精品解析：河南省名校联盟2025届高三上学期开学摸底联考数学试题

2025届高三开学摸底联考 数学试题 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A B. C. D. 4. 双曲线的离心率为（ ） A B. C. D. 5. 将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第组含个数，分组如下：，则2025在第（ ）组． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 在中，内角的对边分别为，且的面积，若的平分线交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知面积为的正三角形的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则函数在上的零点个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 10. 已知随机变量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若定义在上的偶函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称为“函数”．下列函数为“函数”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含的项的系数为____________． 13. 已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是____________． 14. 已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．在对某品牌10个子工厂投资及利润的统计后，得到如下表格，分别表示第个子工厂的投资（单位：万元）和纯利润（单位：万元）． 投入万元 32 31 33 36 37 38 39 43 45 46 纯利润万元 25 30 34 37 39 41 42 44 48 50 （1）依据表中的统计数据，请判断投资与纯利润是否具有较强的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较强．计算时精确度为0.01） （2）求关于的经验回归方程（精确到0.01）． 参考数据：，． 参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 16. 已知数列前项和为，且． （1）求数列通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 如图，在三棱柱中，平面． （1）求证：平面； （2）设点满足，若平面与平面的夹角为，求实数． 18. 已知函数，当时，的值域为. （1）求实数的值； （2）判断函数单调性； （3）设，证明：对任意两个不等实数，不等式恒成立. 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标； （3）设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三开学摸底联考 数学试题 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何交集运算求解即可. 【详解】由集合， 可得. 故选：B. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得，再根据复数的模长公式求解即可. 【详解】由题知，所以． 故选:D． 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可. 【详解】抛物线化为标准方程可得， 故，焦点坐标为. 故选：A. 4. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过双曲线的几何量，结合离心率直接求解即可． 【详解】由， 得，所以， 即双曲线的离心率． 故选：B． 5. 将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第组含个数，分组如下：，则2025在第（ ）组． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式计算即可． 【详解】由题意可设前组里含有的正整数的个数为， 则， 由于，， 故2025在第11组． 故选：C． 6. 在中，内角的对边分别为，且的面积，若的平分线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由结合余弦定理可得，从而求得，再利用等面积法即可求解. 【详解】由可知，，所以，所以． 在中，由等面积法得， 即， 即，解得，故正确. 故选:A. 7. 已知面积为的正三角形的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求出外接圆半径，再求出中点到外接圆圆心的距离，从而可求解. 【详解】设球的半径为外接圆圆心为，半径为的边长为． 因为是面积为的等边三角形，所以，解得， 所以，所以，解得， 则，则球的表面积为，故正确. 故选：B. 8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则函数在上的零点个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可得，即可根据平移得，利用整体法，结合三角函数的性质可将问题转化为的根，即可求解. 【详解】 故， 因为当时， 由于，所以 在上值域为， 所以解得， 即的零点即为的根， 则或，即或， 所以函数在上的零点有，共8个． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知命题“”为真命题，则实数值可以是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】进行参变分离，设，判断函数的单调性，求出最值即可求出的取值范围，即可求解． 【详解】因为命题“”为真命题， 所以． 令， 根据增函数减去减函数知：为增函数， 当时，有最小值， 故实数的取值范围为． 故选：CD． 10. 已知随机变量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的概念，识别期望与方差，利用期望和方差的性质计算，利用正态分布的图象及正态分布的对称性来求解即可． 【详解】由随机变量， 得，，，，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 两个随机变量的均为120，由正态分布特点知D正确． 故选：ABD． 11. 若定义在上的偶函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称为“函数”．下列函数为“函数”的是（ ） A. B. C D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可得“ 函数”的条件为：在上单调递减，在上单调递增，且为偶函数，对各项进行分析，从而可求解. 【详解】根据题意，对任意两个不相等的实数，都有， 变形可得，即． 若，则，可得， 即在上单调递减．又为偶函数， 所以在上单调递增． 对A：定义域为，且，则为偶函数， 根据二次函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，符合题意，故正确； 对：定义域为，且，则为偶函数， 函数，在上单调递增，在上单调递减，函数为增函数， 根据复合函数定义可知函数在上单调递增，在上单调递减，故不符合题意，故错误； 对C：，定义域为，且，则为偶函数， 且，则在上单调递减，在上单调递增，故符合题意，故正确； 对D：，定义域为，且满足，则为偶函数， 当时，，由为减函数，为增函数， 则在上单调递减，同理可得在上单调递增，故符合题意，故正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含的项的系数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式可得，从而可求解. 【详解】由题意可得的二项展开式的通项公式为， 令，可得，所以，故含的项的系数为80. 故答案为：80. 13. 已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得在上单调递增，则得，从而可得存在极小值点，从而可求解. 【详解】由题意可得在时有最小值，即在上有极小值即可， 因为在上单调递增，所以只需 即解得， 这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 即函数在区间上有极小值也即是最小值．所以的取值范围是． 故答案为：. 14. 已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算和数量积运算可得，结合的取值范围，计算即可． 【详解】如图，为圆心，连接， 则 ． 因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，所以， 则，即的取值范围是， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．在对某品牌10个子工厂投资及利润的统计后，得到如下表格，分别表示第个子工厂的投资（单位：万元）和纯利润（单位：万元）． 投入万元 32 31 33 36 37 38 39 43 45 46 纯利润万元 25 30 34 37 39 41 42 44 48 50 （1）依据表中的统计数据，请判断投资与纯利润是否具有较强的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较强．计算时精确度为0.01） （2）求关于的经验回归方程（精确到0.01）． 参考数据：，． 参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 【答案】（1）是 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的数据，，代入相关系数公式即可求解； （2）根据题中数据求出，然后求出，从而可求解. 【小问1详解】 依题意知，， 所以相关系数， 所以与之间具有较强的线性相关关系. 【小问2详解】 依题意知， 又因为， 所以， 所以， 所以关于的经验回归方程为. 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据关系，作差可得为等比数列，即可由等比通项求解， （2）利用错位相减法，结合等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 当时，，即， 当时，①，②， ①-②得，即，所以． 因为， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列． 则，即． 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， ， 故， 所以． 17. 如图，在三棱柱中，平面． （1）求证：平面； （2）设点满足，若平面与平面的夹角为，求实数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意由线面垂直求出，再利用线面垂直即可求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用空间向量法求出面面夹角，从而可求解. 【小问1详解】 证明：平面平面，． 又，且平面， 平面． 平面． 又平面， 平面． 【小问2详解】 由（1）知四边形为正方形，即，且有， 以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， ． 设平面的一个法向量为，由得： ，取． 由（1）知平面平面的一个法向量为， ，解得. 所以. 18. 已知函数，当时，的值域为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性； （3）设，证明：对任意两个不等实数，不等式恒成立. 【答案】（1） （2）在上单调递增 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性，即可根据求解， （2）求导，根据导数的符号即可求解， （3）对式子变形后构造函数，即可求导，根据单调性求解最值求解. 【小问1详解】 解：由在都单调递增，所以在上单调递增， 由当时，的值域为，可知，即. 【小问2详解】 解：由（1）知，的定义域为. 令， 所以，所以在上单调递增. 【小问3详解】 证明：.不妨设， 则要证明 只需证明 即 即证 设，则只需证明.化简得. 设.则在上恒成立，在上单调递增， 当时，，即，得证. 【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标； （3）设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于． 【答案】（1） （2）证明见解析，点的坐标为 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，根据椭圆的焦点坐标、点在椭圆上以及，，的关系列出等式即可求出椭圆的标准方程； （2）设，根据“共轭点对”得到直线方程为，再联立方程求解； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，求出，的坐标，设点，，，，利用点差法得到，设过点且与直线平行的直线的方程为，求出直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，进而证明四边形面积小于． 【小问1详解】 由题，椭圆的另一焦点为， 因此， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 设“共轭点对”中点的坐标为， 根据“共轭点对”定义： 点的坐标满足所以或 于是有两个点满足，且点的坐标为． 【小问3详解】 设． 设所在直线为，则的方程为． 设点，则 两式相减得． 又，于是，则，所以线段的中点在直线上． 所以线段被直线平分． 设点到直线的距离为， 则四边形的面积． 又，则有． 设过点且与直线平行直线的方程为，则当与相切时，取得最大值． 由消去得 令，解得． 当时，方程为，即，解得， 则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件， 从而直线与不可能相切， 即小于直线和平行直线（或）的距离， 所以． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$