) C.∁U(M ∩N) D.M ∪ (∁UN) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 集合基本运算的求解策略 首先看集合能否化简,能化简的先化简.当集合 是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元 素进行运算,也可借助Venn图运算;当集合是用不 等式表示时,可运用数轴求解.对于端点处的取舍, 可以单独检验. 记忆口诀:交集元素仔细找,属于A 且属于B; 并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集U 是大范 围,去掉U 中A 元素,剩余元素成补集. 【对点训练3】 (1)(2023· 湖北武汉江汉区摸 底)已知集合U={2,3,4,5,7},A={2,3}, B={3,5,7},则A ∩ (∁UB)= . (2)(2023·山东济南摸底)设集合 A ={x| x2<9},B={-2,0,2,3},则A ∪B= ( ) A.{x|-3<x <3} B.{x|-3<x ≤3} C.{x|x ≤3} D.{-2,0,2} 命题角度2 利用集合的运算求参数的值(范围) 【例4】 (1)设集合A={x|1<x <2},B= {x|x >a},若A ∩B =A,则a 的范围 是 . (2)集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x| 1<x<5,x∈R}.若A∩B=⌀,则实数 a的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 003 hhh 利用集合的运算求参数的方法 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间 的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得 到不同集合中元素之间的关系;若集合中的元素是 用不等式(组)表示的,则一般利用数轴解决,要注意 端点值能否取到. (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不 等式(组)问题求解. (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围. 【对点训练4】 (1)(2023·福建德化一中模拟) 已知集合M ={x∈Z|x2-2x≤0},N = {x|x≥a},若M ∩N 有且只有2个元素, 则a的取值范围是 . (2)已知集合A={-2,1} ,B={x|ax=2},若 A ∩B =B,则实数a 的值组成的集合 为 . 命题角度3 抽象集合的运算 【例5】 (1)若A,B,C 为三个集合,A ∪B = B ∩C,则一定有 ( ) A.A ⊆C B.C⊆A C.A ≠C D.A ≠ ⌀ (2)(2024·天津一中模拟)某班共48人,其中 25人喜爱篮球运动,20人喜爱乒乓球运动, 16人对这两项运动都不喜爱,则既喜爱篮球 运动又喜爱乒乓球运动的人数为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 涉及抽象集合的运算问题,可利用集合的包含 关系或者画出Venn图,结合Venn图求解. 【对点训练5】 (1)已知集合 U=R,集合A={x|x≥ 4或x≤0},B={x|x> 4或x ≤-2},则图中阴影部分表示的集合 为 . (2)“四书五经”是中国传统文化瑰宝,是儒家思 想的核心载体,其中“四书”指《大学》《中 庸》《论语》《孟子》.某大学为了解本校学生 阅读“四书”的情况,随机调查了200位学 生,其中阅读过《大学》的有60位,阅读过 《论语》的有160位,阅读过《大学》或《论语》 的有180位,阅读过《大学》且阅读过《论语》 及《中庸》的有20位.则该校阅读过《大学》 及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与 该校学生总数比值的估计值是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋  >Fe2 数学探索背景下的“集合的新定义”问题 【题目呈现】 (1)定义集合运算:A +B= {z|z=x+y,x ∈A,y∈B},设A={1,2}, B={1,2,3},则集合A +B 的所有元素之和 为 . (2)对于非空实数集A,记A*={y|∀x∈ A,y≥x},设非空实数集M ⊆P,若m >1,则 m ∉P.现给出以下命题: ① 对于任意给定符合题设条件的集合 M, P,必有P* ⊆M *; ② 对于任意给定符合题设条件的集合 M, P,必有M * ∩P ≠ ⌀; ③ 对于任意给定符合题设条件的集合 M, P,必有M ∩P* =⌀; ④ 对于任意给定符合题设条件的集合 M, P,必存在常数a,使得对任意的b∈M *,恒有 a+b∈P*. 其中正确的命题是 ( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 004 @第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 【素养解读】 解决以集合为背景的新定义 问题,要抓住两点: ① 准确转化.解决新定义问题时,一定要读 懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合 题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或 定义相混淆. ② 方法选取.对于新定义问题,可恰当选用 特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合 集合的相关性质求解. 2" 1.给 定 集 合 S = {1,2,3,4,5,6,7,8},对 于 x ∈S,如果x+1∉S且x-1∉S,那么x 是S 的一个“好元素”,由S 的3个元素构成 的所有集合中,不含“好元素”的集合共有 个. 2.(2023·湖南长沙模拟)若一个集合是另一个 集合的子集,称两个集合构成“全食”;若两个 集合有公共元素,但互不为对方子集,则称两 个集合构成“偏食”.对于集合A = -1,12, 1 ,B={x|ax2=1,a≥0},若两个集合构成 “全食”或“偏食”,则a的值为 . 学习至此,请完成课时作业1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.2 常用逻辑用语 5A>! 1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件、充分条件、充要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关 系、判定定理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词与存在量词的意义.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词 对存在量词命题进行否定. AMc
-  -@) 1.充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q,则 p 是q 的 条件,q 是p 的 条件 p 是q的 条件 p⇒q且q ⇒p p 是q的 条件 p ⇒q且q⇒p p 是q的 条件 p⇔q p 是q的 条件 p ⇒q且q ⇒p 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词有:所有的、任意一个、任给一 个、每一个、一切等,用符号“ ”表示;存在 量词有:存在一个、至少有一个、有些、有一 个、 有的、某一个等,用符号“ ”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称量词命 题.“对M 中任意一个x,p(x)成立”用符号 简记为 . (3)含有存在量词的命题,叫做存在量词命 题.“存在M 中的元素x,p(x)成立”用符号 简记为 . 3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x ∈M,p(x) ∃x ∈M,p(x) " 含有一个量词的命题的否定规律是“改量 词,否结论”. 全称量词命题的否定是存在量词命 题,存在量词命题的否定是全称量词命题;对省略了 全称量词的命题否定时,要对原命题先加上全称量 词再对其进行否定. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 005 参 考 答 案 ! 第一章 集合、常用逻辑 用语与不等式 1.1 集合 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法 图示法 (4)N N*(或N+) Z Q R 2.(1)任意一个元素 A ⊆B (2)x ∉A A ⫋B (3)B ⊆A (4)任何集合 任何非空集合 3.{x|x∈A,或x∈B} B⊆A A⊆ B ⌀ A 基础检测 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.{x|x≤2或x≥10} {x|2<x< 3或7≤x <10} 解析:把集合A,B 在数轴上表示如图. 由图知,A ∪B = {x|2<x <10}, 所以 ∁R(A∪B)= {x|x≤2或x≥ 10},因为∁RA={x|x<3或x≥7}, 所以(∁RA)∩B = {x|2<x<3或 7≤x <10}. 3.- 3 2 解析:当 m +2=3时,m =1,此时, m+2=2m2+m =3,故舍去; 当2m2+m =3时,解 得 m = - 3 2 (m =1舍去),经检验符合题意. 4.a≥3 解析:由题意得∁RN ={x|x<a},又 M = {x|-3<x<3},M ⊆∁RN,所 以a≥3. 5.ABC 由M ∩N =N,得N ⊆M,当 N =⌀时,a=0;当N ≠⌀时, 1 a = a,解得a= ±1,故a的值为±1,0.故 选ABC. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)0≤a≤4 解析:若a =0,此时A = ⌀,符合题 意;若a≠0,要使集合至多有一个元 素,则Δ=a2-4a≤0,故0<a≤4. 综上,0≤a≤4. (2)1 解析:① 若a+2=1,即a = -1,则 (a+1)2 =0,a2+3a+3=1,不满足 集合中元素的互异性; ② 若(a+1)2=1,则a= -2或a=0, 当a= -2时,则a+2=0,a2+3a+ 3=1,不满足集合中元素的互异性; 当a=0时,则a+2=2,a2+3a+3= 3,满足题意; ③ 若a2+3a+3=1,则a = -1或 a= -2,由 ①②,可知均不满足集合 中元素的互异性.综上,实数a 的值为 0,故2 023a 的值为1. 对点训练1:(1)(1,2] 解析:由 题 意 得 (2-a)2 <1, (3-a)2 ≥1, 解 得 1<a<3, a≤2或a≥4. 所以1<a≤2. (2)0 解析:由题意知a≠0,因为{1,a+b, a}= 0, b a ,b .所以a+b =0,则 b a = -1 ,所 以a = -1,b =1.故 a2 023+b2 024 = -1+1=0. 例2:(1)解:① 解法1:令 -2π= kπ 2 ,得 k= -4∈Z,故-2π∈A; 令 -2π= π 2+nπ ,得n= - 5 2 ∉Z , 故-2π∉B. 同理,令2 023π 2 = kπ 2 ,得k=2 023∈ Z,故2 023π 2 ∈A ; 令2 023π 2 = π 2 +nπ ,得n=1 011∈ Z,故2 023π 2 ∈B. 解法2:由题意得 A = x x = kπ 2 ,k∈Z , B = x x = (2n+1)π 2 ,n∈Z , 又-2π= - 4π 2 ,故-2π∈A,-2π∉ B;2 023π 2 ∈A , 2 023π 2 = (2×1 011+1)π 2 ∈B. ② 解法1:由 ① 得-2π∈A,-2π∉ B,故A ≠B. 又 ∀x ∈ B,x = π 2 + n0π = (2n0+1)π 2 , 由n0∈Z,得k=2n0+1∈Z,故x∈A, 所以∀x∈B,都有x∈A,即B⊆A,又 A≠B, 所以B ⫋A. 解法2:由题意得 A = x x = kπ 2 ,k∈Z = x x 是π2 的整数倍 , B = x x = (2n+1)π 2 ,n∈Z = x x 是π2 的奇数倍 , 因为奇数集是整数集的真子集,所以 集合B 是集合A 的真子集,即B⫋A. (2)0 解析:∵A ⊆B,∴m =0或m =m+ 1(不可能,舍去)或 m = m -1(不可 能,舍去),经检验符合题意. 对点训练2:(1)1 解析:因为A⊆B,则有:若a-2=0, 解得a=2,此时A = {0,-2},B = {1,0,2},不符合题意;若2a-2=0,解 得a =1,此 时 A = {0,-1},B = {1,-1,0},符 合 题 意;综 上 所 述, a=1. (2)0或3 解析:因为B ⊆A,所以a=3或a= a,若a=3,则A = {1,3,3},B = {1,3},满足B⊆A;若a= a,则a= 0或a=1,当a=0时,A = {1,3,0}, B = {1,0},满足B ⊆A;当a=1时, a =1,集合A,B 不满足元素的互异 性,不 符 合 题 意.综 上 所 述,a =0或 a=3. 例3:(1)A 由题意可得∁UN = {2,4, 8},则M ∪(∁UN)= {0,2,4,6,8},故 选A. (2)A 由 题 意 可 得 M ∪ N = {x| x <2},则∁U(M ∪N)= {x|x ≥ 2},故A正确;∁UM = {x|x≥1},则 N ∪ (∁UM)= {x|x>-1},故B错 误;M ∩N = {x|-1<x <1},则 ∁U(M ∩N)= {x|x ≤-1或x ≥ 1},故C错误;∁UN = {x|x ≤-1或 x ≥2},则M ∪(∁UN)= {x|x<1 或x ≥2},故D错误.故选A. 对点训练3:(1){2} 解析:由 题 意 得∁UB = {2,4},A ∩ (∁UB)= {2}. (2)B 因 为 A = {x|x2 <9}= {x|-3<x<3},B = {-2,0,2,3}, 所以A∪B={x|-3<x≤3},故选B. 例4:(1)a≤1 解析:因为A ∩B =A,所以A ⊆B, 因为A={x|1<x<2},B={x|x> a},所以a≤1. (2)a≤0或a≥6 解析:∵|x-a|<1,∴a-1<x< a+1,∵A ∩B = ⌀,∴a+1≤1或 a-1≥5,即a≤0或a≥6. 对点训练4:(1)0<a≤1 解析:M = {x ∈Z|x2-2x ≤0}= {x ∈ Z|x(x -2)≤0}= {0,1, 2},∵M ∩ N 有 且 只 有 2 个 元 素,∴0<a≤1. (2){0,-1,2} 解析:因为A∩B=B,故B⊆A,已知 A = {-2,1}的子集有 ⌀,{-2},{1}, {-2,1},当B = ⌀ 时,显然有a=0; 当B = {-2}时,-2a=2⇒a= -1; 当B = {1}时,a·1=2⇒a =2;当 B = {-2,1}时,a不存在,所以实数a 的值组成的集合为{0,-1,2}. 例5:(1)A ∵A∪B=B∩C,∴A∪B ⊆B,B⊆B∩C,∴A⊆B,B⊆C,即 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -439- hhh A ⊆ B ⊆ C.对 于 A,∵A ⊆ B ⊆ C,∴A ⊆C,A正确;对于B,当且仅当 A =B=C时,C⊆A,B错误;对于C, 当A =B =C 时,满足A⊆B⊆C,C 错误;对于D,当A = ⌀ 时,满足A ⊆ B ⊆C,D错误.故选A. (2)13 解析:某班共48人,其中25人喜爱篮 球运动,20人喜爱乒乓球运动,16人对 这两项运动 都 不 喜 爱,设 两 项 运 动 都 喜爱的人数为x,作出Venn图, 可得25-x+x+20-x+16=48, 解得x =13,则既喜爱篮球运动又喜 爱乒乓球运动的人数为13. 对点训练5:(1){x|-2<x≤0或x=4} 解析:因为A = {x|x≥4或x≤0}, B = {x|x>4或x≤-2},所以A∪ B = {x|x≥4或x≤0}∪{x|x> 4或x≤-2}= {x|x≥4或x≤0}, A∩B= {x|x≥4或x≤0}∩{x| x >4或x ≤-2}= {x|x >4或 x ≤-2}.由题意可知阴影部分表示的 集合为(∁U(A ∩B))∩ (A ∪B),所 以∁U(A ∩B)= {x|-2<x ≤4}, (∁U(A ∩B))∩ (A ∪B)= {x| -2<x ≤0或x =4}. (2)0.1 解析:如 图,阅 读 过《大 学》且 阅 读 过 《论语》的人数是160+60-180=40, 阅读过《大 学》及《论 语》但 未 阅 读 过 《中庸》的学生人数是40-20=20,故 由样 本 估 计 总 体,可 得 所 求 比 值 为 20 200=0.1. 􀪋􀪋􀪋􀪋  􀪋􀪋􀪋􀪋 题目呈现:(1)14 解析:由题设知 A +B = {2,3,4,5}, ∴ 所有元素之和为2+3+4+5=14. (2)B 由已知,A* 为不小于集合A 中 最大值的所有实数构成的集合.① 因 为 M ⊆P,设集合 M 和P 中最大值分 别为m1和p1,则p1≥m1,故有P* ⊆ M*,正确;② 设 M =P = {x|0< x <1},则 M* = {x|x ≥1},故 M* ∩P = ⌀,错误;③ 设 M =P = {x|0<x ≤1},则P* = {x|x ≥ 1},故 M ∩P* ≠ ⌀,错误;④ 设集合 M* 与集合P* 中最小值分别为m2 和 p2,令a=p2-m2,则对任意的b∈ M*,a+b=p2-m2+b≥p2,故恒 有a+b∈P*,正确.故选B. 素养检测:1.6 解析:由题意知这3个元素一定是连续 的3个整数,故不含“好元素”的集合有 {1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6}, {5,6,7},{6,7,8},共6个. 2.0或1或4 解析:因为B = {x|ax2 =1,a≥0}, 若a=0,则B = ⌀,满足B 为A 的真 子集,此时A 与B构成“全食”;若a>0, 则B= x x2 = 1 a = -1a,1a . 若A 与B 构 成“全 食”或“偏 食”,则 1 a =1或 1 a = 1 2 ,解得a=1或a= 4.综上,a 的值为0或1或4. 1.2 常用逻辑用语 􀪋􀪋 必备知识回顾 􀪋􀪋 知识梳理 1.充分 必要 充分不必要 必要不 充分 充要 既不充分也不必要 2.(1)∀ ∃ (2)∀x ∈M,p(x) (3)∃x ∈M,p(x) 3.∃x∈M,􀱑p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 基础检测 1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 2.既不充分也不必要 解析:若ab>1,当a = -2,b= -1 时,不能得到a > 1 b ,若a > 1 b ,当 a=1,b= -1时,不能得到ab>1,故 “ab>1”是“a> 1 b ”的既不充分也不 必要条件. 3.a∈ (-∞,1) 解析:依题意得a-1<0,∴a<1. 4.存在一个等边三角形,它不是等腰三 角形 解析:含有一个量词的命 题 的 否 定 规 律是“改量词,否结论”. 5.AC 对于A,∀x ∈R,-x2 ≤0,所 以-x2-1<0,故A是全称量词命题 且为真 命 题;对 于 B,当 m =0时, nm =m 恒成立,故B是存在量词命题 且为真命题;对于C,任何一个圆的圆 心到切线的距离都等于半径,故C是全 称量词命题且为真命题;对于D,因为 x2-2x+3= (x-1)2+2≥2,所以 1 x2-2x+3 ≤ 1 2 < 3 4 ,故D是存在 量词命题且为假命题.故选AC. 􀪋􀪋 关键能力提升 􀪋􀪋 例1:(1)B 由a2 =b2,则a = ±b,当 a= -b≠0时,a2+b2=2ab不成立, 充分性不成 立;由a2 +b2 =2ab,则 (a-b)2=0,即a=b,显然a2=b2成 立,必 要 性 成 立.所 以 “a2 =b2”是 “a2+b2=2ab”的必要不充分条件,故 选B. (2)C 解法1:充分性:因为xy ≠0, 且x+y =0,所以x = -y, 所以 x y + y x = -y y + y -y = - 1- 1= -2,所以充分性成立; 必要性:因 为xy ≠0,且 x y + y x = -2, 所以x2+y2 = -2xy,即x2+y2+ 2xy =0,即(x +y)2 =0,所以x + y =0,所以必要性成立. 所以“x+y=0”是“ x y + y x = -2 ”的 充要条件. 解法2:充分性: 因为xy≠0,且x+ y =0, 所以 x y + y x = x2+y2 xy = x2+y2+2xy-2xy xy = -2xy xy = -2,所以充分性成立; 必要性:因 为xy ≠0,且 x y + y x = -2, 所以 x y + y x = x2+y2 xy = x2+y2+2xy-2xy xy = (x+y)2-2xy xy = (x+y)2 xy - 2= -2, 所以 (x+y)2 xy = 0,所以(x+y)2=0, 所以x+y =0,所以必要性成立. 所以“x+y=0”是“ x y + y x = -2 ”的 充要条件.故选C. 对点训练1:(1)B 当sin2α+sin2β=1 时,例 如α = π 2 ,β =0,但sin α + cos β≠0,即sin2α+sin2β=1推不出 sin α+cos β=0;当sin α+cos β=0 时,sin2α +sin2β = (-cos β)2 + sin2β =1,即sin α+cos β=0能推出 sin2α+sin2β=1.综上可知,甲是乙的 必要条件但不是充分条件.故选B. (2)BD 由 题 意 知 p⇒q⇐r⇔s,p ⇒ r,r ⇒p,所以s是q 的充分不必要条 件,r是q的充分不必要条件,q 是s的 必要不充分条件,p 是s的既不充分也 不必要条件,故B,D正确.故选BD. 例2:(1)x =0,y =2(答案不唯一) 解析:根据充分不必要条件的定义,只 需找出一组满足不等式 的 值 即 可,不 妨令x =0,y=2,而x+y≥0不能 推 出 该 组 值,故 符 合 要 求.(答 案 不 唯一) (2)解:由题意,得集合A = {x|-2< x <5}. 若选择条件①:“x∈A”是“x∈B”成 立的充分不必要条件,则A 是B 的真 子集. 所以 m >0, 2-m ≤-2, 2+m ≥5. 解得m ≥4, 所以实数m 的取值范围是[4,+∞). 若选择条件 ②:因为“x ∈A”是“x ∈ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -440-