课时作业72 概率统计与数列、函数的综合交汇问题-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

hh 24(人),男顾客一共有 56a+ 1 6a = a=12(人), 又从所有顾客中选出9人,所以X 的所 有可能取值是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 所以 X 的 分 布 列 为 P(X =i)= Ci24C9-i12 C936 ,i=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 且X ~H(9,24,36),其中n=9,M = 24,N =36, 所以E(X)= nM N = 216 36 =6. 课时作业72 概率统计 与数列、函数的综合交汇问题 1.解:(1)由题意可知X 所有可能的取值 为-1,0,1, ∴P(X = -1)= (1-α)β;P(X = 0)=αβ+(1-α)(1-β);P(X=1)= α(1-β). 则X 的分布列如下: X -1 0 1 P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β) (2)∵α =0.5,β=0.8, ∴a =0.5×0.8=0.4,b =0.5× 0.8+0.5×0.2= 0.5,c = 0.5× 0.2=0.1. ① 证明:∵pi =api-1 +bpi +cpi+1 (i=1,2,…,7), 即pi =0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i= 1,2,…,7), 整理可得:5pi =4pi-1+pi+1(i=1, 2,…,7), ∴pi+1 -pi =4(pi -pi-1)(i =1, 2,…,7), 又 ∵p1-p0 =p1 ≠0, ∴{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是以 p1 为首项,4为公比的等比数列. ② 由 ① 知:pi+1-pi =p1·4i, ∴p8-p7 =p1·47,p7-p6 =p1· 46,…,p1-p0 =p1·40, 作 和 可 得:p8 - p0 = p1 · (40 + 41+…+47)= 1-48 1-4p1 = 48-1 3 p1 =1 ,∴p1 = 3 48-1 , ∴p4=p4-p0=p1·(40+41+42+ 43)= 1-44 1-4p1 = 44-1 3 × 3 48-1 = 1 44+1 = 1 257. p4 表示最终认为甲药更有效的概率. 由计算结果可以看出,在甲药治愈率 为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药 更有效的概率为p4 = 1 257≈0.003 9, 此时得出错误结论的概率非常小,说 明这种试验方案合理. 2.解:(1)由频率分布直方图可知0.1× (1+1+a+5)=1,解得a=3. (2)由题意知X 的所有可能取值为0, 1,2,3, 10年中气象相关指数λ 在[0.9,1]之 间的频数为5×0.1×10=5, P(X =0)= C35 C310 = 1 12 ,P(X =1)= C25C15 C310 = 5 12 ,P(X =2)= C15C25 C310 = 5 12 , P(X =3)= C35 C310 = 1 12. 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 112 5 12 5 12 1 12 E(X)=0× 1 12+1× 5 12+2× 5 12+3× 1 12= 3 2. (3)由题意得y≥0在x∈[4,8]上恒 成立,即25λ ≥ (x+10)(x+2) x 在 x ∈ [4,8]上恒成立. 令g(x)= (x+10)(x+2) x =x + 20 x +12 ,x∈[4,8],则25λ≥g(x)max. g'(x)=1- 20 x2 , 由g'(x)>0,得25<x ≤8,所以 g(x)在(25,8]上单调递增, 由g'(x)<0,得4≤x <25,所以 g(x)在[4,25)上单调递减. 又 g(4)= 21,g(8)= 22.5,所 以 g(x)max =22.5,所以25λ≥22.5,解 得λ≥0.9. 所以当气象相关指数λ∈ [0.9,1]时, 能使对于任意的x ∈ [4,8],该合作社 都不亏损. 3.解:(1)若n=3,p = 1 3 , 依题意可知X 服从二项分布,即 X ~ B 3,13 ,从而P(X =i)= Ci3 1 3 i 2 3 3-i ,i=0,1,2,3. 随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 827 4 9 2 9 1 27 随机变量 X 的均值 为E(X)=3× 1 3 =1. (2)由题意知ξ 的所有可能取值为1, k+1,且P(ξ=1)=(1-p)k,P(ξ= k+1)=1-(1-p)k, ∴E(ξ)=(1-p)k+(k+1)[1-(1- p)k]=k+1-k(1-p)k, 又 ∵E(η)=k,依 题 意 知 E(ξ)< E(η),即k+1-k(1-p)k <k,∴ 1 k < (1-p)k,∵p=1- 1 3 e ,∴ 1k < 1 3 e k ,∴ln k> 1 3k. 即只需ln k- 1 3k>0 , 设f(x)=ln x- 1 3x , 则f'(x)= 1 x - 1 3 = 3-x 3x , ∴ 当0<x <3时,f'(x)>0, 当x >3时,f'(x)<0, ∴f(x)在(0,3)上 单 调 递 增,在(3, +∞)上单调递减,由于f(1)= - 1 3 < 0,f(2)=ln 2- 2 3 ≈0.026 4>0, f(4)=ln 4- 4 3 ≈0.053 0>0, f(5)=ln 5- 5 3 ≈-0.057 3<0, 故k 的 取 值 范 围 为 2 ≤k ≤ 4 且 k∈N*. 4.解:(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2× 0.2+3×0.1=1. (2)证明:设f(x)=p3x3+p2x2+ (p1-1)x+p0, 因为 p3 +p2 +p1 +p0 = 1,故 f(x)=p3x3 +p2x2 -(p2 +p0 + p3)x+p0. 若E(X)≤1,则p1+2p2+3p3≤1, 故p2+2p3 ≤p0. f'(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+ p3),因 为 f'(0)= - (p2 +p0 + p3)<0,f'(1)=p2+2p3-p0≤0, 故f'(x)有两个不同零点x1,x2,且 x1 <0<1≤x2,且x∈(-∞,x1)∪ (x2,+∞)时,f'(x)>0;x ∈ (x1, x2)时,f'(x)<0;故f(x)在(-∞, x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1, x2)上单调递减. 若x2=1,因为f(x)在(x2,+∞)上 单调递增且f(1)=0,而当x ∈ (0, x2)时,因为f(x)在(x1,x2)上单调 递减,故f(x)>f(x2)=f(1)=0, 故1为p0+p1x+p2x2+p3x3 =x 的一个最小正实根. 若x2 >1,因为f(1)=0且f(x)在 (0,x2)上 单 调 递 减,故 1 为 p0 + p1x+p2x2+p3x3 =x 的一个最小 正实根, 综上,若E(X)≤1,则p =1; 若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1, 故p2+2p3 >p0. 此时f'(0)= -(p2+p0+p3)<0, f'(1)=p2+2p3-p0 >0, 故f'(x)有两个不同零点x3,x4,且 x3 <0<x4 <1,且当x ∈ (-∞, x3)∪(x4,+∞)时,f'(x)>0;x∈ (x3,x4)时,f'(x)<0; 故f(x)在(-∞,x3),(x4,+∞)上单 调递增,在(x3,x4)上 单 调 递 减,而 f(1)=0,故f(x4)<0,又f(0)= p0>0,故f(x)在(0,x4)存在一个零 点p,且p<1. 所以p为p0+p1x+p2x2+p3x3 = x的一个最小正实根,此时p<1,故当 E(X)>1时,p<1. (3)意义:若每一个该种微生物繁殖后 代的均值不超过1,则若干代必然灭 绝,若繁殖后代的均值超过1,则若干 代后灭绝的概率小于1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -646- 第九章 概率与统计 3 课时作业72 概率统计与数列、函数的综合交汇问题 1.为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希 望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验. 试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进 行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以 甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出 后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的 白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止 试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方 便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药 的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药 得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药 得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得 0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一 轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X 的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分, pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则 p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1, 2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0), c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8. ① 证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比 数列; ② 求p4,并根据p4 的值解释这种试验方案的 合理性. 2.某地盛产橙子,但橙子的品质与当地的气象相 关指数λ有关,气象相关指数λ越大,橙子品质 越高,售价同时也会越高,某合作社统计了近 10年当地的气象相关指数λ,得到了如图所示 的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)从这10年中任意抽取3年研究气象相关指 数λ 对橙子品质的影响,求这3年的气象相关 指数λ 在[0.9,1]之间的个数X 的数学期望; (3)根据往年数据知,该合作社的利润y(单位: 千元)与每亩地的投入x(单位:千元)和气象 相关指数λ的关系为y=100λ- 200 x+2 λ-4x- 40,x∈[4,8],求气象相关指数λ取何值时,能 使对于任意的x ∈[4,8],该合作社都不亏损. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -437- hh 3.(2023·河北唐山模拟)设某病毒在进入人体后 有潜伏期,患者在潜伏期内无任何症状,但已 具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每 天有n 位密接者,每位密接者被感染的概率 为p. (1)若n=3,p= 1 3 ,求一天内被一位病毒携带 者直接感染人数X 的分布列和均值; (2)某定点医院为筛查某些人员是否感染此病 毒,需要检测血液样本是否为阳性,有以下两 种检验方式: ① 逐份检验,即k份血液样本需要检验k次; ② 混合检验,即将k份(k∈N* 且k≥2)血液 样本分别取样混合在一起检验,若检验结果为 阴性,则这k份血液样本全为阴性,因而这k份 血液样本只要检验一次就够了.如果检验结果 为阳性,为了明确这k 份血液样本究竟哪份为 阳性,就要对k份血液样本再逐份检验,此时这 k份血液样本的检验次数为k+1次. 假设样本的检验结果相互独立,且每份样本检 验结果是阳性的概率为p=1- 1 3 e ,为使混合检 验需要的检验的总次数ξ的均值比逐份检验的 总次数η 的均值更少,求k的取值范围. 参考数据:ln 2≈0.693 1,ln 3≈1.098 6,ln 4≈ 1.386 3,ln 5≈1.609 4,ln 6≈1.791 8. 4.(2021·新高考 Ⅱ 卷)一种微生物群体可以经 过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物 为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一 次繁殖后为第2代 …… 该微生物每代繁殖的 个数是相互独立的且有相同的分布列,设X 表 示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X = i)=pi(i=0,1,2,3). (1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1, 求E(X); (2)设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近 灭绝的概率,p 是关于x 的方程p0+p1x + p2x2+p3x3=x 的一个最小正实根,求证:当 E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1; (3)根据你的理解说明(2)中结论的意义. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -438-