专题12 三角形的性质与判定（5考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（陕西专用）

专题12 三角形的性质与判定 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1三角形的认识 （5年2考） 2024·陕西：直角三角形的概念 2021·陕西：三角形内角和及外角的性质 近五年中考三角形这一部分命题侧重考查全等三角形的判定（5年4考）、勾股定理（5年2考）、三角形内角和及外角的性质、直角三角形的概念等。其中全等三角形的判定主要以大题为主，三角形的认识多以选择为主。在备考中，同学们需掌握全等三角形的判定方法。此外三角形中的许多知识（等腰三角形的性质、直角三角形的性质等）也会和四边形、圆一起命题，需要学生们做到理解和应用知识，灵活运用三角形的相关知识分析几何条件，完成解题过程。 考点2 等腰三角形的性质与判定 （5年1考） 2022·陕西：等腰三角形判定与性质、全等三角形的判定、勾股定理 考点3 直角三角形 （5年2考） 2022·陕西：等腰三角形判定与性质、全等三角形的判定、勾股定理 2020·陕西：网格与勾股定理 考点4 全等三角形 （5年4考） 2024·陕西：全等三角形的判定、矩形的性质 2023·陕西：全等三角形的判定、三角形内角和 2022·陕西：全等三角形的判定、平行线的性质 2021·陕西：全等三角形的判定、平行线的性质 考点5 相似三角形与三角形的中位线 （5年1考） 2023·陕西：三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定 考点1 三角形的认识 1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 2．（2021·陕西·中考真题）如图，点D、E分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为（   ） A．60° B．70° C．75° D．85° 【答案】B 【分析】由题意易得，然后根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴在△BEC中，由三角形内角和可得， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键． 考点2 等腰三角形 3．（2021·陕西·中考真题）如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（   ） A．6 cm B．7 cm C． D．8cm 【答案】D 【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，证明，即可证明，进一步计算即可得出答案． 【详解】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G， ∵，， ∴， ∴， 在和中； ， ∴， ∴BF=CG， ∵， ∴均为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形判定与性质，全等三角形判定与性质以及勾股定理等知识点，正确画出辅助线是解决本题的关键． 考点3 直角三角形 4．（2020·陕西·中考真题）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可． 【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝， ∵S△ABC＝3×3﹣＝， ∴， ∴， ∴BD＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2022·陕西·中考真题）如图，是的高，若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB． 【详解】解：∵， ∴， ∵直角中，， ∴， ∴直角中，由勾股定理可得，． 故选D． 【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键． 6．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 考点4 全等三角形 7．（2024·陕西·中考真题）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 8．（2023·陕西·中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论． 【详解】证明：在 中，，， ． ． ． ， ． 在和中， ， ∴． ． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 9．（2022·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC． 【答案】证明见解析 【分析】利用角边角证明△CDE≌△ABC，即可证明DE=BC． 【详解】证明：∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B． 又∵CD=AB，∠DCE=∠A， ∴△CDE≌△ABC(ASA)． ∴DE=BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 10．（2021·陕西·中考真题）如图，，，点在上，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】由题意易得，进而可证，然后问题可求证． 【详解】证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 考点5 相似三角形与三角形的中位线 11．（2023·陕西·中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 一、单选 1．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在菱形中，于点，，，则线段的长为(    ) A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质以及解直角三角形，直接利用菱形的性质结合锐角三角函数关系得出，的长，进而利用勾股定理得出的长． 【详解】四边形是菱形， ， ，， 设，则，故， ， ，故， ， 故． 故选：B． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴是直角三角形，是斜边， 又∵是边上的中线， ∴ 故选：D． 3．（2024·陕西西安·二模）如图，在菱形中，于点E，，则的长为（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数定义，求出菱形的边长是解题的关键． 根据锐角三角函数定义求出，再利用勾股定理求出．利用菱形的性质求解即可． 【详解】解： 四边形是菱形， 故选：C 4．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（     ） A． B．9 C． D．8 【答案】B 【分析】先证，则，，再证明得，即，由此即可求出的长．此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， 即， ， 故选：B 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点，在边上，，，，若点是边的中点，则的长度为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 先根据勾股定理求出，则，最后根据三角形的中位线定理得出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，点D为中点， ∵点是边的中点， ∴， 故选：B． 6．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，，点D，E分别是的中点，连接，在上有一点F，且，连接．若，则的长为（　　）    A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．先根据直角三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形中位线定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，点是斜边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：C． 7．（2024·陕西榆林·三模）如图，在中，是斜边上的中线，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键．首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质可得，然后结合，由求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 8．（2024·陕西汉中·二模）如图，在等边中，延长BC到点E，连接AE，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题的关键． 过点A作于D，利用等边三角形的性质得出，从而得出是等腰直角三角形，即可求得，在中，，则，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点A作于D，如图， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（2024·陕西榆林·二模）如图，在中，，点D、E分别为边、的中点，连接，过点D作交的延长线于点F，若，，则的长为（   ） A．10 B．9 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线性质，直角三角形的性质，勾股定理．先由三角形中位线性质求得，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得，然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点D、E分别为边、的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得， 故选：C． 10．（2024·陕西榆林·三模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点C作，垂足为D，根据题意可得：，，，，然后利用面积法求出的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点C作，垂足为D，    由题意得：， ，， ， ∴的面积， ∴， ∴， 解得：， 在中， ， ∴， 故选：B． 11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，，将沿方向平移得到，若平分，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，从而，，，在中，，设，则，，再证，由，求解得，从而即可得解． 【详解】解：由平移得：， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，角平分线的定义，正切，勾股定理以及等腰三角形的判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 12．（2024·陕西汉中·一模）如图，在中，，D是的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为（    ） A． B．6 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质． 根据勾股定理在中求出的长，在根据直角三角形斜边上的中线的性质即可解答． 【详解】∵，，， ∴在中，， ∵在中，，D是的中点， ∴． 故选：D 二、填空 13．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积．根据图形可知：，边上的高为5，根据勾股定理可以求得的长，再根据等面积法即可求得边上的高． 【详解】解：由图可得， ，边上的高为5，， 设上的边为， 则， 解得， 故答案为：． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，D为边的中点，E，F分别是边，上的动点，且满足，则的周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．连接．证明，可得，，推出，再求出的最小值即可． 【详解】解：连接． ∵为边的中点， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，是等腰三角形， 则， ∴当的长最小时，的周长最小， ∴当最小时，的长最小， ∵时，的值最小，此时为的中点，则， ∴， ∴的周长的最小值． 故答案为：． 15．（2024·陕西西安·二模）如图，在中，连接，，，是边上一动点，连接，以为边向左侧作等边，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．由“”可证，可得，当时，有最小值为的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于，连接，   ， ， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 点，点分别是直线，直线上一点， 当时，有最小值为的长， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答 16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，过点C作，延长至点D，连接，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由， 得，由，得， 而， 即可根据证明，得，证明是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， 又， ， ． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是矩形，以为边向上作等边，连接．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，要证明，只要证明即可，根据题意目中的条件，利用矩形的性质和等边三角形的性质可以得到两个三角形全等的条件，从而可以解答本题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴. 18．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，过点作，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出，利用证明，根据“全等三角形的对应边相等”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即． 19．（2024·陕西西安·二模）如图，点E在外部，点D在边上，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，根据证明，得出结论即可． 【详解】证明：， ， ， ∵和中， ， ． ． 20．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行可得，结合，可得，再结合，，即可证明，问题得证． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 三角形的性质与判定 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1三角形的认识 （5年2考） 2024·陕西：直角三角形的概念 2021·陕西：三角形内角和及外角的性质 近五年中考三角形这一部分命题侧重考查全等三角形的判定（5年4考）、勾股定理（5年2考）、三角形内角和及外角的性质、直角三角形的概念等。其中全等三角形的判定主要以大题为主，三角形的认识多以选择为主。在备考中，同学们需掌握全等三角形的判定方法。此外三角形中的许多知识（等腰三角形的性质、直角三角形的性质等）也会和四边形、圆一起命题，需要学生们做到理解和应用知识，灵活运用三角形的相关知识分析几何条件，完成解题过程。 考点2 等腰三角形的性质与判定 （5年1考） 2022·陕西：等腰三角形判定与性质、全等三角形的判定、勾股定理 考点3 直角三角形 （5年2考） 2022·陕西：等腰三角形判定与性质、全等三角形的判定、勾股定理 2020·陕西：网格与勾股定理 考点4 全等三角形 （5年4考） 2024·陕西：全等三角形的判定、矩形的性质 2023·陕西：全等三角形的判定、三角形内角和 2022·陕西：全等三角形的判定、平行线的性质 2021·陕西：全等三角形的判定、平行线的性质 考点5 相似三角形与三角形的中位线 （5年1考） 2023·陕西：三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定 考点1 三角形的认识 1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2021·陕西·中考真题）如图，点D、E分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为（   ） A．60° B．70° C．75° D．85° 考点2 等腰三角形 3．（2021·陕西·中考真题）如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（   ） A．6 cm B．7 cm C． D．8cm 考点3 直角三角形 4．（2020·陕西·中考真题）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）    A． B． C． D． 5．（2022·陕西·中考真题）如图，是的高，若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 考点4 全等三角形 7．（2024·陕西·中考真题）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 8．（2023·陕西·中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．    9．（2022·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC． 10．（2021·陕西·中考真题）如图，，，点在上，且．求证：．    考点5 相似三角形与三角形的中位线 11．（2023·陕西·中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 一、单选 1．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在菱形中，于点，，，则线段的长为(    ) A． B． C．4 D．6 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·二模）如图，在菱形中，于点E，，则的长为（　　） A． B．1 C．2 D． 4．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（     ） A． B．9 C． D．8 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点，在边上，，，，若点是边的中点，则的长度为（    ） A． B． C．2 D．1 6．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，，点D，E分别是的中点，连接，在上有一点F，且，连接．若，则的长为（　　）    A．16 B．14 C．12 D．10 7．（2024·陕西榆林·三模）如图，在中，是斜边上的中线，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西汉中·二模）如图，在等边中，延长BC到点E，连接AE，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 9．（2024·陕西榆林·二模）如图，在中，，点D、E分别为边、的中点，连接，过点D作交的延长线于点F，若，，则的长为（   ） A．10 B．9 C．8 D． 10．（2024·陕西榆林·三模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　）    A． B． C．2 D． 11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，，将沿方向平移得到，若平分，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·陕西汉中·一模）如图，在中，，D是的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为（    ） A． B．6 C．2 D．4 二、填空 13．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于 ． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，D为边的中点，E，F分别是边，上的动点，且满足，则的周长的最小值为 ． 15．（2024·陕西西安·二模）如图，在中，连接，，，是边上一动点，连接，以为边向左侧作等边，连接，则的最小值是 ． 三、解答 16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，过点C作，延长至点D，连接，． 求证：． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是矩形，以为边向上作等边，连接．求证：．    18．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，过点作，且，求证：． 19．（2024·陕西西安·二模）如图，点E在外部，点D在边上，若，，，求证：． 20．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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