广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

南实集团麒麟中学 2024-2025学年度第一学期开学考试 九年级数学试题 第 1 页，共 6 页 南实集团麒麟中学 2024-2025学年度第一学期开学考试 九年级数学试题 第 2 页，共 6 页 南实集团麒麟中学 2024-2025 学年度第一学期开学考试 九年级数学试题 2024年 9月 注意事项： 1．全卷共 4页。 2．考试时间为 90 分钟，满分 100 分。 3. 答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用 2B铅笔填涂在答题卡上，．．．．．并用黑色签字笔．．．．．填 写相应信息。请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。 第Ⅰ卷（选择题共 24分） 一、选择题（8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．下列分式是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 2．已知关于 x的一元二次方程 mx2﹣4x﹣2＝0 有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是（ ） A．m≥﹣2 B．m＞﹣2 C．m≥﹣2 且 m≠0 D．m＞﹣2 且 m≠0 3．下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相 等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分。其 中正确的有（ ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 4．在 4×4 的正方形网格中，点 A，B，C 均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边 AC 上的高．现有的工具只有 无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（ ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 5．某个正六边形螺帽需要拧 4 圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图所 示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（ ） A．4 B．16 C．24 D．32 6．若平行四边形的一边长为 8cm，一条对角线的长为 6cm，则另一条对角线长 x的取值范围为（ ） A．2cm＜x＜14cm B．5cm＜x＜11cm C．10cm＜x＜22cm D．4cm＜x＜28cm 7．如图，在平行四边形纸片 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 E，∠AEB＝45°，BD＝4，将纸片沿对角线 AC 对折，使得点 B落在点 B′的位置，连接 DB'，则 DB'的长为（ ） A．2 B．2 C．4 D． 8．如图，在正方形 ABCD中，E是边 AD中点，F是边 AB上一动点，G是 EF延长线上一点，且 GF＝EF．若 AD＝ 4，则 EG2+CG2 的最小值为（ ） A．52 B．60 C．68 D．76 第Ⅱ卷（非选择题共 76分） 二、填空题（5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 9．已知分式 𝑥2−1 (𝑥−2)(𝑥−1) ，当 x＝ 时，分式的值为 0． 10．如图，平面直角坐标系中，经过点 B（﹣4，0）的直线 y＝kx+b与直线 y＝mx+2 相交于点 A(− 3 2 ， − 1)，则不 等式 mx+2＜kx+b＜0 的解集为 ． 南实集团麒麟中学 2024-2025学年度第一学期开学考试 九年级数学试题 第 3 页，共 6 页 南实集团麒麟中学 2024-2025学年度第一学期开学考试 九年级数学试题 第 4 页，共 6 页 11．对于实数 m、n，定义运算“※”：m※n＝mn（m+n）．例如，4※2＝4×2×（4+2）＝48．若 x1，x2是关于 x的 一元二次方程 x2﹣5x+4＝0 的两个实数根，则 x1※x2＝ ． 12．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的平分线，CD⊥AD，则△BDC面积的最大值 为 ． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，D是 AB的中点，点 E在边 AC上，将△ADE沿 DE翻折， 使点 A落在点 A'处，连接 AA'、A'B，当△AA'E是等腰直角三角形时，A'B的长为 ． 第 10 题图 第 12 题图 第 13 题图 三、解答题（本大题有 7 题，其中 14 题 10 分，15 题 6 分，16 题 8 分，17 题 8 分，18 题 8 分， 19 题 9 分，20 题 12 分，共 61 分） 14．用指定方法解下列方程： （1）2x2﹣5x+1＝0（公式法）； （2）x2﹣8x+1＝0（配方法）． 15．先化简，再求值：( 𝑎2−4 𝑎2−4𝑎+4 − 𝑎 𝑎−2 ) ÷ 𝑎2+2𝑎 𝑎−2 ，且 a的值满足 a2+2a﹣8＝0． 16．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△AB C的顶点都在格点上． （1）将△ABC向右平移 6 个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1关于点 O的中心对称图形△A2B2C2； （3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 ； （4）以 A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点 D是 y轴上一点，则点 D的坐标是 ． 17．如图，将▱ABCD的边 AB延长至点 E，使 AB＝BE，连接 DE，EC，DE交 BC于点 O． （1）求证：△ABD≌△BEC； （2）连接 BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形 BECD是矩形． 18．三星堆遗址被称为 20 世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母 体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产 品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有 A，B两个系列，A系列产品比 B系列产品的售价低 5 元，100 元购买 A系列产品的数量与 150 元购买 B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价 销售，每天可以卖 50 件，若 B系列产品每降 1 元，则每天可以多卖 10 件． （1）A系列产品和 B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使 B 系列产品每天的销售额为 960 元，而且尽可能让顾客得到实惠，求 B 系列产品的实际售价应定为 多少元/件？ 南实集团麒麟中学 2024-2025学年度第一学期开学考试 九年级数学试题 第 5 页，共 6 页 南实集团麒麟中学 2024-2025学年度第一学期开学考试 九年级数学试题 第 6 页，共 6 页 19．探究不同长方形周长与面积的关系 【项目化情境与问题】 某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是矩形，它的长、宽、周长 C 和面积 S 分别如图所示． 根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形 A，是否存在另一个矩形 B，它的周长和面积分别是已 知矩形 A周长和面积的 1 2 ，即 𝐶𝐵 𝐶𝐴 = 𝑆𝐵 𝑆𝐴 = 1 2 是否成立？ 【项目支架与探究】 为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜 想得出结论． 探究 1 研究特殊 情况 小组成员研究过后得知一定存在作品乙的矩形边框与原作品甲的矩形边框满足 𝐶𝐵 𝐶𝐴 = 𝑆𝐵 𝑆𝐴 = 1 2 ，则 C 乙＝ ；S 乙＝ ．设作品乙的矩形边框的长为 x，宽为 y，则 x＝ ；y＝ ． 探究 2 研究特殊 情况 在探究 1 得到作品乙的矩形边框数据的基础上，继续探究，是否存在作品丙的矩 形边框是作品乙的矩形边框周长和面积的 1 2 ，使得 𝐶𝐵 𝐶𝐴 = 𝑆𝐵 𝑆𝐴 = 1 2 仍然成立？若存在， 请求出作品丙的矩形边框的长和宽．若不存在，请说明理由． 【项目成果】 任意给定一个矩形 A，长为 m，宽为 1（m＞1），若一定存在另一个矩形 B，满足 𝐶𝐵 𝐶𝐴 = 𝑆𝐵 𝑆𝐴 = 1 2 ，则 m的最小值是 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，0），点 B（0，6），点 D（﹣6，0），以 AB、AD为边作▱ABCD，点 E 为 BC中点，连接 DE、AE． （1）分别求出线段 AE和线段 DE所在直线解析式； （2）点 P为线段 AE上的一个动点，作点 B关于点 P的中心对称点 F，设点 P横坐标为 a，用含 a的代数式表示 点 F的坐标（不用写出 a的取值范围）； （3）在（2）的条件下， ①当点 F移动到△ADE的边上时，求点 P坐标； ②M 为 PE 中点，N 为 PA 中点，连接 MF、NF．请利用备用图探究，直接写出在点 P 的运动过程中，△MFN 周 长的最小值和此时点 P的坐标． 第 1 页（共 12 页） 南实集团麒麟中学 2024-2025 学年度第一学期开学考试 九年级数学试题 参考答案与试题解析 1． C． 2． D． 3． C． 4． C． 5． C 解：根据题意的拧 1 圈需要转动 6 次， ∵正六边形螺帽需要拧 4 圈才能拧紧， ∴他一共需要转动扳手的次数是 4×6＝24（次）， 6． C． 7． A 解：由折叠的性质可得，△ABE≌△AB'E， ∴∠BEA＝∠B'EA， ∵∠AEB＝45°， ∴∠BEB'＝90°， ∴∠DEB'＝90°， ∵BD＝4，四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ED＝B'E＝2， ∴B'D＝2 ， 8． B． 解：过点 G 作 DH⊥AB 于 H，过 G 作 MN∥AB 交 DA 的延长线于 M，交 CB 的延长线于 N，如图： 设 AF＝x， ∵四边形 ABCD 为正方形，AD＝4，点 E 为 AD 的中点， ∴AB＝AD＝BC＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AE＝DE＝2， 第 2 页（共 12 页） ∴∠MAB＝∠NBA＝90°， 又 MN∥AB，GH⊥AB， ∠M＝∠N＝90°，∠GHA＝∠GHB＝90°， ∴四边形 AHGM 和四边形 BHGN 均为矩形， ∴∠GHF＝∠EAF＝90°， 在△HGF 和△AEF 中， ， ∴△HGF≌△AEF（AAS）， ∴GH＝AE＝2，HF＝AF＝x， ∴MG＝AH＝2x，AM＝GH＝NB＝2， ∴NG＝BH＝AB﹣AH＝4﹣2x， 在 Rt△EMG 中，MG＝2x，ME＝AM+AE＝4， 由勾股定理得：EG2＝MG2+ME2＝4x2+16， 在 Rt△CGN 中，NG＝4﹣2x，CN＝BC+NB＝6， 由勾股定理得：CG2＝NG2+CN2＝（4﹣2x）2+36＝4x2﹣16x+52， ∴EG2+CG2＝8x2﹣16x+68＝8（x﹣1）2+60， ∵8（x﹣1）2≥0， ∴8（x﹣1）2+60≥60， ∴EG2+CG2≥60， ∴EG2+CG2 的最小值为 60． 9．﹣1． 10．﹣4＜x＜﹣ ． 11．20 解：∵x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x 2﹣5x+4＝0 的两个实数根， ∴x1+x2＝5，x1x2＝4， ∴x1※x2＝x1x2（x1+x2）＝4×5＝20， 12．10 解：如图：延长 AB，CD 交点于 E， ∵AD 平分∠BAC， 第 3 页（共 12 页） ∴∠CAD＝∠EAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°， 在△ADE 和△ADC 中， ， ∴△ADE≌△ADC（ASA）， ∴AC＝AE，DE＝CD， ∴BE＝AC﹣AB＝AE﹣AB＝4， ∵DE＝DC， ∴ ， ∴当 BE⊥BC 时，S△BDC 面积最大， 即 S△BDC 最大面积＝ ×10×4＝10， 13． ± ． 解：如图 1，由折叠得，DA＝DA′， ∵D 是 AB 的中点， ∴DA＝DB＝DA′， ∴△AA′B 是 Rt△，且∠AA′B＝90°， ∵△AA'E 是等腰直角三角形， ∴EA＝EA′，∠EA′A＝∠EAA′＝45°，∠AEA′＝90°， ∴∠EA′B＝90°﹣45°＝45°， ∵∠C＝90°， ∴BC∥EA′， 过点 B 作 BM⊥EA′，垂足为 M，则 BC＝ME＝2，BM＝EC， 在 Rt△ABC 中，AC＝ ＝2 ， 设 EC＝x，则 BM＝A′M＝x，A′E＝x+2，AE＝2 ﹣x， 第 4 页（共 12 页） 因此有 x+2＝2 ﹣x， 解得 x＝ ﹣1， 在 Rt△A′BM 中，A′B＝ BM＝ （ ﹣1）＝ ﹣ ， 如图 2，由题意得，A′ECF 是矩形，△A′BF 是等腰直角三角形， 设 EC＝x，则 AE＝A′E＝2 ﹣x，CF＝BF﹣BC＝x﹣2， 因此有有 x﹣2＝2 ﹣x， 解得 x＝ +1， 在 Rt△A′BF 中，A′B＝ EC＝ （ +1）＝ + ， 14． 解：（1）2x2﹣5x+1＝0， ∵a＝2，b＝﹣5，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0， ∴x＝ ＝ ∴x1＝ ，x2＝ ； （2）x2﹣8x+1＝0， x2﹣8x＝﹣1， x2﹣8x+16＝﹣1+16， （x﹣4）2＝15， x﹣4＝± ， x﹣4＝ 或 x﹣4＝﹣ ， ∴x1＝4+ ，x2＝4﹣ ． 15． 第 5 页（共 12 页） 解：原式＝[ ﹣ ]• ＝（ ﹣ ）• ＝ • ＝ ， ∵a2+2a﹣8＝0， ∴a2+2a＝8， ∴原式＝ ＝ ． 16． 解：（1）如图，△A1B1C1 即为所求； （2）如图，△A2B2C2 即为所求； （3）旋转中心 M 的坐标为（﹣3，0）； （4）点 D 的坐标是（0，6）． 17． 证明：（1）在平行四边形 ABCD 中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则 BE∥CD． 又∵AB＝BE， ∴BE＝DC， ∴四边形 BECD 为平行四边形， ∴BD＝EC． ∴在△ABD 与△BEC 中， 第 6 页（共 12 页） ， ∴△ABD≌△BEC（SSS）； （2）由（1）知，四边形 BECD 为平行四边形，则 OD＝OE，OC＝OB． ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD． 又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴OC＝OD， ∴OC+OB＝OD+OE，即 BC＝ED， ∴平行四边形 BECD 为矩形． 18． 解：（1）设 A 系列产品的单价是 x 元/件，则 B 系列产品的单价是（x+5）元/件， 根据题意得： ＝ ， 解得：x＝10， 经检验，x＝10 是所列方程的解，且符合题意， ∴x+5＝10+5＝15（元）． 答：A 系列产品的单价是 10 元/件，B 系列产品的单价是 15 元/件； （2）设 B 系列产品的实际售价应定为 y 元/件，则每天可以卖 50+10（15﹣y）＝（200﹣10y）件， 根据题意得：y（200﹣10y）＝960， 整理得：y2﹣20y+96＝0， 解得：y1＝8，y2＝12， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝8． 答：B 系列产品的实际售价应定为 8 元/件． 19． 解：探究 1：C 甲＝56，S 甲＝96， 第 7 页（共 12 页） ∴C 乙＝28，S 乙＝48， ∵设长方形乙的长为 x，宽为 y， ∴2（x+y）＝28，xy＝48， ∴x+y＝14，即 x＝14﹣y， 代入 xy＝48 得：（14﹣y）y＝48， 解得 y＝6 或 y＝8（不合题意，舍去）， ∴x＝8； 故答案为：28；48；8；6； 探究 2：不存在作品丙的矩形边框是作品乙的矩形边框周长和面积的 ，使得 仍然成立；理由如下： 要使 ＝ ＝ 成立， 则 C 丙＝ ＝ ＝14，S 丙＝ ＝ ＝24， 设长方形丙两条邻边长分别为 a 和 7﹣a， S 丙＝a•（7﹣a）＝﹣a 2+7a＝24， Δ＝b2﹣4ac＝72﹣4×（﹣1）×（﹣24）＝﹣47＜0， ∴方程无解， ∴不存在； 【项目成果】设长方形 B 的两边长分别为 c，d 则： ， 消去 d 得：2c2﹣（m+1）c+m＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4×2×m≥0， 解得 m≤3﹣2 或 m≥3+2 ， ∵m＞1， ∴m 的最小值为 3+2 ， 故答案为：3+2 ． 20． 解：（1）∵A（2，0），D（﹣6，0）， ∴AD＝8， ∵四边形 ABCD 为平行四边形，B（0，6）， 第 8 页（共 12 页） ∴C（﹣8，6）， ∵点 E 为 BC 的中点， ∴E（﹣4，6）， 设 AE 所在直线的解析式为 y＝k1x+b1， 把 A（2，0），E（﹣4，6）代入得， ， 解得 ∴AE 所在直线的解析式为 y＝﹣x+2； 设 DE 所在直线解析式为 y＝k2x+b2， 把点 D（﹣6，0），E（﹣4，6）代入得， ， 解得 ， ∴DE 所在直线解析式为 y＝3x+18． （2）∵AE 所在直线的解析式为 y＝﹣x+2，点 P 横坐标为 a， ∴点 P（a，﹣a+2）， 设点 F（x1，y1）， ∵点 B 关于点 P 的中心对称点 F，B（0，6）， ∴ ， 整理得：x1＝2a，y1＝﹣2a﹣2． F（2a，﹣2a﹣2）． （3）①当点 F 在 AD 上时， ∵点 F 在 AD 上， ∴﹣2a﹣2＝0， 解得 a＝﹣1， ∴P（﹣1，3）； 第 9 页（共 12 页） 当点 F 在 DE 上时， ∵F（2a，﹣2a﹣2），且 F 在 DE 上， ∴﹣2a﹣2＝3×2a+18， 解得 ， ∴ ； 综上，P（﹣1，3）或 ． ②∵A（2，0），E（﹣4，6）， ∴AE＝ ， ∵M 为 PE 中点，N 为 PA 中点， ∴ ， 过点 E 作 EQ⊥x 轴于点 Q， ∵A（2，0），E（﹣4，6）， ∴EQ＝6，AQ＝2+4＝6， ∴∠EAD＝45°， ∴∠BEA＝45°， 第 10 页（共 12 页） 过点 B 作 BG⊥AE 于点 G，过点 F 作 FH⊥AE 于点 H， ∵点 B 关于点 P 的中心对称点 F， ∴BP＝FP， 又∵∠BGP＝∠FHP＝90°，∠BPG＝∠FPH， ∴△BPG≌△FPH（AAS）， ∴BG＝FH， 延长 AE，过点 C 作 CI⊥AE 于点 I， ∵点 E 是 BC 中点， ∴CE＝BE， ∴∠I＝∠BGE，∠CEI＝∠BEG， ∴△CEI≌△BEG（AAS）， ∴CI＝BG， 则 CI＝FH， ∵B（0，6），E（﹣4，6）， ∴BE＝4， ∵∠BEA＝45°，BG⊥AE， 设 BG＝EG＝x， 在 Rt△BGE 中，BG2+EG2＝BE2， ∴x2+x2＝42， 解得 ， ∴ ， 过点 C 作 CL∥AE， ∵CI＝FH，BG⊥AE，CI⊥AE， ∴CF∥AE， ∴点 F 在直线 CL 上运动， 作点 N 关于直线 CL 的对称点 N′， 第 11 页（共 12 页） ∴ ， 当点 N′，F，M 在同一条直线上时，FN+FM＝FN++FM＝MN'， 此时△MFN 的周长取最小值， 在 Rt△MNN'中， ∴△MFN 周长的最小值为 ； ∵E（﹣4，6），A（2，0），P（a，﹣a+2），M 为 PE 中点，N 为 PA 中点， ∴ ，N（ ）， ∵FH∥NN′， ， ∴FH 是△MNN′的中位线， 则点 H 是 MN 中点， ∴ ， 过点 G 作 GH⊥BC 于点 H， ∵BE＝4，BG＝EG， ∴BH＝GH＝2， ∴G（﹣2，4） ∵△BPG≌△FPH， ∴PG＝PH， 即点 P 为 GH 中点， ∴ ， ∵P（a，﹣a+2）， ∴ ， 解得 ， 第 12 页（共 12 页） ∴ ．