精品解析：陕西师范大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024-2025学年陕西师大附中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. a， b，c，d 是成比例线段，若 a 3cm， b 2cm，c 6cm，则线段d的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据a、b、c、d是成比例线段，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求出d的值即可； 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， ∵a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm， ∴d＝4cm； 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法．利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3. 如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 4. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是， 故选：D． 5. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 6. 如图，在中，，点D是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为16，则的周长为（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键．由四边形是面积为16的正方形，求得，由中，点D是斜边的中点，求得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是面积为16的正方形， ∴，且， ∴， ∵中，，点D是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 7. 为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)可列方程． 【详解】设这两年投入教育经费的年平均增长率为x， 根据题意有：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率问题，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 8. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 9. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可． 【详解】解：设， 将代入得， 解得， ，故A选项错误，不符合题意； 容器内气体密度随着气体的体积v的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 将代入得，解得：， 当时，，故C选项正确，符合题意； 将代入得，解得，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一直线上，P是线段的中点，连接．若，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．延长交于点H，证明，继而证明，根据三线合一可知，进一步可得，继而 可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵P是线段的中点， ∴， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分） 11. 如图，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 已知菱形的周长为，它的一条对角线长，则这个菱形较小的一个内角的度数为____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，正确地画出图形，并且推导出是解题的关键．由菱形的性质得，则，所以，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图， 四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 13. 为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现白球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为_____________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的运用，根据频率估算概率，概率的计算，根据题意，设白球有个，可列式为，由此即可求解． 【详解】解：设白球有个， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为， ∴白球有个， 故答案为： ． 14. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，，则矩形ABCD的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：设AE＝x，则AD＝2AE＝2x， ∵矩形ABFE与矩形ABCD相似， ∴，即， 解得，x1＝2，(舍)， ∴AD＝2x＝4， ∴矩形ABCD的面积为AB•AD＝4×4＝16， 故答案为：16． 【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据相似多边形的性质列出比例式，难度不大． 15. 如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点B的坐标为，则点E的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，求反比例函数的解析式，由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设，再由正方形，建立关于a的方程，进而得解． 【详解】解：点的坐标为，且在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数图像上， 设， ， 或， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时，______cm． 【答案】或20 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【详解】解：∵， ． ①当时，有， 即， 解得， ∴； ②当时，有， 即， 解得，（舍去）， ∴． 综上，当与相似时，或20 ． 17. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转90°，点旋转到点，则周长的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质以及勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于且与的距离为4的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】 解：过点作，交、于、，过点作垂足为， 四边形是矩形， ， ， 四边形和是矩形， ， 由旋转的性质得，， ， ， ， 点在平行于，且与的距离为的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时周长取得最小值，最小值为， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共69分） 18. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ， 或， ； 【小问2详解】 解： ， 或， ； 【小问3详解】 解：， ∴ ； 【小问4详解】 解： 或， ． 19. 如图，在中，．请用尺规作图法，在射线上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，作，交于点D，点D即为所求，     ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】作，交于点D，点D即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角，掌握以上知识是解题的关键． 20. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，， ．请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】 四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记矩形的判定、平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后由矩形的判定方法可得结论． 【详解】解：略． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有实数根； （2）0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 22. 如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． 【详解】略 23. 我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团． （1）小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是 ； （2）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． （1）直接利用概率公式计算； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙两名同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：根据题意：小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种， 所以恰好选中甲和乙两名同学的概率． 24. 某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元． （1）平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）： （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 【答案】（1） （2）每套纪念品应定价50元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，平均每天的销售量为套， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：每套纪念品应定价50元． 25. 数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答． 问题情境：在中，点P是边上一点，将沿直线折叠，点D的对应点为E． 数学思考： （1）“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点，连接，则四边形的形状为 ． 拓展探究： （2）“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点为的中点时，延长交于点，连接．试判断与的位置关系，并说明理由； 问题解决： （3）“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点恰好落在边上时，，，，求的长为 ． 【答案】（1）菱形； （2）解：结论：． 理由：连接．由折叠的性质可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，，再根据平行线的性质推出，则，进而推出，即可证明四边形是菱形； （2）连接．由折叠的性质可知，，由，，得到；由点P是的中点，得到，则，进一步证明，得到，证明，得到，再根据平角的定义得到，则； （3）延长交的延长线于点T．设．由折叠的性质可知，，再证明，得到，证明，得到，即可求出． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 故答案为：菱形． （2）略 （3）解：延长交的延长线于点T．设．   由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年陕西师大附中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. a， b，c，d 是成比例线段，若 a 3cm， b 2cm，c 6cm，则线段d的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，则（ ） A. B. C. D. 4. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 如图，在中，，点D是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为16，则的周长为（ ） A. B. C. 12 D. 24 7. 为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大 C. 当时， D. 当时， 10. 如图，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一直线上，P是线段的中点，连接．若，则＝（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分） 11. 如图，，，则的长为_____． 12. 已知菱形的周长为，它的一条对角线长，则这个菱形较小的一个内角的度数为____． 13. 为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现白球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为_____________个． 14. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，，则矩形ABCD的面积为______． 15. 如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点B的坐标为，则点E的坐标为______． 16. 如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时，______cm． 17. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转90°，点旋转到点，则周长的最小值为______________． 三、解答题（共8小题，共69分） 18. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 如图，在中，．请用尺规作图法，在射线上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，， ．请判断四边形的形状，并说明理由． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 22. 如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 23. 我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团． （1）小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是 ； （2）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 24. 某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元． （1）平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）： （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 25. 数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答． 问题情境：在中，点P是边上一点，将沿直线折叠，点D的对应点为E． 数学思考： （1）“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点，连接，则四边形的形状为 ． 拓展探究： （2）“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点为的中点时，延长交于点，连接．试判断与的位置关系，并说明理由； 问题解决： （3）“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点恰好落在边上时，，，，求的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $