精品解析：江苏省常州市第一中学2013-2014学年高二下学期期中数学试题（普通班）

常州市第一中学2013－2014学年度第二学期阶段学习质量检测 高二年级数学试卷（普通班） 参考公式：球的表面积公式：，其中R为球的半径 锥体的体积公式： 一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应的位置上. 1. 命题“，”的否定是___________. 【答案】， 【解析】 【分析】 由特称命题的否定为全称命题，即可得解. 【详解】命题“，”为特称命题，由特称命题的否定为全称命题 所以命题“，”的否定是：， 故答案为：， 2. 若是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为______. 【答案】24 【解析】 【分析】根据方程可知，利用椭圆的定义运算求解. 【详解】如图所示： 根据椭圆方程可知， 因为点A，B在椭圆上， 所以的周长为 . 故答案为：24. 3. 在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为______． 【答案】36π 【解析】 【分析】如图，正方体外接球的半径为，结合勾股定理和球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图， 设该正方体外接球的半径为R， 则， 所以该正方体外接球的表面积为． 故答案为： 4. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的_________条件.（既要说明充分性，又要说明必要性） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据两条直线的位置关系结合充分必要定义判断即可. 【详解】两条直线为异面直线可以得出这两条直线没有公共点，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分条件； 若两条直线没有公共点则两条直线为异面直线或是平行直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的不必要条件； 故答案为：充分不必要. 5. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆方程的特征得到不等式，求出实数k的取值范围. 【详解】，解得， 故实数k的取值范围是. 故答案为： 6. 若是不等式成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】解绝对值不等式，结合集合间的包含关系及充分不必要条件的定义计算即可. 【详解】易知， 因为是不等式成立的充分不必要条件， 所以且等号不能同时取得，解之得， 经检验：等号不能同时取得，显然符合题意. 故答案为： 7. 用反证法证明命题“若，则、都不为0”时，反设成：___________. 【答案】若，假设，不都为0 【解析】 【分析】根据反证法思想，写出原命题证明中的假设条件即可. 【详解】由反证法思想：否定原结论，推出矛盾， 所以题设命题的证明，应假设，有、至少有一个为0. 故答案为：若，假设、至少有一个为0. 8. 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点的连线相互垂直，则的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】 设，由结合椭圆定义可求得，从而易得三角形面积． 【详解】椭圆中，，， 设，由，则，又， ，∴， ∴． 故答案为：24． 【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形面积问题，考查椭圆的定义，属于基础题． 9. 有下列四个命题，其中所有正确命题的序号是___________. ①命题“若，则”； ②命题“若，则”的逆命题； ③命题“若，”的否命题； ④命题“若∩＝，则”的逆否命题. 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断①，举反例可判断②，根据否命题的定义结合不等式的性质可判断③，根据逆否命题与原命题真假性相同可判断④. 【详解】对①，若，则，即，则，故①正确； 对②，“若，则”的逆命题为“若，则”，当时，满足，但，故②错误； 对③，命题“若，”的否命题为“若，”，因为，且，故成立，故③正确； 对④，若∩＝，则，故命题“若∩＝，则”为假命题，则它的逆否命题也为假命题，故④错误. 故答案为：①③. 10. 已知椭圆的中心，右焦点，右顶点分别为O，F，A，右准线与x轴的交点为H，则的最大值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆方程，结合焦点坐标和准线方程得出，所以，最后由得出最大值. 【详解】因为椭圆方程为，所以椭圆的右焦点，右顶点为，右准线方程为，其中， 由此可得，，所以， 因为，所以当且仅当时，的最大值为. 故答案为：. 11. 设为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列命题： ①若，则； ②若∥∥，则∥； ③若，则； 其中所有正确命题的序号是_________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①：根据线面垂直的性质定理分析判断；对于②：根据面面平行的判定定理分析判断；对于③：根据面面垂直的性质定理分析判断. 【详解】对于①：若，由线面垂直的性质定理可得，故①正确； 对于②：根据面面平行的判定定理，由于不能确定是否相交，故不能推出∥， 如图所示，此时相交，故②错误； 对于③：若，由面面垂直的性质定理得，故③正确； 故答案为：①③. 12. 以椭圆的右焦点为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于两点，椭圆的左焦点为 ，直线与圆相切，则椭圆的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆的性质及直线与圆的位置关系解三角形即可. 【详解】设椭圆半长轴、半短轴，半焦距分别为， 易知是直角三角形，且， 所以， 由椭圆的定义知， 则离心率. 故答案为： 13. 如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，分别为的中点，在此几何体中，给出下面四个结论，其中所有正确命题的序号是______. ①直线与直线异面；　　 ②直线与直线异面； ③直线平面； ④平面平面 【答案】②③ 【解析】 【分析】作出该几何体，根据异面直线的定义，线面平行的判定及面面垂直的判定一一判断结论即可. 【详解】如图所示:①连接，则分别为的中点，所以， 而，所以，则共面，所以直线与不是异面直线，错误； ②因为平面平面平面，所以直线与直线是异面直线，正确； ③由①知，因为平面平面，所以直线平面，正确； ④假设平面平面， 在面上过点作分别交于点， 在 上取一点，连接， 因为平面平面，， 所以平面，而平面，所以， 由中位线的性质，易知O是的中点，此时是等腰三角形，即恒成立， 因为是线段上任意取的一点且中腰与底边的长度不确定， 所以不一定有成立，若时，必然平面与平面不垂直，所以④不正确. 故答案为：②③ 14. 如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点.现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，求得关于的表达式，根据的取值范围结合求得的取值范围. 【详解】如图，在平面ADF内过点D作，垂足为，连接． 过点作，交于点． 设，，所以．    设，则． 因为平面平面ABC，平面平面， ，平面ABD，所以平面ABC， 又平面，所以． 又因为，，，平面DKH，所以平面，所以，即． 在中，，， 因为和都是直角三角形，， 所以，． 因为，， 所以，得． 因为，所以，所以． 又，即，故. 故答案为： 二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证明或演算步骤. 15. 已知p：，q：，若是必要而不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式求出p，再结合含参数的一元二次不等式求出q，分析可知p是q的充分不必要条件，结合包含关系列式求解即可. 【详解】因为，等价于，等价于，解得， 所以； 又因为， 且，则， 由，解得， 所以； 若是的必要而不充分条件，则p是q的充分不必要条件， 可知是的真子集， 则，且等号不同时成立，解得， 所以实数m的取值范围. 16. 在直角坐标系中，点到点、的距离之和是，点的轨迹是 （1）求轨迹的方程； （2）设点，点P是椭圆上的一个动点，F为右焦点，求的最小值及此时点P的坐标； 【答案】（1） （2）3； 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义分析可知点M的轨迹是长轴长为，以、为焦点的椭圆，即可得方程； （2）设，根据椭圆方程可得，点P到直线的距离为，可得，结合图形分析求解. 【小问1详解】 因为点到点、的距离之和是， 可知点M的轨迹是长轴长为，以、为焦点的椭圆， 则， 所以轨迹的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：， 设，则，即， 则， 且，则， 且点P到直线的距离为，可得， 则， 对于，令，可得，解得或（舍去）， 所以的最小值为3，此时点P的坐标为. 17. 在直三棱柱中，，侧面为正方形，, （1）设E.F分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求四面体的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）8 【解析】 【分析】（1）先根据中位线得出，再结合线面平行判定定理证明； （2）应用已知及正方形性质证明平面，再结合直三棱柱特性得出最后根据线面垂直判定定理证明； （3）根据线面垂直及勾股定理得出边长，再结合等体积转换顶点得出最后应用三棱锥的体积公式计算. 【小问1详解】 连，分别为中点，可得， ∵平面，平面, ∴平面 【小问2详解】 是正方形，， ∵平面 ∴平面，平面 ∴ 又∵ 平面 ∴平面 【小问3详解】 ∵平面平面 , ∴,所以, ∴. 18. 已知函数，且， （1）求的解析式； （2）已知，：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据对称性可得，根据可得，即可得函数解析式； （2）根据二次函数恒成立问题求p，根据二次函数单调性求q，分析可知p与q真假性相反，列式求解即可. 【小问1详解】 因为，则的对称轴是，解得， 又因为，所以. 【小问2详解】 若为真，，则对任意的恒成立， 可知的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，且，则； 若为真，，可知的图象开口向上，对称轴为， 因为在内是单调函数，则或，解得或； 若p或q为真命题，p且q为假命题，则p与q真假性相反， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为或. 19. 已知等腰梯形中，，，，为边上一点，且，将沿折起，使平面平面. （1）证明：平面； （2）试在棱上确定一点M，使截面把几何体分成的两部分； （3）在M满足（2）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC. 【答案】（1）证明见解析 （2）M为线段PB上靠近点P的一个三分之一分点 （3）平行 【解析】 【分析】（1）由平面几何的知识易得，再由面面垂直的性质定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得平面平面． （2）根据（1）同理可得平面，过作交于，则平面，再计算出与的比值，即可求解； （3）连接交于，通过线段比例说明，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为四边形为等腰梯形，，， 所以四边形是平行四边形，故， 在中，，，，故， 即，故等腰直角三角形，即，故， 又在中，，，所以，即， 故，即，即，故， 又因为平面平面，面面，面，故面． 又 所以平面 小问2详解】 由（1）知平面 , 在平面内， ∴平面⊥平面 在上取一点，作，则平面， 设 则 要使即解得 即为线段上靠近点的一个三分之一分点. 【小问3详解】 连接交于，连接OM， 因为，，由相似三角形易得 又由 所以,又平面，平面 平面. 20. 已知椭圆的短轴长为2，离心率，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线分别交于G，H两点. （1）求椭圆C的方程； （2）求线段GH的长度的最小值； （3）在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）8 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由离心率和，求出，得到椭圆方程； （2）设直线AP的方程为，得到，联立直线AP和椭圆方程，得到，从而得到直线方程为，故，表达出，由基本不等式得到最小值； （3）求出，，根据三角形面积求出点T到直线AP的距离等于，设直线，联立椭圆方程，根据根的判别式得到，由平行线距离公式得到，从而联立直线与椭圆方程，求出点T的坐标. 【小问1详解】 由知，又，， 故， 故椭圆C的方程为 【小问2详解】 直线AP的斜率k显然存在，且， 故可设直线AP的方程为，令得， 故 由 可得， 设，则，所以，， 即，又， 故直线的斜率为， 直线方程为中，令得， 故，， 又，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 所以时，线段GH的长度取最小值8； 小问3详解】 由（2）可知，当GH取最小值时，. 则直线AP的方程为，此时， 若椭圆C上存在点T，使得的面积等于1，设点T到直线AP的距离为， 则，解得， 则点T到直线AP的距离等于， 所以T在平行于AP且与AP距离等于的直线l上. 设直线， 则由 得， ，解得， 由平行线间距离公式得，解得或2（舍去）， 由得， 当时，，当时，， 可求得或. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常州市第一中学2013－2014学年度第二学期阶段学习质量检测 高二年级数学试卷（普通班） 参考公式：球的表面积公式：，其中R为球的半径 锥体的体积公式： 一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应的位置上. 1. 命题“，”否定是___________. 2. 若是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为______. 3. 在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为______． 4. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的_________条件.（既要说明充分性，又要说明必要性） 5. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________. 6. 若是不等式成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____________. 7. 用反证法证明命题“若，则、都不为0”时，反设成：___________. 8. 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点的连线相互垂直，则的面积为______． 9. 有下列四个命题，其中所有正确命题的序号是___________. ①命题“若，则”； ②命题“若，则”的逆命题； ③命题“若，”的否命题； ④命题“若∩＝，则”的逆否命题. 10. 已知椭圆中心，右焦点，右顶点分别为O，F，A，右准线与x轴的交点为H，则的最大值为_________. 11. 设为互不重合平面，为互不重合的直线，给出下列命题： ①若，则； ②若∥∥，则∥； ③若，则； 其中所有正确命题的序号是_________. 12. 以椭圆的右焦点为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于两点，椭圆的左焦点为 ，直线与圆相切，则椭圆的离心率为__________. 13. 如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，分别为的中点，在此几何体中，给出下面四个结论，其中所有正确命题的序号是______. ①直线与直线异面；　　 ②直线与直线异面； ③直线平面； ④平面平面. 14. 如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点.现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是_______. 二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证明或演算步骤. 15. 已知p：，q：，若是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围. 16. 在直角坐标系中，点到点、的距离之和是，点的轨迹是 （1）求轨迹的方程； （2）设点，点P是椭圆上的一个动点，F为右焦点，求的最小值及此时点P的坐标； 17. 在直三棱柱中，，侧面为正方形，, （1）设E.F分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求四面体的体积. 18. 已知函数，且， （1）求的解析式； （2）已知，：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数的取值范围. 19. 已知等腰梯形中，，，，为边上一点，且，将沿折起，使平面平面. （1）证明：平面； （2）试在棱上确定一点M，使截面把几何体分成的两部分； （3）在M满足（2）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC. 20. 已知椭圆短轴长为2，离心率，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线分别交于G，H两点. （1）求椭圆C的方程； （2）求线段GH长度的最小值； （3）在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$